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专题：三角函数与解三角形
一、 考试内容
1. 任意角的三角函数；同角三角函数的基本关系式；正眩、余眩的诱导公式。
2. 两角和与差的正弦、余弦、正切；二倍角公式。
3. 正弦、余弦和正切函数的图像和性质；函数的奇偶性；函数尸Asin(sx+0)的图像；
4. 正弦定理；余弦定理；利用正弦定理、余弦定理解三角形。
二、 常见的考题类型、高考命题趋势
常见考题类型
(1) 考查三角函数的图像和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图像变换、特征分析(对 称
轴、对称屮心)等。
(2) 考查三角函数式的恒等变换，如利用有关公式求值和简单的综合问题等。
考点一：同角三角函数的关系
【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，在解题时要注意sin 26Z + cos 2￡Z = l,这 是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是 否需要分类讨论。
【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨 论是关键。
例1、(全国)Q 是第四象限角，tan<7 = 一~ ,贝ijsino=(
)
12
1 1
5 5 A ?一
B. -----
C.—
D.
5
5
13
13
点评：由正切值求正弦值或余眩值， sin OL
用到同角二角函数公式：tana-
,同样要能想到隐含
C0S6Z
条件：sin 2 6T +cos 2 <7 = 1 o
例 2、(浙江)若 cos (7 + 2sin = - V5, W'J tan a =( )
(A)丄
(B) 2
(C) 一丄
(D) -2
2
2
点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：sin 26r + cos 2a = l,与它联系成 方程组，解方程组来求解。
练习 1、［2012 辽宁文】已?知sina-cosQ = A/^ ,
(0,兀)，贝ijsin 2a =( )
亠卄 sina + cosG 1 练习3、若 ------------ =-
(A) -1
(C)
T
(D) 1
练习2、(重庆)若COSG =
，且1疋(龙,乎)，贝0 tan cz 贝I 」tan a =(
sina-cosG 2
考点二：诱导公式与二倍角公式
【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角两数值，也有些 大题用到诱导公式。
例3、【2012全国文】已知。为第二象限角,
jr 3
例4、(浙江〉若sin(- + ^) = -,则cos2&=
2 5
点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能 求解。
练习4、已知COS& =丄,0€ (0,龙),则COS (7T+2&)等于(
A.
jr 1
练习5.(福建)若ae(0,
-),11 -^cos2a=- ‘则tana 的值等于()
练习6、
考点三：三角函数的图象和性质
【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等，以选择题、解答题为 主，难度以容易题为主。
例5、［2012高考安徽文7】要得到函数y = cos(2x + l)的图象，只要将函数y = cos2兀的图象
JT
例6.(天津)把函数y = sinx(xeR)的图象上所有的点向左平行移动上个单位长度，再把所得图象上
?( 兀)
C. y = sin 2x + — , XE R
? I 3丿
y = sinf2x + —1 xeR
I 3 )
练习7、(安徽)函数y = sin(2x + -)图像的对称轴方程可能是(
)
7T 7T 7T
71
A. X — ----- B . x = ----------- C. x = —
D. x =——
6 12
6
12
所有点的横坐标缩短到原来吋倍
(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A. y = sin (2兀一兰］XG R
I 3丿
B.
y = sin
/ 、 X 71 (2 6) (A)
24
25
(B) 12 25
(C)U
25
(D)
24 25
A.
V2
V
B.
C. V2
D. V3
(A)向左平移1个单，位 (C)向左平移丄个单位
2
(B)向右平移1个单位 (D)向右平移丄个单位
2
D.
练习12、（10广东）已知a,b,c 分别是AABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1 ,b=^ ,A+C=2B, 贝ij sinA= ________
练习13、［2012浙江文18］（本题满分14分）在AABC 中，内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,
I=L bsinA=V3 acosBo
练习8、已知函数/（x ） = sin 亦+ ―（0>0）的最小正周期为兀，则该函数的图彖
7T
A.关于直线兀=—对称
4 7T
B.关于点-.0对称
14
C.关于点（匹,o ］对称
13 ）
JT
D
关于直线2护称
练习 9、(辽宁文)己知函数 f(x) =Atan ( a )x^(p ) ( 69> 0,| ^>|<
—),
7T
〉=/（兀）的部分图像如下图，则/（—）
(A) 2+V3 (B) V3
(C)
V3 3
(D) 2-V3
练习10、己知函数/（x ） = sin （6?x +（p ）｛（o> 0）的图象如图所示，则Q = 练习 11、(11 广东)设函数 f(x) = x 3 cosx + l,若 f(a)
考点四：解三角形
【命题规律】本节重点为正余弦定理及三角形面积公式, 正、余弦定理，考题灵活多样。
例7、（浙江）在AABC 中,角A, B.C 所对的
边分 a,b,c ?若 acosA = hsmB ,则
sin A cos A + cos” B =
1
(A )
'I
(C) -1
(0)1
例8、【2012广东文】在△ABC 中，若ZA = 60°, ZB = 45°, BC = 3迥,则AC =
A. 4A /3
B. 2V3
C. V3
练习14、(广东五校联考)在/ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且tanA 冷c°sB =響
(1)求tanC 的值； (2)若ZABC 最长的边为1,求b 。
点评：本题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。 考点五：三角恒等变换大题
【内容解读】注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，最大最小值，三角函数与向 量等内容。
【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道 解答题，属容易题。
X JT 例9、[2012高考广东文16】已知函数f(x) = Acos —+ — (4 6 (1)求A 的值;
点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图彖的性质，注意常握在给定范围内，三角函数值域的求 法。
练习15、(08广东)已知函数f(x)=Asin(x+ (p )(A>0,0<(p<7V R 的最大值是1,其图像经过点M
(1)求兀v)的解析式；
(兀、
3
] 2
⑵ 己知 丘
‘ 且
J{p)=—y 求 Jia —0)的值.
v 2 J 5
13
7T
练习16、(09广东)已知向量a = (sin 0-2)与b = (l,cos&)互相垂直,其中% (0,—)
(1) 求sin &和cos&的值
(2) 若 5 cos(^ -(p) = 3V5 cos (p , OV0V —,求 cos 。的值
(兀、 JT
练习17、(10广东)设函数/(x) = 3sin 砒+ —，勿>0,且以一为最小正周期.
I 6丿
2
(1)求/(0)； (2)求/(对的解析式；
/
\
Q
(3)已知 f —I =—,求sin (X 的值.
U 12 丿 5
] 兀
练习1久(11 T 东)已知函数f(x) = 2sin(-x 一一),力WR 。
3 6
/ \
XG R,且
f - =42
(3丿 \ J /
(2)设
0,彳 ,f < 4、 4a +—7r 30 霍 =了 (
A/3--K L 2」
k 3丿 17 1 3丿
求COS (Q + 〃)的值.
(1)求/(0)的值;
(2)设G,0[o,彳],f (3G +彳)=jy ,f (30+2/r) =￡?求sin(Q + 0)的值
练习19、【2012辽宁文】在AABC中，角/、B、C的对边分别为已，b, c°角儿B, C成等差数列。
(I)求cos3的值；
(II)边a, b, c成等比数列，求sin A sin C的值。
3 3 —X x
练习20、(广东六校联考)己知向量a=(cos —x, sin —x),b =(-cos —> sin — ),且兀丘[0,
2 2 2 2
—]. (1)求a + b
2
(2)设函数f(x) = \a + b\-^a-b ,求函数/⑴ 的最值及相应的％的值。
点评：木题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。
练习21、(北京)己知函数f(x) = 4cos x sin(x+—)-1. 6
(I )求.f(兀)的最小正周期和图彖的对称轴方程：
(II)求y(兀)在区间上的最大值和最小值.
6 4
练习22、(天津)在'ABC屮，内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知B = C,2bYa.
jr
(I )求cosA的值；(II) cos(2A + -)的值.
4
本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余眩公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分。
练习23、已知函数f (%) = Asin(tzzr+(p)(A>0,co>0,\(p\<—,xeR)的图象的一部分如下图所示.
(T)求函数/(兀)的解析式;
四、三角函数恒等变形的基本策略。
(1)
(2)
(3)
(4) 注意隐含条件的应用：1 uCOs'x+sj门％
角的配凑。a= (a+0) —0, 0=空辺一纟二妙等。
2 2 升幕与降幕。
主要用2倍角的余弦。化弦(切)法，用正弦定理或余弦
定理。
丿
2
y
T\、、、「
-/ ° 1 2 3\4 5 6 /7
/-I -\丿
-2
(5)引入辅助角。asin 0 +bcos 0 = ^Jci2 +b2 sin(O+(p)o
五、练习
1、若sina< 0且tancr< 0 是，则a 是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2、已知函数y = Asin(ax + 0)+ B的一部分图彖如下图所示，如果A > 0,69> 0,|^| < —,贝％ )
A.A = 4
B. (p- —
6
C. C0=\
D.B = 4
3、为了得到函数>-sin(3x + -)的图象，只需把函数
y = sin3x的图象( )
A、向左平移兰
B、向左平移兰
C、向右平移兰
D、
6 18 6
向右平移兰
18
4.(08广调)在△ABC屮，角A,B,C所对的边分別为a,b,c ,已知a = 2, c = 3 , cos B =—.
4
(1)求b的值；(2)求sinC的值.
(本小题主要考査正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查运算求解能力)
JT
5.(11 广调)已知向量a=(sin&,2),b=(cos&,l)，且a IIb.其中处(0,丝).
(1)求sin0和cos&的值；(2)若sin(&-69)= —, 0 < 69< —,求COSQ的值.
5 2
(本小题主要考查平面向量，同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识，考査化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)
7? 7T
6?(08广一)已知函数f(x) = asinx + b cos x的图像经过点—,0和—,1 .
(3丿12丿
(I)求实数。和b的值；(II)当兀为何值时，/(X)取得最大值.
3
7.(09广一)已知厶ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,且a = 2, cos B = —?
⑴若b = 4,求sin A的值；(2)若ZBC的面积= 4,求的值.
(本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考査运算求解能力)
8.（10广一）己知函数/（x） = sinxcos（p + cosxsin（p（其中兀w R , 0<（p<7r）.
（本小题主要考査三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考査化归与转化的数学思想方法，以及 运算求解能力）
(x \
n = sin — , 1 (XG R),设函数/(x) = mJn-\.
I 2丿
5 3
（1）求/（x ）的值域；（2）己知锐角\ABC 的三个内角为A, B, C,若/（A ）= —, /（〃）= —，求
1 /(A+B)的值.
（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及 运算求解能力）
已知函数 f(x) = sin x + sin(x + —),xe R.
⑴求于（无）的最小正周期；（TI ）求/（X ）的的最大值和最小值以及此时x 的值;
3
(III)若 f(a) = -9 求sin2a 的值.
4
（1）求函数/（兀）的最小正周期;
（2）若点在函数y = f （6 2
丿
*
‘2兀+兰］的图像上，求0的值 I 6丿
Y 9.(09 广二)己知向量/n = 2cos —, 1 10>
专题：三角函数与解三角形答案
sin OL
点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式：tan6T = ^-^,同样要能想到隐含
C0S6Z
条件：sin 2 6r + cos 2 a = l o
例 2、解：由 coscr + 2sincr = -A /5 可得：由 cos a = -y[5 - 2 sin cr, 又由 sin 2 6if + cos 2 a-\.可得：
sin 2 a + ( -V5-2sin6r) 2=1
点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：sin 2^ + cos 26Z = l,与它联系成 方程组，解方程组来求解。
练习 1、【答案】A ?/ sin a - cos a = V2, /. (sin a- cos a)2 =2,??.sin2a = -l,故选 A
4
练习2、 答案：一
3
练习3、答案：-3
例3、【答案】B 【解析】因为a 为第二象限，所以cosavO, B|J cos 6^ = -7l-sin 26r =,
4 3 12
所以 sin 2a = 2 sin oc cos a = — x —= ----- , 选 B.
5 5 25
a a or
例4、解：由sin(- + ^) = -可知，cos& = — ；而cos2& = 2cos2& —l = 2x(?)2—1 =——。
2 5 5 5 25
点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握公式就能 求解。
7 练习4、D.— 练习5. D. V3 9
练习6、【答案】B 【解析】因为a 为第二象限，所以cosavO,即cos^ = -71-sin 2 6^
, 5
…
4 3 12
所以sin2a = 2sinacosa 二——X —= ----------,选
5 5 25
例5、【答案】C 【解析】y = cos2兀t y = cos(2x + l)左+1,平移丄。
例6?
向左平磷个单位
横将J 缩煎到M 來的J 倍 兀
解：y= sin x ----------- ------- > y = sin (兀) ---------------- e
---- > y = sin(2x+—), 选 C
例1、解：由tawf
sin a _ 5 所以 \ cos a 12
sin 2 6r + cos 2 a = 1
“是第四象限角’解得：sina=-5
可得sin a =—
2V5
"T"
cos a - -A /5 - 2 sin 6/ = — ,所以, 5 sin a
tana = --------- =2o
cos a
练习 7、D. x =—
12
例 7、 【解析】T dcosA = bsin B sin A cos A = sin 2 B ,
sin Acos A + cos 2 B = sin 2 B + cos 2 B = 1.
【答案】D
例&
【答案】E
3巧x 忑
【解析1扌艮据正弦正理， — =— ---- ，贝LI AC = -- : ------ = ------ 尸 --- =2yf 3?
sin A sin B sin A Q3
练习12、1/2 练习13、
【答累】 【解析】(1)V bsinA= acosB,由正弦定理可得sin BsinA = ^3 sin A cos B ,艮卩得
tan B 二馆，/. B =—?
3
(2)丁 sinC=2sinA? 由正弦定理得 c 二 2a > 由余弦定理 b 2 = a 2 +c 2 -2ac cos5 , 9 = a 2 +4O 2 -2a-2a cos —,解得a =爲、：.c = 2a = 2屈.
1 1 /? tan C = tan [zr
-
—— / 4 / 人 门、 tan A + tan 3 ? 3 1
-(A + B)l = -tan(A + fi) = ----------------------- = =匕=-1 2 3
(2)由(1)知C 为钝角，C 是最大角，最大边为c=l,
??? tanC = -1,/. C = 135°,/. sinC = ^-,
1 Vio 由正弦定理:丄二亠得心沁=亠拦 sin B sinC sinC <
2 5
V
点评：木题考查同角三角函数公式，两角和的正切，正弦定理等内容，综合考查了三角函数的知识。
练习8、C. 练习9、练习10 练习11、
练习14.
解:(1) ?s’習锐角，且=豁
??? tan B =
sinB
cosB
15
sina =——,
17
八 八
8 4
=2cos I /?- — + — = 2 cos j8 = - 即 cz ? I 6 6 丿 5 5
g
3
，3T 12A COS a = sin 2 a = —, sin /?= Vl-cos 2 a = — 17 5
所以c 。心+Q = cos —丽諾冷—护｝—存
木题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范I 韦I 内，三角函数值域的求
<
4 ] =2 cos 〈 7T
=2 cos (
Q+—+— : G+ —
1
3丿
< 3 6
1 2丿
(2 ) /
=曲务#八血解得心。
d
(7T 心 =J 4COS --------- 1—
“2 6丿
30
-2 sin a-~—， 民卩
17
例9、
【答案】（1）
点评:
法。
练习15. 所以彳+ 0 = ￥ 即0 =彳，因此/（x ）= sin x + y
= cosx
71、
2>
(2)因为 /(Q )二 COSO = 3, f(〃) = cos0 = 2 且 0,—
5 13
(2 4 5
所以sina = —,sin0 二一
1
f(a-/3) = cos(a - 0) = cos a cos 0 +sin a sin B = —x —+—x —=— H \ I ” "
5 13 5 13 65
练习 16、【解析】(1 ) Q 》丄b , /. a =sin&-2cos& = 0,即sin& = 2cos& 又?/ si 『& + cos & = 1, 4 cos 2 0 + cos 2 & = 1,即 cos 2 = —, sin 2 0-—
又
(0,—)/.sin^ = ^^-, cosO = — 5 5
(2) T 5 cos( & - 0)= 5(cos & cos 0 + sin & sin (p) = >/5 cos (p + 2A /5 sin (p = 3A /5 COS 0 /. cos (p = sm (p , /. cos 2 cp = sin 2(p = \- cos 2 cp ，即 cos 2 ^ = ~
又 0v°v 壬，A cos (p = —
解:（1）依题意知A = l, f
丄，又兰腔+ 05匹
2 3 3 3
??? sm x ± Jl - cosS 士 Jl - §2 七故 sin a 的值驾或卡
/ 亓、 练习 18、解：(1) f (0) =
2sin --------
I 6丿
(2)
晋/
(
<1
(
兀、
3a + — =2 sin -X 3a + —
I 2丿
<3 I 2丿 "6> 2 sin a,
1 — \
/(30 + 2;r) = 2sin -x(3^ + 2^)--
13 6丿
/ \
2 sin 卩—=2cos0, k 2
/. sin (7 = —,cos^
\ cos a - Vl -sin 2
a = Jl -
13 " 5 V
12 B 5
sin 0 - Jl - cos ，0 = Jl _
4 5?
故 sin(a + ^) = sin cos + cos sin ^ = — x - + — x -=—
13 5
13 5
65
练习19、 (门)解:
(I ) It)已攵I 2B — H-C, 4 + 打 + ￡ — 180° ?解得E = 60° ,所以
cos B = 2 (II )(解法一)
1
JlCXll M 二 GC .及 cost/ =亍.
根据1E 弘;定理WsiirB = sin A sin C ?所以
3 sin A sin C = 1 — cos'B =—.
4
12分
(解法二)
_ 1
由二知 b? = ac 氏 costf =—,
2 2 根捉余弦比红得gsB _3—+
二-一"，影沁 7 所^A = C = 60°?故
ar.
2ac
【2
分
练习17、 (2) (3)
解：(1)由已知可得：/(0) = 3sin- = -
6 2
77 2 TT 77
77
V f(x)的周期为一，即——=-
：.co = 4 故/(x) = 3sin(4x + -)
2 co 2
6
?/ /(— + —) = 3sin[4x (―4- —) + —] = 3sin(? + —) = 3cost?
4 12 4 12 6 2 _ 9 3 :.由己知得:3 cos a =—即 cos a =—
- 2吟一1；
7T 练习20.解：(I)由已知条件：0 2 z 3x X ?3x ? X、N + =(COS + cos—, -sin-) 2 2 2 2 z 3x x、2 z . 3x . (cos ---- F cos —)+ (sin ----- sin —) 2 2 2 2 =V2-2cos2x = 2sinx 3 r x (2) f(x) = 2sinx +cos " 3x x . — cos ——sin — sin — = 2sinx + cos2x 2 2 2 2 .2 1 ° 3 =-2 sin x + 2 sin x +1 = -2(sin x —) + —, 2 2 因为：OS耸，所以：0 所以’只有当：x = ^时’/max(x) = -|, X = O ,或兀=1 时,/min(x) = 1 点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等知识。练习21、 解：(I )因为/(x) = 4cosxsin(x + —)-1 = 4cosx(——sinx + —cosx)-l 6 2 2 A/3sin2兀 + 2cos2x-\ = V3sin2x + cos2x = 2sin(2% + —) 6 所以/(x)的最小正周期为龙 (II)因为 WxW —,所以5 2x H— W —? 6 4 6 6 3 于是，当2x + - = -,Wx = -时，/(兀)取得最大值2； 6 2 6 当2兀+彳二一彳，即兀二一彳时J(x)取得最小值_1. 练习22、本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正眩、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分。 (I )解：由B = C,2b =羽⑦可得c = b =——a 2 所以cos A 3 2 I 3 2 2 >2 . 2 2 —a —Cl —ci i b -a _ 4 4 _ 1 0 A/3V3 ~3 2 x —ci x —ci 2 2 2hc (II)解：因为cosA = -,Ae (0,^-),所以sin A = Vl-cos2 A ?近 cos2A = -2cos2A-l = -？.故sin2A = 2sin AcosA = 9 9 2兀 练习23、(I)由图象，知〃=2, — = 8, 0) 当X = 1吋，有兰X1 + 0二兰， 4 2 /. 0) = —,得 /(x) = 2sin(—x + 4 4 ? 兀 ? 宀、小?/兀 兀、 ? ■(p = — ? ? ? j (x) — 2 sin(— x H —) ? 4 4 4 4?【解析】(1)由余弦定理，b 2 = a 2 +c 2 — 2accos B , 得护=22+32-2x2x3x- = 10, ??.b =顶. 4 _______ 3 r ???CZBC 的内角，X 心K 方法2：心叫，且B 是WC 的内角，芈 根据正弦定理，—二丄一，得s inC = —B -3 4 _3品 sin B sin C b ? zj 、、/3 5.【解析】(1)解：???a=(sin&,2),〃=(cos&,l)，且allb, = 即sin& = 2cos&. (2)解:???0v 吨,ov&vf,???一彳vivf. *.* sin(& — 69)= .: cos(0- co) = Jl-sin"&-69)=彳 ( 71 71 < 7) cos 2A + - -cos 2A cos —- -sin2Asin —= 1 4 4 4 < 9 X 旦迟返“込 2 9 2 18 五、练习 1、D 2. B. 3. 2 >2 2 ⑵方法“由余弦定理，得c 。心迸汙 4 + 10-9 V10 2x2xVIo 8 Vio 8 ? ? (龙) T sin & + cos & = 1, 0,—,解得 sin 0 = v 2丿 巫,辭主还,cos 小匣 5 5 ' 5 5 COS 69= COS[0-(& — 砒]=COS&COS (& — Q )+ sin&sill(&- 69)= 时，.f （x ）取得最大值2. 7. （本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力） 由余眩定理得b? = a 2 +c 2 -2accosB , b = ^la 2 +c 2 -2czccosB = ^22 +52 -2x2x5x| = V17 . 8. （本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以 及 运算求解能力） 9. （本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以 及 运算求解能力） sin —, 1 -1 =2cos —sin —+ l-l = sinx. 2 XG R, A 函数/（x ）的值域为[一 1,1] ? 5 3 5 3 (2) V/(A )= —, .-.sinA = —, sinB = -? 八丿13八丿5 13 5 T A, B 都是锐角，/. cos A - Vl-sin 2 A - — , cos B - Vl-sin 2 B -—. 13 5 / (A + B) = sin(A+B) = sin A cos B 4- cos A sin B =—x —+—x — = —. /(A + B)的值为 13 5 13 5 65 56 65 10、 6.【解析】(I )依题意，有 / 、 7C 3 (兀) =>67 = 1?Z? = -V3 ; (11)由(I )知：/(x) = sinx-V3cosx = 2sin n x —— 3 丿 7T TT S1T ?因此，当x —— =2￡兀+ —,即x = 2kn +——(kw Z ) ⑴??? cosB = ->0,且Ov B G , 5 sin B — Vl — cos 2 B — —. 5 rti 正弦定理得亠二」一, sin A sin B (2) V S MBC =丄 ac sin B — 4, ? R 2x- ???si 心兰込」 b 4 ?*. — x 2 x c x — = 4. c = 5. 2 5 'C 兀' = sin ( ”、 r 兀 ,又点 5 1、 在函数y = f ( 兀\ 6丿 (6丿 （6 < 6丿 ??? sinf2x- + - + / I 6 6 ”丿 【解析】(1) /(x) = mLh-l 2cos?: 【解析】（1）???/（兀）= sin （兀+硏，???函数/（兀）的最小正周期为2龙. 71 (2) J 函数y = f 的图像上, *.即 cos 0 = * ? T 0 v 0 v 龙，cp § 1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0． （1）求函数f（x）的表达式； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 解：（Ⅰ）． 依题意：函数． 所以． ， 所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0． ． （Ⅱ）∵，∴ ．． 在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． （I）求y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为， ∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为； （Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴， 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1， 此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π： （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值． 【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2． 则f（x）=2sin（2x）﹣1； （2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=． 而=ac?cosB=，∴ac=3． 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=， 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离 是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα== ， ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值 三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析 教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科 教 学 效 果 分 析 数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1．已知sin α，sin()10 αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ． 512 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22 π π αβ- <-< ，利用三角函数的基本关系式，分别求得 cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解. 【详解】 由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2 π. 又sin(α－β)，∴cos(α－β). 又sin α＝ 5，∴cos α＝5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5×10 －5×10??- ? ??? ＝2.∴β＝4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关 于y 轴对称，且1π2f ω?? =- ??? ，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B ．()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C ．()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D ．()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】 专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 第二定义：设 是任意角，它的终边上的任意一点 P(x,y)，则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 . 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角，且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知α是三角函数的内角，且3 1 tan -=α，求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α（1）求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________. 课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、 7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足 必修四三角函数与解三角形综合测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） 三角函数与解三角形专项练习 1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-． （1）求角C ； （2）若D 是边BC 的中点，11cos 14 B =，21AD =，求AB C 的面积S ． 2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=； （2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=， （1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ； （2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→?△；①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个，作出解答. （1）求角B 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围. 5．已知ABC 的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在ABC 中，7cos 8 A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）b 的值； 三角函数与解三角形 一、 y=Asin （ωx+φ）函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ω?=+，由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换： sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ， 因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--， 因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-， 所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-， 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ． （Ⅰ）求2( )3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-， 高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1．【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A．B． C．D． 【答案】D 【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④B．②④ C．①④D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误． 当时，，它有两个零点:；当时， ，它有一个零点:，故在有个零点:，故③错误．当时，；当时， ，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C． 【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确． 3．【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为，周期为，排除C； 作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确； 作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A． 图1 图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半； ②不是周期函数. 4．【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C．D． 【答案】B 【解析】，， ，又，，又，，故选B． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 5．【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论: ①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点 1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin : 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 , 且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）． 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+ 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 1．A 【解析】因为2 13 cos 2cos 121255 =-=?-=-C C ，所以由余弦定理， 得222 32cos 251251()325 =+-?=+-???-=AB AC BC AC BC C ， 所以=AB A ． 2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知222 1sin 24 a b c ab C +-=， 所以222sin cos 2a b c C C ab +-= =，所以在ABC ?中，4 C π =．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+， 得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+， 即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A. 5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得 1sin 342a c π== ，则2 a c =．在△ABC 中，由余弦定理可得 222222295 322 b a c c c c c =+-= +-= ，则b =． 由余弦定理，可得22 22 2 2 59cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】 11 sin 22 AB BC B ??= ，∴sin 2B =，所以45B =或135B =． 当45B = 时，1AC = =， 此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾； 当135B = 时，AC = =． 三角函数与解三角形 1.已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间??????0，2π3上的最小值. 2.(2019·济南调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值. 3.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝1 7，求△ABC 中线AD 的长. 4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长. 5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B 2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小； (2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 6.(2019·信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小； (2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.三角函数解三角形综合
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