隐形圆问题
一、确定动点轨迹是圆
【例题 1】如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足OC=5，点 P 为圆C 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A ，且 OA=OB ，∠APB=90°，l 不过点 C ，则 AB 的最小值为
【举一反三】
1、如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，∠ A=60°， M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一动 点，将△ AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△ A'MN,连接 A'C ，则 A'C 长度的最小值是
3、如图，已知等边 △ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点 （与点 A 、B 不重合 ）.直线 l 是经过点 P 的一条直线， 把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B'.当PB=6时，在直 线 l 变化过程中，则 △ ACB '面积的最大值是 .
4、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝4，BC=8，P 、Q 分別是直线 BC 、AB 上的两个动点， AE ＝2， △AEQ 沿 EQ 翻折形成△ FEQ ，连接 PF 、PD ，则 PF+PD 的最小值是
2、如图，在 Rt △ABC 中， ∠C=90°，AC ＝6， 为边 BC 上的动点，将 △ CEF 沿直线 EF 翻折， 小值是 BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF ＝ 2，点 E 点 C 落在点 P 处，则点 P 到
边 AB 距离的最
第 2
二、定边对直角
知识回顾 :直径所对的圆周角是直角
构造思路 :一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 图形释义 :
【例题 1】已知正方形 ABCD 边长为 2，E 、F 分别是 BC 、CD 上的动点，且满足 BE ＝ CF ， 连接 AE 、 BF ，交点为 P 点，则 PC 的最小值为
【举一反三】
1、如图， E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE ＝DF ，连接 CF 交 BD 于 点 G ，连接 BE 交 AG 于点 H ，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是
2、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点， 且满足 ∠PAB ＝∠ PBC ，则线段 CP 长的最小值是
若 AB 是一条定线段，且 ∠APB-90 °，
则 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆
3、如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上， AB＝ 5，AC＝ 4.D 是弧 BC 上的一个动点，连接 AD，过点 C作CE⊥AD于E，连接 BE.在点 D移动的过程中，BE的最小值为
4、如图，在 Rt△ ABC 中，∠BAC=90°，AC＝12，AB＝10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 AD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为
5、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分別从点 A、C 同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B时，运动停止，过点 B 作直线 EF的垂线
【辅助圆 +将军饮马】如图，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE，过点 A作AF⊥BE于点 F，点 P是AD 边上另一动点，则 PC+PF的最小值为
【辅助圆 +相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB＝4，D是 BC上一动点，
CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点 F，则 CF的最大值是
三、定边对定角
在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理 :同圆或等圆中，同弧或等弧所対的圆周角都相 .定边必不可少，而直角则可
一般为定角 .例如， AB 为定值，∠ P 为定角，则 P 点轨迹是一个圆 .
当然，∠ P 度数也是特殊角，比如 30°、45°、60°、120°，下面分别作对应的轨迹圆若∠ P＝
30°，以 AB 为边，同侧构造等边三角形 AOB，O 即为圆心
若∠ P＝45°，以 AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O 即为圆心 .
120°的等腰三角形 AOB ，O 即为圆心 . 若∠ P＝60°，以 AB 为底，同侧构
若∠ P＝120°，以 AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形 AOB ，O即为圆心 .