第十二章 无穷级数练习
1.判别下列级数的敛散性：
21
2
1
1
1
1
11!21sin
;ln(1);
;(
)
32
n n
n n n n n n n
n
n
n ∞
∞
∞
∞
+====++
-∑
∑
∑
∑
2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
21
1
(1)
[]3n n n n ∞
-=-+∑；
2
1
c o s 3
n
n n n ∞
=∑
；
1
1
(1)
n n ∞
-=-∑
。
3.
求幂级数0
n
n ∞
=∑
的收敛区间。
4.证明级数1
!n
n
n n x n
∞
=∑
当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n
n n
x )11(+=单调增加，且e x n n =∞
→lim 。
5.在区间(1,1)-内求幂级数 1
1
n n x
n
+∞
=∑
的和函数。
6.求级数∑
∞
=-2
2
2
)1(1n n
n 的和。
。
7.设11112,()2n n n
a a a a +==
+
（1,2,n = ）证明
1）lim n n a →∞
存在； 2）级数1
1
(
1)n n n a a ∞
=+-∑收敛。
8.设40tan n
n a xdx π
=
?
，
1） 求21
1()n n n a a n
∞
+=+∑
的值；
2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1
n n a n
λ
∞
=∑
收敛。
9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞
=-1)1(n n n a 发散，试问∑∞
=???
?
??+111n n
n a 是否收敛？并说明理
由。
10.已知2
22111358π+++= [参见教材246页]，计算1011ln 1x
dx x
x +-???。 。
无穷级数例题选解
1.判别下列级数的敛散性：
21
2
1
1
1
1
11!21sin
;ln(1);
;(
)
32
n n
n n n n n n n
n
n
n ∞
∞
∞
∞
+====++-∑
∑
∑
∑
解：1）2
2
11sin
n
n
<
，而∑
∞
=1
2
1n n
收敛，
由比较审敛法知 ∑
∞
=1
2
1sin
n n
收敛。
2）)(1~
)11ln(∞→+
n n
n
，而∑
∞
=1
1n n
发散，
由比较审敛法的极限形式知
∑
∞
=+
1
)11ln(n n
发散。
3） e n n n n
n n u u n
n n
n n n
n n 11lim !)
1()!1(lim
lim
11=??
?
??+=?++==∞→+∞
→+∞
→ρ，
1<ρ
，由比值审敛法知
∑
∞
=1
!n n
n
n 收敛。
4） 9423122312lim lim
1
2
=??
? ??-+??? ??-+==∞→∞
→n
n n
n
n n n n n u ρ， 1<ρ ，由根值审敛法知 ∑∞
=+?
??
?
?-+11
22312n n n n 收敛。 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
21
1
(1)
[]3n n n n ∞
-=-+∑
；
2
1
c o s 3
n
n n n ∞
=∑
；
1
1
(1)
n n ∞
-=-∑
。
解：1）对于级数∑∞
=--1
21
3
)
1(n n
n n ，
由3
1|
|||lim
1=
=+∞
→n n n u u ρ，知级数∑∞
=--1
21
3
)
1(n n
n n 绝对收敛，
易知∑∞
=--1
1
1)
1(n n n
条件收敛，故
2
1
1
(1)
[]3n n n n ∞
-=-+∑条件收敛。 2）n n
n
u n n n =≤
3
|3
cos |
22
，由3
1lim
1=
=+∞
→n
n n u u ρ，知级数∑
∞
=1
23
n n
n 收敛，
故2
1
cos 3
n
n n n ∞
=∑
绝对收敛。 3）记n
n u n ln 1
-=
，n u n 1≥
，而∑
∞
=1
1n n
发散，故∑∞
=1
n n u 发散，
令x x x f ln )(-=，x
x f 11)(-='，当1>x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),1(+∞内单
调增加，由此可知 1+>n n u u ，又0l i m =∞
→n n u ，
故1
1
(1)
n n ∞
-=-∑收敛，但非绝对收敛，
即为条件收敛。
3.
求幂级数0n
n ∞
=∑的收敛区间。
解：收敛半径为 11
2lim
||
lim 1
=++==∞
→+∞→n n a a R n n n n ，
当2=x 时，得级数∑
∞
=+0
1
1n n ，发散； 当0=x 时，得交错级数∑
∞
=+-0
1
)
1(n n
n ，收敛。
所求收敛区间为[0,2)。
4.证明级数1
!n
n
n n x n
∞
=∑
当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。
注：数列n
n n
x )11(+
=单调增加，且e x n n =∞
→lim 。
证：收敛半径 e n n n n n R n
n n n n =??? ?
?
+=++?=∞→+∞→11lim )!1()1(!lim 1
，
当||x e <时幂级数绝对收敛，当e x >||时幂级数发散，
当e x =||时，得级数∑
∞
=±1
)(!n n
n
e n
n ，n
n
n e n
n u !||=
，
n
n n n e u u )
11(|
|||1+
=+，因n
n n
x )11(+
=单
调增加，且e x n n =∞
→lim ，故e x n <，于是得||||1n n u u >+，由此0lim ≠∞
→n n u ，故级数
∑
∞
=±1
)(!n n
n
e n
n 发散。
5.在区间(1,1)-内求幂级数
1
1
n n x
n
+∞
=∑
的和函数。
解：设∑
∞
==1)(n n
n
x
x s （11<<-x ），0)0(=s ，
∑
∞
=-=
'1
1
)(n n x
x s x
-=
11，
?
'+
=x dx x s s x s 0
)()0()(?
-=
x dx x
11)1l n (x --=，
∑
∞
=+--==1
1
)1l n ()(n n x x x xs n
x
（11<<-x ）。
6.求级数∑
∞
=-2
2
2
)1(1n n
n 的和。
解：设∑
∞
=-=
2
21
)(n n
n x
x s （11<<-x ），则
∑
∞
=??
? ??+--=
2
111121)(n n
x n n x s ，
其中
∑
∑
∞
=∞
==-12
1
n n n n n
x
x n x
，
∑∑
∞
=∞
==
+3
2
1
1
n n
n n
n
x
x
n x
（0≠x ）。 设∑
∞
==
1
)(n n
n
x
x f ，则∑
∞
=--=
=
'1
1
11
)(n n x x
x f ，
于是 ?
'+=x dx x f f x f 0
)()0()(?
-=
x dx x
11
)1l n (x --=，
从而 ]2
)1l n ([21)]1ln([2
)(2
x
x x x
x x x s -
----
--=
)1l n (214
22
x x x
x --++=
（0,1||≠ 。 因此 ∑ ∞ =-2 2 2 )1(1n n n ==)21(s 2ln 4 385-。 7.设11112,()2 n n n a a a a +== + （1,2,n = ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 证：1）因 11)1(2 11=? ≥ + = +n n n n n a a a a a ， 021)1 (2 12 1≤-= -+ =-+n n n n n n n a a a a a a a ， 故}{n a 是单调减少有下界的数列，所以n n a ∞ →lim 存在。 2）由（1）知 11 1 1 10++++-≤-= -≤ n n n n n n n a a a a a a a ， 记111 1)(+=+-=-= ∑n n k k k n a a a a s ，因1lim +∞ →n n a 存在，故n n s ∞ →lim 存在，所以∑∞ =+-1 1)(n n n a a 收 敛，由比较审敛法知1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 3） 求21 1()n n n a a n ∞ +=+∑ 的值； 4） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ ∞ =∑ 收敛。 证：1） 因为 ? += ++40 2 2)t a n 1(t a n 1)(1π dx x x n a a n n n n ) 1(1s e c t a n 1 402 += = ?n n x d x x n n π ， 1 11) 1(1 )(1 1 1 2+- =+= += ∑∑==+n k k a a k s n k n k k k n ， 所以 21 1 ()n n n a a n ∞ +=+∑1lim ==∞ →n n s 。 2） 因为 1 12+= +<+n a a a n n n ，所以 1 1) 1(1+< +< λλ λ n n n n a n ， 由11>+λ知∑ ∞ =+1 1 1n n λ收敛，从而1 n n a n λ ∞ =∑ 收敛。 9.．设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明 理由。 解：级数∑∞ =??? ? ??+111n n n a 收敛。 理由：由于正项数列}{n a 单调减少有下界，故n n a ∞ →lim 存在，记n n a a ∞ →=lim ，则0≥a 。 若0=a ，则由莱布尼兹定理知 ∑∞ =-1 ) 1(n n n a 收敛，与题设矛盾，故0>a 。 因为 111 11 lim <+=+∞→a a n n ，由根值审敛法知级数∑∞ =???? ??+111n n n a 收敛。 10．已知2 22111358 π+++= [参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x +-?? ?。 解：由 ∑ ∞ =--=+1 1 )1()1ln(n n n x n x （1|| 得 ∑ ∑ ∞ =∞ =-+ -= --+=-+1 1 11)1()1l n ()1l n (11ln n n n n n x n x n x x x x ∑ ∞ =++=0 1 21 212n n x n 1 011ln 1x dx x x +-??????+=∑∞=1 002]121[2dx x n n n ∑∞ ==+=0 2 2 4)12(12n n π。 （选作部分）11*．计算 4 8 3 7 11 15! 9! 3!7! 11! π π π π π + + ++ + + 。 解：由 ∑∞ =++-= 01 2)!12() 1(sin n n n x n x ， 得 0s i n )!12() 1(01 2==+-∑∞ =+ππ n n n n ， 于是 = +∑∞ =+0 1 4)! 14(1 n n n π ∑∞ =++0 3 4)!34(1 n n n π ， 从而 4 8 3 7 11 15! 9! 3! 7! 11! π π π π π + + ++ + + π π ππ 1 )! 34()! 14(1 3 401 4= ++? = ∑ ∑ ∞ =+∞ =+n n n n n n 。 12*.把()arctan f x x =展开成 x 的幂级数，并求级数 0 (1) 3 (21) n n n n ∞ =-+∑ 的和。 解：∑∞ =-= += '0 22 ) 1(11)(n n n x x x f （1|| ∑?∑? ∞ =+∞ =+-= -= '+ =0 1 20 20 1 2) 1(]) 1([)()0()(n n n x n n n x n x dx x dx x f f x f （1|| 因)(x f 在点1±=x 处连续，而∑∞ =++-0 1 21 2) 1(n n n n x 在点1±=x 处收敛， 从而 ∑∞ =++-= 01 21 2) 1()(n n n n x x f （1||≤x ）。 于是 (1) 3(21) n n n n ∞ =-+∑ π6 3)3 1( 33112) 1(31 20 = =? ??? ???+-=+∞ =∑ f n n n n 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 . [填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为 22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3 无穷级数单元测试题 答案 第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、收敛 3、5 4、π 33--，π π12 48+ -， ???????±±=--±±==,...3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。 （2）∑∞ =?? ? ??+11n n n n 解：lim lim( )[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a 解：另设级数1 () n v n a b =+ 111111 1(1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4) ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ） 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. 考研数学和英语科目介绍 数学一： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 数学二： ①高等数学(函数、极限、连续、一元函数微积分学、常微分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量)。 数学三： ①微积分(函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);②线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);③概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其概率分布、随机变量的联合概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。 适用专业： 数学(一) 适用的招生专业为： (1)工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、治金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 (2)管理学门类中的管理科学与工程一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(二) 适用的招生专业为： 工学门类的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等一级学科中所有的二级学科、专业。 数学(一) 、数学(二) 可以任选其一的招生专业为： 第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<， 第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11!21sin ;ln(1); ;( ) 32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++ -∑ ∑ ∑ ∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 21 1 (1) []3n n n n ∞ -=-+∑； 2 1 c o s 3 n n n n ∞ =∑ ； 1 1 (1) n n ∞ -=-∑ 。 3. 求幂级数0 n n ∞ =∑ 的收敛区间。 4.证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑ 当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞ →lim 。 5.在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑ ∞ =-2 2 2 )1(1n n n 的和。 。 7.设11112,()2n n n a a a a +== + （1,2,n = ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 1） 求21 1()n n n a a n ∞ +=+∑ 的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ ∞ =∑ 收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知2 22111358π+++= [参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x +-???。 。 第十二章 无穷级数单元测试题 一、判断题 1、。收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u （ ） 2、若正项级数∑∞=1 n n u 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。 （ ） 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散，则。1lim 1>=+∞→r u u n n n （ ） 4、若∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则n n n v u ∑∞ =1绝对收敛。 （ ） 5、若幂级数n n n x a )23(1 -∑∞ =在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（ ） 6、已知n n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。 （ ） 7、n n n x a ∑∞=1和n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞ =+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。 （ ） 8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数 ...! 2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。 （ ） 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。 （ ） 10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件， n a （n=0,1,2,...）, n b （n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则 必有)sin cos (2)(1 0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。 （ ） 二、选择题 1、下列级数中不收敛的是（ ） A ∑∞ =+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n 2、下列级数中，收敛的是（ ） A ∑∞ =--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ． 3、判断∑∞=+11 11n n n 的收敛性，下列说法正确的是（ ） A 因为 01 1>+n ，所以此级数收敛 B 因为01lim 11=+∞ →n n n ，所以此级数收敛 C 因为 n n n 111 1>+，所以此级数发散。 D 以上说法均不对。 4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A ∑∞=-1)1(n n n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-??? ??-1132)1(n n n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞ =--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4),则常数a=（ ） 无穷级数练习题 无穷级数习题 一、填空题 ,,nn1，1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。axnax(1),,,nnn0,n1, ,n2、幂级数的收敛域为。 (21)nx，,0n, ,n21n,R,3、幂级数的收敛半径。 x,nn(3)2,，n1, n,x4、幂级数的收敛域是。 ,，1n0n, 2n,(2)x,5、级数的收敛域为。 ,nn4n,1 n,(ln3)6、级数的和为。 ,n20n, ,1n1,7、。 n,(),2n1, 28、设函数fxxx(),，, 的傅里叶级数展开式为 (),,,,,x ,a0，，(cossin)，则其系数b的值为。 anxbnx,nn321n, ,,,,x0,,1,,2,9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的fx(),x,,,20,,,x1,，x,, 敛于。 ,110、级数的和。 ,nnn，，(1)(2)n1, 2n,(2)x,11、级数的收敛域为。 ,nn,4n,1 ,1,1)R,3参考答案:1、 2、 3、 4、 5、 (2,4),(1,1),(0,4), 21212,,46、 7、 8、 9、 10、 11、 (0,4)422ln3,3 二、选择题 1 ,,an2n1、设常数，而级数收敛，则级数是( )。 ,,0a(1),,,n21n1n,,,，n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛与,有关 aa，aa,nnnn，，n,1.2，则下列命题中正确的是( )。 2、设q,p,nn22 ,,, (A)若条件收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (B)若绝对收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (C)若条件收敛，则与的敛散性都不一定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,n1,an,,0,1,23、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。 a(1),a,,nnnn1,n1, ,,,,(A)收敛，发散. (B)收敛，发散. aaaa,,,,21n2n2n21n,,N1,n1n1n1,,, ,, (C)收敛. (D)收敛. ()aa，()aa,,,212nn212nn,,n1n1,, ,sin()1n,4、设为常数，则级数,是( ) (),,2nnn1, (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与取值有关. , ,,n,05、级数(1)(1cos),,(常数)是( ) ,n1n, (A)发散. (B)条件收敛. (C) 绝对收敛. (D)收敛性与有关. , 1n6、设，则级数 u,,，(1)ln(1)nn 第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1 ． n 2n 1 ； ． 1 ；3． 1 1 。 2 n 1 2n 2n2 n 1 3 n 5 n n 1 判断下列正项级数的敛散性 ． n! ；5． n e ； 6． n 1 ；7． 2n 3 ；8． n 4 ； 4 n 1 e n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n n n n 1 n 9． ；10． 3n n 1 2n 。 n 1 1 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 ． 1 n 1 n 1 ； 12． 1 n 1 ； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001； 11 2 n ln n n 1 n 2 14． 1 22 2 3 1 4 1 ； 2 1 3 2 4 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 ． 3n x n ；16． 1 n x n ； 17． n! x n ； ． 1 n ； 15 n n 18 n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n 1 19． 1 2n 1 ； 20． n 2 n ； 1 2 n 1 x n 1 3 n x n 求下列级数的和函数 21． n 1 nx n 1 ； 22． n 1 2 1 n 1 x 2n 1 ； 将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数 23． shx e x e x ， x 0 0 ；24． cos 2 x ， x 0 0 ； 2 25． 1 x ln 1 x ， x 0 0 ； 26． 1 ， x 0 3 ； x 将下列函数在区间 , 上展开为付里叶级数 27． A x cos x ， x 。28． f x 2t ， x 2 第十一章 无穷级数 §11.1 常数项级数的概念与性质 一、判断题 1． ∑∞ =1 n n u 收敛，则3)3(lim 2 =+-∞ →n n n u u （ ） 2．若0lim ≠∞ →n n u ， ∑∞ =1 n n u 发散。 （ ） 3. ∑∞ =1 n n u 收敛,则 ∑∞ =+1)10(n n u 收敛。 （ ） 4． ∑∞ =1 n n u 发散， ∑∞ =1 n n v 发散，则 )(1 n n n v u -∑∞ =也发散。 （ ） 5．若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =+1 2 n n u 也收敛。 （ ） 二、填空题 1．∑∞ =??-???1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是 。 2．级数???-+-+-5 64 53 42 31 2的一般项是 。 3．级数???+???+ ??+?+8 6426424 22 2 x x x x x 的一般项为 。 4．级数)2 1 )1(1( 1 n n n n -+∑∞ =的和为 。 三、选择题 1． 下列级数中收敛的是（ ） （A ） ∑∞ =+1 884n n n （B ） ∑∞ =-1848n n n n （C ）∑∞=+1 842n n n n （D ）∑∞=?1842n n n n 2． 下列级数中不收敛的是（ ） （A ）)11(ln 1 n n +∑∞ = （B ）∑∞ =131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+1 4)1(3 n n n n 3． 如果∑∞ =1 n n u 收敛，则下列级数中（ ）收敛。 （A ） ∑∞ =+1 )001.0(n n u （B ） ∑∞ =+1 1000 n n u （C ） ∑∞ =12 n n u (D) ∑ ∞ =11000n n u 4． 设 ∑∞ =1 n n u =2，则下列级数中和不是1的为（ ） 实验二连续系统频域分析 一、实验目的 1．通过观察信号的分解与合成过程，理解利用傅利叶级数进行信号频谱分析的方法。 2．了解波形分解与合成原理。 3．掌握带通滤波器有关特性的设计和测试方法。 4．了解电信号的取样方法与过程以及信号恢复的方法。 5．观察连续时间信号经取样后的波形图，了解其波形特点。 6．验证取样定理并恢复原信号。 二、实验内容 1．用示波器观察方波信号的分解，并与方波的傅利叶级数各项的频率与系数作比较。 2．用示波器观察三角波信号的分解，并与三角波的傅利叶级数各项的频率与系数作比较。 3．用示波器观察方波信号基波及各次谐波的合成。 4．用示波器观察三角波信号基波及各次谐波的合成。 5．用示波器观察不同的取样频率抽样得到的抽样信号。 6．用示波器观察各取样信号经低通滤波器恢复后的信号并验证抽样定理。 三、实验仪器 1．信号与系统实验箱一台 2．信号系统实验平台 3．信号的分解与合成模块（DYT3000-69）一块 4．信号的取样与恢复模块（DYT3000-68）一块 5．同步信号源模块（DYT3000-57）（选用） 6．20MHz双踪示波器一台 7．连接线若干 四、实验原理 1、信号的分解与合成 任何电信号都是由各种不同频率、幅度和初始相位的正弦波跌加而成的。对周期信号由它的傅利叶级数展开式可知，各次谐波为基波频率的整数倍。而非周期信号包含了从零到无穷大的所有频率成份，每一频率成份的幅度均趋向无穷小，但其相对大小是不同的。 通过一个选频网络可以将电信号中所包含的某一频率成份提取出来。本实验采用性能较好的有源带通滤波器作为选频网络。对周期信号波形分解的方案框图如图2-1所示。 实验中对周期方波、三角波、锯齿波信号进行信号的分解。方波信号的傅利叶级数展开式为 411 ()(sin sin 3sin 5)35A f t t t t ωωωπ= +++…；三角波信号的傅利叶级数展开式为2811 ()(sin sin 3sin 5)925A f t t t t ωωωπ=-+-…；锯齿波信号的傅利叶级数展开式为 11()(sin sin 2sin 3)223 A A f t t t t ωωωπ=-+++…，其中2T π ω=为信号的角频率。 将被测的方波信号加到分别调谐于其基波和各次谐波频率的一系列有源带通滤波器电路上，从每一有 源带通滤波器的输出端可以用示波器观察到相应频率的正弦波。实验中采用的被测信号是1KHz 的方波、三角波和锯齿波，而用作选频网络的五种有源带通滤波器的输出频率分别为1KHz 、2KHz 、3KHz 、4KHz 和5KHz ，因而能从各有源带通滤波器的两端观察到基波和各次谐波。其中，对方波信号而言，在理想情况下，偶次谐波应该无输出信号，始终为零电平，而奇次谐波则具有良好的幅度收敛性，理想情况下奇次谐波中一、三、五次谐波的幅度比应为1：1/3：1/5。但实际上因输入方波的占空比较难控制在50%，且方波可能有少量失真以及滤波器本身滤波特性的局限性都会使得偶次谐波分量不能达到理想零的情况。对三角波和锯齿波信号而言，各谐波的幅度关系由上述傅利叶级数展开式决定。 作为选频网络的有源带通滤波器电路原理图如图2-2所示。 通过加法器可以将信号的各次谐波进行合成恢复原信号，信号的合成方案框图和电路原理图分别如图2-3、2-4所示。 实验中，将信号源产生的f 0＝1KHz 的信号进行分解，得到信号的基波、二次谐波、三次谐波、四次谐波和五次谐波；在进行信号合成时，可将信号分解后的各次谐波送加法器合成信号，，此时需调节各正弦波信号的幅度和相位以满足傅利叶级数的比例关系，幅度、相位对波形合成的影响将在其它材料中介绍。 2、信号的取样与恢复 利用抽样脉冲把一个连续信号变为离散时间样值的过程称为抽样，抽样后的信号称为脉冲调幅（PAM ）信号。在满足抽样定理条件下，抽样信号保留了原信号的全部信息，并且从抽样信号中可以无失真的恢复出原始信号。 抽样定理在通信系统、信息传输理论方面占有十分重要的地位。数字通信系统是以此定理作为理论基础。抽样过程是模拟信号数字化的第一步，抽样性能的优劣关系到通信设备整个系统的性能指标。 抽样定理指出：一个频带受限信号m(t)，如果它的最高频率为f h ，则可以唯一的由频率等于或大于2f h 的样值序列所决定。抽样信号的时域与频域变化过程如图2-5所示： 全国计算机等级考试二级公共基础知识考纲 考试内容 一、基本数据结构与算法 1、算法的基本概念；算法复杂度的概念和意义（时间复杂度与空间复杂度）。 2、数据结构的定义；数据的逻辑结构与存储结构；数据结构的图形表示；线性结构与非线性结构的概念。 3、线性表的定义；线性表的顺序存储结构及其插入与删除运算。 4、栈和队列的定义；栈和队列的顺序存储结构及其基本运算。 5、线性单链表、双向链表与循环链表的结构及其基本运算。 6、树的基本概念；二叉树的定义及其存储结构；二叉树的前序、中序和后序遍历。 7、顺序查找与二分法查找算法；基本排序算法（交换类排序，选择类排序，插入类排序）。 二、程序设计基础 1、程序设计方法与风格。 2、结构化程序设计。 3、面向对象的程序设计方法，对象，方法，属性及继承与多态性。 三、软件工程基础 1、软件工程基本概念，软件生命周戎概念，软件工具与软件开发环境。 2、结构化分析方法，数据流图，数据字典，软件需求规格说明书。 3、结构化设计方法，总体设计与详细设计。 4、软件测试的方法，白盒测试与黑盒测试，测试用例设计，软件测试的实施，单元测试、集成测试和系统 测试。 5、程序的调试，静态调试与动态调试。 四、数据库设计基础 1、数据库的基本概念：数据库，数据库管理系统，数据库系统。 2、数据模型，实体联系模型及E-R图，从E-R图导出关系数据模型。 3、关系代数运算，包括集合运算及选择、投影、连接运算，数据库规范化理论。 4、数据库设计方法和步骤：需求分析、概念设计、逻辑设计和物理设计的相关策略。 考试方式：公共基础的考试方式为笔试，与C语言（VisualBASIC、Visual FoxPro、Java、Access、Visual C++）的笔试部分合为一张试卷。公共基础部分占全卷的30分。公共基础知识有10道选择题和5道填空题。 第一章数据结构与算法 一、内容要点 （一）算法 1．算法的基本概念：算法是指解题方案的准确而完整的描述。即是一组严谨地定义运算顺序的规则，并且 第8章 无穷级数练习题 习题8.1 1．判断题（对的划“√”，错的划“×”） （1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ） （2）若级数 ∑∞ =±1 )(n n n v u 收敛，则级数∑∞=1 n n u 与级数∑∞ =1 n n v 都收敛． （ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞ →n n u 时，级数 ∑∞ =1 n n u 不一定收敛.（ ） 2．用级数的“∑”形式填空 （1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7 1 51311 +-+- 即 ． （3） +++4 ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,6 3 524101 ++++ +-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和 （1） -+-33227 47474． （2） +++πππ5 43ln ln ln ． （3） +?+?+?751531311． （4） ++++7 4 53321． （5）∑∞ = -+ 1 ) 1 ( n n n． 4．级数∑∞ =+ 1 ) 3 1 2 1 ( n n n 是否收敛？若收敛，求其和. 5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？ 习题8.2 1．用“收敛”或“发散”填空 （1）∑∞ =13 1 n n ．（）（2）∑∞ =1 2 2 2 ln n n ．（） （3）∑∞ =1! n n．（）（4）∑∞ =1 2.1 1 n n ．（） 2．判断下列正项级数的收敛性 第四章无穷级数复习题 一、选择题 1. 若0lim =∞ →n n a ，则数项级数 ∑∞ =1 n n a （ ） (A)收敛； (B)发散 (C)收敛且和为0； (D)可能收敛，也可能发散． 2. 设级数 ++++++)()(654321a a a a a a 收敛，则级数 ++++4321a a a a （ ） (A)收敛； (B)发散； (C)可能收敛，也可能发散； (D)收敛于原级数的和． 3. 设级数 ++++++)()(654321a a a a a a 发散，则级数 ++++4321a a a a （ ） (A)收敛； (B)发散； (C)收敛且和为0； (D) 可能收敛，也可能发散． 4. 若 ∑∞ =1 n n a 收敛，记∑== n k k n a S 1 ，则{}n S （ ） (A)发散； (B)是无穷大； (C)可能收敛，也可能发散； (D)收敛． 5. 若 ∑∞ =1 n n a 的部分和数列{}n S 有界，则级数 ∑∞ =1 n n a （ ） (A)发散； (B)收敛； (C)可能收敛，也可能发散； (D)等于∞+． 6. ∑∞ =1 n n a 发散，则 ∑∞ =1 n n a （ ） (A)收敛； (B)发散； (C)条件收敛； (D)可能收敛，也可能发散． 7. 设 ∑∞ =1n n a 条件收敛，则下列结论中唯一不正确的是 （ ） (A) ∑∞ =1n n a 发散； (B))(0∞→→n a n ； (C) ∑∞ =1 n n a 收敛； (D) ∑∞ =1 n n a 收敛． 8. 级数 ∑∞ =+1 11 n n a （ ） (A)必收敛； (B)当10≤a 时发散； 第十二章 数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解 当1|| 4、 讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、 证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、 判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要 条件) 7、 证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、 考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解 有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、 判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、 收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，???????±±=--±±==,... 3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。 （2）∑∞ =??? ? ?+11n n n n 解：lim lim()[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a Λ 解：另设级数1 () n v n a b =+ 1111111 (1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ L L 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4)ΛΛ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） Λ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++L （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得2462 1 ()11f x x x x x '=++++=-L （这是公比21q x =<的几何级数） 10级级数练习题答案 1 写出下列级数的通项： （1）1111248- +-+ 解：11 1 (1)2 n n n u --=-，(1,2)n = （2）1 234251017 + ++ + 解：2 1 n n u n =+ (1,2 ) n = （3） 2 3 114 47 710 1013 x x x + + + +???? 解：1 (32)(31) n n x u n n -= -+ (1,2 ) n = （4）2 3 4 2 2 2 22! 3! 4! - + - + 解：1 2 (1) !n n n u n -=- (1,2 ) n = 2设级数1 n n u ∞ =∑的第n 次部分和31 n n S n = +，试写出此级数，并求其和。 解：13(2),(1) n n n u S S n n n -=-= ≥+而113311 12 u S == = +?，1 1 3 (1)n n n u n n ∞ ∞ ==∴= +∑∑ 又3lim lim 31 n n n n S n →∞ →∞ ==+ ，所以级数1 n n u ∞ =∑收敛，且1 3 n n u ∞ ==∑ 3判断下列级数的敛散性。若级数收敛，求其和。 （1 ）0.001+++ 解：1 1lim lim ( )101000 n n n n u →∞ →∞ ==≠ ，所以原级数发散。 （2）2341 2 3 4 44444(1) 5 5 5 5 5 n n n -- + - ++-+ 解：公比4 4, 15 5 q q =-= <，所以级数收敛，和为 4 45419 15 a q = = -+ （3）1 3572 4 6 8 + ++ +??? 解：1 1357212 4 6 8 2n n n ∞ =-+ + + +???= ∑ 21lim lim 102n n n n u n →∞ →∞ -==≠ ，所以原级数发散。 （4）12342 3 4 5 + + ++??? 解：1 12342 3 4 5 1n n n ∞ =+ + ++???= +∑ lim lim 10 1 n n n n u n →∞ →∞ ==≠+ ，所以原级数发散。 （5）???+?? ? ??++??? ??++??? ??+ 271819141312 1 解： 对于1 1()2 n n ∞ =∑，公比112 q = <，所以级数收敛，和为 1 211112 a q = =-- 对于1 1()3 n n ∞ =∑，公比113 q = <，所以级数收敛，和为 1 13112 13 a q = = -- 所以???+?? ? ??++??? ??++??? ??+ 271819141312 1收敛，和为13122+= 4用比较判别法判定下列级数的敛散性 （1）1111357+ +++ 解：121 n u n = - 1 1 21lim lim lim (0,)11212n n n n u n n n →∞ →∞→∞-===∈+∞-(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
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第十二章无穷级数练习题含答案
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第十一章 无穷级数 练习题
信号与线性系统实验报告2
全国计算机等级考试二级公共基础知识考纲
第8章 无穷级数练习题解析
第四章无穷级数复习题
数项级数经典例题大全 (1)
q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0 n n q 当且仅当 1||
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级数练习题答案(10)
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