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2020最新全国各地中考数学常考试题及答案
一、函数与几何综合的压轴题
1.(2018安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B 相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证:E点在y轴上;
(2)如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.
(3)如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
[解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO
DO EO BO AB DB CD DB
''''
==
又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO
EO AB DC
''
+= ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2
又∵DO EO DB AB ''=,∴2
316
EO DO DB AB ''=?=?=
∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上
方法二:由D (1,0),A (-2,-6),得DA 直线方程:y =2x -2①
再由B (-2,0),C (1,-3),得BC 直线方程:y =-x -2
图①
②
联立①②得0
2x y =??=-?
∴E 点坐标(0,-2),即E 点在y 轴上
(2)设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A (-2,-6),
C (1,-3)
E (0,-2)三点,得方程组426
3
2a b c a b c c -+=-??++=-??=-?
解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2
(3)(本小题给出三种方法,供参考)
由(1)当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点
E ′作E ′
F ⊥x 轴垂足为F 。
同(1)可得:1E F E F AB
DC
''+= 得:E ′F =2 方法一:又∵E ′F ∥AB E F DF AB
DB
'?=,∴13
DF DB =
S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122
2
2
3
DC DB DC DF DC DB ?-?=?
=13
DC DB ?=DB=3+k
S=3+k 为所求函数解析式
方法二:∵ BA ∥DC ,∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()113232
2
BD E F k k '=?=+?=+
∴S =3+k 为所求函数解析式.
证法三:S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同
理
:
S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又
∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()22139
92
AE C ABCD S S AB CD BD k '?==?+?=+梯形
∴S =3+k 为所求函数解析式.
2. (2018广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M (1,0)为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交
于A 、D 两点. (1)求点A 的坐标;
(2)设过点A 的直线y =x +b 与x 轴交于点B.探究:直线AB 是否⊙M 的切线?并对你的结论加以证明; (3)连接BC ,记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2,若
4
21h
S S =,抛物线 y =ax 2+bx +c 经过B 、M 两点,且它的顶点到x 轴的
距离为h .求这条抛物线的解析式. [解](1)解:由已知AM =2,OM =1,
在Rt△AOM 中,AO =
122=-OM AM ,
∴点A 的坐标为A (0,1)
(2)证:∵直线y =x +b 过点A (0,1)∴1=0+b 即
b =1 ∴y=x +1
令y =0则x =-1 ∴B(—1,0), AB =
2112222=+=+AO BO
在△ABM 中,AB =
2,AM =2,BM =2
222224)2()2(BM AM AB ==+=+
∴△ABM 是直角三角形,∠BAM=90° ∴直线AB 是⊙M 的切线
(3)解法一:由⑵得∠BAC=90°,AB =2,AC =22,
∴BC=
10)22()2(2222=+=+AC AB
∵∠BAC=90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ,
∴πππ25)210()2(221=?=?=BC S
而π
ππ2)2
22()2(222=?=?=AC S
421h S S =Θ,5,4
225
=∴=h h 即 ππ 设经过点B (—1,0)、M (1,0)的抛物线的解析式
为:
y =a (+1)(x -1),(a≠0)即y =ax 2-a ,∴-a =±5,∴a=±5
∴抛物线的解析式为y =5x 2-5或y =-5x 2+5 解法二:(接上) 求得∴h=5
由已知所求抛物线经过点B (—1,
0)、M (1、0),则抛物线的对称轴是y 轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0,±5)
∴抛物线的解析式为y =a (x -0)2±5
又B (-1,0)、M (1,0)在抛物线
上,∴a±5=0, a =±5
∴抛物线的解析式为 y =5x 2-5或y =-5x 2+5 解法三:(接上)求得∴h=5
因为抛物线的方程为y =ax 2+bx +c (a≠0)
由已知得???
??-===?????==?????????
±=-=+-=++5
055c 0b 5544002c b a a a
b a
c c b a c b a 或 =- 解得
∴抛物线的解析式为 y =5x 2-5或y =-5x 2+5.
3.(2018湖北荆门)如图,在直角坐标系中,以点P (1,-1)为圆心,2为半径作圆,交x 轴于A 、B 两点,抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ,且顶点C 在⊙P 上.
(1)求⊙P 上劣弧⌒
AB 的长;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否存在一点D ,使线段
分?若存在,求出点D [解] (1)如图,连结PB ,过P 作M.
在Rt△PMB 中,PB=2,PM=1,
∴∠MPB=60°,∴∠APB=120°
⌒
AB 的长=
3
42180120π
π=????
(2)在Rt△PMB 中,PB=2,PM=1,
又OM=1,∴A(1-
3,0),B (1由抛物线及圆的对称性得知点C 则C(1,-3).
点A 、B 、C 在抛物线上,则
???
????++=-+-+-=++++=c b a c b a c
b a 3)31()31(0)31()31(02
2
解之得??
???-=-==221
c b a
∴抛物线解析式为222--=x x y
(3)假设存在点D ,使OC 与PD 互相平分,则四边形OPCD 为平行四边形,且PC∥OD.
又PC∥y 轴,∴点D 在y 轴上,∴OD=2,即D (0,-2).
又点D (0,-2)在抛物线222--=x x y 上,故存在点D (0,-2),
使线段OC 与PD 互相平分.
4.(2018湖北襄樊)如图,在平面直角坐标系内,Rt△ABC
的直角顶点C (0
y 轴的正半轴上,A 、B 是x 轴
上是两点,且OA ∶OB =3∶1,以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ,交BC 于点F .直线EF 交OC 于点
Q .
(1)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式; (2)请猜想:直线EF 与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想.
(3)在△AOC 中,设点M 是AC 边上的一个动点,过
M 作MN∥AB 交OC 于点N
点P ,使得△PMN 是一个以三角形?若存在,求出P 由.
[解] (1)在Rt△ABC 中,OC ⊥AB , ∴△AOC
≌△COB . ∴OC 2=OA ·OB . ∵OA ∶OB =3∶1,C (0,),
∴23.OB OB g
∴OB =1.∴OA =3. ∴A (-3,0),B (1,0).
设抛物线的解析式为2.y ax bx c =++
则930,0,a b c a b c c ?-+=?++=??
=?
解之,得3a b c ?=-??
?=???=??
∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式
为
2y x =+ (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切. 证明:连结O 1E 、OE 、OF . ∵∠ECF =∠AEO =∠BFO =90°, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE =QO . ∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,∠2+∠4=90°, ∴EF 与⊙O 1相切. 同理:EF 理⊙O 2相切.
(3)作MP ⊥OA 于P ,设MN =a ,由题意可得MP =MN
=a . ∵MN∥OA , ∴△CMN ∽△CAO .
∴.MN CN
AO CO =
∴3
a =
解之,得a =
此时,四边形OPMN 是正方形.
∴MN OP ==
∴(P 考虑到四边形PMNO 此时为正方形,
∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的
等腰直角三角形.
故x 轴上存在点P 使得△PMN 是一个以MN 为一直角边
的等腰直角三角形且(P 或(0,0).P 5.(2018湖北宜昌)如图,已知点A(0,1)、C(4,3)、
E(4
15,8
23
),P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点,点D 在y 轴,抛物线y =
ax 2+b x +1以P 为顶点.
(1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上;
(2)能否判断抛物线y =ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由;
(3)设抛物线y =ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧),△GAO 与△FAO 的面积差为3,且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点.这时能确定a 、b 的
值吗?若能,请求出a 、b 的值;若不能,请确定a 、b 的取值范围. (本题图形仅供分析参考用)
[解] (1)由题意,A(0,1)、C(4,定的解析式为:y=2
1x +1.
将点E 的坐标E(415,8
23
)代入y=2
1x +1左边=823,右边=21×4
15+1=8
23, ∵左边=右边,∴点E 在直线y=21x +1上,即点A 、C 、E
在一条直线上.
(2)解法一:由于动点P 在矩形ABCD 内部,∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标,而点A 与点P 都在抛物线上,且P 为顶点,∴这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下
解法二:∵抛物线y=ax 2+b x +c 的顶点P 的纵坐标为
a
b a 442
—,且P 在矩形ABCD 内部,∴1<
a
b a 442
—<3,由1
<1—
a
b 42
得—
a
b 42
>0,∴a <0,∴抛物线的开口向下.
由方程组 y=ax 2—6ax +1 y=
2
1
x +1 得:ax 2—(6a +
2
1
)x =0 (3)连接GA 、FA ,∵S △GAO —S △FAO =3 ∴21GO ·AO —21FO ·AO=3 ∵OA=1,∴GO —FO=6. 设F (x 1,0)、G (x 2,0),则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根,且x 1<x 2,又∵a <0,∴x 1·x 2=a
1
<0,∴x 1<0<x 2,
∴GO= x 2,FO= —x 1,∴x 2—(—x 1)=6, 即x 2+x 1=6,∵x 2+x 1= —a
b ∴—a b =6,
∴b= —6a ,
∴抛物线解析式为:y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为(3,1—9a ), ∵顶点P 在矩形ABCD 内部, ∴1<1—9a <3, ∴—9
2<a <0.
∴x =0或x =
a
a 2
16 =6+
a
21. 当x =0时,即抛物线与线段AE 交于点A ,而这条抛物
线与线段AE 有两个不同的交
点,则有:0<6+
a 21
≤415
,解得:—9
2≤a <—121
综合得:—9
2<a <—121 ∵b= —6a ,∴2
1<b <3
4
6.(2018湖南长沙)已知两点O(0,0)、B(0,2),⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ,⊙A 被y 轴分成段两圆弧,其弧长之比为3∶1,直线l 与⊙A 切于点O ,抛物线的顶点在直线l 上运动. (1)求⊙A 的半径;
(2)若抛物线经过O 、C
(3)过l 上一点P 的直线与⊙A 交于PC =CE ,求点E 的坐标;
(4)若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点,其顶点P 的横坐标为m ,求△PEC 的面积关于m 的函数解析式. [解] (1)由弧长之比为3∶1,可得∠BAO=90o 再由AB =AO =r ,且OB =2,得r =
2
(2)⊙A 的切线l 过原点,可设l 为y =kx
任取l 上一点(b ,kb ),由l 与y 轴夹角为45o可得:
b =-kb 或b =kb ,得k =-1或k =1,
∴直线l 的解析式为y =-x 或y =x
又由r C(2,0)或C(-2,0)
由此可设抛物线解析式为y =ax (x -2)或y =ax (x +2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a =1 ∴抛物线为y =x 2-2x 或y =x 2+2x
……6分
(3)当l 的解析式为y =-x 时,由P 在l 上,可设P(m ,-m)(m >0)
过P 作PP′⊥x 轴于P′,∴OP′=|m|,PP′=|-m|,∴OP =2m 2,
又由切割线定理可得:OP 2=PC·PE,且PC =CE ,得PC =PE =m =PP′7分
∴C 与P′为同一点,即PE⊥x 轴于C ,∴m=-2,E(-2,2)…8分
同理,当l 的解析式为y =x 时,m =-2,E(-2,2) (4)若C(2,0),此时l 为y =-x ,∵P 与点O 、点C 不重合,∴m≠0且m≠2,
当m <0时,FC =2(2-m),高为|y p |即为-m , ∴S=22(2)()22
m m m m --=-
同理当0<m <2时,S =-m 2+2m ;当m >2时,S
=m 2-2m ;
∴S=222(02)
2(02)m m m m m m m ?-<>?-+<
或 又若
C(-2,0),
此时l 为y =x ,同理可得;S =222(20)
2(20)
m m m m m m m ?+<->?---<
7.(2018江苏连云港)如图,直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x x
m
y 的图像交于A 、B 两点,且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点.
(1)若COD ?的面积是AOB ?的面积的2倍,求k 与m 之间的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,是否存在k 和m ,使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P .若存在,求出k 和
存在,请说明理由.
[解](1)设),(11y x A ,),(22y x B (其中2121,y y x x ><), 由AOB COD S S ??=
2,得)(2BOD AOD COD S S S ???-=
∴2
1·OC ·2=OD (
21
·OD ·-1y 2
1·OD ·2y ),)(221y y OC -=,
又4=OC ,∴8)(221=-y y ,即84)(21221=-+y y y y ,
由x
m y =可得y
m x =,代入4+=kx y 可得042=--km y y ①
∴421=+y y ,km y y -=?21,
∴8416=+km ,即m
k 2-=. 又方程①的判别式08416>=+=?km ,
∴所求的函数关系式为m
k 2-=)0(>m . (2)假设存在k ,m ,使得以AB 则BP AP ⊥,过A 、B 分别作x 轴的垂线,垂足分别为M 、N . ∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余,∴MAP ∠
BPN ∠=.
∴Rt MAP ?∽Rt NPB ?,∴NB
MP PN
AM =. ∴
2
1
2122y x x y -=-,∴0)2)(2(2121=+--y y x x , ∴0)2)(2(212
1
=+--y y y m
y m ,
即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②
由(1)知421=+y y ,221=?y y ,代入②得01282=+-m m ,
∴2=m 或6,又m k 2-=,∴???-==12k m 或??
???-==316k m ,
∴存在k ,m ,使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ,且??
?-==1
2
k m 或
??
???-==316
k m .
8.(2018江苏镇江)已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与
x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <,与y 轴交于点C ,
且AB =6.
(1)求抛物线和直线BC 的解析式.
(2)在给定的直角坐标系中,画抛物线和直线BC . (3)若P e 过A 、B 、C 三点,求P e 的半径.
(4)抛物线上是否存在点M ,过点M 作MN x ⊥轴于点
N ,使MBN ?被直线BC 分成面积比为13:的两部分?
若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
[解](1)由题意得:12122155,, 6.m x x x x x x m
m
--+=?=-=
2
2
1212520
()436,36,m x x x x m m -??+-=+
= ???
解得1251,.7
m m ==-
经检验m =124 5.y x x =+-
或:由2(5)50mx m x ---=得,1x =0,m Q >
5
16, 1.m m
-∴-
=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-
由2450x x +-=得125, 1.x x =-=
∴A (-5,0),B (1,0),C (0,-5). 设直线BC 的解析式为,y kx b =+ 则5,
5,
0. 5.b b k b k =-=-??∴?
?
+==?? ∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.
(3)法一:在Rt AOC D 中,5,45.OA OC OAC ==∴∠=?Q
90BPC ∴∠=?.
又
BC =
=
∴P e 的半径
2
PB == 法二:
由题意,圆心P 在AB 的中垂线上,即在抛物线
245y x x =+-的对称轴直线2x =-上,设
P (-2,-h )
(h >0),
连结PB 、PC ,则222222(12),(5)2PB h PC h =++=-+, 由22PB PC =,即2222(12)(5)2h h ++=-+,解得h =2.
(2,2),P P ∴--∴e 的半径PB ==.