初中数学例题教学的策略 初中数学课堂教学中的例题能够帮助学生有效的理解和应用数学课堂中学到的知识，同时还可以加深学生对知识的领悟和运用能力，提高学生将知识转化为实际的运算能力，有助于培养学生思考问题及解决问题的良好习惯，因此，如何设计问题就显得尤为重要。下面针对例题教学提出以下看法 1.精心选取，抓住重点 例题教学虽然是课堂教学的一个重要环节，但却不宜在课堂教学中占过高的比例，也就是说，教学中选取的例题一定尽可能的精致巧妙，尽可能的抓住教学的重点，尽可能的包含本节课的数学知识。同时选取的例题难度要适中，难度过高或过低都不合适，一定要结合学生的实际学情来定，这样的例题才有助于提高课堂的教学质量，充分发挥例题功能。 2.例题讲解要灵活 不少教师教学方法比较传统，所选择的题目也基本是课本上的例题或者课后习题，讲解过程也基本是按照课本中的解题思路或者过程照搬硬套的，这样的例题教学虽然针对性比较强，但是却大大的限制了学生的思维，不利于学生的能力的培养。所以，教师在例题的设定过程中，一定要尽可能的从多个角度进行分析，将例题从不同角度灵活处理，这样，不仅能让学生学到知识，达到课堂教学的基本教学目标，而且还能有效的锻炼学生的思维，拓宽学生的答题思路。
3.例题设计注意开放性 目前，初中数学课本中的例题多以封闭性为主，这样学生的思维容易被禁锢形成思维模版化，在很大程度上限制了学生的思维，因此在例题设计时，必须加大开放性例题的比重。如，可以加一些探索性多解性趣味性强的例题。这样不但加深了问题的深度拓宽了学生的眼界，还激发了学生学习数学的兴趣和求知欲，使学生的思维得以有效发散，还能加强学生对理论知识的掌握。经常做这种类型的例题可以使学生的思维得到有效的提升。 4，结合实际选取例题 例题选择的恰当与否，实际是一种能力的体现，更是教学智慧的体现。教材中的例题都是专家们精心设计的具有很强的示范性，因此教师应重视课本中例题的使用，但同时也要清楚的认识到肯本的例题并不三唯一的和必须的选择，因此教师应结合学生的学习水平和已有经验作为例题选取的一个基本出发点。如果课本中不适合学生现有水平或脱离实际教师应补充合适的例题或者条换例题。当然这就要求教师要充分的了解学生，对学生的实际情况要做到心中有数。同时也要求教师有丰富的教学经验和较高的专业水平。 5，注重一题多解，多法比较 在学习过程中学生容易套用已有的解题模式，造成思维定势，因此在例题教学过程中要求多变、灵活，鼓励学生尽可能用不同方法求解。同时也可通过改变已知条件引导学生从不同方向多层次
一道课本三角习题的多解和变式探究 罗文军 刘娟娟 （甘肃省秦安县第二中学，741600）（甘肃省秦安县郭嘉镇槐川中学，741609） 在历年高考真题中，有部分解三角形试题以对角互补的四边形为载体（例如2014年新课标Ⅱ卷文科第17题和2015年四川卷理科19题）.主要考查余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换等知识，考查函数与方程、数形结合和化归与转化的思想，考查推理论证能力和运算求解能力，旨在考查学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，具有很好的区分度和选拔功能.从源头来看，这类试题可以看成如下的源自苏教版课本必修5第11章解三角形第17页习题11.2的第13题. 题目、如图1，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2AB =， 6BC =，4AD CD ==，如何求出四边形ABCD 的面积？ 本文对这道课本习题探究和变式探究，以期达到对学生解答这 类以对边互补的四边形为载体的解三角形问题求解起引导作用. 一、解法探究 将四边形问题转化为解三角形问题是所有解法探求的关键，在已知四边形四条边长的基础上，求某个内角大小是解题的主攻方向，掌握这两点，问题可迎刃而解. 分析1、连对角线BD ，将四边形分解成ABD ?和BCD ?.注意对角互补关系180A C +=o ，分别运用余弦定理表示出公共边BD ，解方程组可得cos A ，从而得到A 和C 的度数.明确了ABD ?和BCD ?的两边一角之和，利用三角形面积公式可得解. 解法1、如图2，连结BD .在ABD ?、BCD ?中分别应用余弦定理，可得 22222224224cos 64264cos BD A BD C ?=+-????=+-???? 因为四边形ABCD 为圆内接四边形，有180A C +=o ，从而 222016cos 5248cos BD A BD A ?=-??=+??，可得1cos 2A =-，120A =o ，所以60C =o . 于是1124sin12064sin 608322 ABD BCD ABCD S S S ??=+=???+???=o o 四边形. 解法2、如图3，在BC 边上取点E ，使得BE BA =，连结DE 合BD .
一道课本习题的应用 严兆永 （南京外国语学校仙林分校 210046） 苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修5）》第98页第14题：“…，试研究线段 GH ，KL ，EF ，MN 与代数式2a b + 211a b + 之间的关系，…”． 能够得到结论：2 211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立． 这是对课本第十三章第四节“基本不等式”的整理和引申，定理本身的证明在此不再重复．笔者结合自己的教学实践，谈谈这道题的结论在求最值和不等式证明中的应用． 一、求最大（小）值 【例1】若,x y 恒成立，则a 的最小值是 ． 分析：由题意有y x y x a ++≥恒成立，转化为求 y x y x ++的最大值，由基本不等式有 22)()(222y x y x y x +=+≤+，故2≤++y x y x ，所以2≥a ． 评析：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质，方能求得最值得结果． 【例2】若12311,,, ,a a a a 成等差数列，且22111100a a +≤，则1121a a a S +++= 的最 大值为 ． 略解：111102111a a a a a a +==+=+ ， )(11)(221111121a a a a a S +=+++=∴ ， 由“基本不等式”2 222b a b a +≤+有：210221121111≤+?≤+a a a a ，当且仅当111a a =时取等号，故255≤S ，即1121a a a S +++= 的最大值为255． 评析：倒序相加，由等差数列的性质为基本不等式的运用做好准备． 【例3】已知0>x ，0>y ，且1=+y x ，则y x 14+的最小值为 ． 错解：xy xy y x 144214=≥+，又xy y x 21≥+=，得21≤xy ，有21≥xy ，所以y x 14+的最小值为8．
不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】?解下列不等式： 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式： 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． （2） 【例3】?解下列不等式 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③
一道课本例题的探究开发 663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇 课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨. 题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形. (1)相似吗？与ABC ASR ?? (2)求正方形PQRS 的边长. 分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ?∽ABC ?.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解. 解：（1）ASR ?∽ABC ?.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ?∽ABC ? . （2）由（1）可知ASR ?∽ABC ?.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得 设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得： 所以正方形PQRS 的边长为24cm. 此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页 .BC SR AD AE =，cm χ. 24=χ60 4040χχ= -
的一道例题。该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。 变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。 分析：因为EFGH 为矩形，则AN ⊥HG.这样△AHG 的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG ∽△ABC ，即可以找到ＨＧ、ＦＧ与已知条件的关系，求出矩形EFGH 的周长. 解：因为EFGH 为矩形，所以HG ∥EF,HG=EF. 所以△AHG ∽△ABC. 所以 则 解得： 所以矩形EFGH 的周长为56cm. 变式2：如图(3),已知边长为10cm 的等边三角形ABC ，内接正方形HEFG 。求正方形HEFG 的面积。 分析：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD 的长，由△AEH ∽△ABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。 . AD AN BC HG =.5,9χχ==FG EF 设16516489χχ-=. 2=χ
初中数学知识要点及典型例题 鸡足山镇中学雷鹏军 第一章实数 中考要求及命题趋势 1.正确理解实数的有关概念； 2.借助数轴工具，理解相反数、绝对值、算术平方根等概念和性质； 3.掌握科学计数法表示一个数，熟悉按精确度处理近似值。 4.掌握实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算 5.会用多种方法进行实数的大小比较。 6.用实际生活的题材为背景，结合当今的社会热点问题考查近似值、有效数字、科学计数法依然是中考命题的一个热点。实数的四则运算、乘方、开方运算以及混合运算，实数的大小的比较往往结合数轴进行，并会出现探究类有规律的计算问题。 应试对策 牢固掌握本节所有基本概念，特别是绝对值的意义，真正掌握数形结合的思想，理解数轴上的点与实数间的一一对应关系，还要注意本节知识点与其他知识点的结合，以及在日常生活中的运用。 第一讲实数的有关概念
【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 课标要求： 1． 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2． 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3． 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4． 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1． 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念 (1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数
由一道课本例题带来的日常教学思考 发表时间：2013-06-13T09:29:21.560Z 来源：《少年智力开发报》2013学年36期供稿作者：张进辉 [导读] 从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。 江西省抚州市东乡二中张进辉 对数学问题多种解法的不懈追求，体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、流畅性和开放性.本文介绍一道课本习题的多解、推广、反思. 一、课本上的一道例题： 浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58 书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处. ⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？ ⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？ 问题解决——谜底： 二、例题教学后的反思： 对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。 从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。在复习概念(或定义)的教学过程中，利用问题变式可加速加深学生对概念的理解，巩固所学知识，提高学习的兴趣和积极性，从而培养学生阅读理解、观察与分析、抽象与概括等能力。 三、题目变式教学 题目变式包括条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、数与形的探究、引申探究(命题是否可以推广)等。在解题复习课或试卷讲评课的教学中，利用问题变式可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，从而使学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力得到提高，探究创新的能力得到发展。． 变式1：如图1，有一个圆锥粮仓，其正视图为边长是 6em的正三角形。粮仓的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。此时，小猫正在B处，它要沿粮仓侧面到达 P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程的长。 变式2：如图2所示的圆柱体中，底面圆的半径是 1，高为2。若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短
对一道课本习题的变式、推广与思考 波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个题目就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。” 题目：已知ABC ?两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于9 4-，求顶点C 的轨迹方程。（北师大版数学选修2-1第三章§1椭圆习题3-1A 组第8题） 一、动手实践，掌握方法 解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66 ,621-≠≠-= +=x x x y k x y k ， 根据题意，9 4 21- =?k k ，所以 9 4 362 2-=-x y ，化简，得()6,6116362 2 -≠≠=+x x y x 所以顶点C 的轨迹是椭圆，去掉左右顶点。 评析：（1）典型的用直接法求动点的轨迹方程，注意6,6-≠≠x x ，一方面它保证了直线BC AC ,的斜率的存在性，另一方面符合C 为ABC ?的一个顶点，C B A ,,不能共线。 （2）题目的几何条件包括“两个定点、一个动点、一个定值，两条直线的斜率，一个等量关系”。 （3）轨迹是椭圆，去掉左右顶点。 二、引进参数，化静为动 变式1、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之积等于()0≠m m ，试讨论动点C 的轨迹。 分析：首先确定动点C 的轨迹方程，然后依据方程判定它的轨迹。 解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是 a x y k a x y k -=+= 21,，()a x + - ≠，根据题意，m k k =?2 1 ， 所以m a x y =-2 22，化简，得动点C 的轨迹方程122 22=-ma y a x ，所以 1、当0 m 时，动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，去掉它的两个顶点； 2、当0 m 时 （1）若1-=m ，则动点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+，所以它的轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆，去掉 与x 轴的两个交点； （2）当01 m -时，2 2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，去掉左右顶点； （3）当1- m 时，2 2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆去掉左右顶点。 评析：引进参数，化静为动，培养学生分类讨论的数学思想，发展学生的数学思维能力。注意到变式1并没有改变题目中的几何关系，但是参数值及它的的符号决定了轨迹的不同形式——圆、椭圆、双曲线，这也从一个侧面说明三种曲线之间有着内在的联系，可以想象当参数m 由()+∞→≠→-→∞-001变化时，动点 c 的轨迹由焦点在y 轴上的椭圆，变为圆，再变为焦点在x 轴上椭圆，然后蜕变为焦点在x 轴上的双曲线，
(一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。 解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1 、x 2 单位 。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线， 结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线 z=2 x 1+x 2与约 束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。 （二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
一、配方法 适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型. 【例1】求函数的值域. 解：为便于计算不妨: 配方得: ， 利用二次函数的相关知识得,从而得出: . 【例2】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值. 解析：y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2. ∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)． ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a＞2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 练习○1 求y = sin2x - 6sinx + 2值域. ○2 当1≤x≤1000时，求y＝(lgx)2－2lgx＋3值域. 二、换元法 【例3】求函数的值域. 适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）. 解析：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即： 【例4】设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是______． 解：∵a，b∈R，a2＋2b2＝6， ∴令a＝6cosα，2b＝6sinα，α∈R. ∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)． ∴a＋b的最小值是－3；故填－3. 练习○3 已知是圆上的点，试求的值域. 三、反函数法（变量分类法） 【例5】求函数的值域. 解：原式中x∈R，将原式化为由○1解出x，得；（也可由直接得到） 因此函数值域是（－1，1） 四、不等式法 利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种： a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数)． 【例6】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________． 解析：因为x－2y＋3z＝0，所以y＝x＋3z2，因此y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz. 又x，z为正实数，所以由基本不等式，得y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．
在运动中探索在变化中思考 江苏省东台市五烈镇中学杨荫林 （获2013江苏省教育科学研究院中学数学组二等奖） 摘要在我们自主学习，合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想。为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我们将快乐成长。 在我们的教科书中设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考〃应用”、“探究〃拓展”等，以激发我们探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，我们会更加喜欢数学。 关键词命题运动变化两圆内切、外切、外离、内含。 普通高中新课程标准实验教科书中有一部分例题和习题，它本身提出的的问题是非常明确具体的，但如果我们在自主学习的过程中不是以得到例习题所提问题的解答为满足，而是进一步加强合作、探索实践创新，交流我们的学习成果，我们发现新课程标准实验教科书中的例习题的背后还有好多资源有待去研究与拓展。本文以(苏教版)普通高中课程标准实验教科书选修4-1《几何证明选讲》1.2圆的进一步认识，1.2.2圆的切线，2.弦切角例4为例P32，作初步的探究与拓展。 一. 原题中两圆内切 命题1如图1，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F，直线EF交大圆于点B、C，求证：(1)EF∥AD;(2)∠APB=∠CPD. B D 如图1 如图2 变化1如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相切,那么有 命题2如图2,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C.求证:∠APC=∠BPC. 设PA,PB交小圆于E,F,则请你探究下列各等式是否成立? (1)CE=CF;(2)⊿ACE∽⊿CPF;(3)PC2=PA·PF;(4)PE·BC=PF·AC;(5)PA·PB-PC2=AC·BC; (6)S ⊿ACE :S ⊿BCF =PE:PF． 变化2如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相交,那么有 命题3如图3,两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B,C.求证:∠APB=∠CPD
刍议中学数学教材例题处理技巧 发表时间：2018-12-04T21:09:54.307Z 来源：《知识-力量》2019年1月下作者：邓启强[导读] 数学例题教学是初中数学课堂教学的重要环节。不少教师对教材的认识和理解不够，往往忽略了例题的典型性和示范性。例题教学教法单一，讲解刻板，缺乏变通、创新，失去了例题教学应有的功能。（陕西省西乡县子午镇九年制学校 723503） 摘要：数学例题教学是初中数学课堂教学的重要环节。不少教师对教材的认识和理解不够，往往忽略了例题的典型性和示范性。例题教学教法单一，讲解刻板，缺乏变通、创新，失去了例题教学应有的功能。切实加强各种例题的教学研究，处理好教材中的例题才能有效地引导学生思考，才能使教学顺利进行，才能有效提高课堂教学的效率。关键词：例题教学；教学研究；开发改编；题后反思；提高效率数学是一门重要的基础学科，数学例题教学是初中数学课堂教学的重要环节，不但能为学生提供解决数学问题的范例，揭示数学方法，规范思考过程，而且还能为其数学方法体系的构建提供基石。对于学生理解和掌握好数学知识，培养能力，具有举足轻重的作用。然而，不少教师对教材的理解不够，往往忽略例题的典型性和示范性，轻描淡写，一带而过，盲目选择一些难题、偏题，进行题海战术，导致学生恐惧、厌恶数学，适得其反。也有不少教师例题教学教法单一，照本宣科，讲解刻板，缺乏变通、创新，失去了例题教学应有的功能。切实加强各种例题的教学研究，处理好教材中的例题才能有效地引导学生思考，才能使教学顺利进行，才能提高课堂教学的效率。下面，我结合自己多年来的数学教育教学实践，谈谈我对如何处理初中数学教材中的例题的一些做法和体会。 首先要尊重教材，教材的编写是经过从理论到实践的多重思考与验证的，凝聚专家学者的经验与智慧。教材中有许许多多现成的例题，它们能很好地体现教学目标，促进学生的数学学习。对于这类例题，不能简单地模仿、记忆，追求解题的难度和技巧，应着重让学生体会例题蕴含的数学基本思想和方法，与本节课教学目标之间的内在联系。不仅要让学生知其然，还要知其所以然。 其次，有些例题的背景比较抽象，缺乏生活气息，如果将例题进行适当的“开发”，改编成与学生密切相关的生活情境，不仅可以激发学生的参与热情，还能发挥学生的创新意识和创造能力。处理后的例题是根据教学的目标任务、教材内容以及学生的实际情况、运用恰当的教学方法与教学策略进行优化整合的新教材。只有这样经过优化整合的教材，才能使它有效地内化为学生的知识、能力与观念。例题的再次“开发”，往往能促使学生的学习由“重结论轻过程”转向“过程与结论并重”的方向发展，从而使学生达到“举一反三”的效果。以下是我在例题“开发”方面做的一些尝试： 一、改变教学方法与教学策略 在平时的教学中不但要积累成功的经验，还要总结失败的教训，并以此为鉴，才能使自己的教育教学水平得到提高。有时即使不改变例题而改变教学方法与教学策略，也能使我们的课堂教学起到事半功倍的效果。 二、利用学生的典型错误，分析例题考查知识和技能，自我设计同类问题 在先学后教模式下，学生自主学习的过程中，在自我的认知和理解的基础上完成相应的例题和习题，学生往往会出现一些典型错误。引导学生分析错误产生的原因，运用相应知识可能存在的问题，要求学生自我设计同类题目，加深了对这类问题的认识和理解。长此以往学生就会觉得得心应手，提高了自主学习的能力，增加自信心，自然也就提高了课堂教学效果。 三、改变题目的背景，激发学习兴趣 有时为了激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，不要忽视了课堂情感的投入，在上课时可以对题目的背景进行适当更改。教师有意识地进行题目背景的更换，使知识溶入在不同的背景中，选择的背景是学生熟悉的事物和情境，这会让数学教学因贴近生活而变得更加可亲。如“数据集中趋势”中的例题，过于陈旧，缺乏典型性。2008年北京奥运会射击比赛中埃蒙斯的真实案例，最后一枪射到邻座的枪靶上，第10发成绩为0，如何评价这位运动员的射击水平？情境真实，离学生生活很近，例题的改编激发了学生的学习兴趣，收到了良好的教学效果。 四、拓展例题的知识范围，触类旁通，举一反三 有的例题仅仅针对一个知识点，解决一个问题，但在实际教学时有时可能会根据实际情况，需要“借题发挥”，对例题的知识范围进行拓展。例如，在学习方程、不等式和函数知识时，如何理解三者之间的关系，可以结合具体的例题，配合图像让学生理解函数的对应的本质，函数是整个过程中的对应，不等式是某个范围内的对应，而方程式是某个瞬间的对应，加深学生对三者之间的关系的理解。 有的例题仅仅针对一个知识点,解决一个问题,但在实际教学时有时可能会根据实际情况,需要“借题发挥”,对例题的知识范围进行拓展。例如在学习“变化中的三角形”这节课时,分析了三角形的面积公式S＝ah÷2中,“高h为6不变,底a变化时,有S＝ah÷2＝6a÷2＝3a,点明变量S怎样随着自变量a的变化而变化。在学生掌握了这个例题之后及时渗透行程等常用公式中因变量怎样随着自变量的变化而变化的例子,教学效果非常好。 五、创造全新的例题 教材处理过程中不能只盯着课本中的题目,应选择和创造一些与学生的生活实际相结合的例题,增加一些书本上没有但是今后又要用到的知识,以促进学生今后的发展。如在教学因式分解时，可增加“十字相乘法”等的相关例题,二次函数补充“交点式”等等。 最后，注重题后反思，积累经验，总结规律。叶圣陶先生说过：“什么是教育？简单地说教育就是培养习惯。”然而，教师常常把例题解答完就了事，不对例题进一步挖掘，题后不引导学生对例题题型、思想方法、表述等进行反思，学生得不到解题反思的熏陶，没有题后反思的意识，无法养成题后反思的习惯。 因此，例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。可以从以下两个方面进行尝试： 1、在解题的方法规律处反思 善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定式，而又打破思维定式，有利于培养思维的变通性和灵活性。
由一道课本习题引发的思考 九年义务教育八年级数学上配套练习册 P 65第11题: 已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形, 思考 由命题的条件，根据平行线判定定理易知： AM/CN MC/ NB,由此得命题1： 命题1已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形, 求证：AM CN ，MC /NB 思考二 由命题的条件结合三角形全等的判定定理可知，有三对全等三角形，故得命题: 命题2已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：△ACN 也血CB, △AEC 也 JMFC, △ECN 也△CB 思考三 由命题2的结论，根据全等三角形的性质，可得到一些相等的线段和相等的角， 从而得到 命题： 命题3已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：⑴ AN=BM,CE=CF,AE=MF,NE=FB, (2)/NAC= /BMC; ZANC= JMBC; ZAEC= / MFC; 山东省五莲县洪凝初中 王爱仁 求证: 图1
JCEN= /CFB
思考四 因为/ ACM # NCB=60 ,所以/ MCN=6D ,再由命题3的结论可知CE=CF 则△ ECF 为等边三 角形，得命题： 命题4已知：如图3,点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，AN 交 思考五 _ 由命题4的结论知，/ EFC=60°，故/ EFC=/FCB ，所以EF I AB ，得命题: 命题5已知;如图3,点C 为线段AB 上一点,^ACM, ACBN 是等边三角形,AN 交MC 于点 BM 交CN 于点F. 求证：AN=BM MrzT -[y 、. 思考八 由^ ACN^A MCB 可知，/ CAN=/ CMB 所以/ A0B2 MAO ￡ AMO ^ MAO ￡ AMC ：+ CMB ^ MAO 乂 CAN # AMChMAC+^AMC=60 +60° =120° ,可得命题： 命题6已知;如图4,点C 为线段AB 上一点,AACM, ACBN 是等边三角形,AN,BM 相交于 点O. MC 于点 E ，BM 交CN 于点F. ⑴求证: AN=BM; (2)求证: △CEF 为等边三角形 若AN 、MC 交于点E,BM 、 NC 交于点F ，求证：EF IAB 图4
一）知识要点： 1．一元一次方程的概念： 只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不为0的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数,a,b是已知数,且a≠0),它的解是x=- . 我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0).例如方程3x2+5=8x+3x2,化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x,且x的次数是一次,但化简后为0x=0,不是一元一次方程. 2．解一元一次方程的一般步骤： （1）方程含有分母时要先去分母,使过程简便,具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数.要注意不要漏掉不含分母的项,如方程x+ =3,去分母得10x+3=3就错了,因为方程右边忘记乘以6,造成错误. （2）去括号：按照去括号法则先去小括号,再去中括号,最后去大括号.特别注意括号前是负号时,去掉负号和括号,括号里的各项都要变号.括号前有数字因数时要注意使用分配律. （3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边.注意移项要变号. （4）合并项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0). （5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x= . 解方程时上述步骤有些可能用不到,并且也不一定按照上述顺序,要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤.
（二）例题： 例1．解方程(x-5)=3- (x-5) 分析：按常规此方程应先去分母,去括号,但发现方程左右两边都含有x-5项,所以可以把它们看作一个整体,移项,合并,使运算简便. 移项得：(x-5)+ (x-5)=3 合并得：x-5=3 ∴x=8. 例2．解方程2x-3(x+1)/6 =4/3 -(x+2)/3 因为方程含有分母,应先去分母. 去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2) （注意每一项都要乘以6） 去括号：12x-3x-3=8-2x-4 (注意分配律及去括号法则) 移项：12x-3x+2x=8-4+3 合并：11x=7 系数化成1：x=7/11 . 例3．1/9{1/7[1/5((x+2)/3 +4)+6]+8}=1 解法1：从外向里逐渐去括号,展开求 去大括号得：1/7[1/5((x+2)/3+4)+6]+8=9 去中括号得：1/5((x+2)/3+4)+6+56=63 整理得：1/5((x+2)/3+4)=1 去小括号得：(x+2)/3+4=5 去分母得：x+2+12=15 移项,合并得：x=1.
一道课本例题引发的探究 【摘 要】高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。 【关键词】例习题 问题 探究 引申 高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生大胆的提出问题、解决问题。这样不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要是开发了学生的智力，培养学生的探究能力。现以人教版选修2—1第41页例3的教学为例，并谈谈自己的一些想法。 一、问题的提出 （选修2—1第41页例3）设点A 、B 的坐标（5,0）、（-5,0）。直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-9 4 ，求点M 的轨迹方程。 解答：（略） 本题由学生用直译法做，没有太大的问题。 二、问题的引申 1、逆向思维，大胆猜想： 牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史。可见猜想与数学发现是形影不离的。我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推理，发展他们发现问题的能力。针对例3的答案为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这样的性质呢？ 猜想1：椭圆0(122 22>>=+b a b y a x 上长轴的两顶点A 、B 与任意一 点P （不同于A 、B ）连线PA PB 、的斜率之积为定值. 解答：（略） 有了例3的解答，这个问题让学生自主解决。 2、大胆假设，归纳引申：
先通过大胆假设，再从特殊问题入手，归纳出一般性的结论。这样有利于学生形成良好的认知结构。变式问题中弦AB 是长轴，能不能改成一般过原点的弦呢？ 我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，归纳出方法，再引申出一般性的命题。 问题：椭圆22 132x y +=上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，求直线PA PB 、的斜率之积。 证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --2222 111,13232 x y x y ∴+ =+=,两式相减得: 22221132x x y y --∴=, 22122 12 3 y y x x -∴=-- 22111221112 3 PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-∴?=?==- -+- 让学生自主探究，再让学生归纳引申出一般的问题。 命题1: 椭圆0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点P 与过中心的弦AB 的两 端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，则直线PA PB 、的斜率之积 为定值. 证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --1,122122122 22=+=+∴b y a x b y a x ,两式相减 得: 22122212b y y a x x --=- 22 2 12212a b x x y y -=--∴ 22 1111a b x x y y x x y y K K PB PA -=++?--=?∴为定值. 3、极限思想，知识串联； G ?波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”。我们这时引导学生，然后提问：椭圆的极限位置是圆，此性质可以类比圆中什么性质呢？让学生分组探讨，进行类比与归纳。探讨后部分学生提出了对性质的解释:是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广。 这个解释充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题。再引导类比圆中的性质，可以引申出以下命题.
初中数学知识要点及典型例题 第一章实数 第一讲实数的有关概念 【回顾与思考】 知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值 课标要求： 1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 3．会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 4．画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 考查重点： 1．有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念； 3．在已知中，以非负数a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。 实数的有关概念
(1)实数的组成 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反 数，零的相反数是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值 ?? ???<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数 实数a(a ≠0)的倒数是a 1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零 没有倒数． 【例题经典】 理解实数的有关概念
由一道课本习题的思考 数学学习的核心是发展思维能力。同学们在学习的过程中，若能经常对课本的经典题进行挖掘、引申和改编，就可以得到综合性强、形式新颖的命题，这样可帮我们全面系统地掌握知识，培养思维的灵活性和发散思维能力。现举例说明。 原题目：苏科版九年级上册第136页：已知点I为ABC的内心，/ BAC的平分线与ABC的外 接圆于D, AD交BC于E, DB与DI 相等吗？为什么？ 分析：连接BI , VI为内心，.?./ ABI=Z EBI, / BAEh CADh EBD 而/ DIB=Z ABI+Z BAE / DBI=Z EBDZ EBI,.Z DIB=Z DBI,. DB=D。 变形题1:本题还可证得（1）AB?AC=AE?AD（ 2）DI2=DE?DA （3）AB?AC=AE2+BE?CE 分析：结论（1）可通过证明AB? AEC结论（2）可通过证明DB0 DAB;结论（3）可通过证明AE3 BED得AE?DE=BE?EC由（1）得AB?AC=AE?AD=（EAE+ED =AE2+ AE?ED=AE2+BE?EC 原题可互换条件和结论得 变形题2:如图1, ABC的角平分线交BC于E,交ABC的外接圆于D, I为AD上一点，且DB=D,求证：I为ABC的内心。
分析：只要证明/ AB匸/ EBI，与原题的证法类似。 变形题3:在原题条件下，作DMLAB DNLAC M, N为垂 足，AB>AC。 求证：（1）BM=CN=（AB-AC）（2） 分析：（1）易证DBMP?DCN ADMP?ADN 得BM=CNAM=AN 由 AM=AN 得AB-BM=AC+CN即卩2BM=AB-AC 所以BM=CN=（AB-AC）。 （2）易证AE3 ABD, ABE^ ADC 得 。 。 变形题4:在原题条件下，过D作圆的切线交AB AC的延长线于M N,求证：（1）BC// MN （2）CD2=CE （AB-AC）DM 分析：（1）设0为?ABC的外接圆的圆心，连接0D因为MN为切线，所以ODL MN又因为/ BADh CAD可得弧BD=^ CD 所以ODL BC 所以BC// MN （2）由弧BD=弧CD得BD=CD 又BC// MN 得 / DCBh DBCh BDM 又/ ADCh ABCh M 可得CDE^ DMB 得 CD?BD=CE?BD因为BD=CD 所以CD2=CE?DM 通过对一道习题的引申、改编，同学们不仅对课本知识的掌握和应用更为熟练，而且对培养发散思维和创造性思维能力大有裨益。更重要的是可以培养学生对已经解决的数学问题加以引申变化的意识，从而提高创新能力。