七年级数学上册常用数学思想方法一、数形结合的思想。利用数形结合，可以使研究的问
题化难为易，化繁为简。
1、利用数轴解答：有一座3层楼房着火,消防员搭梯子爬往3楼去抢救物品,当他爬到正中1级时,2楼窗口喷出火来,他就往下退了3级,等到火过去了,他又爬上了7级,这时候屋顶有两块砖掉下来,他又后退了2级,幸好没有打着他,他又爬上8级,这时候他距离梯子最高层还有1级,问这个梯子共有多少级?
2、.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60千米,一列快车从B站出发,每小时行驶80千米.问：（1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇? （2）两车相向而行，慢车先开出28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？
3、3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每个队都与其他参赛队各赛一场），那么总的比赛场数是多少？若有4个球队呢？若有5个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数的公式。
二、整体代入的思想。
1、若a、b互为倒数，x、y互为相反数，m的绝对值等于3求：
（1）5ab－m＋x－4＋y的值；
（2）5x－ab＋＋5y的值；
（3）x+y∕x3－ab＋m2－8的值。
2、已知x2＋x＋3的值为7，求2x2＋2x－3的值。
三、分类讨论的思想。在数学问题中，当一个字母（或一个式子）有几种可能的取值；当一个图形有几种不同的位置或不同的形状时，往往需要分类讨论。分类讨论应做到：分类标准必须统一，分类时不重复不遗漏。
1、已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点，求AM的长。
四、割补的思想。
1﹙1﹚用含有a、b的式子表示阴影部分面积；
﹙2﹚当a＝3，b＝2时，阴影部分的面积为多少？
五、方程思想。方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算，这是一种很重要的数学思想方法。
1、某工人原计划用26天生产一片零件，工作2天后，因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，则这位工人原来每天生产多少个零件，这批零件共有多少个？
2、在甲处劳动的有52人，在乙处劳动的有23人，现从甲、乙两处共调出12人到另两处劳动，使在甲处劳动的人数为在乙处劳动人数的2倍，求应从甲、乙两处各调出多少人？
3、OM、OB、ON是∠AOC内的三条射线，OM，ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线，∠NOC是∠AOM的3倍，∠BON比∠MOB 大20°，求∠AOC的度数。
六、化归思想。在立体图形的表面上求两点之间的最短距离，常要将表面展开成平面图形，将立体图形上的问题化归为平面图形上的问题，化归的实质就是转化，数学知识的发生和发展，数学问题的分析和解决都离不开转化。
1、一观测塔的底座部分是四棱柱，现要从下底面A点修建钢筋扶梯，经过点M，N到点D′，在进入顶部的观测室，已知AB＝BC ＝CD＝3cm，高AA′＝9m,问点M，N位于什么位置，才能使扶梯的总长度最小，从而造价最低？
七、归纳法。由几种特殊的情况经观察和分析，发现了变化的规律，从而得到了一般性的结论，这种思想方法就叫做归纳法。
1、一条直线上，⑴若有两个点，则有线段----------条；⑵若有三个点，则有线段--------条；⑶若有四个点，则有线段--------条；⑷若有n个点，则有线段-------条。
列方程解应用题中设未知数的方法1、直接设未知数的方法
1、某检查团从单位出发去A处检查，在A处检查1h后，又绕路去B处停留半小时后返回单位，去时的速度是5km／h，返回时的速度是4km／h，来回共用了6个半小时，如果回来时因为绕道关系，路程比去时多2km，求去时的路程。
2、间接设未知数的方法
1、有两个矩形，第二个矩形的长、宽与第一个矩形的长、宽之比为3:2:5:4，且第二个矩形的周长比第一个矩形的周长小72cm，求这两个矩形的面积。
2、景新中学组织七年级学生到军营军训，基地分配给该校宿舍若干间，如果每件宿舍住8人，则少12个床位；如果每件宿舍住9人，却又空出2间宿舍，问该校参加这次军训的学生有多少人？
3、设辅助未知数的方法
1、某学校举行英语竞赛选拔赛，淘汰总参赛人数的?，已知选拔赛的分数线比全部参赛学生的平均分数少2分，比被选中的学生的平均分数少11分，并且等于被淘汰的学生的平均分数的2倍，求选拔赛的分数线是多少？
2、欧拉遗产问题：一位老人打算按如下次序和方式分他的遗产-------老大分100元和剩下遗产的10％，老二分200元和剩下遗产的10％，老三分300元和剩下遗产的10％，老四分400元和剩下遗产的10％，〃〃〃〃〃〃结果，每个儿子分得一样多，这位老人共有几个儿子？﹙同时?用间接设元和辅助设元解答）
3、某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%，求这个月的石油价格相对上个月的增长率。
4、某科技小组的学生在3名老师的带领下，准备前往国家森林公园考察，采集标本。当地有甲，乙两家旅行社，其定价都一样，但是师生都有优惠，甲旅行社对带队老师免费，学生按8折收费，乙旅行社对师生一律按7折收费，经计算，甲，乙旅行社的实际收费正好相同。
（1）该科技小组共有多少学生？
（2）若科技小组增加了学生人数，那么选择哪家旅行社较为合算？说明理由。
初一上册经典应用题
1、某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
A:计时制：2.8元／时；B：包月制：60元／月。此外，每一种上网方式都加收通信费1.2元／时。
⑴某用户上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？说明你的理
由。
⑵某用户有120元钱用于上网（一个月）。选用哪种方式比较合
算？
⑶请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式。
2、某商场举行庆“十一”优惠展销活动，“满一百送二十元，并且连
环赠送”的酬宾方式，即顾客每花满100元（100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计）就送20元奖励券；满200元就送40元奖励券，依次类推，有一天，一位顾客一次就花了24000元钱，那么他还可以购回多少元的物品？相当于几折销售？
3、芜湖供电公司分时电价执行是分为平、谷两个时段，平段为8： 00-22：00，14小时，谷段为22：00-8：00，10小时，平段用电价格在原电价基础上每千瓦时上浮0.03元，谷段用电价格在原电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元。
（1）问小明家该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元？（2）如不使用分时电价结算，5月份小明家将多支付电费多少元？
4、已知线段AB=6cm，在同一平面内讨论下列问题：
（1）是否存在一点C，使B、C和A、C之间的距离相等？在什么情况下，C才是线段AB的中点？
（2）是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和最小？若存在，点C的位置在哪里？最小距离是多少？
（3）当点C到A、B两点之间的距离之和大于6cm时，点C的位置在什么地方？试举例说明．
（4）由（2），（3），你能得出一个什么结论？
5、请根据所给方程1／7＋﹙1／7＋1／5﹚x＝1,联系生活实际，编
写一道应用题。（要求题目完整，题意清楚，并写出解答过程）
6、某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上直接销售，每吨利润为1000
元；粗加工后销售，每吨利润可达到4500元；精加工后销售，每吨利润高达7500元。当地一家公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工生产的能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行。受季节等条件限制，公司必须用15天的时间内将这批蔬菜全部加工销售完毕。为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多对蔬菜进行精加工，没来得及精加工的蔬菜，在市场上直接销售；
方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成。
你认为选择哪种方案获利最多?为什么？
7、某企业生产一种产品,每件成本价400元,销售价510元,本季度销售了m件,为进一步扩大市场，该企业决定降低售价的同时降低生产成本，经市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4％，销售量将提高10％，要使销售利润(销售利润=销售价-成本价）保持不变，该产品每件的成本应降低多少元？
8、某市百货商场元月1日搞促销活动，购物不超过200元不给优惠；超过200元，而不足500元的其中200不优惠，超过200元的部分按9折优惠，超过500元的，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和490元，问：（1）此人在两次购物中不打折时商品价值多少钱？（2）在这次活动中他节省了多少钱？（3）若此人讲这两次的钱合起来购买同样的商品是更节省还是亏损？说明你的理由。
9、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若市场上直接销售鲜奶，每吨可获得利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元，该工厂的生产能力是：制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行的方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余鲜牛奶直接销售；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成。你认为选择哪种方法获利较多？为什么？
10、已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。
11、一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的两倍，如果把十位与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原两位数。
12、某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。在这次足球联赛中，猛虎队平的场数是负的场数的2倍，且8场比赛共得17分，该队共胜多少场？
13、①.小明在2008年6月的日历上圈出了一个竖列上相邻的三个数并求出了这三个数的和，这三个数的和可能是（） A;40 B；75 C：18 D；27
14、某名牌鞋连锁店出售一种会员卡，花20元购买这种会员卡后，凭会员卡在该品牌的任一连锁店享受折上折优惠，若一月份鞋店全部商品八折优惠，则什么情况下买会员卡购物合算？
15、某出租车公司有出租车100辆,平均每天每车消耗的汽油费为80元,为了减少环境污染,国家环保部门推出一种改烧汽油为天然气的装置,每辆车改装价格为4000元,该公司第一次改装部分车后核算:已改装后的车辆每天燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的3/20,该公司第二次在改装同样多的车辆后,所有改装的车辆每天的燃料费用占剩下未改装车的每天燃料费用的2/5.①该公司共改装多少辆出租车?②改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之几?③若该公司一次性把全部出租车进行改装,多少天可以从节省的燃料费中收回成本?
16、国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的不纳税；
（2）稿费高于800元，而又不高于4000元的应缴纳超过800元那部分稿费的14%的税；
（3）稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税，
今知李老师获得一笔稿费，并缴纳个人所得税446.60元，问李老师这笔稿费有多少元？
17、某工厂出售一种产品，其成本价为每件28元，若直接由厂家门市部销售，每件产品售价35元，消耗其他费用每月2100元，若委托商店销售，出厂价每件32元。
（1）求在这两种销售方式下，每月售出多少件时，所得利润平衡？（2）若销量每月达到1000件时，采用哪一种销售方式取得利润较多？
18、甲乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％的利润定价，乙服装按40％的利润定价，在实际出售时，为尽快出售，两件服装均按九折出售，这样商店共获利157元，甲、乙两件服装的成本各是多少元？
19、某工人按原计划每天生产20个零件，到预定期限还有100个零件不能完成；若提高工效25％，到期将超额完成50个。问此工人原计划生产零件多少个？预定期限是多少天？
20、商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10％,但每日耗电量却为0.55度,商场如果将A型冰箱打折出售,问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年花费的总费用与B型冰箱10年的总费用相当消费者购买合算吗?…按使用期为10年,每年365天,每度电0.40元计算?? 【用方程解】
21、某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超过部分按基本电价的70%收费。
（1）某户居民5月份用电84度，共交电费30.72元，求a的值
（2）若该户6月份的电费平均每度为0.36元，求6月份共用电多少度？应该交电费多少元？
22、要配置浓度为10%的盐酸溶液200千克，现在要求用浓度为16%的盐酸溶液50千克，然后再加入浓度为5%的甲种盐酸溶液和浓度为30%的乙种盐酸溶液。问应再取这两种盐酸溶液各多少千克？
23、我国著名数学家苏步青教授有一次在德国访问，一位有名的德国数学家在电车上给他出了一道题:"甲、乙两人相向而行，距离为100千米，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带一只狗，狗每小时跑10每小时，狗跑得比人快，同甲一起出发，碰到乙后又往甲方向走，碰到甲后又往乙方向走，这样继续下去，直到甲、乙两人相遇时，这只狗一共走了多少千米？”
24、某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为7.5／h时，水流速度为2.5／h 时，若A、C两地相距10km,求A、B两地的距离。
25、五个青壮年年龄各差一岁，到2004年时五人年龄之和恰是他们在1982年时年龄和的3倍。问2004年时，他们各是几岁？
26、某人骑摩托车从家去火车站，若以36km／h行走则比检票时间早到12分；若以20km／h行走则比检票时间晚到12分，现在打算比检票时间早6分到车站，那么摩托车的速度应是多少？
27、全世界每年都有大量土地被沙漠吞没，改造土地，保护土地资源已成为一项十分紧迫的任务，某地区沙漠原有面积100万公顷，为了了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续三年的观察，并将每年年底的观察情况记录如下表：
观察时间该地区沙漠原有面积100万公顷
第一年 100.2万公顷
第二年 100.4万公顷
第三年 100.6万分顷
预计该地区沙漠的面积将继续按此趋势扩大。
（1）若不采取措施，则到第m年底，该地区沙漠面积将弯为（）万公顷；
（2）若第5年后采取措施，每年改造0.8万公顷沙漠，那么第n年，该地区沙漠的面积为多少万公顷？（n>5)
(3)在（2）的条件下，第几年后，该地区沙漠面积是原有面积的一半？
28、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告中大力宣传“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多挣了270元，每台彩电原价是多少元？
29、某商场出售某种文具，每件可盈利2元，为了支援贫困山区。现在按原售价的7折出售给一山区学校，结果每件盈利0.2元，问该文具每件的进货价是多少元？（只列方程，不求解)
30、我市某乡规定：种粮的农户均按每亩年产量750公斤、每公斤售价1.1元来计算每亩的年产值．年产值乘农业税的税率就是应缴的农业税，另外还要按农业税的20%上缴“农业税附加”（“农业税附加”主要用于村级组织的正常运转需要）．
（1）去年我市农业税的税率为7%，王老汉一家种了10亩水稻，他一共要上缴多少元？
（2）今年，国家为了减轻农民负担，鼓励种粮，降低了农业税税率，并且每亩水稻由国家直接补贴20元（可抵缴税款）．王老汉今年仍种10亩水稻，他掰着手指一算，高兴地说：“这样一减一补，今年可以比去年少缴497元．”请你求出今年我市的农业税的税率是多少？（要有解题过程）
31、北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加，据统计，2008年10月11日至2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量的4倍少69万人次，在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？
32、为了贫困学生能够顺利完成大学毕业，国家设立了助学贷款，助学贷款分0.5----1年期；1------3年期；3------5年期；5------8年期四种，贷款年利率分别为5.85%，5.95%，6.03%，6.21%，贷款利息的50%由政府补贴，某大学一位新生，准备贷6年期的款，他预计6年后，最多能一次还清20000元，那么他现在最多可以贷款多少元？（结果保留整数）
33、丽水市为打造“浙江绿谷”品牌，决定在省城举办农副产品展销活动．某外贸公司推出品牌产品“山山牌”香菇、“奇尔”惠明茶共10吨前往参展，用6辆汽车装运，每辆汽车规定满载，且只能装运一种产品；因包装限制，每辆汽车满载时能装香菇1．5吨或茶叶2吨．问装运香菇、茶叶的汽车各需多少辆?
34、一名落水儿童抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇，因雾大未被发现，1小时后快艇获悉此事，随即掉头追救，求快艇从获得消息到追到小孩需多少小时？
35、夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施，
某宾馆先把甲乙两种空调的设定温度都调高1度，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27千瓦时，再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1度后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样，两种空调每天共节电405千瓦时，求只将温度调高1度后，两种空调每天各节电多少千瓦时？
36、某书店在促销活动中推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠，有一次，李敏同学到该书店购书，结账时，他先买优惠卡再凭卡付款，结果节省12元，那么，李敏同学此次购书的总价值是多少元？
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中学数学中常见的数学思想有哪些？ 答题内容： 1、化归的思想方法： 所谓化归思想方法又叫转换思想方法、也叫转换思想方法、也叫转化思想方法，是一种把未解决的问题或特解决的问题，通过某种方式的转化，归化到一类已经能解决或比较容易解决的问题，最终得原问题的解答的思想方法.化归思想方法的三要素：化归谁（化归对象）、化归到哪（化归目标）、怎样化归（化归方法）.常见的化归方式有：已知与未知的化归、特殊与一般的化归、动与静的化归、抽象与具体的化归等. 化归思想方法的特点：是实际问题的规范化、简单化、熟悉化、模式化、直观化、正难侧反思化、以便应用已知的理论、方法和技巧到解决问题的目的.其形式如图所示： 例如方程问题转化为不等式问题：已知关于，的方程组，的解满足 ,求的取值范围. 解析：先解关于，的方程组，再把用表示的，的代数式代入不等式组中，解关于的不等式组. 2、数形结合的思想方法 所谓数形结合的思想方法是指把数学问题用数量关系与图形结合起来解答数学问题. 数形结合的思想方法的特点：数→形→问题的解答；形→数→问题的解答；数形，问题的解答. 例如：如图所示、在数轴上的位置，请化简 + 的结果是: 3、分类讨论的思想方法 所谓分类讨论的思想方法是指根据所研究的问题的某种相同性和差异性将它们分类来进行研究的思想方法. 分类讨论的思想方法的特点：分类不能重复也不能遗漏；同一次分类时，标准须相同；分类须有一定的范围，不能超范围. 例如：三角形按边分类方法：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形又可分为等边三角形、底边和腰不相等的等腰三
七年级数学上册整体求值思想专项练习 一、整式回顾 1、利用同类项求未知数的值 【例1】 ⑴若27m x y +-与33n x y -是同类项，则 m =_______, n =________. ⑵若3232583n m x y x y x y -=-，则22m n -=________. 2、整式加减的化简求值 【例2】 ⑴化简：() 222 323x x x x ??---=?? ()()3105223xy y x xy y x ++-+-=???? . ⑵化简求值：()2 2118444144x x x x ??-+--+- ???，其中 12 x =- ． ⑶已 知 ： () 2 210x y ++-=，求 ( )2 22 22 52342x y x y x y x y x y ??-+--? ? 的值. 3、化简并说明结果与字母取值无关 【例3】 ⑴当k =时 ，代数式 6436431 54105 x kx y x x y --++中不含43x y 项. ⑵ 有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式 ()()22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题 时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做 出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 变式 已 知多项式A 和B ，()()251323A m x n xy x y =+++-+， 26521B x xy x =+--，当A 与B 的差不含二次项时，求 () ()31m n m m n n +??-?-+--?? 的值． 变式：、已知有理数a 和b 满足多项式 ()2 5212b A a x x x bx b +=-+-++是关于x 的二次三项 式．当7x <-时，化简：x a x b -+- 二、整体思想 1、整体思想之整式加减运算 【例4】 ⑴ 计算 5(a b b a a b -+--- ． ⑵ 化 简： 22 ( 2 )(2)(1) x x x x x +---+-+- ． ⑶ 化简： ( ) ( )( )4 3 2330321 x y y x x y - +- ---+ 2、整体思想之代入求值 【例5】 ⑴已知代数式a b -等于3，则代数式 ()()2 5a b a b ---的值为 . ⑵已知代数式2326y y -+的值为8，那么代数式2641y y -+的值为 . ⑶若232x x --的值为3，则2239x x -+的值为 ⑷已知代数式2346x x -+的值为9，则代数式 24 63 x x -+的值为 . ⑸已知32c a b =-，求代数式225 23 c a b a b c --- -的值. 3、整体思想之构造整体 【例6】 ⑴如果225a ab +=，222ab b +=-，则224a b -= . ⑵己知：2a b -=，3b c -=-，5c d -=，求 ()()()a c b d c b -?-?-的值． 4、整体思想之赋值 【例7】 ⑴已知代数式25342 () x ax bx cx x dx +++，当1x =时， 值为1，求该代数式当1x =-时的值． ⑵已知代数式4323ax bx cx dx ++++，当2 x =时它的值为20；当2x =-时它的值为16， 求2x =时，代数式423ax cx ++的值.
高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的. 【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><. （1）求公差d 的取值范围； （2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由. 【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ， 所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0， 13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0. 解得：2437 d -<<-. （2）解法一：（函数的思想） n S ＝21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- ＝22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <，故212452n d ????-- ???????最小时，n S 最大.
小学数学中常见的几种数学思想方法 我们的教学实践表明：小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性小学教学教材是数学教学的显性知识系统，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的，但是它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法 1.符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。例1：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。 2.化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？ 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化
及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………
前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
教学中常用的几种数学思想方法 数形结合思想：数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。华罗庚先生说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。 初中代数教材列方程解应用题所选例题多数采用数形结合中的图示法，教学过程中利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。 再如在讲“圆与圆的位置关系”时，可自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透；这样不仅可提高学生的迁移思维能力，还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。 方程思想：众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要。 所谓方程思想，主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。 在教学中有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”，告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然。与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想，诸如换元，消元，降次，函数，化归，整体，分类等思想，这样可起到拨亮一盏灯，照亮一大片的作用。 辩证思想：辩证思想是科学世界观在数学中的体现，是最重要的数学思想之一。自然界中的一切现象和过程都存在着对立统一规律，数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和变量、整体和局部等同样蕴涵着这一辩证思想。 教学时，应有意识地渗透。如初三《分式方程》一节，就体现了分式方程与整式方程的对立统一思想，教学时，不能只简单介绍分式方程的概念和解法，而要渗透上述思想，我们可以从复习整式和分式的概念出发，然后依据辩证思想自然引出分式方程，接着带领学生领会两个概念的对立性(非此即彼)和统一性(统称有理方程)，再利用未知与已知的转化思想启发学生说出分式方程的解题基本思想，从而发现两种方程在解法上虽有不同，但却存在内在的必然联系。
七年级数学配方法试题Last revision on 21 December 2020
配方法(AB 卷) A 卷 一、填空题： 1.填上适当的数,使下面各等式成立： (1)x 2+3x+_______=(x+________)2; (2)_______-3x+14 =(3x_______)2; (3)4x 2+_____+9=(2x________)2; (4)x 2-px+_______=(x-_______)2; (5)x 2+b a x+_______=(x+_______)2. 2.用配方法使下面等式成立： (1)x 2-2x-3=(x-______)2-_______; (2)x 2++=(x+_______)2+________; (3)3x 2+2x-2=3(x+______)2+________; (4)23x 2+13x-2=23 (x+________)2+_______. 二、选择题 3.方程x 2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4; C.(x-3)2=14 D.(x-6)2=36 4.方程3x 2x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A. 217618x ?+=- ??; B. 2 37618x ??+= ? ??? ; C. 235618x ?+= ??; D. 23766x ?+= ?? B 卷 二、解答题： 5.用配方法解下列方程: (1)x 2+4x-3=0; (2)x 2+3x-2=0;
(3)x 2-23x+118 =0; (4)x 2+-4=0. 6.用配方法求证: (1)8x 2-12x+5的值恒大于零; (2)2y-2y 2-1的值恒小于零. 7.在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t-t 2. (1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面. 8.在△ABC 中,三边a 、b 、c 满足2+b 2+c 2=32 ,试判断△ABC 的形状. A 卷答案 1.(1) 93,42 (2)9x 2, 12- (3)12x,+3 (4) 2,42p p (5) 22,42b b a a 2.(1)1,4 (2), (3) 17,33- (4) 149,424 - B 卷答案： 5.(1) 1222x x =-=- (2) 32 x -= (3) 26x ±= (4) x = 6.(1)原式=2318042x ??-+> ?? ? (2)原式= 2112022y ??---< ?? ? 7.(1)2秒或5秒 (2)7秒 8.∵∴(a+b+c)2=92 即a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)=92 ,
高中数学七大基本思想方法讲解 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础 高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查 第二：数形结合思想： （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系 数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法 （2）从具体出发，选取适当的分类标准 （3）划分只是手段，分类研究才是目的 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向 第六：有限与无限的思想： （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查 第七：或然与必然的思想： （1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性 （2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然 （3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、
不怕难题不得分，就怕每题扣点分！ 常用的数学思想和方法 一．数学思想：1．数形结合的思想；2．分类与整合的思想；3．函数与方程的思想；4．转化与化归的思想； 5．特殊与一般的思想；6．有限与无限的思想；7．或然与必然的思想；8．正难则反的思想．二．数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之．【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快．】 三．数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．【也称数学思维方法．】 四．选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！ ①求解对照法(直接法)；②逆推代入法(淘汰法)；③数形结合法(不要得意忘形)；④特值检验法(定值问题)； ⑤特征分析法(针对选项)；⑥合理存在性法(针对选项)；⑦逻辑分析法(充要条件)；⑧近似估算法(可能性)．五．填空题的方法：①直接法；②特例法(定值问题)；③数形结合法；④等价转化法． 六．熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化． 七．计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！八．学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！ 怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．学会总结归类：①从数学思想上归类；②从知识应用上归类；③从解题方法上归类；④从题型类型上归类． 【特别提醒】 1．一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用．】2．解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明．3．转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“”．特别是求取值范围时，端点一定要准确处理．4．平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁．否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间．这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！ 5．在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写．如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明． 6．在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论．有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题． 7．平常要多积累解题经验和解题技巧．熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的． 8．数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高．而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察．因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要．建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度．【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件．】 9．可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固． ⒑作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！
A卷 一、填空题： 1.填上适当的数,使下面各等式成立： (1)x2+3x+_______=(x+________)2; (2)_______-3x+1 4 =(3x_______)2; (3)4x2+_____+9=(2x________)2; (4)x2-px+_______=(x-_______)2; (5)x2+b a x+_______=(x+_______)2. 2.用配方法使下面等式成立： (1)x2-2x-3=(x-______)2-_______; (2)x2++=(x+_______)2+________; (3)3x2+2x-2=3(x+______)2+________; (4)2 3 x2+ 1 3 x-2= 2 3 (x+________)2+_______. 二、选择题 3.方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4; C.(x-3)2=14 D.(x-6)2=36
4.方程3x 2x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A. 21718x ?=- ??; B. 2 3718x ?+= ? ?; C. 23518x ?= ??; D. 2376x ?= ?? B 卷 二、解答题： 5.用配方法解下列方程: (1)x 2+4x-3=0; (2)x 2+3x-2=0; (3)x 2-23x+118 =0; (4)x 2+-4=0. 6.用配方法求证: (1)8x 2-12x+5的值恒大于零; (2)2y-2y 2-1的值恒小于零. 7.在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s) 之间的关系是h=7t-t 2. (1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面. 8.在△ABC 中,三边a 、b 、c 满足2+b 2+c 2=32 ,试判断△ABC 的形状. A 卷答案
七年级下册 第一章整式的运算 §1.1 整式 数学思想方法： 1、归纳与分类的思想 具体体现：（1）单项式的定义 （2）多项式的定义 §1.2 整式的加减 数学思想方法：由特殊到一般 具体体现：整式的加减由简单到复杂。 §1.3 同底数幂的乘法 数学思想方法：归纳总结、整体代换思想 具体体现：同底数幂的乘法法则的推导，在基本公式中字母a、b 不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§1.4 幂的乘方与积的乘方 数学思想方法：由特殊到一般，归纳总结、整体代换思想 具体体现：题型由易到难，法则的推导，在基本公式中字母a、b不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§1.5 同底数幂的除法 数学思想方法：观察归纳类比 具体体现：几种幂的运算对比，法则的推导 §1.6 整式的乘法
数学思想方法：观察归纳总结、化归思想 具体体现：法则的推导及应用，多项式的乘法转化为单项式的乘法 §1.7 平方差公式 数学思想方法：归纳总结，数形结合整体代换思想 具体体现：平方差公式的推导在基本公式中字母a、b不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式，甚至代数式§1.8 完全平方公式 数学思想方法：归纳总结，数形结合整体代换思想 具体体现：完全平方公式的推导在基本公式中字母a、b不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式，甚至代数式 §1.9同底数幂的除法 数学思想方法：归纳总结整体代换思想 具体体现：同底数幂的乘法法则的推导，在基本公式中字母a、b 不仅表示具体的数，还可以表示单项式、多项式、整式， 甚至代数式 第二章平行线与相交线 §2.1 余角与补角 数学思想方法：转化思想 具体体现：余角与补角的定义 §2.2 探索直线平行的条件 数学思想方法：数形结合 具体体现：余角与补角的定义的归纳及应用
x y 2= 常见的数学思想方法 一、中考考点： 1.方程（组）是解决应用题、实际问题和许多方面数学问题的重要基础知识。在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程（组）来解决，这就是方程思想。 2. 数形结合思想是一种重要的数学思想方法。通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。 3. 所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。 二、基础练习： （一）整体思想 1.如果代数式 1322+-x x 的值为2， 那么代数式x x 322 -的值等于( )A ．2 1 B ．3 C ．6 D ．9 2.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ） A ．图（1）需要的材料多 B ．图（2）需要的材料多 C ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D ．无法确定 （二）方程思想 的图象在第一象限内的交点， 3.如图，已知点A 是一次函数x y =的图象与反比例函数 点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2 B ．2 2 C ．2 D ．22 （三）数形结合思想 4.如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA （A 与O 点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是___________． 5.函数)0(≠= k x k y 的图象如图所示，那么函数k kx y -=的图象大致是（ ） （四）化归思想 6.如图，当半径为30cm 的转动轮转过60°角时，传送带上的物体A 移动的距离为________cm ．（计算结果不取近似值） 7.将边长为8cm 的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两面三刀周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是__________cm ． 8.在图中，所有多边形的每条边的长都大于2，每个扇形的半径都是1．则第n 个多边形中，所有扇形的面积之和是__________． （五）数学建模思想 9.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角．在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号） （六）函数思想 10.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表： 煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生 产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元．（1）写出m 与x 之间的关第式； （2）写出y 与x 的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大最大利润是多少 （七）统计思想 11．某地区有一条长100千米,宽千米的防护林.有关部门为统计该防护林的树木量，从中选出5块防护林（每块长1千米,宽0.5千米）进行统计，每块防护林的树木树量如下（单位：棵）：65100、63200、64600、64700、67400．那么根据以上数据估算这一防护林总共约有_________棵树． 12．甲袋中放着19只红球和6只黑球、乙袋则放着170只红球、67只黑球和13只白球，这些球
《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型 【知识梳理】 1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式； 2.解题方法： 配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。. 【典型例题】 例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______ 解析：①x 2若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ； ②若x 2为乘积二倍项，则加上的项是：（x 26 ）2=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x 2或-9． 例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655 解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552 =(1.2345+0.7655)2 =4 例3.若a ，b 为有理数，且2a 2?2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2 =__________ 解析：原方程可变形为： (a ?b)2+(a +2)2=0,
∴a=b=?2, ∴原式=-6 例4.已知x2+y2+2x?8y+17=0，求x2017+xy的值。 解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y?4)2=0 , ∴ x=?1,y=4,, ∴原式=1-4=-3 例5.已知a2+b2?2a+4b+5=0，则a+b=____________ 解析：原方程可变形为：(a?1)2+(b+2)2=0 , ∴ a=1,b=?2, ∴原式=-1 例6.不论x取何数，代数式x2?6x+10的值均为（） A．正数 B．零 C．负数 D．非负数 解析：原式=x2-6x+9+1=(x-3)2+1≥1,故选A 例7.不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x?4y+7的值（ A ） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 解析：原式=(x2+2x+1)+（y2-4y+4）+2=(x+1)2+(y-2)2+2≥2,故选A
中学数学思想方法及其教学 1.数学思想方法教学的心理学意义 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。 第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。 第二，有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”
第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。 第四，强调结构和原理的学习，“能够缩挟高级‘知识和’初级‘知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。 2.中学数学教学内容的层次 中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。 表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。
常用的数学思想方法(共6个课时）——配方法 数学除了是一门科学理论外，它应该还是一门科学方法。常用的数学思想方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略，是解决数学的工具。不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以有用不同的方法。各种数学方法与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富，并且是数学知识所不能替代的。从广义上来说，数学最主要的方法只有归纳法和演绎法两种。归纳法是从特殊到一般，从个体案例总结出规律：演绎法是从一般到特殊，根据前人成果指导演算论证。现在我们把在初中阶段已经学过的，在高中阶段还要继续学习的一些主要的数学方法作一个小结，是我们认识数学思想方法及其重要性，从而从整体上把握数学，一致灵活的运用数学。 今天我们主要学习配方法。在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方，完全立方等，从而再利用诸如完全平方项非负等性质，达到解决数学问题的目的。配方法主要用在多元代数式求值，无理式的证明或解方程等方面。 一．例题部分 例1．已知x ，y ，z 都是正数且满足x+y+z=6，xy+yz+zx=2 11，求：222z y x ++的值。 解：∵（x+y+z ）2=x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz ∴x 2+y 2+z 2=（x+y+z ）2－2（xy+yz+xz ） =62－2×2 11=25。∴222z y x ++=5 例2．当a ，b 为何值时关于x 的方程x 2+2（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实数根？ 解：∵判别式△=（2+2a ）2－4（3a 2+4ab+4b 2+2）≥0 即2a 2+4ab+4b 2+1－2a ≤0 配方得（a+2b ）2+（a －1）2≤0又由实数的运算意义得 （a+2b ）2+（a －1）2≥0恒成立 ∴当且仅当a －1=0，a+2b=0同时成立时，以上两个不等式才能同时成立，即当a=1，b=2 1-时原方程有实数根。 另一种解法：∵原方程可以直接变形：[x 2+2（1+a ）x+（1+a ）2]+（a 2+4ab+4b 2）+[2a 2+2－（1+a ）2]=0即（x+1+a ）2+（a+2b ）2+（a －1）2=0从而直接得出答案，并且可以解出原方程的解为x=－2