《高等数学》——数列极限
教学过程设计
A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。
2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。
B 、【组织教学】 检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟）
C 、【复习回顾】 数列的定义（2分钟）
D 、【教学内容、方法和过程】接下表
教师活动
学 生
活 动
设计意图 (一) 结合实际，情景导入(时间4分钟）
导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去
导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.
教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极限思想，今天我们来学习数列极限。
【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。
(二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟） 1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征. （1）１，21，31，41…n
1…递减
（2）递增
（3）摆动
2．解决问题：[共同特征]不论这些变化趋势如何，随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近于常数.（即无限地接近于0） 3．强化认识：（学生回答）观察下面三个数列 ：分析当n 无限 增大时，下列数列的项 的变化趋势 （1）1，
（2）0.9, 0.99, 0.999, 0.9999……… 学生参
与，思 考，感 受
学生参与，思 考 问题，在
老师的引导下对数
列极限知识有一个
形象化的
了解。
通过讨
论，学生
了解以研究函数值
的变化趋
势的观点研究无穷数列，从
而体会发现数列极限的过程
这一阶段
的教学
中，采取
“启发式
谈话法”
与“启发
式讲解法”， 注
意不“一
次到位”
通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。 （一）概念探索阶段”
在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以 前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我
《高等数学》——数列极限 教学设计
教学过程设计 A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。 2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 B 、【组织教学】 检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟） C 、【复习回顾】 数列的定义（2分钟） D 、【教学内容、方法和过程】接下表 教师活动 学 生 活 动 设计意图 (一) 结合实际，情景导入(时间4分钟） 导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一 尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天 截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去 导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、 六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的 周长就无限接近于圆的周长. 教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极 限思想，今天我们来学习数列极限。 【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。 (二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟） 1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征. （1）１，21，31，41…n 1 …递减 （2）递增 （3）摆动 学生参 与，思 考，感 受 学生参 与，思 考 问题，在 老师的引 导下对数 列极限知 识有一个 形象化的 了解。 通过讨 论，学生 了解以研 究函数值 的变化趋势的观点研究无穷数列，从而体会发现数列极限的过程 通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。 （一）概念探索阶段” 在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以
课题 数列的极限 一、教育目标 (一)知识教学点：（1）理解数列极限的定义，即“ε—N 定义”；能说出ε、N 的涵义；懂得n 与N 的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变化趋势。 (二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思维方法，会依据“ε—N 定义”及求数列的极限及证明． (三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点． 二、教学分析 1．重点：数列极限“ε—N 定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性描述”；运用类比方法，引进ε、N ，用不等式来进行定量描述． 2．难点：ε与N 的涵义，n 与N 的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决． 3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明． 三、活动设计 1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习． 2．教具：投影仪(或小挂图．) 四、教学过程 1．数列变化趋势的定性描述： 考察两个实例：即两个无穷数列；0.9，0.99，0.999, (1) n 101 ,…,(1) 1, 21, 41, …, n 2 1 , …, (2) 容易看出：当项数n 无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于1，数列(2)中的项无限趋近于0．．
数列(1)中各项与1的差的绝对值如下表：出示投影仪(或小挂图) 2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影1．引进ε、N ，即怎样定量描述“数列（1）中的项无限趋近与1,请看：对数列｛1- n 10 1｝（1），无论预先给定的ε多么小，总能在数列（1）中找到这样的一项，使得这一项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε． 如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这一项后面的所有项，不等式： ︱（1- 4101）-1︱=4101< 0.001， ︱（1-5101）-1︱=510 1< 0.001… 皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当n ＞N 时，不等式 ︱(1- n 101)-1︱=n 101 < 0.001 恒成立。 再给定ε=0.000001，情形怎样呢？ 学生回答:此时，存在自然数N ＝6，当n ＞N 时，不等式︱(1-n 101)-1︱=n 101 < 0.000001恒成立。 类比分析，从具体到抽象，得出：“无论预先给多么小的正数ε，总存在着这样的自然数N ，当n ＞N 时，不等式︱(1- n 101)-1︱=n 101 <ε恒成立．”事实上，无论预先给定多么小的正数ε，确实存在着这样的自然数N ．这时，可以说数列(1)的极限是1. 3．数列极限的定义：
第十一讲 数列的极限与数学归纳法 教案 【考点简介】 1．数列极限与数学归纳法在自主招生中的考点主要有：数列极限的各种求解方法；无穷等比数列各项和；数列的应用题；常用级数；数学归纳法证明等式与不等式。 【知识拓展】 1．特殊数列的极限 （1）1 lim 0(0,a n a a n →∞=>是常数） （2） lim 0(0)!n n a a n →∞=> （3）lim 0k n n n a →∞=（1a ＞，k 为常数） （4） 111 lim 1,lim 1n n n n e n n e →∞→∞ ????+=-= ? ????? 公式（4）证明：令11n M n ?? =+ ??? ，取自然对数得到1ln ln 1M n n ??=+ ???， 令1x n = ，得ln(1) ln x M x +=， 由洛比达法则得00ln(1)1 lim lim()11x x x x x →→+==+，即0limln 1x M →=， 所以，limln 1n M →∞=，则lim n M e →∞=，即1lim 1n n e n →∞ ?? += ??? 。 另外，数列11n n ???? ??+?? ?????? ?是单调递增的，理由如下：由11n n G A ++≤（1n +个正实数的几何平均数≤ 它们的算术平均数）有111 11111111n n n n n n n ?? ++ ?++??=+?<==+? ? +++? ?? ， 所以1 11111n n n n +??? ?+<+ ? ? +???? 。 2．洛比达法则 若lim ()0x f x →∞ =（或∞），lim ()0x g x →∞ =（或∞），则()'() lim lim ()'() x x f x f x g x g x →∞ →∞=。 3．夹逼定理 如果数列{}n x 、{}n y 以及{}n z 满足下列条件： （1）从某项起，即当0n n ＞（其中0n N ∈），有n n n x y z ≤≤（123n =，，）； （2）lim n n x a →∞ =且lim n n z a →∞ =；
课 题：2.2数列的极限 教学目的： 1. 理解数列极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点：数列极限的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程： 一、复习引入： 1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的 过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝ 1 2n (尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1- 1 2 n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n 12+= ; (2)n n a )3 1(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1 ; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(2 1 )n ; (8)a n =6+n 101 二、讲解新课： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是
看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 考点42 数列的极限、函数的极限与连续性 一、选择题 1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-??+= ?-? ?,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6 【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值. 【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞??-+--??+= ???--???? 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3 →∞??+-+===??-??所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞?)上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +， 当[0,2)x ∈时，()f x =22x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且 {}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞=（ ）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32 【思路点拨】 首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2) f x f x =+可推得 1()(2)3 f x f x =-，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求 解. 【精讲精析】选D ， [)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，， ()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴= [)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则， 2(2)22(2)f x x x -=--+-（）
《数列极限的运算法则》教案 【教学目标】：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 【教学重点】：运用数列极限的运算法则求极限 【教学难点】：数列极限法则的运用 【教学过程】： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]= ±→)()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{} n c 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 三、例题： 例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ →
例2.求下列极限： （1）)45(lim n n +∞→； （2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限： （1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。 例4.求下列极限： （1） )1 1 2171513( lim 2222+++++++++∞ →n n n n n n （2）)39312421( lim 1 1 --∞→++++++++n n n
《数列的极限》教学设计 (一)教材分析 数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。 (二)教学对象 学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长P n不断增大，并越来越接近于圆的周长C。在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。 (三)教学媒体：投影仪 (四)教学目标 ⑴掌握数列极限的定义。 ⑵应用定义求证简单数列的极限，或从数列的变化趋势找到简单数列的极限。 ⑶通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义和辩证唯物主义的教育。 (五)重点、难点 理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。 (六)教学方法：启发分析，讲练结合。 (七)教学过程 一、定义的引进 1.复习提问
⑴ |a| 的几何意义：表示数a 的点与原点的距离。 ⑵ |x-A| 的几何意义：表示数x 的点及数A 的点之间的距离。 ⑶设ε>0，解不等式 |x-A|<ε，并且在数轴上表示出它的解集。 2. 满不等式 |x-A|<ε的点x 全部落在区间(A-ε,A+ε)内，要使点x 与点A 的距离即 |x-A| 无限制地小，ε要怎样变化？引导学生说出ε是一个任意小的正数。 3. 定义的引进 本节课的课题是“数列的极限”(板书)，极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列： 把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来： ① 0 从图形容易看出，不论项数n 怎样大， 永不为0，只是0 的近似值，但当n 无限增大时，数列 的项就无限趋近于0。即当n →∞时， →0。 再看无穷数列②：0.9,0.99,0.999,……， ，…… 0 0.9 0.99 1 当项数无限增大时②中的项无限趋近于1，即n →∞时， →1。 “无限增大”、“无限趋近”怎样利用数量来刻划呢？ 如图由,||εεε+<<-?<-A x A A x )"(",......;21,......,81,41,21万世不竭这是一个无穷数列n 321161814121n 21{}n 21n 21 n 1011-n 1011-n 21
§2.1 数列极限的概念 教学目标：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题. 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念.会应用数列极限 的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述. 教学重点：数列极限的概念. 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程： 一、组织教学 二、复习引入新课 三、新课讲授 数列极限 对于这个问题，先看两个个例子： 1.割圆术：求圆面积 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” -----------刘徽 2.古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话： “一尺之棰，日 A
取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）: 第1天截下 12 ， 第2天截下2111 222 ?=， 第3天截下23111 222?=， 第n 天截下1111 222n n -?=， 得到一个数列： 231111 ,,,,,2222 n 不难看出，数列12n ?? ???? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零. 普通定义：一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列. 据此可以说，数列12n ?? ???? 是收敛数列，0是它的极限. 数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列. 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析. 以11n ?? +???? 为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，1 1n a n =+ 无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n +与 1的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1 |11|n +-会任意小，只要n 充分大. 如：要使1 |11|0.1n + -<，只要10n >即可；
数列极限的运算法则（5月3日） 教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→) ()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．． 多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限， 则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 二.例题： 例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞ →n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ → 例2.求下列极限： （1）)45(lim n n + ∞ →； （2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限： （1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限， 上面的极限运算法则不能直接运用。
数列的极限 【教学目标】 1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限。 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力。 3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣。 【教学重难点】 重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解。 难点：数列极限的定义的理解。 【教学过程】 一、 情景引入 1．创设情境，引出课题。 1．观察。 教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 哪位同学能解释一下此话意思？ 学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，……，如此继续下去，永远也无法取完。 思考： 教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？ 学生： , 2 1 , , 81 , 41 , 21n 。 3．讨论。 教师：随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？ 学生：慢慢靠近0。 教师：这就是我们今天要学习的数列的极限——引出课题。 二、学习新课 1．观察归纳，形成概念。 （1）直观认识。 教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势。
（1） ,10 1 ,,101,101,10132n ； ①“项”随n 的增大而减小； ②但都大于0； ③当n 无限增大时，相应的项 n 101 可以“无限趋近于”常数0。 （2） ,)1(,,31,21,1n n ---； ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小； ②当n 无限增大时，相应的项n n ) 1(-可以“无限趋近于”常数0。 （3） ,1 , ,43,32,21+n n ； ①“项”随n 的增大而增大； ②但都小于1； ③当n 无限增大时，相应的项 1 +n n 可以“无限趋近于”常数1。 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式： （a ）从右趋近；（c ）从左趋近；（b ）从左右。 两方趋近，使学生明白不同的趋近方式。 教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题，我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用。刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣。” 概念辨析： 教师：归纳数列极限的描述性定义。 学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限。 教师：是不是每个数列都有极限呢？ 学生1：（思考片刻）不是。如n a n =。 学生2：2n a n =；n n a )1(-=。
数学MATH
课 题: 数列的极限 目的要求： 教学重点： 教学难点： 教学课时： 教学方法： 教学内容与步骤： 数列的极限 设x n =f (n )是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x 1, x 2,…x n , …, 称为一个数列. x n 称为数列的第n 项，也称为通项,数列也可表示为{x n }或x n =f (x n )）例： 看数列1. n x n 11+ = 从直观上看,这个数列当n 越来越大时, 对应的项xn 会越来越接近于1,或者说“当n 趋向
于无穷大时, 数列xn 趋近于1''.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实? 注意到,实数a , b 的接近程度由| a -b |确定. | a -b |越小, 则a , b 越接近.因此, 要说明“ 当n 越来越大时, x n 越来越接近于1”就只须说明“ 当n 越来越大时, |x n -1 |会越来越接近于0”.而要说明“|x n -1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n 充分大时,| x n -1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数ε” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数ε, 当n 充分大时, | x n -1 | 比ε还小,由于ε是任意的,从而就说明了|x n -1| 会越来越接近于0. 事实上，n x n 1|1|=-，给10001= ε很小, 要1000 11|1|< =-n x n 只须 n >1000 即可, 也 即在这个数列中,从第1001项开始,以后各项都有1000 1|1|< -n x 又给：100001= ε则从第10001项开始,以后各项都有10000 1|1|<-n x ，一般, 任给ε >0, 不论多么小, 要使ε<=-n x n 1|1|， 只须ε 1>n ，因此, 从第11+? ? ????ε项开始, 以后各项都 有ε<-|1|n x ，因ε是任意的, 这就说明了当n 越来越大时, x n 会越来越接近于1. 定义: 设{x n }是一个数列, a 是一个常数, 若?ε >0, ?正整数N , 使得当n >N 时, 都有|x n -a |<ε,则称a 是数列{x n }当n 无限增大时的极限, 或称{x n }收敛于a , 记作： 这时, 也称{x n }的极限存在, 否则, 称{x n }的极限不存在, 或称{x n }是发散的. 比如, 对于刚才的数列 1. 有1)11(lim =+∞→n n ，,0)1(lim =-∞→n n n .lim 2 1 )1(lim 2不存在和而n n n n ∞→∞→+- 注1. 定义中的ε是预先给定的, 任意小的正数, 其任意性保证了x n 可无限接近于a ,另外, ε又是确定的, 它不是变量. 注2. 一般说来, N 随给定的ε变化而变化, 给不同的ε 确定的N 也不同,另外, 对同一个ε来说, N 不是唯一的(若存在一个N , 则N +1, N +2, …, 均可作为定义中的N .) 注3.定义中“ 当n >N 时, 有| x n -a |<ε”的意思是说, 从第N +1项开始,以后各项都有|x n -a |<ε,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质. 几何意义: 由于| x n -a |<ε ? a-ε
2019-2020年高二数学《数列的极限》教案沪教版 一、教学内容分析 极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要. 二、教学目标设计 1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力. 3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣. 三、教学重点及难点 重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 难点：数列极限的定义的理解. 四、教学用具准备 电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发 思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈. 五、教学流程设计
六、教学过程设计 一、 情景引入 1、创设情境，引出课题 1. 观察 教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？ 学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完思考 教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？ 学生 ： , 21 , , 81 , 41 , 2 1n 3．讨论 教师； 随着的增大，数列的项会怎样变化？ 学生： 慢慢靠近0. 教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题 二、学习新课 2、观察归纳，形成概念 （1）直观认识 教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势 （a ） ①“项”随的增大而减小 ②但都大于0 ③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0 （b ） ①“项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小 ②当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0 （c ）
7.7（1）数列的极限 一、教学内容分析 极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要. 二、教学目标设计 1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力. 3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣. 三、教学重点及难点 重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 难点：数列极限的定义的理解. 四、教学用具准备 电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发 思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈. 五、教学流程设计
六、教学过程设计 一、 情景引入 1、创设情境，引出课题 1. 观察 教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？ 学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完. 2. 思考 教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？ 学生 ： ΛΛΛ , 21 , , 81 , 41 , 2 1n 3．讨论 教师； 随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？ 学生： 慢慢靠近0. 教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题 二、学习新课 2、观察归纳，形成概念 （1）直观认识 教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势 （a ）ΛΛ,10 1,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于
第十九教时 教材：数列极限的运算 目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。 过程： 一、复习数列极限的运算法则 例一、先求极限121 2 2lim --+∞ →n n n n ，再用ε—N 定义证明。 解：21121 11121 2 2 2 2lim lim =--+ =--+∞ →∞→n n n n n n n n 任给)12(21 2|21121|,02 22--=---+>n n n n n ε 则 n n n n n n n 1 22242)12(2122 22=<-<-- )224,22,1,1(2222n n n n n >-∴>>>时当 令]1 [1 1ε ε ε=>
§1.2 数列的极限 【教学内容】： 1、数列的定义 2、数列极限的定义 3、收敛数列极限的性质 【教学目的】： 1、理解数列的极限概念 2、掌握收敛数列的极限性质：唯一性，有界性 【教学重点】： 收敛数列的性质 极限运算法则 【教学难点】： 数列的极限概念 【教学设计】： 首先介绍古代数学家刘徽的割圆术引入极限思想（10分钟），然后介绍数列的概念及其数列的极限定义——N ε-定义以及利用N ε-定义进行简单数列极限的证明（35分钟）；然后介绍数列极限的性质及性质的证明（35分钟）及其数列极限的四则运算法则（10分钟），最后课堂练习（10分钟）。 【教学过程】： 问题的引入：割圆术问题： 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中介绍割圆术计算圆周率π。“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这句话明确的表达了极限思想。 正六边形的面积1A 正十二边形的面积2A 正162n -?形的面积n A 123,,, ,, n A A A A S ? 一、数列的定义 定义:按自然数1,2,3,...编号依次排列的一列数 12,, ,, n x x x (1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,n x 称为通项(一般项).数列(1)记为{}n x .例如： () ()()() 1 1 1 1 123{}234112482{2}11111{}248221111{1} 1114 2 { } 23n n n n n n n n n n n n n n n n ++--++---+-+-，，，，，； ，，，，； ，，，，，； ，，，，，； ，，，，， 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 12,, ,, .n x x x 2.数列是整标函数().n x f n = 二、数列的极限 问题: 当n 无限增大时, n x 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确 定? 例如：1 (1),1 1.n n n x n --=+当无限增大时无限接近于 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 我们来观察??? ???+n n 1的情况。不难发现 n n 1+随着n 的增大，无限制地接近1，亦即n 充分大时，n n 1 +与1可以任意地接近，即11-+n n 可以任意地小，换言之，当 n 充分大时 11 -+n n 可以小于预先给定的无论多么小的正数ε。例如，取1001= ε，由1001001111>?<=-+n n n n ，即? ?? ???+n n 1从第101项开始，以后的1 23 4 n
《高等数学》——数列极限 教学过程设计
A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。 2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 B 、【组织教学】 检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟） C 、【复习回顾】 数列的定义（2分钟） D 、【教学内容、方法和过程】接下表 教师活动 学 生 活 动 设计意图 (一) 结合实际，情景导入(时间4分钟） 导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去 导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长. 教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极限思想，今天我们来学习数列极限。 【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。 (二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟） 1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征. （1）１，21，31，41…n 1…递减 （2）递增 （3）摆动 2．解决问题：[共同特征]不论这些变化趋势如何，随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近于常数.（即无限地接近于0） 3．强化认识：（学生回答）观察下面三个数列 ：分析当n 无限 增大时，下列数列的项 的变化趋势 （1）1， （2）0.9, 0.99, 0.999, 0.9999……… 学生参 与，思 考，感 受 学生参与，思 考 问题，在 老师的引导下对数 列极限知识有一个 形象化的 了解。 通过讨 论，学生 了解以研究函数值 的变化趋 势的观点研究无穷数列，从 而体会发现数列极限的过程 这一阶段 的教学 中，采取 “启发式 谈话法” 与“启发 式讲解法”， 注 意不“一 次到位” 通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。 （一）概念探索阶段” 在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以 前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛；
{}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多
高中数学《数列的极限》教学设计 一、教学目标 1.知识与能力目标 ①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。 ②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。 ③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。 2.过程与方法目标培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。 3.情感、态度、价值观目标使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。 二、教学重点和难点 教学重点：数列极限的概念和定义。教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。
三、教学对象分析 这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an 与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。 四、教学策略及教法设计 本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一个实际问