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2020最新全国各地中考数学常考试题及答案
一、函数与几何综合的压轴题
1.（2018安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B 相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证：E点在y轴上；
(2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO
DO EO BO AB DB CD DB
''''
==
又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO
EO AB DC
''
+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2
又∵DO EO DB AB ''=，∴2
316
EO DO DB AB ''=?=?=
∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2①
再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2
图①
②
联立①②得0
2x y =??=-?
∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上
（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），
C （1，-3）
E （0，-2）三点，得方程组426
3
2a b c a b c c -+=-??++=-??=-?
解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点
E ′作E ′
F ⊥x 轴垂足为F 。
同（1）可得：1E F E F AB
DC
''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB
DB
'?=，∴13
DF DB =
S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122
2
2
3
DC DB DC DF DC DB ?-?=?
=13
DC DB ?=DB=3+k
S=3+k 为所求函数解析式
方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()113232
2
BD E F k k '=?=+?=+
∴S =3+k 为所求函数解析式.
证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同
理
：
S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又
∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()22139
92
AE C ABCD S S AB CD BD k '?==?+?=+梯形
∴S =3+k 为所求函数解析式.
2. （2018广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交
于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；
（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若
4
21h
S S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的
距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，
在Rt△AOM 中，AO ＝
122=-OM AM ，
∴点A 的坐标为A （0，1）
（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即
b ＝1 ∴y＝x ＋1
令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0）， AB ＝
2112222=+=+AO BO
在△ABM 中，AB ＝
2，AM ＝2，BM ＝2
222224)2()2(BM AM AB ==+=+
∴△ABM 是直角三角形，∠BAM＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB ＝2，AC ＝22，
∴BC＝
10)22()2(2222=+=+AC AB
∵∠BAC＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，
∴πππ25)210()2(221=?=?=BC S
而π
ππ2)2
22()2(222=?=?=AC S
421h S S =Θ，5,4
225
=∴=h h 即 ππ 设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式
为：
y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a＝±5
∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B （—1，
0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5
又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线
上，∴a±5＝0， a ＝±5
∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）
由已知得???
??-===?????==?????????
±=-=+-=++5
055c 0b 5544002c b a a a
b a
c c b a c b a 或 ＝－ 解得
∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.
3.(2018湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上.
(1)求⊙P 上劣弧⌒
AB 的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段
分？若存在，求出点D [解] （1）如图，连结PB ，过P 作M.
在Rt△PMB 中，PB=2,PM=1,
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°
⌒
AB 的长＝
3
42180120π
π=????
（2）在Rt△PMB 中，PB=2,PM=1,
又OM=1，∴A（1－
3，0），B （1由抛物线及圆的对称性得知点C 则C(1，－3).
点A 、B 、C 在抛物线上，则
???
????++=-+-+-=++++=c b a c b a c
b a 3)31()31(0)31()31(02
2
解之得??
???-=-==221
c b a
∴抛物线解析式为222--=x x y
（3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC∥OD.
又PC∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD＝2，即D （0，－2）.
又点D （0，－2）在抛物线222--=x x y 上，故存在点D （0，－2），
使线段OC 与PD 互相平分.
4.（2018湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC
的直角顶点C （0
y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴
上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点
Q .
（1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过
M 作MN∥AB 交OC 于点N
点P ，使得△PMN 是一个以三角形？若存在，求出P 由.
[解] (1)在Rt△ABC 中，OC ⊥AB ， ∴△AOC
≌△COB . ∴OC 2＝OA ·OB . ∵OA ∶OB ＝3∶1,C (0,),
∴23.OB OB g
∴OB ＝1.∴OA ＝3. ∴A (-3,0),B (1,0).
设抛物线的解析式为2.y ax bx c =++
则930,0,a b c a b c c ?-+=?++=??
=?
解之，得3a b c ?=-??
?=???=??
∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式
为
2y x =+ (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切. 证明：连结O 1E 、OE 、OF . ∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO . ∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O 1相切. 同理：EF 理⊙O 2相切.
(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN
＝a . ∵MN∥OA , ∴△CMN ∽△CAO .
∴.MN CN
AO CO =
∴3
a =
解之，得a =
此时，四边形OPMN 是正方形.
∴MN OP ==
∴(P 考虑到四边形PMNO 此时为正方形，
∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的
等腰直角三角形.
故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN 为一直角边
的等腰直角三角形且(P 或(0,0).P 5.（2018湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、
E(4
15，8
23
)，P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝
ax 2+b x +1以P 为顶点．
(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的
值吗?若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)
[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，定的解析式为：y=2
1x +1.
将点E 的坐标E(415，8
23
)代入y=2
1x +1左边=823，右边=21×4
15+1=8
23， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=21x +1上，即点A 、C 、E
在一条直线上.
（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下
解法二：∵抛物线y=ax 2+b x +c 的顶点P 的纵坐标为
a
b a 442
—，且P 在矩形ABCD 内部，∴1＜
a
b a 442
—＜3，由1
＜1—
a
b 42
得—
a
b 42
＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.
由方程组 y=ax 2—6ax +1 y=
2
1
x +1 得：ax 2—（6a +
2
1
）x =0 （3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴21GO ·AO —21FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a
1
＜0，∴x 1＜0＜x 2，
∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6， 即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —a
b ∴—a b =6，
∴b= —6a ,
∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部， ∴1＜1—9a ＜3, ∴—9
2＜a ＜0.
∴x =0或x =
a
a 2
16 =6+
a
21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物
线与线段AE 有两个不同的交
点，则有：0＜6+
a 21
≤415
，解得：—9
2≤a ＜—121
综合得：—9
2＜a ＜—121 ∵b= —6a ，∴2
1＜b ＜3
4
6.（2018湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动. （1）求⊙A 的半径；
（2）若抛物线经过O 、C
（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于PC ＝CE ，求点E 的坐标；
（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式. [解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o 再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝
2
(2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx
任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45o可得：
b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1，
∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x
又由r C(2，0)或C(－2，0)
由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1 ∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x
……6分
(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0)
过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP ＝2m 2，
又由切割线定理可得：OP 2＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分
∴C 与P′为同一点，即PE⊥x 轴于C ，∴m＝－2，E(－2，2)…8分
同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2) (4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2，
当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S＝22(2)()22
m m m m --=-
同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2时，S
＝m 2－2m ；
∴S＝222(02)
2(02)m m m m m m m ?-<>?-+<
或 又若
C(－2，0)，
此时l 为y ＝x ，同理可得；S ＝222(20)
2(20)
m m m m m m m ?+<->?---<
7.（2018江苏连云港）如图，直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x x
m
y 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点．
（1）若COD ?的面积是AOB ?的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和
存在，请说明理由．
[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)， 由AOB COD S S ??=
2，得)(2BOD AOD COD S S S ???-=
∴2
1·OC ·2=OD (
21
·OD ·-1y 2
1·OD ·2y )，)(221y y OC -=，
又4=OC ，∴8)(221=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ，
由x
m y =可得y
m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①
∴421=+y y ，km y y -=?21，
∴8416=+km ，即m
k 2-=． 又方程①的判别式08416>=+=?km ，
∴所求的函数关系式为m
k 2-=)0(>m ． （2）假设存在k ,m ，使得以AB 则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ． ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠
BPN ∠=．
∴Rt MAP ?∽Rt NPB ?，∴NB
MP PN
AM =． ∴
2
1
2122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(212
1
=+--y y y m
y m ，
即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②
由（1）知421=+y y ，221=?y y ，代入②得01282=+-m m ，
∴2=m 或6，又m k 2-=，∴???-==12k m 或??
???-==316k m ，
∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ，且??
?-==1
2
k m 或
??
???-==316
k m ．
8.（2018江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与
x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，
且AB =6.
（1）求抛物线和直线BC 的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . （3）若P e 过A 、B 、C 三点，求P e 的半径.
（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点
N ，使MBN ?被直线BC 分成面积比为13:的两部分？
若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]（1）由题意得：12122155,, 6.m x x x x x x m
m
--+=?=-=
2
2
1212520
()436,36,m x x x x m m -??+-=+
= ???
解得1251,.7
m m ==-
经检验m =124 5.y x x =+-
或：由2(5)50mx m x ---=得，1x =0,m Q >
5
16, 1.m m
-∴-
=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-
由2450x x +-=得125, 1.x x =-=
∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+ 则5,
5,
0. 5.b b k b k =-=-??∴?
?
+==?? ∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.
（3）法一：在Rt AOC D 中，5,45.OA OC OAC ==∴∠=?Q
90BPC ∴∠=?.
又
BC =
=
∴P e 的半径
2
PB == 法二：
由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线
245y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设
P （－2，－h ）
（h ＞0），
连结PB 、PC ，则222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+， 由22PB PC =，即2222(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.
(2,2),P P ∴--∴e 的半径PB ==.