2019-2020年高二数学《数列的极限》教案沪教版
一、教学内容分析
极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.
二、教学目标设计
1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.
3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.
三、教学重点及难点
重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.
难点：数列极限的定义的理解.
四、教学用具准备
电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发
思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
1、创设情境，引出课题
1. 观察
教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？
学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完思考
教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？
学生 ： , 21 , , 81 , 41 , 2
1n 3．讨论
教师； 随着的增大，数列的项会怎样变化？
学生： 慢慢靠近0.
教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题
二、学习新课
2、观察归纳，形成概念
（1）直观认识
教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势
（a ）
①“项”随的增大而减小 ②但都大于0 ③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0
（b ）
①“项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小
②当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0
（c ）
①“项”随的增大而增大 ②但都小于1 ③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1
教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：
（a ）从右趋近 （c ）从左趋近 （b ）从左右
两方趋近，使学生明白不同的趋近方式
教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其 实我们的先
辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽
于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，
得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”
概念辨析
教师：归纳数列极限的描述性定义
学生：一般地，如果当项数无限增大时，数列的项无限的趋近于某一个常数那么就说数列以
为极限.
教师：是不是每个数列都有极限呢？
学生1：（思考片刻）不是.如
学生2：
教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.
（a ）?????-=n
n n a n 11 （b ）无穷数列：
,3333.0,,333.0,33.0,3.0n
学生1：数列（a ）有极限，当是奇数时，数列的极限是0，当是偶数时，数列 的极限是1.数列（b ）的极限
是0.4.
教师： 有不同意见吗？
学生2：数列（b ）的极限是0.34
学生3：数列（b ）的极限不存在
（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）
教师： 数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思）
n 是奇数 n 是偶数
学生4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b ）的极限是.
教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们对（a ）判断错误的原因
是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.
（2）量化认识
教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？ 学生：用和之间的距离的缩小过程，即 趋近0
教师：现在以数列为例说明这种过程观察：
距离量化：，随着的增大，的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要充分的大，都有比给定的正数小.
教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找.
问题拓展
学生：老师再来几个其它的数列 教师：以上我们以提到的和 ,10
11,,1011,1011,101132n ---- 为例，大家可以再操作一下. 教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？
学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项，使得它后面的所有的项与数
列的极限的差的绝对值小于ε.
教师：顺理成章的给出数列极限的定义：
一般地，设数列是一个无穷数列，是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数，就有，那么就说数列以为极限，记作，或者时. 教师：常数数列的极限如何？
学生：是这个常数本身.
教师：为什么？
学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.
三、巩固练习
讲授例题
已知数列
①把这个数列的前5项在数轴上表示出来.
②写出的解析式.③中的第几项以后的所有项都满足
④指出数列的极限.
课堂练习
第41至42的练习.
四、课堂小结
①无穷数列是该数列有极限的什么条件.
②常数数列的极限就是这个常数.
③数列极限的描述性定义.
④数列极限的的定义
五、作业布置
1．课本第42页习题2，3,4
2．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）
七、教学设计说明
对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.
2019-2020年高二数学《数列的递推公式》教学设计
一、内容及其解析
（一）内容：数列的递推公式
（二）解析：这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点 理解递推公式与通项公式的关系
二、目标及其解析
1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项
1.经历数列知识的感受及理解运用的过程
2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性
三、问题诊断分析
四、教学过程
问题与题例
问题：前面我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容， 哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？
如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式
问题：你能举例说明吗？
如数列0，1，2，3，…的通项公式为a
n =n -1(n ∈N *
1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n
1, , , ,…的通项公式为a
n = (n ∈N *
问题：通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, ,,,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势
-----------------递推公式法
知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：
钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型. 模型一：自上而下
第1层钢管数为4,即＝
第2层钢管数为5,即＝
第3层钢管数为6,即＝
第4层钢管数为7,即＝
第5层钢管数为8,即＝
第6层钢管数为9,即＝
第7层钢管数为10,即
＝
若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 问题：同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多
即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a
2
依此类推：a n =a n -1+1(2≤n
问题：对于上述所求关系，同学们有什么样的理解
若知其第1
项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式
[概念形成]
1.递推公式定义：
如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可
以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 注意：递推公式也是给出数列的一种方法
如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，
递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n
2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法 ［例题］
【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ?????+==-.
写出这个数列的前五项
分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+我们将如何应用呢
这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了 请大家计算一下
解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+ =2,a 3=1+ =,a 4=1+ =,a 5
设计意图：掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系
【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想a
n
分析：由例1的经验我们先求前5项前5项分别为2，4，8，16
，
下面来猜想第n
项
由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，猜想a n =2
n
问题：本题若改为求a n 是否还可这样去解呢
由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有…×，
所以a n =a 1·2n -1=2
n
这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方
法，对应的还有迭加法
变式：已知a1=2，a n+1=a n-4,求a n
分析：此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢
●写出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，
观察可得：a n=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-
●解：由a n+1-a n=-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来
a n-a n-1=-
a n-1-a n-2=-
a n-2-a n-3=-
∴a n=2-4(n-
［小结］
(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的
例如，由数列{a n}中的递推公式a n+1=2a n+1无法写出数列{a n}中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4
(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式
五、目标检测
1、根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片
(1)a1＝0，a n+1＝a n＋(2n-1)(n∈N)；
(2)a1＝1，a n+1＝ (n∈N)；
(3)a 1＝3，a n+1＝3a n-2(n∈N
(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴a n＝(n-1)2
(2)a1＝1， a2＝，a3＝=，a4＝，a5＝ =，∴a n＝
(3)a1＝3＝1+2×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32，
a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴a n＝1＋2·3n-1
注：不要求学生进行证明归纳出通项公式
2、一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到
最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？
析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到
爬一级梯子的方法只有一种
爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种
若设爬一个n级梯子的不同爬法有a n种
则a n=a n-1+a n-2+a n-3(n
则得到a1=1,a2=2,a3=4及a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4)，就可以求得a8
六、课堂小结
这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通
项公式的区别，谁能说说？
通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系
对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要
已知首项(或前n项)，才可求得其他的项
(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力
七、配餐练习
《优化设计》2.1.2 《优化作业》