数学思想和方法
四川王小龙
许多数学思想方法都与一元一次不等式（组）知识有着紧密的联系，下面就其中的两种数学思想方法作具体地介绍.
一、分类讨论思想
分类讨论既是一种思想，又是解决问题的思维方法，运用它可使问题的解答更严谨，克服思维的片面性，防止漏解或结论不严密．分类讨论的一般步骤是首先根据题目要求确定分类对象；其次针对对象进行合理分类；最后对分类合并、归纳，作出综合性结论.
例1已知不等式组无解，则a的取值范围是_________.
解析：解不等式3+2x≥1，得x≥﹣1.
解不等式x﹣a<0，得x 本题需对a与﹣1的大小进行分类讨论，对于a与﹣1的大小可以通过数轴来确定，a 在数轴上的位置有如下三种情况： 容易看出，在a满足情况（1）与（2）时，原不等式组无解，所以a≤﹣1. 跟踪训练1已知不等式组.写出k取不同范围值的情况下，不等式组的解. 二、数学建模思想 数学建模旨在拓展学生的思维空间，使学生在进行数学知识和实际生活双向构建的过程中，体会到数学的价值，享受学习数学的乐趣.数学建模是对日常生活中的实际问题进行抽象，建立数学模型，然后求解数学模型的过程. 例2为了保护环境，某企业决定用不高于105万元的资金，购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： （1）该企业有几种购买方案？ （2）若该企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？ 解析：构建不等式模型是解决本题的关键，同时还要注意题目中的关键词“不高于”和隐含的“保证将每月的污水处理掉”. （1）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（10﹣x）台，根据题意，得12x+10（10﹣x）≤105. 解这个不等式,得x≤2.5. 因为x取非负整数，所以x=0，1，2． 所以有三种购买方案：①购买A型0台，B型10台；②购买A型1台，B型9台；③ 购买A型2台，B型8台. （2）由于不管哪种方案，都要以处理掉2040吨污水为前提， 所以240x＋200（10－x）≥2040. 解得x≥1，所以x=1，2. 当x=1时，购买资金为12×1＋10×9＝102（万元）； 当x=2时，购买资金为12×2＋10×8＝104（万元）. 所以应选择的方案为：②购买A型1台，B型９台. 跟踪训练2某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服．（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？ （2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？ 答案 1.解:当k<2时，解集为﹣1 2.解：（1）方案一：甲款11套，乙款19套；方案二：甲款12套，乙款18套；方案三：甲款13套，乙款17套； （2）方案一获利最大． 七年级数学上册整体求值思想专项练习 一、整式回顾 1、利用同类项求未知数的值 【例1】 ⑴若27m x y +-与33n x y -是同类项，则 m =_______, n =________. ⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________. 2、整式加减的化简求值 【例2】 ⑴化简：() 222 323x x x x ??---=?? ()()3105223xy y x xy y x ++-+-=???? . ⑵化简求值：()2 2118444144x x x x ??-+--+- ???，其中 12 x =- ． ⑶已 知 ： () 2 210x y ++-=，求 ( )2 22 22 52342x y x y x y x y x y ??-+--? ? 的值. 3、化简并说明结果与字母取值无关 【例3】 ⑴当k =时 ，代数式 6436431 54105 x kx y x x y --++中不含43x y 项. ⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式 ()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题 时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做 出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 变式 已 知多项式A 和B ，()()251323A m x n xy x y =+++-+， 26521B x xy x =+--，当A 与B 的差不含二次项时，求 () ()31m n m m n n +??-?-+--?? 的值． 变式：、已知有理数a 和b 满足多项式 ()2 5212b A a x x x bx b +=-+-++是关于x 的二次三项 式．当7x <-时，化简：x a x b -+- 二、整体思想 1、整体思想之整式加减运算 【例4】 ⑴ 计算 5(a b b a a b -+--- ． ⑵ 化 简： 22 ( 2 )(2)(1) x x x x x +---+-+- ． ⑶ 化简： ( ) ( )( )4 3 2330321 x y y x x y - +- ---+ 2、整体思想之代入求值 【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式 ()()2 5a b a b ---的值为 . ⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 . ⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为 ⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式 24 63 x x -+的值为 . ⑸已知32c a b =-，求代数式225 23 c a b a b c --- -的值. 3、整体思想之构造整体 【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= . ⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求 ()()()a c b d c b -?-?-的值． 4、整体思想之赋值 【例7】 ⑴已知代数式25342 () x ax bx cx x dx +++，当1x =时， 值为1，求该代数式当1x =-时的值． ⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2 x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16， 求2x =时，代数式423ax cx ++的值. 初中七年级数学解题技巧与方法 1、细心地发掘概念和公式 很多同学对概念和公式不够重视,这类问题反映在三个方面:一是,对概念的理解只是停留在文字表面,对概念的特殊情况重视不够。例如,在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中,很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。二是,对概念和公式一味的死记硬背,缺乏与实际题目的联系。这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。三是,一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果你不能将公式烂熟于心,又怎能够在题目中熟练应用呢? 我们的建议是:更细心一点(观察特例),更深入一点(了解它在题目中的常见考点),更熟练一点(无论它以什么面目出现,我们都能够应用自如)。 2、总结相似的类型题目 这个工作,不仅仅是老师的事,我们的同学要学会自己做。当你会总结题目,对所做的题目会分类,知道自己能够解决哪些题型,掌握了哪些常见的解题方法,还有哪些类型题不会做时,你才真正的掌握了这门学科的窍门,才能真正的做到“任它千变万化,我自岿然不动”。这个问题如果解决不好,在进入初二、初三以后,同学们会发现,有一部分同学天天做题,可成绩不升反降。其原因就是,他们天天都在做重复的工作,很多相似的题目反复做,需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之,不会的题目还是不会,会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握,弄的一团糟。 我们的建议是:“总结归纳”是将题目越做越少的最好办法。 3、收集自己的典型错误和不会的题目 同学们最难面对的,就是自己的错误和困难。但这恰恰又是最需要解决的问题。同学们做题目,有两个重要的目的:一是,将所学的知识点和技巧,在实际的题目中演练。另外一个就是,找出自己的不足,然后弥补它。这个不足,也包括两个方面,容易犯的错误和完全不会的内容。但现实情况是,同学们只追求做题的数量,草草的应付作业了事,而不追求解决出现的问题,更谈不上收集错误。我们之所以建议大家收集自己的典型错误和不会的题目,是因为,一旦你做了这件事,你就会发现,过去你认为自己有很多的小毛病,现在发现原来就是这一个反复在出现;过去你认为自己有很多问题都不懂,现在发现原来就这几个关键点没有解决。 我们的建议是:做题就像挖金矿,每一道错题都是一块金矿,只有发掘、冶炼,才会有收获。 4、就不懂的问题,积极提问、讨论 发现了不懂的问题,积极向他人请教。这是很平常的道理。但就是这一点,很多同学都做不到。原因可能有两个方面:一是,对该问题的重视不够,不求甚解;二是,不好意思,怕问老师被训,问同学被同学瞧不起。抱着这样的心态,学习任何东西都不可能学好。“闭门造车”只会让你的问题越来越多。知识本身是有连贯性的,前面的知识不清楚,学到后面时,会更难理解。这些问题积累到一定程度,就会造成你对该学科慢慢失去兴趣。直到无法赶上步伐。 七年级上册数学思想方法 一、归纳思想 归纳就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，归纳的过程就是创新的 过程，这对解决复杂问题能起到事半功倍的效果，这种思想方法常用于探索规律 问题. 例1 观察下列式子，探索其规律并填空. ()2111=-?；()31312-=-?；()413513-+=-?；()5 135714-+-=-?；…… 请你计算：() ()11357...121n n +-+-++-?-=_________. 二、用字母表示数的思想 例2 计算：11 11111111...1...1......2320082200722008232007????????++++++-+++++ ??? ??????????? . 析解：本题无法直接进行计算，观察发现四个括号内的分数和具有一定的联 系，若把括号内的分数和用字母表示，则把数的运算变成了式的运算. 可设111...22007a +++=，111 (232007) b +++= 三、数形结合思想 例3 如图3，M ，N ，P ，R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点 是原点，并且MN=NP=PR=1.数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若3a b +=，则原点可能是（ ）. A ．M 或R B ．N 或P C ．M 或N D ．P 或R 四、转化思想 例4 对于任意两个有理数对),(b a 和),(d c ，规定：当,a c b d ==时，有 (,)(,)a b c d =；运算“?”为：),(),(),(bd ac d c b a =?；运算“⊕”为： ),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕．设p 、q 都是有理数，若)4,2(),()2,1(-=?q p ，则 _______),()2,1(=⊕q p ． 练习题 1、下列说法不正确的有 ( ) ①1是绝对值最小的数 ②3a －2的相反数是－3a+2 ③25R π的系数是5 ④一个有理数不是整数就是分数 ⑤343x 是7次单项式 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、当2=x 时, 整式13++qx px 的值等于2002，那么当2-=x 时,整式 13++qx px 的值为（ ） A 、2001 B 、-2001 C 、2000 D 、-2000 3、已知有理数x 的近似值是5.4，则x 的取值范围是（ ） A. 5.35 初一数学动点问题答题技巧与方法 关键：化动为静，分类讨论。解决动点问题，关键要抓住动点，我们要化动为静，以不变应万变，寻找破题点（边长、动点速度、角度以及所给图形的能建立等量关系等等）建立所求的等量代数式，攻破题局，求出未知数等等。动点问题定点化是主要思想。比如以某个速度运动，设出时间后即可表示该点位置；再如函数动点，尽量设一个变量，P尽量用G来表示，可以把该点当成动点，来计算。步骤：①画图形；②表线段；③列方程；④求正解。 数轴上动点问题 问题引入：如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是﹣1，点A沿数轴匀速平移经 过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？ （2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度． （3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数． 练习： 1.动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4（速度单位：单位长度/秒）． （1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中标出的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，A、B两点到原点的距离恰好相等？ 例题精讲： 例1．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。 ⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？ ⑵乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙 在数轴上的哪个点相遇？ ⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能 在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。 例2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100。 ⑴求AB中点M对应的数； ⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰 好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点 对应的数； ⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好 从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D 点对应的数。 例3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为G。 ⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； ⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出G的值。若不存 2017 年秋七年级上册数学 思想方法专题：线段与角的计算中的思想方法 ——明确解题思路，体会便捷通道 ◆ 类型一方程思想在线段或角的计算中的应用 1.一个角的度数比它的余角的度数大20°，则这个角的度数是（） A.20 ° B.35 ° C.45 ° D.55 ° 2 2.已知 P 为线段 AB 上一点，且AP＝5AB ， M 是 AB 的中点，若PM ＝2cm，则 AB 的长为（） A.10cm B.16cm C.20cm D .3cm 3.如图， A 、 O、B 三点在一条直线上，∠ 77°，则∠ COD 的度数是（） A.52 ° B.26 ° AOC ＝ 2∠COD ，OE平分∠BOD ，∠ COE＝ C.13°D .38.5° 第 3 题图第 4 题图 则 4.如图， AB 的长为 M 、 N为线段 . AB上两点，且AM∶ MB ＝ 1∶ 3，AN ∶ NB ＝5∶ 7.若MN ＝2，5.如图，AB和 CD相交于点O，∠ DOE ＝ 90°，若∠ 1 BOE＝ 2∠ AOC. （1）指出与∠ BOD 相等的角，并说明理由； （2）求∠ BOD ，∠ AOD 的度数 . 6.如图，已知数轴上两点 A 、 B 对应的数分别为－ 1、 3，点 P 为数轴上的一动点，其对应的数为 x. （ 1）PA＝，PB＝（用含x的式子表示）； （2）在数轴上是否存在点 P，使 PA＋PB＝ 5？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由 . OD ◆ 类型二分类讨论思想在线段或角的计算中的应用 7.（ 2016－ 2017 ·萧山区校级期末）已知∠A OB ＝ 60°，作射线 是∠ BOC 的平分线，那么∠BOD 的度数是（） A.100 ° B.100 °或 20° OC，使∠ AOC等于40°， C.50°D .50或° 10° 8.（ 2016－ 2017 ·郾城区期末）把一根绳子对折成一条线段AB ，点P 是AB上一点，从 P 处把绳子剪断.已知 1 AP＝ 2PB，若剪断后的各段绳子中最长的一段为40cm，则绳子的原长 为.【易错8①】 9.已知点 A ， B， C 在同一条直线上，且AC ＝ 5， BC＝ 3， M ， N分别是AC ， BC的中点.【易错 8①】 （1）画出符合题意的图形； （2）依据（ 1）的图形，求线段 MN 的长 . 人教版七年级数学下册解题技巧专题目录： 【专题一】平行线中作辅助线的方法 【专题二】相交线与平行线中的思想方法 【专题三】开方运算及无理数判断中的易错题 【专题四】平面直角坐标系中的图形面积 【专题五】平面直角坐标系中的变化规律 【专题六】解二元一次方程组 【专题七】一元一次不等式（组）与学科内知识的综合 【专题八】一元一次不等式（组）中含字母系数的问题 【专题一】平行线中作辅助线的方法 ——形成思维定式，快速解题 ◆类型一含一个拐点的平行线问题 1．(2017·南充中考)如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为() A．30°B．32°C．42°D．58° 第1题图第2题图2．(2017·潍坊中考)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足() A．∠α＋∠β＝180°B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠αD．∠α＋∠β＝90° 3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题． 如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数． 解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°. 如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决． (1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？ (2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？ ◆类型二含多个拐点的平行线问题 4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为() A．20°B．30°C．40°D．70° 第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题． 已知：______________，结论：______________． 解： 7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线． (1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO； (2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC 之间会满足怎样的数量关系？并说明理由． 七年级下册 第一章整式的运算 §1.1 整式 数学思想方法： 1、归纳与分类的思想 具体体现：（1）单项式的定义 （2）多项式的定义 §1.2 整式的加减 数学思想方法：由特殊到一般 具体体现：整式的加减由简单到复杂。 §1.3 同底数幂的乘法 数学思想方法：归纳总结、整体代换思想 具体体现：同底数幂的乘法法则的推导，在基本公式中字母a、b 不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§1.4 幂的乘方与积的乘方 数学思想方法：由特殊到一般，归纳总结、整体代换思想 具体体现：题型由易到难，法则的推导，在基本公式中字母a、b不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§1.5 同底数幂的除法 数学思想方法：观察归纳类比 具体体现：几种幂的运算对比，法则的推导 §1.6 整式的乘法 数学思想方法：观察归纳总结、化归思想 具体体现：法则的推导及应用，多项式的乘法转化为单项式的乘法 §1.7 平方差公式 数学思想方法：归纳总结，数形结合整体代换思想 具体体现：平方差公式的推导在基本公式中字母a、b不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§1.8 完全平方公式 数学思想方法：归纳总结，数形结合整体代换思想 具体体现：完全平方公式的推导在基本公式中字母a、b不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式，甚至代数式 §1.9同底数幂的除法 数学思想方法：归纳总结整体代换思想 具体体现：同底数幂的乘法法则的推导，在基本公式中字母a、b 不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式， 甚至代数式 第二章平行线与相交线 §2.1 余角与补角 数学思想方法：转化思想 具体体现：余角与补角的定义 §2.2 探索直线平行的条件 数学思想方法：数形结合 具体体现：余角与补角的定义的归纳及应用 七年级数学配方法试题Last revision on 21 December 2020 配方法(AB 卷) A 卷 一、填空题： 1.填上适当的数,使下面各等式成立： (1)x 2+3x+_______=(x+________)2; (2)_______-3x+14 =(3x_______)2; (3)4x 2+_____+9=(2x________)2; (4)x 2-px+_______=(x-_______)2; (5)x 2+b a x+_______=(x+_______)2. 2.用配方法使下面等式成立： (1)x 2-2x-3=(x-______)2-_______; (2)x 2++=(x+_______)2+________; (3)3x 2+2x-2=3(x+______)2+________; (4)23x 2+13x-2=23 (x+________)2+_______. 二、选择题 3.方程x 2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4; C.(x-3)2=14 D.(x-6)2=36 4.方程3x 2x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A. 217618x ?+=- ??; B. 2 37618x ??+= ? ??? ; C. 235618x ?+= ??; D. 23766x ?+= ?? B 卷 二、解答题： 5.用配方法解下列方程: (1)x 2+4x-3=0; (2)x 2+3x-2=0; (3)x 2-23x+118 =0; (4)x 2+-4=0. 6.用配方法求证: (1)8x 2-12x+5的值恒大于零; (2)2y-2y 2-1的值恒小于零. 7.在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t-t 2. (1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面. 8.在△ABC 中,三边a 、b 、c 满足2+b 2+c 2=32 ,试判断△ABC 的形状. A 卷答案 1.(1) 93,42 (2)9x 2, 12- (3)12x,+3 (4) 2,42p p (5) 22,42b b a a 2.(1)1,4 (2), (3) 17,33- (4) 149,424 - B 卷答案： 5.(1) 1222x x =-=- (2) 32 x -= (3) 26x ±= (4) x = 6.(1)原式=2318042x ??-+> ?? ? (2)原式= 2112022y ??---< ?? ? 7.(1)2秒或5秒 (2)7秒 8.∵∴(a+b+c)2=92 即a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)=92 , 一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关 思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法——明确解题思想，体会便捷渠道 ◆类型一方程思想 1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为() A．180°B．160°C．140°D．120° 第1题图第2题图2．(2017·无棣县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，则∠AOF的度数为________． 3．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度数． 4．(2017·启东市期末)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC. (1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数； (2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由． ◆类型二分类讨论思想 5．若∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是() A．18°B．126° C．18°或126°D．以上都不对 6．(2017·玄武区期末)在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.若P A⊥PB，当∠MP A ＝40°，则∠NPB的度数是________________． 7．(2017·江干区一模)一副直角三角尺按如图①所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图②，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为________________________________________________________________________． 8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系． A卷 一、填空题： 1.填上适当的数,使下面各等式成立： (1)x2+3x+_______=(x+________)2; (2)_______-3x+1 4 =(3x_______)2; (3)4x2+_____+9=(2x________)2; (4)x2-px+_______=(x-_______)2; (5)x2+b a x+_______=(x+_______)2. 2.用配方法使下面等式成立： (1)x2-2x-3=(x-______)2-_______; (2)x2++=(x+_______)2+________; (3)3x2+2x-2=3(x+______)2+________; (4)2 3 x2+ 1 3 x-2= 2 3 (x+________)2+_______. 二、选择题 3.方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4; C.(x-3)2=14 D.(x-6)2=36 4.方程3x 2x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A. 21718x ?=- ??; B. 2 3718x ?+= ? ?; C. 23518x ?= ??; D. 2376x ?= ?? B 卷 二、解答题： 5.用配方法解下列方程: (1)x 2+4x-3=0; (2)x 2+3x-2=0; (3)x 2-23x+118 =0; (4)x 2+-4=0. 6.用配方法求证: (1)8x 2-12x+5的值恒大于零; (2)2y-2y 2-1的值恒小于零. 7.在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s) 之间的关系是h=7t-t 2. (1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面. 8.在△ABC 中,三边a 、b 、c 满足2+b 2+c 2=32 ,试判断△ABC 的形状. A 卷答案 初一数学 一元一次方程应用题练习 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案． 2.和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量 3.等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变． ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 4．数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 5．市场经济问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝ 商品利润 商品成本价 ×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售． 6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题：快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 8．储蓄问题 利润＝每个期数内的利息 本金 ×100% 利息＝本金×利率×期数 【经典练习】 1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？ 2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？ 分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。 在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。 在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。 1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。 2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。 3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。 【例1】解方程：|x-1|=2 分析：绝对值为2 的数有2个 解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1 说明应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。 1. 化简(如当a<0 《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型 【知识梳理】 1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式； 2.解题方法： 配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。. 【典型例题】 例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______ 解析：①x 2若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ； ②若x 2为乘积二倍项，则加上的项是：（x 26 ）2=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x 2或-9． 例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655 解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552 =(1.2345+0.7655)2 =4 例3.若a ，b 为有理数，且2a 2?2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2 =__________ 解析：原方程可变形为： (a ?b)2+(a +2)2=0, ∴a=b=?2, ∴原式=-6 例4.已知x2+y2+2x?8y+17=0，求x2017+xy的值。 解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y?4)2=0 , ∴ x=?1,y=4,, ∴原式=1-4=-3 例5.已知a2+b2?2a+4b+5=0，则a+b=____________ 解析：原方程可变形为：(a?1)2+(b+2)2=0 , ∴ a=1,b=?2, ∴原式=-1 例6.不论x取何数，代数式x2?6x+10的值均为（） A．正数 B．零 C．负数 D．非负数 解析：原式=x2-6x+9+1=(x-3)2+1≥1,故选A 例7.不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x?4y+7的值（ A ） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 解析：原式=(x2+2x+1)+（y2-4y+4）+2=(x+1)2+(y-2)2+2≥2,故选A 解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧 ◆类型一 着眼全局，整体代入 1．已知1a －1b ＝13，则ab 6a －6b 的值为( ) A .12 B ．－12 C ．2 D ．－2 2．若a 2＋b 2＝3ab ，求分式????1＋2b 2 a 2－ b 2??? ?1＋2b a －b 的值． ◆类型二 巧妙变形，构造代入 3．已知x 2－3x ＋1＝0，则x x 2－x ＋1 的值是( ) A .12 B ．2 C .13 D ．3 4．★若x －1x ＝4，则x 4＋x 2＋1x 2 ＝________． 5．★★已知a ，b ，c 不等于0，且a ＋b ＋c ＝0，求a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b )的值． ◆类型三 参数辅助，多元归一 6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值． 7．已知a ＋b a －b ＝32 ，求分式a 2－b 2ab 的值． ◆类型四 打破常规，倒数代入 8．★已知x x 2＋x ＋1＝13，求x 2 2x 4－3x 2＋2 的值． 9．★★已知ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，求abc ab ＋ac ＋bc 的值． 参考答案与解析 1．B 解析：因为1a －1b ＝13，所以ab ＝－3(a －b )，所以原式＝ab 6（a －b ）＝－3（a －b ）6（a －b ） ＝－12 . 2．解：????1＋2b 2a 2－b 2????1＋2b a －b ＝a 2－b 2＋2b 2a 2－b 2·a －b ＋2b a －b ＝a 2＋b 2a 2－b 2·a ＋b a －b ＝a 2＋b 2（a －b ）2 ＝a 2＋b 2a 2＋b 2－2ab .因为a 2＋b 2＝3ab ，所以原式＝3ab 3ab －2ab ＝3. 3．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以原式＝x 3x －1－x ＋1＝12 . 4．19 解析：已知等式两边同时平方得????x －1x 2＝x 2－2＋1x 2＝16，即x 2＋1x 2＝18，则x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2 ＝18＋1＝19. 5．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ????1b ＋1c ＋b ????1a ＋1c ＋c ????1a ＋1b ＝a ????1b ＋1c ＋1a －1＋b (1a ＋1c ＋1b )－1＋c ????1a ＋1b ＋1c －1＝(1a ＋1c ＋1b )(a ＋b ＋c )－3＝－3. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝2k ·3k ＋3k ·4k ＋2k ·4k （2k ）2＋（3k ）2＋（4k ）2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629 . 7．解：设a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，联立方程组?????a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，解得? ??a ＝52k ，b ＝12k ，所以a 2－b 2ab ＝245. 8．解：因为x x 2＋x ＋1＝13 ，所以x 2＋x ＋1x ＝3，x ＋1＋1x ＝3，x ＋1x ＝2.所以x 2＋1x 2＝????x ＋1x 2－2＝4－2＝2.所以2x 4－3x 2＋2x 2＝2x 2－3＋2x 2＝2????x 2＋1x 2－3＝2×2－3＝1，所以x 22x 4－3x 2＋2 ＝1. 9．解：因为ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，所以a ＋b ab ＝3，b ＋c bc ＝4，a ＋c ac ＝5，所以1b ＋1a ＝3，1b ＋1c ＝4，1a ＋1c ＝5，所以2????1a ＋1b ＋1c ＝3＋4＋5，所以1a ＋1b ＋1c ＝6，abc ab ＋ac ＋bc ＝11a ＋1b ＋1c ＝16 . （赠品，不喜欢可以删除） 一元一次方程应用题 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案． 2.和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量 3.等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变． ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 4．数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 5．市场经济问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝ 商品利润 商品成本价 ×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售． 6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题：快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 8．储蓄问题 利润＝每个期数内的利息 本金 ×100% 利息＝本金×利率×期数 七年级上册思想方法总结 方法一 归纳思想 归纳就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，归纳的过程就是创新的过程，这对解决复杂问题能起到事半功倍的效果，这种思想方法常用于探索规律问题。 例1 观察下列式子，探索其规律并填空： 1)1(12?-=；;2)1(313?-=-;3)1(5314?-=+-;4)1(75315?-=-+-…… 请你计算_________。 例2 将一个正方体的表面涂上颜色．如图（1）所示，把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的． 如图（2）所示，如果把正方体的棱3等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色． （1） （2） （3） （1）如果把正方体的棱4等分，如图（3）所示所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n 等分呢？（请填写下表）： 方法二 整体思想 所谓“整体思想”就是指在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后，得出结论。 例3 计算）200813121(+??++）（20071211+??++)2008 1211+??++-（ ）（2007 13121+??++。 方法三 数形结合思想 所谓数形结合思想就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分清其代数含义，又提示其几何意义，使数量关系和图形和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。 例4 如图2所示，M,N,P,R 分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1。数a 对应的点在M 与N 之间，数b 对应的点在P 与R 之间，若3=+b a ，则原点可能是( ) A. M 或R B.N 或P C.M 或N D.P 或R 方法四 转化思想 转化思想的实质就是将所要解决的问题转化为一个较易解决或已经解决的问题。具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”问题。它是初中数学中重要、常见的思想方法。 例 5 对于任意两个有理数对()b a ,和()d c ,，规定：当d b c a ==,时，有()b a ,＝()d c ,；运算“?为”()()()bd ac d c b a ,,,=?；运算“⊕”为()()()d b c a d c b a ++=⊕,,,。设q p ,都是有理数，若()()()4,2,2,1-=?q p ，则()()q p ,2,1⊕=________。 方法五 分类讨论思想 分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要把研究对象按某个标准进行分类，然后对每类别研究得出结论，最后综合各类得到整个问题的答案。本学期体现分类讨论思想应用的地方主要有以下几处： （1）已知一个数的绝对值，要求进行有关的计算，往往需要分类讨论； （2）解含有绝对值的方程或解含有字母系数的方程时，需要分类讨论； （3）列方程解决分段付费、方案决策等问题时，需要对各种情况进行讨论，得出最佳方案； （4）线段或角的无图计算题，图形往往会有不同的形状，需要分类讨论。 例6 （2017.江川县期末）解绝对值方程234=-+-x x 。 例7 在同一平面内有三条射线OA,OB,OC ，若A O B B O C ∠=∠2，OD 平分AOC ∠，?=∠21BOD ，求BOC ∠的度数。七年级数学上册整体求值思想专项练习
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