第二章 数列极限
§1 数列极限概念
教学目的与要求：
使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点：
数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入
1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，
日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32
1，……，n 21
，…… 或简记作数列：?
?????n 21
分析：1°、?
??
???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；
2
二、数列极限定义
1°将上述实例一般化可得：
对数列{}n
a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。
例如：?
??
???n 1， a=0；
???
?
??-+n n )1(3， a=3; {}2
n ， a 不存在，数列不收敛；
{}n
)1(-， a 不存在，数列不收敛；
2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对???
?
??-+n n )1(()3以3为极限，对ε
=10
1
3)1(3--+
=-n
a a n
n =10
11
n
只需取N=10，即可
3°“抽象化”得“数列极限”的定义
定义：设{}n
a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在
某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有
a
a n -＜ε
则称数列{}n
a 收敛于a ，a 为它的极限。记作
a a n n =∞
→lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明
（1）若数列{}n
a 没有极限，则称该数列为发散数列。
（2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞
→lim ?
ε
?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a
a
n
-＜ε，可用a
n
-替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．．
的，只要存在一个N ，就会存在无穷多
个N
（5）如何用肯定的语气叙述a a n n ≠∞
→lim ： 0ε?＞0，
?N ，?n 。尽管n 。＞N ，但a
a
o
n
-≥ε（6）如何用肯定的语气叙述，数列{}n
a 发散：
R
a ∈? ，)(a O O
εε
=?＞0，?N ，?n o,尽管
n o ＞N ，但a
a
o
n -≥εo 。
（7）a a n n =∞
→lim
即a {}n a 中,所有下标大于N 的a n ,都落在a 的ε邻城内。
.的例题 例1.证明01
lim =∞
→k
n n （K 为正实数）
证：由于
k
k n n 1
01=- 所以?ε＞0，取N=???
?
?
?
??k 11ε,当n ＞N 时,便有
ε?-01
k n
注：或写作：?ε＞0，取
N=???
?????k 1
1ε
，当n ＞N 时，有
ε?=-K
K n n 101，∴01
lim
=∞
→k
n n
例2. 证明34
3lim
22
=-∞
→n n n 分析，要使ε?≤-=--n n n n 12
41234322
2（为简化，限定n 3≥ 只要n ε
12
?
证.?
??
?????????=??3,12max ,0εεN 取,当n N ?,有
ε?≤-=--n
n n n 12
41234322
2
由定义34
3lim 22=-∞
→n n n 适当予先限定n ＞n 。是允许的！但最后取N 时要保证n ＞n 。 例3．证明n
n q ∞
→lim =0，这里q ＜1
证.若q=0,结果显然成立
若0＜q ＜1，令q =h h (11
+＞0)
由于由贝努利不等式n
n
n h q q )1(1+=
=≤nh +11＜nh
1
所以，ε?＞0，取N=n h 当,1??
?
???ε＞N ，有0-n q ＜ε
注：1°特别地写当q=
2
1
时，此即为上述实例中的0)
21(lim =∞
→n
n
２°贝努利不等式（１＋h ）n ≥1+nh.
3°由例2、例3看出，在由a a n -＜ε中求N 时，适当的 “放大”不等式，可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如：用已知不等式，用限定“n ＞n 。”等方法。 例4．证明1lim
=∞
→n
n a ，其中a ＞1
证.令a n
1-1=α，则α＞0
由贝努利不等式 α=（1+α）n ≥1+n α=1+n （11-n
a
）或11
-n a ≤
n
a 1
-
ε
? ＞0，取N=??
?
???-ε1a ，当n ＞N 有1
1-n
a
＜ε
四、等价定义与无穷小数列
定义1' 任给ε＞0，若在U （a;ε）之外数列{}n a 中的项至多只有有限个，
则称数列{}n a 收敛于极限a 。
由定义1' 可知，若存在某ε0＞0，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在U(a ；
ε0)
之外，则{}n a 一定不以a 为极限。
例5 证明{}2n 和{}n )1(-都是发散数列。 分析 利用定义1' 证
例6 设a y x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，作数列﹛z n ﹜如下：
﹛z n ﹜：x 1，y 1，x 2，y 2，…，x n ，y n ，…。
证明 a z n n =∞
→lim 。
分析 利用定义1' 证
例7 设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列{}n b 与{}n a 同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。
分析 利用定义1'
证 设{}n a 为收敛数列，且n n a ∞
→lim =a 。按定义1'，……。
现设{}n a 发散，倘若{}n b 收敛，则因{}n a 可看成是对{}n b 增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，{}n a 收敛，矛盾。所以当{}n a 发散时{}n b 也发散。
在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：
定义2 若0lim =∞
→n n a ，则称{}n a 为无穷小数列。
前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。由无穷小数列的定义，读者不难证明如下命题：
定理2. 1 数列{}n a 收敛于α的充要条件是：{}α-n a 为无穷小数列。 五、小结：(可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下)
本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的例
题学习也是为了巩固
极限概念。为此，同学们要注意：
°极限概念的“ε-N ”叙述要熟练掌握，并注意理科ε，N 的双重性。
°用极限定义证明极限时，关键是由任给的ε＞0通过反解不等式｜
a n -a ｜＜ε求N ，其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的
“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N 的表达式一定仅依赖于ε，当然N 是否是自然数，倒是无关紧要的。
3°同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维方法，如：抽象化法，数形结合法，符合化法等，这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。
复习思考题、作业题：
数列收敛发散的定义是什么？收敛发散的概念是不是相反的？
1（1），2，3，4，6
§§2 收敛数列的性质
教学目的与要求：
掌握收敛数列的性质如唯一性，有界性，四则运算等及应用。
教学重点，难点：
收敛数列的性质应用，数列子列的定义及数列子列收敛与数列收敛之间的关系。
教学内容：
收敛数列主要有唯一性、有界性、保号性、保序性、迫敛性、四则运算性、子列性等重要性质，通过这些性质的学习，可使学生掌握数列极限的定义与应用定义证明有关命题。
1、唯一性
定理2.2 若数列{}n a收敛，则它只有一个极限。
分析使用几何定义——定义1'
证
注1：本性质证明使用几何定义。为让学生学会取特殊的ε，可讲解反证法
ε”定义。
证明。这样更可体现极限的“N
-
注2：一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数。体现了无限与有限之间的转化关系，这样由这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小，以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实。
2、有界性
定理2.3 若数列{}n a收敛，则{}n a为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有
≤。
a
M
n
分析
证
注1：ε的取法
注2：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，例如数列{}n)1(-
有界，但它并不收敛（见§1例6）。
3、保号性
定理2.4若0lim a ＞a n n =∞
→或＜0，则对任何∈'a （0，a ）(或)0,('a a ∈)，存
在正数N ，使得当n ＞N 时有a n ＞'a （或a n ＜'a ）。
分析 证
注1：ε的取法
注2： 在应用保号性时，经常取2
'a
a =。
4、保序性
定理2.5 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列，若存在正数N 0，使得当n ＞N 0时有a n ≤b n ，则n n n n b a ∞
→∞
→≤lim lim 。
分析 定义与第一章§1例2 证
注1：N 的取法
思考：如果把定理2.5中的条件a n ≤b n ，换成严格不等式a n ＜b n ，那么能否把结论换成n n n n b ＜a ∞
→∞
→lim lim ？
例1 设an ≥0（n=1，2，…）。证明：若a a n n =∞
→lim ，则a a n n =∞
→lim 。
分析 定理2.5、定义与分类讨论 证
4、迫敛性
定理2.6 设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N 0，当n ＞N 0时有
n n n b c a ≤≤ （4） 则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞
→lim 。
例2 求数列
{}n
n 的极限。
分析
解
5、四则运算法则
定理2.7 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n b a +，{}n n b a -，{}n n b a ?也都是收敛数列，且有
,lim lim )(lim n n n n n n n b a b a ∞
→∞
→∞
→±=±
n n n n n n n b a b a ∞
→∞
→∞
→?=?lim lim )(lim 。
特别当b n ，为常数c 时有
n n n n n n n n a c ca c a c a ∞
→∞
→∞
→∞
→=+=+lim lim ,lim )(lim 。
若再假设b n ≠0及0lim ≠∞
→n n b ，则?
??
???n n b a 也是收敛数列，且有
n n n n n
n
n b a b a ∞
→∞→∞→=lim /lim lim
。 分析 只须用定义证明关于和、积与倒数运算的结论 证 例3 求
1110
111lim
b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ , 其中m ≤k ，a m ≠0，b k ≠0。
分析 四则运算法则
例4 求1
lim +∞→n n
n a a ，其中1-≠a 。
分析 分类讨论与四则运算法则 解
例5 求)1(lim n n n n -+∞
→。
6、子列定理
定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N+的无限子集，且n 1＜n 2＜…＜n k
＜…，则数列
,,,,21k n n n a a a
称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k
n
a 。
注1 由定义1可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在
{}n a 中的先后次序。{}k
n
a 中的第k 项是{}n
a 中的第n k
项，故总有k n
k
≥。实际上
{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列。
例 数列{}n a 的子列{}k a 2、{}12-k a 、{}n a 。
注2 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列。
例如{}n a 的非平凡子列{}k a 2和{}12-k a 。
性质 由上节例8，数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。
定理2.8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛。 分析 必要性由定义，充分性利用必要性与上节例7 证
注：定理2.8的你否命题是判断数列发散的有力工具：若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散。
应用举例：数列{}n )1(-，其偶数项组成的子列{}n 2)1(-收敛于1，而奇数项组
成的子列{}12)1(--k 收敛于-1，从而{}n )1(-发散，再加数列???
???2sin πn ，它的奇数项
组成的子列??????-π212sin k 即为{}1)1(--k ，由于这个子列发散，故数列?
??
???2sin πn 发散。
复习思考题、作业题： 1（2）（4）（6），4，5，6. 难题解答
§3 数列极限存在的条件
教学目的与要求：
掌握数列极限存在性的判断准则：单调有界性定理，Cauchy 准则及应用 教学重点，难点：
单调有界性定理， Cauchy 准则的证明及应用 教学内容：
极限理论的两个基本问题：一、数列是否有极限(极限的存在性问题)；二、若极限存在，如何计算此极限（及限值的计算问题）。
困难：依定义需将每个实数用定义一一验证，不可能。 解决方法：直接从数列本身的特征来做出判断。 本节介绍的两个定理非常重要，他们不仅是判断数列是否存在极限的充分条件和充要条件，而且也与实数完备性定理等价。
一、单调有界定理
定义 若数列{}n a 的各项满足关系式
1+≤n n a a （a n ≥a n+1）
则称{}n a 为递增（递减）数列，递增数列和递减数列统称为单调数列，如?
??
???n 1为
递减数列，??????+1n n 与{}2
n 为递增数列，而??????-n n )1(则不是单调数列。
定理2.9在实数系中，有界的单调数列必有极限。 分析 找到极限即可，用确界原理 证
注：通过证明可知，单增有上界数列有极限且其极限为其上确界，单减有下界数列有极限且其极限为其下确界。
例1 设
a n =1+
,2,1,13121=+++n n
a a a ， 其中实数a ≥2。证明数列{}n a 收敛。
分析
证
例2 证明数列
,222,,22,2++++
n 个根号
收敛，并求其极限。
分析 证
例3 设S 为有界数集。证明：若supS=a S ∈，则存在严格递增数列{}n x ?S ，使得
a x n n =∞
→lim 。
分析 构造性证明方法，常用 证
例4 证明n n n
)1
1(lim +∞→存在。
分析
证 先建立一个不等式。设b ＞a ＞0，对任一正整数n 有
11++-n n a b ＜（n+1）b n (b-a)。
即
1+n a ＞b n
[(n+1)a-nb]。 （1）
以a=1+
n b n 11,11+=+代入（1）式证明????
??
+n n )11(为递增数列。
再以a=1，b=n 211+
代入（1）式得数列????
??
+n n )11(有上界。
由单调有界定理推知数列????
??
+n n )11(是收敛的。
通常无理数（待证）e 的定义为e n n n =+∞→)1
1(lim ，以e 为底的对数称为自然对
数，通常记x x e log ln =。
注：单调有界定理只是数列收敛的充分条件，但却与下面数列收敛的充分必
要条件等价。
二、柯西（Cauchy ）收敛准则
定理2.10 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的ε＞0，存在正整数N ，使得当n ，m ＞N 时有
m n a a -＜ε。
注：应再给出两种等价形式。 注：这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出。
柯西收敛准则的条件称为柯西条件。
其直观意义：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分到后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。
优点：柯西收敛准则把ε—N 定义中a n 与a 的关系换成了a n 与a m 的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a ，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。
例5 证明：任一无限十进小数a=0.b 1b 2…b n …的n 位不足近似（n=1，2，…）所组成的数列
,101010,,1010,102212211n
n b b
b b b b ++++ （2）
满足柯西条件（从而必收敛），其中bk 为0，1，2…，9中的一个数，k=1，2，…。
分析 证
复习思考题、作业题：
1，2，3，6，7
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为
数列的极限 1．数列的极限 【知识点的知识】 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0）， 那么就说数列{a n}以a 为极限，记作???a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项） ?→∞ 2、几个重要极限： 3、数列极限的运算法则： 4、无穷等比数列的各项和： （1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =???S n． ?→∞ （2） 1/ 3
【典型例题分析】 典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4??=(??+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项? 和．则??? ? ? =（） ?→∞ 1 A．0 B．1 C． 2D．2 解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2， ∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2， ∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数， ∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列， ∴a n＝2n﹣1． ??1∴???2?―1= ???2―1 ? ? =??? ?→∞?→∞?→∞ ?= 1 2 ． 故选：C． 典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式； （2）设 c n = 1 ?|?1??|(?≥2)，求???(?2+?3+?+ ? ? )的值； ?→∞ （3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点， ∴b n＝2a n+1，a1＝0， ∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）， ∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1． b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1． （2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
云南大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时间： 2009-12-26 摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基 础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用 的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知 识；
在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f， 得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x
函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一） 数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg ??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2
第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 作∞=∞ →n n x lim ．
【最新整理，下载后即可编辑】 7.6 数列的极限 课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注：a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ， 当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞→)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ； )0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在
②?? ???-=>=<=∞ →11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在 问题解析： 一、求极限： 例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ])23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限：
17年高考数学一轮复习数列的极限知识点 极限是微积分中的基础概念，下面是整理的数列的极限知识点，希望考生可以认真学习。 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限; 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在; 3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线); 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限. 首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极
限，解方程, 从而得到数列的极限值. b.利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解. ★求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法： a.利用特殊级数求和法 如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果. l b.利用幂级数求和法 若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值. c.利用定积分定义求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限. d.利用夹逼定理求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用夹逼定理求解. e.求项数列的积的极限,一般先取对数化为项和的形式,然
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛；
{}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多
●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－ 31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2
2008高考数学二轮复习数列、极限、数学归纳法（1） 教学目标： 1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学重点： 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 教学难点： 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 教学方法设计：“五步”教学法 教学用具：三角板多媒体 板书设计 一、知识框架 二、典型例题 三、总结 四、检测 教学过程 一、出示教学目标。
理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n 项. 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题. 二、组织基础知识结构，构建知识网络。 三、典型例题引路。 【例1】 已知由正数组成的等比数列{}n a ，若前n 2项之和等于它前n 2项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式. 解：∵q =1时122na S n =，1na S =偶数项 又01>a 显然11112na na ≠，q ≠1 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q q a S n n n --==--=偶数项 依题意2 21211)1(111)1(q q q a q q a n n --?=--；解之101 = q 又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+，
3第一讲__数列的极限典型例题
第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 ?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?. 注1 ?Skip Record If...?的双重性.一方面,正数?Skip Record If...?具有绝对的任意性,这样才能有 ?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...? 另一方面,正数?Skip Record If...?又具有相对的固定性,从而使不等式?Skip Record If...?.还表明数列?Skip Record If...?无限趋近于?Skip Record If...?的渐近过程的不同程度,进而能估算?Skip Record If...?趋近于?Skip Record If...?的近似程度. 注2若?Skip Record If...?存在，则对于每一个正数?Skip Record If...?，总存在一正整数?Skip Record If...?与之对应，但这种?Skip Record If...?不是唯一的，若?Skip Record If...?满足定义中的要求，则取?Skip Record If...?，作为定义中的新的一个?Skip Record If...?也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个?Skip Record If...?则必存在无穷多个正整数可作为定义中的?Skip Record If...?． 注3?Skip Record If...??Skip Record If...?的几何意义是：对?Skip Record If...?的预先给定的任意?Skip Record If...?邻域?Skip Record If...?，在?Skip Record If...?中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入?Skip Record If...?． 注4?Skip Record If...?，有?Skip Record If...?. 2.子列的定义
第一讲 数列的极限 一、容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?, ，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记
专题三数列与极限 【考点聚焦】 考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列； 考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题； 考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限； 考点4：数学归纳法 【自我检测】 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。 3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。 4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4） 分组转化法；（5）裂项相消法. 【重点?难点?热点】 问题1：等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04) 思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值
解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ??? ? ?+=?--?=--?)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得?????==?????+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n － 1)） =n lg a 1+ 21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21 n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2??+?= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二 接前，3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 3 1 为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0， ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2?+?=+=5 5 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点. 例2：已知函数f (x )= 4 12 -x (x <－2) (1) 求f (x )的反函数f -－ 1(x )； (2) 设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1 (a n )(n ∈N *),求a n ; (3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有
数列的极限 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0 （|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （ b ≠0）. ●点击双基 1.下列极限正确的个数是 ①∞ →n lim α n 1=0（α＞0） ②∞ →n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3 232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－51） (1) 2 1 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－5 1） (1) 2 1 +n ）］
=∞ →n lim ［n ×32×43×54×…×2 1++n n ］ =∞ →n lim 2 2+n n =2. 答案:C ●典例剖析 【例1】 求下列极限： （1）∞ →n lim 7 5722 2+++n n n ;（2） ∞ →n lim （ n n +2－n ）; （3）∞ →n lim （ 2 2n + 2 4n +…+2 2n n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因 n n +2与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限. 解:（1）∞ →n lim 7 57 222 +++n n n =∞→n lim 2 2757 12n n n +++ =5 2. （2）∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n n n ++2=∞ →n lim 1111++ n =2 1. （3）原式=∞ →n lim 2 2642n n ++++Λ=∞ →n lim 2 )1(n n n +=∞→n lim （1+n 1 ）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=) 75(lim ) 72(lim 22+++∞ →∞ →n n n n n =∞ ∞=1, ②∵∞ →n lim （2n 2+n +7）, ∞ →n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2） 要避免出现下面两种错误： ①∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞=0;②原式=∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞不存在.
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：
对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．
7.6 数列的极限 课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无 限地趋近于某个常数 a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注： a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01l i m =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ， 当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞ →)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ；)0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在 ②?? ?? ?-=>=<=∞→11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在
问题解析： 一、求极限： 例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4 323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741( lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ]) 23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限： )2 ,0(,sin cos sin cos lim πθθθθθ∈+-∞→n n n n n 二、极限中的分数讨论： 例4：已知数列 {}n a 是由正数构成的数列，31=a ，且满足 c a a n n lg lg lg 1+=-，其中n 是大于1的整数，c 是正数。 (1) 求数列 {}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称 为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法 及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理
题目高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算 高考要求 极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳 1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限 3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如 )1|(|0lim ,0)1(lim <==-∞→∞→a a n n n n n ???? ?????><==++++++--∞→时当不存在时当时 当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 001110110 典型题例示范讲解 例1已知lim ∞ →x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值 命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力 知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法 错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理 解 b ax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim )1(lim 22 22 b ax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim 2 222
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→