由一道课本习题的思考
数学学习的核心是发展思维能力。同学们在学习的过程中，若能经常对课本的经典题进行挖掘、引申和改编，就可以得到综合性强、形式新颖的命题，这样可帮我们全面系统地掌握知识，培养思维的灵活性和发散思维能力。现举例说明。
原题目：苏科版九年级上册第136页：已知点I为ABC的内心，/ BAC的平分线与ABC的外
接圆于D, AD交BC于E, DB与DI
相等吗？为什么？
分析：连接BI , VI为内心，.?./ ABI=Z EBI,
/ BAEh CADh EBD 而/ DIB=Z ABI+Z BAE
/ DBI=Z EBDZ EBI,.Z DIB=Z DBI,. DB=D。
变形题1:本题还可证得（1）AB?AC=AE?AD（ 2）DI2=DE?DA （3）AB?AC=AE2+BE?CE
分析：结论（1）可通过证明AB? AEC结论（2）可通过证明DB0 DAB;结论（3）可通过证明AE3 BED得AE?DE=BE?EC由（1）得AB?AC=AE?AD=（EAE+ED =AE2+
AE?ED=AE2+BE?EC
原题可互换条件和结论得
变形题2:如图1, ABC的角平分线交BC于E,交ABC的外接圆于D, I为AD上一点，且DB=D,求证：I为ABC的内心。
分析：只要证明/ AB匸/ EBI，与原题的证法类似。
变形题3:在原题条件下，作DMLAB DNLAC M, N为垂
足，AB>AC。
求证：（1）BM=CN=（AB-AC）（2）
分析：（1）易证DBMP?DCN ADMP?ADN 得BM=CNAM=AN 由
AM=AN 得AB-BM=AC+CN即卩2BM=AB-AC
所以BM=CN=（AB-AC）。
（2）易证AE3 ABD, ABE^ ADC 得
。
。
变形题4:在原题条件下，过D作圆的切线交AB AC的延长线于M N,求证：（1）BC// MN （2）CD2=CE （AB-AC）DM 分析：（1）设0为?ABC的外接圆的圆心，连接0D因为MN为切线，所以ODL MN又因为/ BADh CAD可得弧BD=^ CD 所以ODL BC 所以BC// MN
（2）由弧BD=弧CD得BD=CD 又BC// MN 得
/ DCBh DBCh BDM 又/ ADCh ABCh M 可得CDE^ DMB 得
CD?BD=CE?BD因为BD=CD 所以CD2=CE?DM
通过对一道习题的引申、改编，同学们不仅对课本知识的掌握和应用更为熟练，而且对培养发散思维和创造性思维能力大有裨益。更重要的是可以培养学生对已经解决的数学问题加以引申变化的意识，从而提高创新能力。
1 重视课堂教学例题的反思 浙江省慈溪市庵东初级中学 冯剑峰 有人说教学是一门艺术，教无定法，教学的效益跟教师的“个体”有关，每位教师有不同的特点，教学的差异也就不可避免的产生。我们的前辈顾泠沅教授，他就曾经讲过，同样的3道例题，就算一样的时间，进一样的班级，但他的教学效果跟别人就不一样，他把原因归结为教师的人格魅力。这是有科学依据的。 有人说教学是一门技术，它就可以在不同环境、不同对象下被复制，是一种科学。这种说法初一听，没有前一种说法有道理，但我们要追求教学效益的更大化，必须在承认教学是艺术的前提下，研究教学中的各个细节，所以教学被分解为六大环节，不断有人研究课堂教学中的问题，成果也层出不穷，像布卢姆、布鲁纳、杜威等等，专家举不胜举。事实也说明，他们的研究给教学确实带来了质的变化，因此教学是科学的说法，不由我们不信。 今天我们也把教学当作是一门科学。是科学就有它内在的规律，在教学中如果能掌握、并能运用好这种规律，对我们的工作来说，可以起到事半功倍的效果。接下来，我就数学教学例题的反思与大家交流交流。 我认为例题的反思至少有两种途径。 一、做好试题归类，提纲挈领 如在直角三角形性质定理的教学中，“斜边上的中线等于斜边的一半”的教学我也做过类似的尝试。 1、如右图，AD 、BE 是△ABC 的高，F 、G 分别是DE 中点，求证FG DE 。 学生对这个图形的认识不够深入，相当一部分学生是有 困难的。假设是下面一题，他们更无从下手了。 24、如下图，AD 、BE 是△ABC 的 高，相交于H 。F 、G 分别是AB 、CH 的中点，问：线段FG 与线段DE 有怎样的位置关系？为 什么？ 针对这些问题，图形一个比一个复杂，我们教师就一定要教会学生从复杂图形中寻找出基本元素，这需要我们
一道习题引发的思考 ——如何提高学生解决应用题的能力二年级在学生学习了用除法解决问题后，试卷中出现了这样一道题：“一张邮票8角，小明有4元钱，能买几张这样的邮票？”这道题正确的做法是先把4元换算成40角，再用40÷8=5（张），而大多数学生是这样做的：8÷4=2（张）。学生的错误率如此之高，所犯错误又是如此雷同，为什么会出现这种现象呢？我是这样分析的：这道题的前两题都是用除法解决问题，而且都是大数除以小数，学生做到这题时思维定势，以为还是用题目中的大数除以小数。作为一名数学教师，“如何提高学生解决应用题的能力”成了我思考最多的问题。 一、仔细审题 做一道题目之前首先要读题，所以我认为要提高学生解决问题的能力，培养学生仔细审题的习惯尤为重要。让学生学会读懂题目，明确题目中究竟讲了怎样的一回事，要我们解决的是什么问题。 在平时的教学中，我要求学生读题时放慢速度，用铅笔指着所读的内容，做到“手眼合一”，避免“一目十行”。读到题目中重点的词语作上记号，比如有的题目中提到的“从大到小”、“由高到矮”等比较容易忽视或容易混淆的字词加上着重号，有些题目条件中是“厘米”作单位的，问题是“米”作单位，要求学生圈出“厘米”、“米”。读完题目，可以让学生合上书本，复述刚才读到的条件和问题。这些都可为正确解题打下良好的基础。 二、分析数量关系 解决应用题的核心是分析数量关系。突出数量关系分析，找到解题思路，是解决实际问题教学的重点。 我发现有些数学能力较强的学生，当他们读完一道题后，就能立即看到题目的“骨架”，这个“骨架”就是数量关系。例如，“红花有5朵，黄花的朵数是红花的2倍，两种花一共有多少朵？”这一问题的数量关系是：红花朵数+黄花朵数=总朵数。根据这一数量关系式，发现必须先求出黄花的朵数，该题便迎刃而解。又如，“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”、“工作效率×工作时间=工作总量”等，这些人们在工作和学习中概括出的一些常见数量关系都是学生解题
一道课本三角习题的多解和变式探究 罗文军 刘娟娟 （甘肃省秦安县第二中学，741600）（甘肃省秦安县郭嘉镇槐川中学，741609） 在历年高考真题中，有部分解三角形试题以对角互补的四边形为载体（例如2014年新课标Ⅱ卷文科第17题和2015年四川卷理科19题）.主要考查余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换等知识，考查函数与方程、数形结合和化归与转化的思想，考查推理论证能力和运算求解能力，旨在考查学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，具有很好的区分度和选拔功能.从源头来看，这类试题可以看成如下的源自苏教版课本必修5第11章解三角形第17页习题11.2的第13题. 题目、如图1，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2AB =， 6BC =，4AD CD ==，如何求出四边形ABCD 的面积？ 本文对这道课本习题探究和变式探究，以期达到对学生解答这 类以对边互补的四边形为载体的解三角形问题求解起引导作用. 一、解法探究 将四边形问题转化为解三角形问题是所有解法探求的关键，在已知四边形四条边长的基础上，求某个内角大小是解题的主攻方向，掌握这两点，问题可迎刃而解. 分析1、连对角线BD ，将四边形分解成ABD ?和BCD ?.注意对角互补关系180A C +=o ，分别运用余弦定理表示出公共边BD ，解方程组可得cos A ，从而得到A 和C 的度数.明确了ABD ?和BCD ?的两边一角之和，利用三角形面积公式可得解. 解法1、如图2，连结BD .在ABD ?、BCD ?中分别应用余弦定理，可得 22222224224cos 64264cos BD A BD C ?=+-????=+-???? 因为四边形ABCD 为圆内接四边形，有180A C +=o ，从而 222016cos 5248cos BD A BD A ?=-??=+??，可得1cos 2A =-，120A =o ，所以60C =o . 于是1124sin12064sin 608322 ABD BCD ABCD S S S ??=+=???+???=o o 四边形. 解法2、如图3，在BC 边上取点E ，使得BE BA =，连结DE 合BD .
一道课本习题的应用 严兆永 （南京外国语学校仙林分校 210046） 苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修5）》第98页第14题：“…，试研究线段 GH ，KL ，EF ，MN 与代数式2a b + 211a b + 之间的关系，…”． 能够得到结论：2 211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立． 这是对课本第十三章第四节“基本不等式”的整理和引申，定理本身的证明在此不再重复．笔者结合自己的教学实践，谈谈这道题的结论在求最值和不等式证明中的应用． 一、求最大（小）值 【例1】若,x y 恒成立，则a 的最小值是 ． 分析：由题意有y x y x a ++≥恒成立，转化为求 y x y x ++的最大值，由基本不等式有 22)()(222y x y x y x +=+≤+，故2≤++y x y x ，所以2≥a ． 评析：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质，方能求得最值得结果． 【例2】若12311,,, ,a a a a 成等差数列，且22111100a a +≤，则1121a a a S +++= 的最 大值为 ． 略解：111102111a a a a a a +==+=+ ， )(11)(221111121a a a a a S +=+++=∴ ， 由“基本不等式”2 222b a b a +≤+有：210221121111≤+?≤+a a a a ，当且仅当111a a =时取等号，故255≤S ，即1121a a a S +++= 的最大值为255． 评析：倒序相加，由等差数列的性质为基本不等式的运用做好准备． 【例3】已知0>x ，0>y ，且1=+y x ，则y x 14+的最小值为 ． 错解：xy xy y x 144214=≥+，又xy y x 21≥+=，得21≤xy ，有21≥xy ，所以y x 14+的最小值为8．
由教材一道例题教学引发的思考与探讨 福建省晋江市第二中学 362212 施国龙 在华师版九年级《数学》上册第39页的例2中,教材所用的证明方法与证明过程值得仔细体会与探讨. 题目 例2 (1)如果 d c b a =,那么d d c b b a +=+; 证明 ∵d c b a =,在等式两边同加上1, ∴11+=+ d c b a ,∴d d c b b a +=+. 学生提问1:前面刚学了比例的基本性质,为什么不是像以前那样用刚学的知识去证明呢? 教师思考1:学生讲的有道理呀!以前我们都是这样的学习模式:学生学到一个知识后就会马上去应用,在此处为什么没有呢?如果采用此种方法会怎样呢?心动不如行动. 证明: ∵d c b a =, ∴bc a d =, 在等式两边同加上bd , ∴bd bc bd ad +=+, 即b d c d b a )()(+=+, 两边同时除以bd , ∴d d c b b a +=+. 这种方法其实质是用到了教材中刚学的“比例的基本性质”,这是解决此类问题的常用解法之一.在教材中没有采用这种方法确实与以往的教材安排大不一样,结果让学生适得其反,理解不到位,容易产生误解.让学生认为这道例题的方法与前面刚学的内容无关. 学生提问2:为什么要用“等式两边同加上1”的方法去证明呢? 教师思考2:在华师版数学教材中第一次出现这种“加上1”的方法,学生确实无法马上理解为什么是“加上1”?而不是“加上2”或“加上3”? 经过仔细的思考与对比发现,事实上其实质是:此处是采用了高中数学中证明等式常用的“分析法与综合法”的证明思路.以下为用“分析法”证明. 证明: 要证 d d c b b a +=+, 只要证 11+=+d c b a , 即证 d c b a =, 而d c b a =是已知成立的,
反思我的教学 教学是一种艺术。要想把教学工作做得更好，就必须对自己的教学不断地进行反思，总结经验教训，查漏补遗。下面我就自己本次习题Assignment Units 3/4讲评课进行一下反思： 首先是备课方面。我认为自己还存在“背课”现象。我只是在机械地或者盲目地去记忆或者背诵语言点。我仅仅满足于自己记住了这些语言点。而很少根据学生的答案分布去充分备课。学生选择哪一个选项，都有他们自己的理由。而我目前所欠缺的就是不能根据学生的答案分布去排除学生的错误想法；而是仅仅停留在正确答案的讲解上。就是有的时候，自己有意识去纠正学生的错误想法，自己也不知道从何处下手，找不到切入点。当碰到一些相当刁钻的问题的时候，自己更是束手无策，无能为力，不知道怎么巧妙地将此问题化解，如as与while的区别等等。再有就是备课的时候，没有很好地明确讲每道题目的思路方法明确，呈现的是一种乱的状态。总之，我的备课方面，还不能完全做到备学生。再有就是自己的语言知识急需加强。 再有就是讲课方面。自己的目光不关注学生，把目光停留在了卷子，与学生没有眼神的交流。表情过于严肃，不自然，教态拘谨不大方。但是声音响亮，抑扬顿挫。板书设计过于简单，但是主要语言点一目了然，比较清晰明了。自己的教学语言，没有经过锤炼，罗嗦麻烦；而且没有幽默性的语言，课堂气氛有些沉闷，肯定给学生的感觉是“烦”。但是我也注意了以提问的方式，来让学生回忆旧知识，让学生保持适当的紧张度。我还有很多无效语言，如“明白了吗？记完了吗？”等等。讲的过程中有停顿现象，这肯定会浪费时间，不能充分地利用时间，从而使得整堂课出现了前松后紧的现象。尤其是讲解完型填空的是，对自己的语言的表达能力真是一个挑战。为了节省时间，自己应该坚决不讲得分率在90%以上的题目，把时间留给得分率
由一道课本例题带来的日常教学思考 发表时间：2013-06-13T09:29:21.560Z 来源：《少年智力开发报》2013学年36期供稿作者：张进辉 [导读] 从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。 江西省抚州市东乡二中张进辉 对数学问题多种解法的不懈追求，体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、流畅性和开放性.本文介绍一道课本习题的多解、推广、反思. 一、课本上的一道例题： 浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58 书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处. ⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？ ⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？ 问题解决——谜底： 二、例题教学后的反思： 对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。 从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。在复习概念(或定义)的教学过程中，利用问题变式可加速加深学生对概念的理解，巩固所学知识，提高学习的兴趣和积极性，从而培养学生阅读理解、观察与分析、抽象与概括等能力。 三、题目变式教学 题目变式包括条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、数与形的探究、引申探究(命题是否可以推广)等。在解题复习课或试卷讲评课的教学中，利用问题变式可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，从而使学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力得到提高，探究创新的能力得到发展。． 变式1：如图1，有一个圆锥粮仓，其正视图为边长是 6em的正三角形。粮仓的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。此时，小猫正在B处，它要沿粮仓侧面到达 P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程的长。 变式2：如图2所示的圆柱体中，底面圆的半径是 1，高为2。若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短
对一道课本习题的变式、推广与思考 波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个题目就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。” 题目：已知ABC ?两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于9 4-，求顶点C 的轨迹方程。（北师大版数学选修2-1第三章§1椭圆习题3-1A 组第8题） 一、动手实践，掌握方法 解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66 ,621-≠≠-= +=x x x y k x y k ， 根据题意，9 4 21- =?k k ，所以 9 4 362 2-=-x y ，化简，得()6,6116362 2 -≠≠=+x x y x 所以顶点C 的轨迹是椭圆，去掉左右顶点。 评析：（1）典型的用直接法求动点的轨迹方程，注意6,6-≠≠x x ，一方面它保证了直线BC AC ,的斜率的存在性，另一方面符合C 为ABC ?的一个顶点，C B A ,,不能共线。 （2）题目的几何条件包括“两个定点、一个动点、一个定值，两条直线的斜率，一个等量关系”。 （3）轨迹是椭圆，去掉左右顶点。 二、引进参数，化静为动 变式1、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之积等于()0≠m m ，试讨论动点C 的轨迹。 分析：首先确定动点C 的轨迹方程，然后依据方程判定它的轨迹。 解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是 a x y k a x y k -=+= 21,，()a x + - ≠，根据题意，m k k =?2 1 ， 所以m a x y =-2 22，化简，得动点C 的轨迹方程122 22=-ma y a x ，所以 1、当0 m 时，动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，去掉它的两个顶点； 2、当0 m 时 （1）若1-=m ，则动点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+，所以它的轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆，去掉 与x 轴的两个交点； （2）当01 m -时，2 2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，去掉左右顶点； （3）当1- m 时，2 2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆去掉左右顶点。 评析：引进参数，化静为动，培养学生分类讨论的数学思想，发展学生的数学思维能力。注意到变式1并没有改变题目中的几何关系，但是参数值及它的的符号决定了轨迹的不同形式——圆、椭圆、双曲线，这也从一个侧面说明三种曲线之间有着内在的联系，可以想象当参数m 由()+∞→≠→-→∞-001变化时，动点 c 的轨迹由焦点在y 轴上的椭圆，变为圆，再变为焦点在x 轴上椭圆，然后蜕变为焦点在x 轴上的双曲线，
初三物理一道回声问题教学反思 物理学是一门自然科学，它既具有表象性，又具有抽象性，既具有规律性又具有变化性，这使得学生对这门学科的学习难以把握，出现了许多解题误区。 例：平直轨道上匀速行驶的火车在进入隧道口提前鸣笛，火车速度为20m/s，声音在空气中的速度为340m/s，司机在鸣笛后9s听到自隧道口处山崖反射的回声。求①火车开始鸣笛处距隧道口距离②听到回声时火车距隧道口的距离 错解一：已知，V声=340m/s V车=20m/s t =9s 分析：因为声音的所走的时间与车所走的时间相等， 所以 S声= V声·t=340m/s·9s=3060m S车= V车·t=20m/s·9s=180m 所以S1= S声/2 =3060m/2=1530 m S2=S1－180m=1350m 答火车开始鸣笛处距隧道口距离1530m②听到回声时火车距隧道口的距离1350m 错解二，已知，V声=340m/s V车=20m/s t =9s 所以 S声= V声·t=340m/s·9s=3060m S车= V车·t=20m/s·9s=180m S2= S声/2 =3060m/2=1530m S= S声/2—S车=3060m/2＋180=1710m
答火车开始鸣笛处距隧道口距离1530m②听到回声时火车距隧道口的距离1710m 正解已知，V声=340m/s V车=20m/s t =9s 分析，因为汽车鸣笛后，声音与车同时前进，人又听到回声，说明车与声音走过的时间相同即都是9s S声= V声·t=340m/s·9s=3060m S车= V车·t=20m/s·9s=180m 所以S1=( S车＋S声)/2=1620m S2= S1－S车=1440m 答火车开始鸣笛处距隧道口距离1530m②听到回声时火车距隧道口的距离1710m 分析学生做错，存在很多问题，下面就我的几点看法浅谈一下： 1、教师在教学过程中要重视对学生建立模型意识的培养 理想的物理模型，即是物理科学体系典范，也是解决现实物理问题不可或缺的依据，其重要性不言而喻。所以，教师在传授知识的过程中，及时向学生建立的基本物理模型的。并要求学生牢固把握住这些基本的物理模型，并且在具体应用解决物理问题时。引导学生如何根据题设条件，从物理规律出发，通过分析、综合、类比等，使思维从纷繁复杂的具体问题中抽象、构造出我们熟悉的物理模型。然后应用掌握的相关知识予以解决。在本题中学生不会做题，说明学生对声音的理解还不透，声音学生看不见，摸不着，声音是怎样传播的，传播时走的是什么路线，向那个方向传播的，学生都理解的不清楚。
让练习题的评价更有灵气 张金玲枝江市董市镇泰洲小学数学专业邮编443214 前段时间，听了一节三年级的两步计算的复习课，课讲得很好，教师研究教材也很透彻，将本单元知识复习的比较扎实、完整。在练习一只蜻蜓平均每天吃21只蚊子，5只蜻蜓一个周吃多少只蚊子这道题时，从教师批阅学生的作业中我发现了这样一个问题，学生是这样列式的： 21×5=105（只） 105×5=525（只） 答：5只蜻蜓一个周吃了525只蚊子。 教师在第二步的乘“5”处批了一个大大的圆圈并标了一个“×”。很明显，教师认为第一步21×5=105（只）是求5只蜻蜓一天吃了多少只蚊子，第二步105×5=525（只）是求一个周吃多少只蚊子，此处不应该乘5应该乘7。看到这里引起我的思考：一个周他为什么不乘7却乘5呢，他为什么这样做？ 学生的做法引起了我的兴趣，带着问题，我首先找到这个学生。我让学生不要担心说错，当时怎么想的就怎么说给我听。在我的鼓励下学生说出了他的做法。学生说21×5=105（只）是求一只蜻蜓一个周吃了多少蚊子，105×5=525（只）是在求出一只蜻蜓一个周吃了多少蚊子之后再求5只蜻蜓一个周吃了多少只蚊子。也就是说学生的想法与老师的想法是不一致的，学生第一步中的乘5才是表示一周的工作时间，第二步中乘5其实表示的是5只蜻蜓，那么教师在学生的第二步的“5”处打“×”就值得商榷了。 一个周是7天呀，学生在求一只蜻蜓一个周吃多少只蚊子时用21×5=105，为什么不乘7却乘5呢？有了前面的交谈，学生的胆量也大了起来：一个周是7天，但我们都是工作5天休息2天，蜻蜓吃蚊子也是工作呀，如果他天天工作，不累吗，我让他跟我们一样也休了两天，所以列式21×5。听了学生的想法我感觉到学生的做法虽然幼稚但其实还是有他自己的道理。可不是吗，如果把吃蚊子看成是蜻蜓的工作，一个周按照工作5天计算，那求一只蜻蜓一个周吃多少只蚊子，不就应该是21×5吗？ 原来我还在想，学生不乘7却乘5，是不是受5只蜻蜓的干扰不小心马虎写错了，看来我的想法也是与学生的想法是不一致的。幸亏我及时找到这位同学了解到他的想法，要不也不知道我们的评价会给学生造成什么样的影响，那位学生说不定会对求五只蜻蜓吃多少蚊子该不该乘5也会糊涂啦。由此看来，课堂上那位老师的评判处理的还是过于急了，其实很多类似的问题教师在评判时如果发现问题并不急于评判，而是把学生叫到面前进行面对面的交流，学生的想法教师也掌握了，教师的评判是不是会更科学效果更好呢？学生学习过程中出现的问题是不是也就迎刃而解了呢？那样，学生的错误是不是也就不会成为问题，纠正起来也会省很多力呢？ 像今天这样的问题，我感觉教师如果多想想学生为什么这样做可能处理起来也会更艺术、更有实效。 为了防止类似问题的发生，在平日学习过程中，教师在领学生做题时是不是该多思考这样问题： 1、设计这样的练习题是为了干什么？ 2、学生怎样做的，道理是什么？ 3、通过练习，我们要提高学生什么？ 比如一只蜻蜓平均每天吃21只蚊子，5只蜻蜓一个周吃多少只蚊子这道题，我认为教师设计这样一道题就是为了考察学生两步计算问题的算法是否清楚、两三位数乘一位数的算
一道数学思考题的教学反思 陈婧 一年级下册“100以内数的加法和减法（一）”的后面有一道思考题：把21、22、23、24、25、26、27、28、29这九个数填到圆圈 里，使横行、竖行、斜行上三个数相加都等于75.这道题目对于一年级的孩子来说其实有相当大的难度，怎样教学才能让他们掌握解决问题的方法呢？课上我是这么做的，自认为还可以，现在写下来和各位老师共同探讨，希望得到您的指点。 上课时我将题目抛给学生，先让他们试着做一做。几分钟后他们的脸上出现了愁容，有的记得叫起来：“怎么做啊？”于是我和孩子们共同研究起来：你找到哪三个数相加等于75？学生找到21+29+25=75；22+28+25=75；23+27+25=75；24+26+25=75.想一想，还有吗？我们又共同找到第一个算式中29不动，让25少1,21多1（22+29+24）、第二个算式中28不动，让25少1，22多1（23+28+24），同样的方法又找到21+28+26；22+27+26.一共有８个算式，摆在一起，让学生看看有什么发现。很快他们发现25用了４次，22、24、26、28各出现3次，21、23、27、29各出现2次。这时我让学生观察题中的图中哪个位置的数出现5次（中心位置）、哪个位置的数出现3次（四个顶角位置）、哪个位置的数出现2次（四条边的中间位置）。接下来我们开始根据以上的发现填数：将5放在中心位置；22、24、26、28放在四个顶角；21、23、27、29放在四条边的中间。这时有的孩子高兴地笑了，有的孩子还是发现不行，我又和他们进行细微的
调整，最后答案出来了。这时我没有满足于有了答案，我让孩子们认真观察这道题的答案，看看有没有什么发现？最后他们发现：中间的数5放在图的中心位置；处在第2、4、6、8（双数）位置的数填在四个顶角，而且都是从左往后放置；剩下的单数放在每条边的中间（最小的放在两个最大双数中间、最大的放在两个最小双数中间，剩下两个就好放了。）教学到现在，我们基本上研究出了解题的方法。接下来我们又尝试用这个方法解决几道类型题： 将1、2、3、4、5、6、7、8、9填到圆圈中，使得每个横行、竖行、斜行上的三个数相加都等于15. 将1、3、5、7、9、11、13、15、17填到圆圈中，使得每个横行、竖行、斜行上的三个数相加，和都相等。 将5、10、15、20、25、30、35、40、45填到圆圈中，使得每个横行、竖行、斜行上的三个数相加，和都相等。 这几道题解决完以后，有的同学就发现了这9各数都是按照每次多几的规律排列的。这个发现很精彩，我又让能力强的孩子试着编一道这样的题来考考大家，他们编出将2、4、6、8、10、12、14、16、18填到圆圈中，使得每一横行、竖行、斜行的三个数相加，和相等。将11、12、13、14、15、16、17、18、19填到圆圈中使得横行、竖行、斜行三个数相加，和相等。 这道思考题的教学，我们用了大概一节课的时间，我觉得是很值的。通过这节课的学习，孩子们经历了尝试、探索、猜想、验证的过程，在探索解题思路的过程中，他们的解题技巧的到提高。我想，今
由一道课本习题引发的思考 九年义务教育八年级数学上配套练习册 P 65第11题: 已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形, 思考 由命题的条件，根据平行线判定定理易知： AM/CN MC/ NB,由此得命题1： 命题1已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形, 求证：AM CN ，MC /NB 思考二 由命题的条件结合三角形全等的判定定理可知，有三对全等三角形，故得命题: 命题2已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：△ACN 也血CB, △AEC 也 JMFC, △ECN 也△CB 思考三 由命题2的结论，根据全等三角形的性质，可得到一些相等的线段和相等的角， 从而得到 命题： 命题3已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：⑴ AN=BM,CE=CF,AE=MF,NE=FB, (2)/NAC= /BMC; ZANC= JMBC; ZAEC= / MFC; 山东省五莲县洪凝初中 王爱仁 求证: 图1
JCEN= /CFB
思考四 因为/ ACM # NCB=60 ,所以/ MCN=6D ,再由命题3的结论可知CE=CF 则△ ECF 为等边三 角形，得命题： 命题4已知：如图3,点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，AN 交 思考五 _ 由命题4的结论知，/ EFC=60°，故/ EFC=/FCB ，所以EF I AB ，得命题: 命题5已知;如图3,点C 为线段AB 上一点,^ACM, ACBN 是等边三角形,AN 交MC 于点 BM 交CN 于点F. 求证：AN=BM MrzT -[y 、. 思考八 由^ ACN^A MCB 可知，/ CAN=/ CMB 所以/ A0B2 MAO ￡ AMO ^ MAO ￡ AMC ：+ CMB ^ MAO 乂 CAN # AMChMAC+^AMC=60 +60° =120° ,可得命题： 命题6已知;如图4,点C 为线段AB 上一点,AACM, ACBN 是等边三角形,AN,BM 相交于 点O. MC 于点 E ，BM 交CN 于点F. ⑴求证: AN=BM; (2)求证: △CEF 为等边三角形 若AN 、MC 交于点E,BM 、 NC 交于点F ，求证：EF IAB 图4
2013年9月21日 由一道连线题引发的思考 洛南县巡检镇中心小学任俊 人教版三年级数学上册20页有这样一道题，如下图： 教学过程中，我先让学生独立完成，结果有个叫王紫彤 的小女孩问道：“老师，这道题是不是错了，您看 的计算结果是837，这把钥匙就找不到与它配对的锁，而这把锁也没有找到能打开它的钥匙。也就是说，这把钥匙无锁可 开。。这把锁呢，题里根本就没设计能打开它的钥匙。”听完小女孩的见解，我微微一笑，告诉她，“我们的课本是课程教材研究所，经过专家反复审定编著的，一般不会出错，这道题你可以能打开几把锁就打开几把锁吧。” 走出课堂，我陷入深深的沉思之中，说句心里话，我是一位不负责任的数学老师，课前没有细细研究这道题，一眼
断定这道题很简单，不需认真研究，凭借自己多年的教学经验到课堂上去处理这类“简单”问题就好了。可是，今天我似乎错了，这道看似简单的连线题也许不简单。它究竟是如学生所说错了呢，还是另有深意？这个问题对于已有十五年丰富数学教学经验，在全镇具有数学权威的我来说，真的无法做出合理解释。我似乎更相信这道题是编委们疏忽造成的错，因为： 1、这道题所处位置在练习五10道题的中间，即第6题位置，按照我们使用的这套教材来说，教材编排有一个整体体现，每组练习设计由浅入深，由易到难，也就是说，每组练习前几道题简单，中间的题适中，最后的题偏难，这是遵循“让不同的学生在课堂上有不同的收获”这一原则的。而这道题在练习中间设计，我认为它的考查意图不会太难。 2、我们使用的做这套教材编排还有一个显著特征，每次遇到需要提示、启发、引导的时候，在哪就会设置一个“小精灵”图像，给我们一适当的提醒，而这道题里没有小精灵的出现，我认为编排时不可能设置更深刻的意图。 3、这道题如果说有意设置和为干烧因素，想告诉我们“一一对应”关系不是时时处处都存在，那么我 认为只需要设置就足够了，因为，这样设置6把钥匙5把锁，学生一下子就看出不存在“一一对应”关系，
一道练习题的教后反思 ——对估算意识、策略的探索 刘玉华人教版义务教育课程标准实验课本四年级《数学》上册，第63页，练习十，第十一题“一个粮店3天售出大米的数量分别是430千克、380千克、407千克，这个粮店30天大约售出大米多少千克？”此题是在教学完《三位数乘二位数》这一单元后，对这一单元进行整理和复习的一道综合应用所学知识解决稍复杂问题的练习。我在教学前认真阅读了教参，了解编者的意图是通过这道题的练习鼓励学生从不同角度去思考问题，提倡解题策略的多样化。要求教师在教学中应为学生提供充分的交流机会，通过交流使学生感受解题策略的多样化和灵活性。因此，我在教学中，先引导学生通过读题了解题目给我们提供的信息，找出需要解决的问题，然后同桌相互交流、探讨解题方法，最后请学生发言，全班交流。 先请一位平时数学成绩比较优秀的同学，他提出了这样的解题方法：先算出三天的总和430+380+407=1217（千克），然后用30÷3=10，再用1217×10=12170（千克）。我们承认这是一种较完美的解题方法，他思路清晰，并且很好地利用了前面刚刚训练过的积的变化规律来处理问题，结论正确。 接着又有一位同学提出了如下的解题方法：（430+380+407）÷3≈406（千克），先求出平均每天大约售出多少千克，然后再求30天的，406×30=12180（千克），学生思路清晰，方法可行，结果正确，
给予肯定。 又有一位同学举起了手，他说：430、380都是整十，我也可以把407看成410，然后430+380+410=1220（千克），再用1220÷3约等于408近似看着410，然后用410×30=12300（千克），该生在计算的过程中一开始就用到了估算，力求计算简便，我紧接着问了一句“你为什么想到可以先估算呢？”他回答说“我是从问题中发现的，问题是说30天大约售出大米多少千克，是要我们估算的。”我及时地给予了这位同学充分的肯定。然后再一次提出还有没有其它的解题方法，可是再也没有同学举手。 从上面三位同学的发言的情况来看，已经完成了教参的要求，达到了该题的教学目标。然而，我觉得余兴末尽，这道题还没有完成，还没有达到要求。首先，我们从这道题给我们提供的信息来看，三天的销售情况是430千克、380千克、407千克，来源于生活实际，同时也隐藏了每天的销售数量是不相等的，不确定的，后来的销售情况有可能相同，但更多的可能是不相同的，是在一个区域内变化的，因此，提出的问题是30天大约可以销售大米多少千克？，突击“大约”二字，应该选择估算的解题策略。我觉得430稍大于400、380稍小于400、407接近400，我们可以大胆地估计每天的销售量为400千克，然后用400乘以30等于12000千克，30天大约销售12000千克，计算简便，符合实际。学生没有想到这一点，老师是否应该适时给予点拔，让学生学会去这样思考呢？我认为相当有必要，且必须讲述清楚。为此我谈下面两个方面的想法：
一道数学例题引发的思考 -------《平行四边形（1）》教学反思 北师大数学九年级上册第三章第一节有这样一道例题： 例题： 证明：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。 在和学生共同探讨这道题目时，我们首先是共同完成了证明文字命题的一些必要步骤，（如：画出图形、根据题设和结论写出已知和求证）完成对这道题目的数学化，运用准确的数学语言完成翻译。即： 已知：如图，梯形ABCD ，AB=CD. 求证：∠A=∠D ∠B=∠C 课本上给出的证明方法是解决梯形问题的最常见的方法。我在解决这个问题时，要求学生不看书，独立自主的想出尽可能多的解题方式。 学生们在很短的时间内就探索出了几种不同的做法，当然也包括和教材相吻合的解题方式。课本解题方法如下： 过点D 做D E ∥AB,交BC 于点E.不难证出四边形ABED 是平行四边形，进而得出AB=DE,而AB=CD,∴DE=DC, ∴∠DEC=∠C,而AB ∥DE,则∠B=∠DEC,进而得出∠B=∠C, ∠A=∠ADC. A B E C D 在这里我想要谈的是，其中一个学生用了以下方式来解决问题： 将线段AB 沿着BC 方向平移至CF 交AD 的延长线于点F,不难证出四边形ABCF 是平行四边形，仿照例题的证法，进而解决了问题。 A C D E
我问她是如何想到了用平移思想解决这道题。她说，她发现课本上的辅助线可以理解为一种平移，将复杂图形分解为简单图形，因而想到了：如果继续平移会产生什么效果，从而找到了这样的解决办法。她的想法让大家耳目一新。平移、旋转的数学思想的运用容易被老师和学生忽视，在这里巧妙运用让这道题“活”了起来，毕竟课本上的解题方式是一种静态的。学生的思维也“活”了起来。此时，我也特别的兴奋，不禁想到在这之前学校崔老师的爱女曾经问到我的一道数学题，我立即把这道题目拿出来和同学们一起分享，让学生们更深入地了解平移、旋转等思想对于解决数学问题的便捷与巧妙。 题目如下： 已知：如图，点P 在正方形ABCD 的内部，且AP:BP:CP:=1:2:3. 求：∠APB 的度数。 A B C D P 我们将△PBC 绕着点B 逆时针方向旋转90°后，点C 将落在A 点位置（因为四边形ABCD 是正方形），点P 落在E 的位置，连接PE ，AE.不难证出△PBE 是等腰直角三角形，得出∠BPE=45°.设AP=1,则PB=EB=2,PC=AE=3,则PE=22；在△APE 中。AP=1,AE=3,PE=22,根据勾股定理的逆定理可判定出△APE 是直角三角形，则∠APE=90°； ∴∠APB=45°+90°=135°.
一道课本例题的探究开发 663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇 课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨. 题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形. (1)相似吗？与ABC ASR ?? (2)求正方形PQRS 的边长. 分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ?∽ABC ?.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解. 解：（1）ASR ?∽ABC ?.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ?∽ABC ? . （2）由（1）可知ASR ?∽ABC ?.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得 设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得： 所以正方形PQRS 的边长为24cm. 此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页 .BC SR AD AE =，cm χ. 24=χ60 4040χχ= -
的一道例题。该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。 变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。 分析：因为EFGH 为矩形，则AN ⊥HG.这样△AHG 的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG ∽△ABC ，即可以找到ＨＧ、ＦＧ与已知条件的关系，求出矩形EFGH 的周长. 解：因为EFGH 为矩形，所以HG ∥EF,HG=EF. 所以△AHG ∽△ABC. 所以 则 解得： 所以矩形EFGH 的周长为56cm. 变式2：如图(3),已知边长为10cm 的等边三角形ABC ，内接正方形HEFG 。求正方形HEFG 的面积。 分析：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD 的长，由△AEH ∽△ABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。 . AD AN BC HG =.5,9χχ==FG EF 设16516489χχ-=. 2=χ
由一道考题引起的思考 在一次六年级的数学检测中，试卷设计了这样一个数学问题： 看右图解答： 80m （1） 在操场周围镶嵌上长6分米 的砖，需要多少块？ （2） 操场里面铺上草坪，每平方米 的草坪8元，购买草坪需要多少元？ 这是一道解决实际问题的问题，题目创意是了解学生根据已学知识解决实际问题的能力。从所给的数据来看，数目较小，便于计算，重点是检查学生解决问题的方法策略。通过检测后的统计分析，此题解答完全正确的不足20%，没有解题思路的25%，失分率高达60%。 在与教师、学生的调查中发现，问题的症结在于学生不会分析问题，不能将语言文字的表述转化为数学模型，不知道要求的是什么；少数学生没有识图的能力，看不出所给的数据是什么已知条件，图形数据的转化能力相对欠缺，个别学生是由于计算的失误，导致解题的错误。面对着如此大的问题，反思我们的课堂教学，或许能找到答案。 我们的课堂，机械重复地练习较多，如：计算长方形的周长和面积（单位：厘米） 25m 计算图形的周长、计算图形的面积，问题明确，学生思路清晰：只要熟记公式，再加上认真计算，就能得到高分。而这只相当于梅克五种类型问题中的的第一种，条件、条件已知，问题已知，答案唯一。 对于这些基本图形，学生不假思索，照猫画虎，较顺利地完成。教师认为学生已掌握了知识，就此结束。殊不知，学生学习知识，是为了解决实际问题。而我们的学生，缺乏的就是这种实践能力，缺少的就是这种创新精神。面对着新的问题，束手无策。新课程强调“以创新精神和实践能力的培养”为重点，要建立新的教学方式，促进学习方式的变革。这就要求教师首先转变观念，从三个维度
解决问题例题教学反思 【活动总结】 本学期，我们以“解决问题课堂教学”为主题开展一系列的校本教研活动，力求解决我们教学中存在的问题，打造有效课堂。要实现全体教师的共同提高，必须有效开展校本教研活动。如何让校本教研开展得具有针对性、实效性？经过一学期的探索，我们发现需要从以下几个方面开展： 一、系统地规划教研主题内容 在设计相关教研活动时，我们考虑到：要让全体数学老师对教材有系统的了解。因此，我们将教材中相关教学内容划分为六次教研活动主题：低段“解决问题”例题教学探讨、中段“解决问题”例题教学探讨、高段“解决问题”例题教学探讨、苏教版“找规律”教学探讨、人教版“找规律”教学探讨、“找规律”与“解决问题的策略”综合探讨。通过由低到高的教学探讨，使全体数学教师对小学全册教材中“解决问题”的教学有一个系统的把握，同时在课堂教学和对学生的数学思维训练方面形成一个完整的体系，达成一致。 二、教研活动模式要具有针对性、实效性 有效的教学离不开对教材的把握、课堂的组织。如何有效地把握教材、把握教学，这不仅需要学习课程标准、教材分析，更重要的是在观摩真实课堂之后的集体评议与反思。因此，本学期的校本教研活动，我们特别重视听课前的学习准备与听课后的集体研讨，做到既立
足课堂也跳出课堂，以整体、全面的视角透视教学： ①通过自主学习了解教研的主题内容与思考问题，把握研讨课的教材与教学内容； ②通过集体教研时的教材研习去深入理解教材知识体系； ③通过有针对性的评课，聚焦课堂进行教学方法的提炼； ④在反思中提高我们的课堂教学效果。 教研就是依托群体的智慧，借他人的眼睛观察自己，借出一双慧眼，收获的是更多的思想。每一次的研究课，为我们提供了丰富的研讨素材，大家从他人的课堂中审视到自己的长处与短处，在交流中取长补短。 通过这样的学习与交流，促进我们每一位教师主动学习、认真钻研，为形成适合自己风格、符合我们学生特点的有效教学而努力。 通过一学期的尝试，我们发现：打造精品课堂的教研活动本身也应该是一个精品。只有真实、有效的精品教研，才能实现精品课程建设研究的目标。 【活动后的思考】 1、如何调动教师参与教研的主动性？ 系统的校本教研活动，需要老师自主的参与与自觉的思考，缺少学习的“自主性”也就失去了教研活动的意义，一切都变成形式主义。 教研是为教学而服务，如果教研影响了教师的日常教学工作，那么这样的教研是低效的。所以，如何调动教师参与的积极性与主动性是教研活动成败的关键。