课题
数列的极限
一、教育目标
(一)知识教学点：（1）理解数列极限的定义，即“ε—N 定义”；能说出ε、N 的涵义；懂得n 与N 的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变化趋势。
(二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思维方法，会依据“ε—N 定义”及求数列的极限及证明．
(三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点． 二、教学分析
1．重点：数列极限“ε—N 定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性描述”；运用类比方法，引进ε、N ，用不等式来进行定量描述．
2．难点：ε与N 的涵义，n 与N 的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决． 3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明． 三、活动设计
1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习． 2．教具：投影仪(或小挂图．) 四、教学过程
1．数列变化趋势的定性描述：
考察两个实例：即两个无穷数列；0.9，0.99，0.999, (1)
n
101
,…,(1) 1,
21, 41, …, n 2
1
, …, (2) 容易看出：当项数n 无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于1，数列(2)中的项无限趋近于0．．
数列(1)中各项与1的差的绝对值如下表：出示投影仪(或小挂图)
2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影1．引进ε、N ，即怎样定量描述“数列（1）中的项无限趋近与1,请看：对数列｛1-
n
10
1｝（1），无论预先给定的ε多么小，总能在数列（1）中找到这样的一项，使得这一项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．
如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这一项后面的所有项，不等式：
︱（1-
4101）-1︱=4101< 0.001， ︱（1-5101）-1︱=510
1< 0.001… 皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当n ＞N 时，不等式
︱(1-
n 101)-1︱=n
101
< 0.001 恒成立。 再给定ε=0.000001，情形怎样呢？
学生回答:此时，存在自然数N ＝6，当n ＞N 时，不等式︱(1-n 101)-1︱=n
101
< 0.000001恒成立。
类比分析，从具体到抽象，得出：“无论预先给多么小的正数ε，总存在着这样的自然数N ，当n ＞N 时，不等式︱(1-
n 101)-1︱=n
101
<ε恒成立．”事实上，无论预先给定多么小的正数ε，确实存在着这样的自然数N ．这时，可以说数列(1)的极限是1. 3．数列极限的定义：
设有数列{a n }，如果存在常数A,使得预先给定的无论怎样小的正数ε，总存在正整数N ，只要n ＞N,所对应的a n 就都满足不等式：
︱a n -A ︱< ε，此时，就把常数A 叫着数列{a n }的极限． 记作∞
→n lim a n =A, 读作“当n 趋向于无穷大时，a n 的极限等于A ”
上述定义可简述为：任给ε＞0，如果总存在自然数N ，当n ＞N 时，不等式︱a n -A ︱< ε恒成立，就说数列{a n }的极限是A ，
注：∞
→n lim a n =A 有时也可以记作当n →∞时，a n →A .
从数列的极限定义可以看出，数列{a n } 以A 为极限，当n 无限增大时，数列{a n }中的项无限趋近于A ，即a n 与A 的差的绝对值无限趋近于零。 4．举例
例1． 已知数列：
21，32，43，…,1
+n n
,… （1） 计算∣a n -1∣.
（2） 第几项后面所有项与1的差的绝对值都小于
100
1
？什么时候都小于任意给定的正数ε？
(3)确定这个数列的极限． 解：（1）∣a n -1∣=︱
1+n n -1 ︳=︱11+-n ︱=1
1+n （2）要使
1
1+n < 100，就要使n+1＞100,即n ＞99,就是说，第99项后面的所有项与1的差的绝对值都小于100
1
。要使∣a n -1∣<ε，即要
11+n <ε，即n ＞ε1 - 1,取N=[ε
1 - 1]，那么第N 项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε．
（3） 因为ε＞0，存在N ，当n ＞N 时，∣a n -1∣<ε恒成立
所以∞
→n lim a n =1，即这个数列的极限为1.
例2．求证常数数列，－a ，－a ，－a ，…的极限．
解：任意给定ε＞0，总存在自然数N(不妨取N ＝1)，当n ＞N 时，不等式：|－a －(－a)|=0＜ε恒成立
所以∞
→n lim （-a ）=-a
例3.已知a n =2
)1()1(+-n n
，证明数列a n 的极限是零.
证 任意给定ε＞0（设0＜ε＜1）
因为∣a n -0∣=︱2
)1()1(+-n n
-0︱=2)1(1+n ＜11+n
要使∣a n -1∣<ε，只要
11+n ＜ε即n ＞ε1 - 1.因此可取N=[ε
1 - 1]，则当n ＞N 时就有，︱2
)1()1(+-n n
-0︱＜ε 即∞→n lim 2
)1()1(+-n n
=0 例3.求证：数列{
121++n n }的极限时2
1
证 ︱
121++n n -21︱=︱)
12(2)
12(22++-+n n n ︱=241+n 欲使︱
121++n n -21︱＜ε，只需解不等式241+n ＜ε，即4n+2＞ε
1
，解得 n ＞
2141-ε,取N=[2141-ε]，当n ＞N 时就有：︱121++n n -2
1
︱＜ε恒成立。 数列的极限是
2
1，即∞→n lim 121++n n =21
5．关于“ε—N 定义”的两点说明
(1)ε与N 的关系：从例1、例3可以看出：对于预先任意给定ε＞0，为找到这样的自然数，使当 n ＞N 时，︱a n -A ︱<ε恒成立，把ε看作已知数，从解不等式︱a n -A ︱<ε入手，然后再确定N ，如要确定数列{1-
n
101
}的第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于任意给定的正数ε，解不等式︱(1-
n 101)-1︱=n
101＜ε可得n ＞㏑ε
1(可令ε＜1)取N=[㏑
ε
1
]，当n ＞N 是时，︱(1-n 101)-1︱＜ε恒成立.
即：如果已知数列{a n }的极限是A ，对任意给定的ε＞0，总可以求出N ，从这个意义上说，可以把N 看作ε的函数，所以有时把N 记作N(ε)． （2）a n 与A 的关系：
数列{a n }的极限是A ，a n 可能比A 小而无限趋近于A ，如数列{1-
n
101
}；a n 也可能比A 大而无限趋近于A ，如数列{(-1)
n
n 2
1
}；a n 也可能等于A ；如常数数列{－7}． 6．消除疑点
ε的绝对任意性和相对的确定性：(1)就极限的全过程来说，ε必须具有绝对的任意性.只有这样，当n ＞N 时，︱a n -A ︱< ε恒成立，才能表明{a n }无限趋近于A ，（2） 就极限全过程的某一阶段来说，ε又是具体给定的，即相对确定性，如取ε＝0.1，ε=0.01，ε=0.001,…这样有不等式︱a n -A ︱< 0.1，︱a n -A ︱< 0.01，︱a n -A ︱< 0.001；等等都成立。表明数列{a n }趋近A 的无限过程。Ε的绝对任意性是通过无限多个相对确定性表示出来的． 7．数列极限的存在性
并不是每个数列都有极限．反例：①如数例{n}不存在极限，因为当项数n 无限增大时，数列中的项n 也无限增大，反例：（2）如数例{(-1)n
}，当项数n 无限增大时，即n →∞，数列中的项(-1)n
时而为（-1），时而为1，所以这个数列不存在极限。
9．总结
对照板书的设计内容，强调讲述： (1)数列极限的“ε—N 定义”．
（2）ε与N 的关系：当{a n }极限存在时，对任意给定ε＞0，总可以通过解不等式︱a n -A
︱<ε，来确定N ，从这点而言，可以把ε的函数 (3)ε的绝对任意性和相对确定性的辩证关系的理解 (4)会依据“ε—N ”定义，求证简单数列的极限． 五、布置作业
1.已知数列4-
101，4-201 ，4-301 ，…,4-n
101,…
（1）计算∣a n -4∣.
(2)第几项后面所有项与4的差绝对值都小于0.01？都小于任意指定的正数ε？
(3)确定这个数列的极限．
解（1）∣a n -4∣=I 4-
n 101-4 I=n
101
（2）解不等式∣a n -4∣<0.01，即I
n
101
I < 0.01，
n ＞10，所以，第10向后面的所有项与4的差的绝对值都小于0.01；
解不等式∣a n -4∣<ε，即
n 101<ε可得n ＞ε101.取N 为ε101的整数部分，N=[ε
101]，所以，第N 项后面的所有项与4的差的绝对值都小于任意指定的正数ε． (3)由(2)可知，这个数列的极限为4．
2. 证明：等比数列1,q , q 2
,…, q 1
-n ,…
当∣q ∣< 1时的极限是0.
证 任意给定ε＞0设（ 0<ε<1 ）
因为∣a n -0∣= ∣q 1
-n -0∣=∣q ∣1
-n ，要使∣a n -0∣<ε，只要∣q ∣1
-n <ε
取自然对数得（n-1）㏑∣q ∣< ㏑ε，因∣q ∣< 1则㏑∣q ∣< 0，
故n ＞1+(㏑ε)/㏑∣q ∣.取N=[ 1+(㏑ε)/㏑∣q ∣ ],当n ＞N 时，就有∣q 1
-n -0∣<ε，
即∞
→n lim q
1
-n =0
3．求证：数列{
2312++n n }的极限是3
2
证 任意给定ε＞0，
因为∣a n -
32∣=∣2312++n n -32∣=∣)
23(3)23(236++-+n n n ∣=∣691+-n ∣=691+n ，要使∣a n -
32∣<ε，只需解不等式691+n <ε，即9n+6 >ε1,解得n >ε91-3
2 取N=[
ε91-3
2] 所以，对任意给定ε＞0，总存在自然数N=[
ε91-32]，当n > N 时，不等式∣2312++n n -3
2∣<ε恒成立.所以，数列数列{2312++n n }的极限是32，即∞→n lim 2312++n n =3
2
4.先求数列{0.11…1}的极限，再用“ε—N 定义”证明．
解：n a =
101+2101+…+n 101=)10
1
1(91n -,由上式可知数列的极限为91，即
∞→n lim n a =∞→n lim )10
1
1(91n -=91 下面用ε－N 定义证明之
任给定ε＞0，︱n a -91︱=︱)10
1
1(91n --91︱=n 1091?，要使︱n a -91︱<ε，只需n
1091?<ε解不等式n
10＞ε91，即n=㏑ε91取N=[ε91]，当n ＞N 时，︱n
a -91︱<ε恒成立
所以∞
→n lim n a =∞
→n lim
)10
1
1(91n -=91.
六、板书设计
数列的极限
张香丽
《高等数学》——数列极限 教学设计
教学过程设计 A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。 2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 B 、【组织教学】 检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟） C 、【复习回顾】 数列的定义（2分钟） D 、【教学内容、方法和过程】接下表 教师活动 学 生 活 动 设计意图 (一) 结合实际，情景导入(时间4分钟） 导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一 尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天 截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去 导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、 六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的 周长就无限接近于圆的周长. 教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极 限思想，今天我们来学习数列极限。 【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。 (二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟） 1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征. （1）１，21，31，41…n 1 …递减 （2）递增 （3）摆动 学生参 与，思 考，感 受 学生参 与，思 考 问题，在 老师的引 导下对数 列极限知 识有一个 形象化的 了解。 通过讨 论，学生 了解以研 究函数值 的变化趋势的观点研究无穷数列，从而体会发现数列极限的过程 通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。 （一）概念探索阶段” 在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以
L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
课题 数列的极限 一、教育目标 (一)知识教学点：（1）理解数列极限的定义，即“ε—N 定义”；能说出ε、N 的涵义；懂得n 与N 的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变化趋势。 (二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思维方法，会依据“ε—N 定义”及求数列的极限及证明． (三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点． 二、教学分析 1．重点：数列极限“ε—N 定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性描述”；运用类比方法，引进ε、N ，用不等式来进行定量描述． 2．难点：ε与N 的涵义，n 与N 的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决． 3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明． 三、活动设计 1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习． 2．教具：投影仪(或小挂图．) 四、教学过程 1．数列变化趋势的定性描述： 考察两个实例：即两个无穷数列；0.9，0.99，0.999, (1) n 101 ,…,(1) 1, 21, 41, …, n 2 1 , …, (2) 容易看出：当项数n 无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于1，数列(2)中的项无限趋近于0．．
数列(1)中各项与1的差的绝对值如下表：出示投影仪(或小挂图) 2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影1．引进ε、N ，即怎样定量描述“数列（1）中的项无限趋近与1,请看：对数列｛1- n 10 1｝（1），无论预先给定的ε多么小，总能在数列（1）中找到这样的一项，使得这一项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε． 如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这一项后面的所有项，不等式： ︱（1- 4101）-1︱=4101< 0.001， ︱（1-5101）-1︱=510 1< 0.001… 皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当n ＞N 时，不等式 ︱(1- n 101)-1︱=n 101 < 0.001 恒成立。 再给定ε=0.000001，情形怎样呢？ 学生回答:此时，存在自然数N ＝6，当n ＞N 时，不等式︱(1-n 101)-1︱=n 101 < 0.000001恒成立。 类比分析，从具体到抽象，得出：“无论预先给多么小的正数ε，总存在着这样的自然数N ，当n ＞N 时，不等式︱(1- n 101)-1︱=n 101 <ε恒成立．”事实上，无论预先给定多么小的正数ε，确实存在着这样的自然数N ．这时，可以说数列(1)的极限是1. 3．数列极限的定义：
第十一讲 数列的极限与数学归纳法 教案 【考点简介】 1．数列极限与数学归纳法在自主招生中的考点主要有：数列极限的各种求解方法；无穷等比数列各项和；数列的应用题；常用级数；数学归纳法证明等式与不等式。 【知识拓展】 1．特殊数列的极限 （1）1 lim 0(0,a n a a n →∞=>是常数） （2） lim 0(0)!n n a a n →∞=> （3）lim 0k n n n a →∞=（1a ＞，k 为常数） （4） 111 lim 1,lim 1n n n n e n n e →∞→∞ ????+=-= ? ????? 公式（4）证明：令11n M n ?? =+ ??? ，取自然对数得到1ln ln 1M n n ??=+ ???， 令1x n = ，得ln(1) ln x M x +=， 由洛比达法则得00ln(1)1 lim lim()11x x x x x →→+==+，即0limln 1x M →=， 所以，limln 1n M →∞=，则lim n M e →∞=，即1lim 1n n e n →∞ ?? += ??? 。 另外，数列11n n ???? ??+?? ?????? ?是单调递增的，理由如下：由11n n G A ++≤（1n +个正实数的几何平均数≤ 它们的算术平均数）有111 11111111n n n n n n n ?? ++ ?++??=+?<==+? ? +++? ?? ， 所以1 11111n n n n +??? ?+<+ ? ? +???? 。 2．洛比达法则 若lim ()0x f x →∞ =（或∞），lim ()0x g x →∞ =（或∞），则()'() lim lim ()'() x x f x f x g x g x →∞ →∞=。 3．夹逼定理 如果数列{}n x 、{}n y 以及{}n z 满足下列条件： （1）从某项起，即当0n n ＞（其中0n N ∈），有n n n x y z ≤≤（123n =，，）； （2）lim n n x a →∞ =且lim n n z a →∞ =；
课 题：2.2数列的极限 教学目的： 1. 理解数列极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点：数列极限的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程： 一、复习引入： 1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的 过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝ 1 2n (尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1- 1 2 n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n 12+= ; (2)n n a )3 1(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1 ; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(2 1 )n ; (8)a n =6+n 101 二、讲解新课： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 考点42 数列的极限、函数的极限与连续性 一、选择题 1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-??+= ?-? ?,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6 【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值. 【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞??-+--??+= ???--???? 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3 →∞??+-+===??-??所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞?)上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +， 当[0,2)x ∈时，()f x =22x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且 {}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞=（ ）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32 【思路点拨】 首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2) f x f x =+可推得 1()(2)3 f x f x =-，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求 解. 【精讲精析】选D ， [)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，， ()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴= [)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则， 2(2)22(2)f x x x -=--+-（）
假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下： 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！） 必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 （1）0比0 无穷比无穷时候直接用 （2）0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 （3）0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sin 展开cos 展开ln（1+x）展开 对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！
《数列极限的运算法则》教案 【教学目标】：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 【教学重点】：运用数列极限的运算法则求极限 【教学难点】：数列极限法则的运用 【教学过程】： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]= ±→)()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{} n c 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 三、例题： 例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ →
例2.求下列极限： （1）)45(lim n n +∞→； （2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限： （1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。 例4.求下列极限： （1） )1 1 2171513( lim 2222+++++++++∞ →n n n n n n （2）)39312421( lim 1 1 --∞→++++++++n n n
1.定义法 N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a .记作：lim n n a a →∞ =.否则称{} n a 为发散数列. 例1.求证1 lim 1,n n a →∞ =其中0a >. 证：当1a =时，结论显然成立. 当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)n n a n n ααα=+≥+=+- 得1 11n a a n --≤，任给0ε>，则当1 a n N ε ->=时，就有1 1n a ε-<，即 11n a ε-<即1lim 1,n n a →∞ = 当 11 1 1 101,1,lim 1,lim 1 lim n n n n n n a b b b a a b →∞→∞→∞ <<=>=∴= =时，令则由上易知 综上，1lim 1,n n a →∞ =0a > 例2.求7lim ! n n n →∞ 解：77777777777771 !1278917!6!n n n n n n =????????≤=- 77777171771 00,,0!6!6!!6!n n N n N n n n n εε??∴-≤∴?>?=>-≤???? 则当时，有<ε 7lim 0! n n n →∞∴= 2.利用柯西收敛准则 柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0,ε?>?正整数N ，使得当,n m N >时，有n m a a ε-<. 例3.证明：数列1sin (1,2,3,)2 n n k k k x n ===???∑ 为收敛数列.
《数列的极限》教学设计 (一)教材分析 数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。 (二)教学对象 学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长P n不断增大，并越来越接近于圆的周长C。在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。 (三)教学媒体：投影仪 (四)教学目标 ⑴掌握数列极限的定义。 ⑵应用定义求证简单数列的极限，或从数列的变化趋势找到简单数列的极限。 ⑶通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义和辩证唯物主义的教育。 (五)重点、难点 理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。 (六)教学方法：启发分析，讲练结合。 (七)教学过程 一、定义的引进 1.复习提问
⑴ |a| 的几何意义：表示数a 的点与原点的距离。 ⑵ |x-A| 的几何意义：表示数x 的点及数A 的点之间的距离。 ⑶设ε>0，解不等式 |x-A|<ε，并且在数轴上表示出它的解集。 2. 满不等式 |x-A|<ε的点x 全部落在区间(A-ε,A+ε)内，要使点x 与点A 的距离即 |x-A| 无限制地小，ε要怎样变化？引导学生说出ε是一个任意小的正数。 3. 定义的引进 本节课的课题是“数列的极限”(板书)，极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列： 把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来： ① 0 从图形容易看出，不论项数n 怎样大， 永不为0，只是0 的近似值，但当n 无限增大时，数列 的项就无限趋近于0。即当n →∞时， →0。 再看无穷数列②：0.9,0.99,0.999,……， ，…… 0 0.9 0.99 1 当项数无限增大时②中的项无限趋近于1，即n →∞时， →1。 “无限增大”、“无限趋近”怎样利用数量来刻划呢？ 如图由,||εεε+<<-?<-A x A A x )"(",......;21,......,81,41,21万世不竭这是一个无穷数列n 321161814121n 21{}n 21n 21 n 1011-n 1011-n 21
§2.1 数列极限的概念 教学目标：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题. 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念.会应用数列极限 的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述. 教学重点：数列极限的概念. 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程： 一、组织教学 二、复习引入新课 三、新课讲授 数列极限 对于这个问题，先看两个个例子： 1.割圆术：求圆面积 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” -----------刘徽 2.古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话： “一尺之棰，日 A
取其半，万世不竭”.把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）: 第1天截下 12 ， 第2天截下2111 222 ?=， 第3天截下23111 222?=， 第n 天截下1111 222n n -?=， 得到一个数列： 231111 ,,,,,2222 n 不难看出，数列12n ?? ???? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零. 普通定义：一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列. 据此可以说，数列12n ?? ???? 是收敛数列，0是它的极限. 数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列. 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来.还有待进一步分析. 以11n ?? +???? 为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，1 1n a n =+ 无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n +与 1的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1 |11|n +-会任意小，只要n 充分大. 如：要使1 |11|0.1n + -<，只要10n >即可；
数列极限的几种求法 摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处． 关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列 中图分类号Ｏ171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying． Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence １引言 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态． 极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形． 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨
数列极限的运算法则（5月3日） 教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]=±→) ()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．． 多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限， 则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 二.例题： 例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞ →n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ → 例2.求下列极限： （1）)45(lim n n + ∞ →； （2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限： （1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限， 上面的极限运算法则不能直接运用。
数列的极限 【教学目标】 1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限。 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力。 3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣。 【教学重难点】 重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解。 难点：数列极限的定义的理解。 【教学过程】 一、 情景引入 1．创设情境，引出课题。 1．观察。 教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 哪位同学能解释一下此话意思？ 学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，……，如此继续下去，永远也无法取完。 思考： 教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？ 学生： , 2 1 , , 81 , 41 , 21n 。 3．讨论。 教师：随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？ 学生：慢慢靠近0。 教师：这就是我们今天要学习的数列的极限——引出课题。 二、学习新课 1．观察归纳，形成概念。 （1）直观认识。 教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势。
（1） ,10 1 ,,101,101,10132n ； ①“项”随n 的增大而减小； ②但都大于0； ③当n 无限增大时，相应的项 n 101 可以“无限趋近于”常数0。 （2） ,)1(,,31,21,1n n ---； ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小； ②当n 无限增大时，相应的项n n ) 1(-可以“无限趋近于”常数0。 （3） ,1 , ,43,32,21+n n ； ①“项”随n 的增大而增大； ②但都小于1； ③当n 无限增大时，相应的项 1 +n n 可以“无限趋近于”常数1。 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式： （a ）从右趋近；（c ）从左趋近；（b ）从左右。 两方趋近，使学生明白不同的趋近方式。 教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题，我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用。刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣。” 概念辨析： 教师：归纳数列极限的描述性定义。 学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限。 教师：是不是每个数列都有极限呢？ 学生1：（思考片刻）不是。如n a n =。 学生2：2n a n =；n n a )1(-=。
数学MATH
课 题: 数列的极限 目的要求： 教学重点： 教学难点： 教学课时： 教学方法： 教学内容与步骤： 数列的极限 设x n =f (n )是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x 1, x 2,…x n , …, 称为一个数列. x n 称为数列的第n 项，也称为通项,数列也可表示为{x n }或x n =f (x n )）例： 看数列1. n x n 11+ = 从直观上看,这个数列当n 越来越大时, 对应的项xn 会越来越接近于1,或者说“当n 趋向
于无穷大时, 数列xn 趋近于1''.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实? 注意到,实数a , b 的接近程度由| a -b |确定. | a -b |越小, 则a , b 越接近.因此, 要说明“ 当n 越来越大时, x n 越来越接近于1”就只须说明“ 当n 越来越大时, |x n -1 |会越来越接近于0”.而要说明“|x n -1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n 充分大时,| x n -1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数ε” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数ε, 当n 充分大时, | x n -1 | 比ε还小,由于ε是任意的,从而就说明了|x n -1| 会越来越接近于0. 事实上，n x n 1|1|=-，给10001= ε很小, 要1000 11|1|< =-n x n 只须 n >1000 即可, 也 即在这个数列中,从第1001项开始,以后各项都有1000 1|1|< -n x 又给：100001= ε则从第10001项开始,以后各项都有10000 1|1|<-n x ，一般, 任给ε >0, 不论多么小, 要使ε<=-n x n 1|1|， 只须ε 1>n ，因此, 从第11+? ? ????ε项开始, 以后各项都 有ε<-|1|n x ，因ε是任意的, 这就说明了当n 越来越大时, x n 会越来越接近于1. 定义: 设{x n }是一个数列, a 是一个常数, 若?ε >0, ?正整数N , 使得当n >N 时, 都有|x n -a |<ε,则称a 是数列{x n }当n 无限增大时的极限, 或称{x n }收敛于a , 记作： 这时, 也称{x n }的极限存在, 否则, 称{x n }的极限不存在, 或称{x n }是发散的. 比如, 对于刚才的数列 1. 有1)11(lim =+∞→n n ，,0)1(lim =-∞→n n n .lim 2 1 )1(lim 2不存在和而n n n n ∞→∞→+- 注1. 定义中的ε是预先给定的, 任意小的正数, 其任意性保证了x n 可无限接近于a ,另外, ε又是确定的, 它不是变量. 注2. 一般说来, N 随给定的ε变化而变化, 给不同的ε 确定的N 也不同,另外, 对同一个ε来说, N 不是唯一的(若存在一个N , 则N +1, N +2, …, 均可作为定义中的N .) 注3.定义中“ 当n >N 时, 有| x n -a |<ε”的意思是说, 从第N +1项开始,以后各项都有|x n -a |<ε,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质. 几何意义: 由于| x n -a |<ε ? a-ε
求数列极限的几种典型方法 首先我们要知道数列极限的概念:设{}a n 为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正 整数N ，使得当nN 时有ε<-a a n ，则称数列 {}a n 收敛于，定数则称为数列{}a n 的极限， 并记作 a a a a n n n →=∞ →或lim （∞→n ） 。 若数列没有极限，则称 {}a n 不收敛，或称{}a n 为发散数列。 下面我们来研究求数列极限的几种方法： 方法一：应用数列极限的定义 例一：证明 01 lim =∞ →n n α ，这里为正数。 证明：由于 n n α α 1 01 = - 故对任给的0>ε，只要取11 1+???? ??????=εαN ，则当N n >时就有 εα α << N n 1 1 这就证明了 01 lim =∞ →n n α 。 用定义求数列极限有几种模式： （1）0>?ε，作差a a n -，解方程ε<-a a n ，解出()εf n >，则取() εf N =或() ,1+=εf N （2）将 a a n -适当放大，解出()εf n >； （3）作适当变形，找出所需N 的要求。 方法二：（迫敛性）设收敛数列{}{}b a n n ,都以为极限，数列{}c n 满足：存在正整数N , 当N n 0 > 时有： b c a n n n ≤≤ 则数列 {}c n 收敛，且a c n n =∞ →lim 。
例二：求数列{}n n 的极限。 解：记h a n n n n +==1，这里0>h n （)1>n ，则有 h h n n n n n n 2 2 )1() 1(-?> = + 由上式的12 0-< < n h n )1(>n ,从而有 1 2 111-+ ≤+=≤ n h a n n 数列???? ??-+121n 是收敛于1的， 因为任给的0>ε，取ε 22 1+=N ，则当N n >时有ε<--+ 112 1n ，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得1lim =∞ →n n n 。 方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。 例三：设 ,2,1,1 1 1 13 2=+ ++ + =n n a n α α α 其中实数2≥α，证明数列{}a n 收敛。 证明：显然数列 {}a n 是递增的，下证有上界，事实上， n a n 2 2 2 1 1 1 13 2++++ ≤ 2 1 2) 1 11()3121()211(1)1(1 3212111<-=--++-+-+=?-++?+?+ ≤n n n n n 于是由单调有界定理知 {}a n 收敛。 方法四：对于待定型 1 ∞ 利用 =+∞ →) 11(lim n n n e
2019-2020年高二数学《数列的极限》教案沪教版 一、教学内容分析 极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要. 二、教学目标设计 1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限. 2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力. 3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣. 三、教学重点及难点 重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 难点：数列极限的定义的理解. 四、教学用具准备 电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发 思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈. 五、教学流程设计
六、教学过程设计 一、 情景引入 1、创设情境，引出课题 1. 观察 教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？ 学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完思考 教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？ 学生 ： , 21 , , 81 , 41 , 2 1n 3．讨论 教师； 随着的增大，数列的项会怎样变化？ 学生： 慢慢靠近0. 教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题 二、学习新课 2、观察归纳，形成概念 （1）直观认识 教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势 （a ） ①“项”随的增大而减小 ②但都大于0 ③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0 （b ） ①“项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小 ②当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0 （c ）