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2020最新全国各地中考数学常考试题及答案

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2020最新全国各地中考数学常考试题及答案

一、函数与几何综合的压轴题

1.(2018安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B 相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)

(1)求证:E点在y轴上;

(2)如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.

(3)如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

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[解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO

DO EO BO AB DB CD DB

''''

==

又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO

EO AB DC

''

+= ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2

又∵DO EO DB AB ''=,∴2

316

EO DO DB AB ''=?=?=

∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上

方法二:由D (1,0),A (-2,-6),得DA 直线方程:y =2x -2①

再由B (-2,0),C (1,-3),得BC 直线方程:y =-x -2

图①

联立①②得0

2x y =??=-?

∴E 点坐标(0,-2),即E 点在y 轴上

(2)设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A (-2,-6),

C (1,-3)

E (0,-2)三点,得方程组426

3

2a b c a b c c -+=-??++=-??=-?

解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2

(3)(本小题给出三种方法,供参考)

由(1)当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点

E ′作E ′

F ⊥x 轴垂足为F 。

同(1)可得:1E F E F AB

DC

''+= 得:E ′F =2 方法一:又∵E ′F ∥AB E F DF AB

DB

'?=,∴13

DF DB =

S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122

2

2

3

DC DB DC DF DC DB ?-?=?

=13

DC DB ?=DB=3+k

S=3+k 为所求函数解析式

方法二:∵ BA ∥DC ,∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()113232

2

BD E F k k '=?=+?=+

∴S =3+k 为所求函数解析式.

证法三:S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同

S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又

∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()22139

92

AE C ABCD S S AB CD BD k '?==?+?=+梯形

∴S =3+k 为所求函数解析式.

2. (2018广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M (1,0)为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交

于A 、D 两点. (1)求点A 的坐标;

(2)设过点A 的直线y =x +b 与x 轴交于点B.探究:直线AB 是否⊙M 的切线?并对你的结论加以证明; (3)连接BC ,记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2,若

4

21h

S S =,抛物线 y =ax 2+bx +c 经过B 、M 两点,且它的顶点到x 轴的

距离为h .求这条抛物线的解析式. [解](1)解:由已知AM =2,OM =1,

在Rt△AOM 中,AO =

122=-OM AM ,

∴点A 的坐标为A (0,1)

(2)证:∵直线y =x +b 过点A (0,1)∴1=0+b 即

b =1 ∴y=x +1

令y =0则x =-1 ∴B(—1,0), AB =

2112222=+=+AO BO

在△ABM 中,AB =

2,AM =2,BM =2

222224)2()2(BM AM AB ==+=+

∴△ABM 是直角三角形,∠BAM=90° ∴直线AB 是⊙M 的切线

(3)解法一:由⑵得∠BAC=90°,AB =2,AC =22,

∴BC=

10)22()2(2222=+=+AC AB

∵∠BAC=90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ,

∴πππ25)210()2(221=?=?=BC S

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而π

ππ2)2

22()2(222=?=?=AC S

421h S S =Θ,5,4

225

=∴=h h 即 ππ 设经过点B (—1,0)、M (1,0)的抛物线的解析式

为:

y =a (+1)(x -1),(a≠0)即y =ax 2-a ,∴-a =±5,∴a=±5

∴抛物线的解析式为y =5x 2-5或y =-5x 2+5 解法二:(接上) 求得∴h=5

由已知所求抛物线经过点B (—1,

0)、M (1、0),则抛物线的对称轴是y 轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0,±5)

∴抛物线的解析式为y =a (x -0)2±5

又B (-1,0)、M (1,0)在抛物线

上,∴a±5=0, a =±5

∴抛物线的解析式为 y =5x 2-5或y =-5x 2+5 解法三:(接上)求得∴h=5

因为抛物线的方程为y =ax 2+bx +c (a≠0)

由已知得???

??-===?????==?????????

±=-=+-=++5

055c 0b 5544002c b a a a

b a

c c b a c b a 或 =- 解得

∴抛物线的解析式为 y =5x 2-5或y =-5x 2+5.

3.(2018湖北荆门)如图,在直角坐标系中,以点P (1,-1)为圆心,2为半径作圆,交x 轴于A 、B 两点,抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ,且顶点C 在⊙P 上.

(1)求⊙P 上劣弧⌒

AB 的长;

(2)求抛物线的解析式;

(3)在抛物线上是否存在一点D ,使线段

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分?若存在,求出点D [解] (1)如图,连结PB ,过P 作M.

在Rt△PMB 中,PB=2,PM=1,

∴∠MPB=60°,∴∠APB=120°

AB 的长=

3

42180120π

π=????

(2)在Rt△PMB 中,PB=2,PM=1,

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又OM=1,∴A(1-

3,0),B (1由抛物线及圆的对称性得知点C 则C(1,-3).

点A 、B 、C 在抛物线上,则

???

????++=-+-+-=++++=c b a c b a c

b a 3)31()31(0)31()31(02

2

解之得??

???-=-==221

c b a

∴抛物线解析式为222--=x x y

(3)假设存在点D ,使OC 与PD 互相平分,则四边形OPCD 为平行四边形,且PC∥OD.

又PC∥y 轴,∴点D 在y 轴上,∴OD=2,即D (0,-2).

又点D (0,-2)在抛物线222--=x x y 上,故存在点D (0,-2),

使线段OC 与PD 互相平分.

4.(2018湖北襄樊)如图,在平面直角坐标系内,Rt△ABC

的直角顶点C (0

y 轴的正半轴上,A 、B 是x 轴

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上是两点,且OA ∶OB =3∶1,以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ,交BC 于点F .直线EF 交OC 于点

Q .

(1)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式; (2)请猜想:直线EF 与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想.

(3)在△AOC 中,设点M 是AC 边上的一个动点,过

M 作MN∥AB 交OC 于点N

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点P ,使得△PMN 是一个以三角形?若存在,求出P 由.

[解] (1)在Rt△ABC 中,OC ⊥AB , ∴△AOC

≌△COB . ∴OC 2=OA ·OB . ∵OA ∶OB =3∶1,C (0,),

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∴23.OB OB g

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∴OB =1.∴OA =3. ∴A (-3,0),B (1,0).

设抛物线的解析式为2.y ax bx c =++

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则930,0,a b c a b c c ?-+=?++=??

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=?

解之,得3a b c ?=-??

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?=???=??

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∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式

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2y x =+ (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切. 证明:连结O 1E 、OE 、OF . ∵∠ECF =∠AEO =∠BFO =90°, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE =QO . ∴∠1=∠2.

∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°, ∴EF 与⊙O 1相切. 同理:EF 理⊙O 2相切.

(3)作MP ⊥OA 于P ,设MN =a ,由题意可得MP =MN

=a . ∵MN∥OA , ∴△CMN ∽△CAO .

∴.MN CN

AO CO =

∴3

a =

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解之,得a =

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此时,四边形OPMN 是正方形.

∴MN OP ==

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∴(P 考虑到四边形PMNO 此时为正方形,

∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的

等腰直角三角形.

故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN 为一直角边

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的等腰直角三角形且(P 或(0,0).P 5.(2018湖北宜昌)如图,已知点A(0,1)、C(4,3)、

E(4

15,8

23

),P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点,点D 在y 轴,抛物线y =

ax 2+b x +1以P 为顶点.

(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上;

(2)能否判断抛物线y =ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由;

(3)设抛物线y =ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧),△GAO 与△FAO 的面积差为3,且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点.这时能确定a 、b 的

值吗?若能,请求出a 、b 的值;若不能,请确定a 、b 的取值范围. (本题图形仅供分析参考用)

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[解] (1)由题意,A(0,1)、C(4,定的解析式为:y=2

1x +1.

将点E 的坐标E(415,8

23

)代入y=2

1x +1左边=823,右边=21×4

15+1=8

23, ∵左边=右边,∴点E 在直线y=21x +1上,即点A 、C 、E

在一条直线上.

(2)解法一:由于动点P 在矩形ABCD 内部,∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标,而点A 与点P 都在抛物线上,且P 为顶点,∴这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下

解法二:∵抛物线y=ax 2+b x +c 的顶点P 的纵坐标为

a

b a 442

—,且P 在矩形ABCD 内部,∴1<

a

b a 442

—<3,由1

<1—

a

b 42

得—

a

b 42

>0,∴a <0,∴抛物线的开口向下.

由方程组 y=ax 2—6ax +1 y=

2

1

x +1 得:ax 2—(6a +

2

1

)x =0 (3)连接GA 、FA ,∵S △GAO —S △FAO =3 ∴21GO ·AO —21FO ·AO=3 ∵OA=1,∴GO —FO=6. 设F (x 1,0)、G (x 2,0),则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根,且x 1<x 2,又∵a <0,∴x 1·x 2=a

1

<0,∴x 1<0<x 2,

∴GO= x 2,FO= —x 1,∴x 2—(—x 1)=6, 即x 2+x 1=6,∵x 2+x 1= —a

b ∴—a b =6,

∴b= —6a ,

∴抛物线解析式为:y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为(3,1—9a ), ∵顶点P 在矩形ABCD 内部, ∴1<1—9a <3, ∴—9

2<a <0.

∴x =0或x =

a

a 2

16 =6+

a

21. 当x =0时,即抛物线与线段AE 交于点A ,而这条抛物

线与线段AE 有两个不同的交

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点,则有:0<6+

a 21

≤415

,解得:—9

2≤a <—121

综合得:—9

2<a <—121 ∵b= —6a ,∴2

1<b <3

4

6.(2018湖南长沙)已知两点O(0,0)、B(0,2),⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ,⊙A 被y 轴分成段两圆弧,其弧长之比为3∶1,直线l 与⊙A 切于点O ,抛物线的顶点在直线l 上运动. (1)求⊙A 的半径;

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(2)若抛物线经过O 、C

(3)过l 上一点P 的直线与⊙A 交于PC =CE ,求点E 的坐标;

(4)若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点,其顶点P 的横坐标为m ,求△PEC 的面积关于m 的函数解析式. [解] (1)由弧长之比为3∶1,可得∠BAO=90o 再由AB =AO =r ,且OB =2,得r =

2

(2)⊙A 的切线l 过原点,可设l 为y =kx

任取l 上一点(b ,kb ),由l 与y 轴夹角为45o可得:

b =-kb 或b =kb ,得k =-1或k =1,

∴直线l 的解析式为y =-x 或y =x

又由r C(2,0)或C(-2,0)

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由此可设抛物线解析式为y =ax (x -2)或y =ax (x +2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a =1 ∴抛物线为y =x 2-2x 或y =x 2+2x

……6分

(3)当l 的解析式为y =-x 时,由P 在l 上,可设P(m ,-m)(m >0)

过P 作PP′⊥x 轴于P′,∴OP′=|m|,PP′=|-m|,∴OP =2m 2,

又由切割线定理可得:OP 2=PC·PE,且PC =CE ,得PC =PE =m =PP′7分

∴C 与P′为同一点,即PE⊥x 轴于C ,∴m=-2,E(-2,2)…8分

同理,当l 的解析式为y =x 时,m =-2,E(-2,2) (4)若C(2,0),此时l 为y =-x ,∵P 与点O 、点C 不重合,∴m≠0且m≠2,

当m <0时,FC =2(2-m),高为|y p |即为-m , ∴S=22(2)()22

m m m m --=-

同理当0<m <2时,S =-m 2+2m ;当m >2时,S

=m 2-2m ;

∴S=222(02)

2(02)m m m m m m m ?-<>?-+<

或 又若

C(-2,0),

此时l 为y =x ,同理可得;S =222(20)

2(20)

m m m m m m m ?+<->?---<

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7.(2018江苏连云港)如图,直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x x

m

y 的图像交于A 、B 两点,且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点.

(1)若COD ?的面积是AOB ?的面积的2倍,求k 与m 之间的函数关系式;

(2)在(1)的条件下,是否存在k 和m ,使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P .若存在,求出k 和

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存在,请说明理由.

[解](1)设),(11y x A ,),(22y x B (其中2121,y y x x ><), 由AOB COD S S ??=

2,得)(2BOD AOD COD S S S ???-=

∴2

1·OC ·2=OD (

21

·OD ·-1y 2

1·OD ·2y ),)(221y y OC -=,

又4=OC ,∴8)(221=-y y ,即84)(21221=-+y y y y ,

由x

m y =可得y

m x =,代入4+=kx y 可得042=--km y y ①

∴421=+y y ,km y y -=?21,

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∴8416=+km ,即m

k 2-=. 又方程①的判别式08416>=+=?km ,

∴所求的函数关系式为m

k 2-=)0(>m . (2)假设存在k ,m ,使得以AB 则BP AP ⊥,过A 、B 分别作x 轴的垂线,垂足分别为M 、N . ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余,∴MAP ∠

BPN ∠=.

∴Rt MAP ?∽Rt NPB ?,∴NB

MP PN

AM =. ∴

2

1

2122y x x y -=-,∴0)2)(2(2121=+--y y x x , ∴0)2)(2(212

1

=+--y y y m

y m ,

即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②

由(1)知421=+y y ,221=?y y ,代入②得01282=+-m m ,

∴2=m 或6,又m k 2-=,∴???-==12k m 或??

???-==316k m ,

∴存在k ,m ,使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ,且??

?-==1

2

k m 或

??

???-==316

k m .

8.(2018江苏镇江)已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与

x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <,与y 轴交于点C ,

且AB =6.

(1)求抛物线和直线BC 的解析式.

(2)在给定的直角坐标系中,画抛物线和直线BC . (3)若P e 过A 、B 、C 三点,求P e 的半径.

(4)抛物线上是否存在点M ,过点M 作MN x ⊥轴于点

N ,使MBN ?被直线BC 分成面积比为13:的两部分?

若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

[解](1)由题意得:12122155,, 6.m x x x x x x m

m

--+=?=-=

2

2

1212520

()436,36,m x x x x m m -??+-=+

= ???

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解得1251,.7

m m ==-

经检验m =124 5.y x x =+-

或:由2(5)50mx m x ---=得,1x =0,m Q >

5

16, 1.m m

-∴-

=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-

由2450x x +-=得125, 1.x x =-=

∴A (-5,0),B (1,0),C (0,-5). 设直线BC 的解析式为,y kx b =+ 则5,

5,

0. 5.b b k b k =-=-??∴?

?

+==?? ∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.

(3)法一:在Rt AOC D 中,5,45.OA OC OAC ==∴∠=?Q

90BPC ∴∠=?.

BC =

=

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∴P e 的半径

2

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PB == 法二:

由题意,圆心P 在AB 的中垂线上,即在抛物线

245y x x =+-的对称轴直线2x =-上,设

P (-2,-h )

(h >0),

连结PB 、PC ,则222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+, 由22PB PC =,即2222(12)(5)2h h ++=-+,解得h =2.

(2,2),P P ∴--∴e 的半径PB ==.

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