三角求值与解三角形专项训练
1 三角公式运用
【通俗原理】
1．三角函数的定义：设(,)P x y ，记xOP α∠=∈R ，||r OP ==
，
则sin ,cos ,tan (0)y x y
x r r x
ααα=
==≠. 2．基本公式：22
sin sin cos 1,tan cos ααααα
+==.
3．诱导公式：
4．两角和差公式：sin( cos( tan tan(1tan tan β
αβ
.
5．二倍角公式：sin2α22cos2sin 2cos ααα-=-tan 2α.
6．辅助角公式：①sin cos )a b θθθ?+=+，
其中?由tan b
a
?=
及点(,)a b 所在象限确定.
②sin cos cos sin )a b a b θθθθθ?'''+=+=-， 其中?'由tan b a ?'
'=
'
及点(,)a b ''所在象限确定.
【典型例题】
1．已知α∈R ，证明：sin()cos 2
ααπ
-=-.
2．若(0,)2
απ∈，tan 2α=，求sin cos αα+的值.
3．已知sin()1αβ+=，1
sin()2
αβ-=，求tan tan αβ的值.
4．求cos15tan15+的值.
5．证明：3
cos34cos 3cos ααα=-.
【跟踪练习】
1．已知3sin()35απ-=，求cos()6
απ
+的值.
2．若1
sin 22
β=，求tan β的值.
三角求值与解三角形专项训练
2. 解三角形
1．三角形边角关系：在ABC △中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，①A B C ++=π；
②若a b c ≤≤，则a b c +>；③等边对等角，大边对大角.
2．正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===(R 是ABC △外接圆的半径). 变形：2sin a R A =，2sin ,2sin b R B c R C ==.
3．余弦定理：222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C
?=+-?=+-??=+-?
.变形：222cos 2b c a A bc +-=，其他同理可得.
4．三角形面积公式：111
sin sin sin 222
ABC S ab C bc A ac B =
==△. 5．与三角形有关的三角方程：①sin2sin2A B =?A B =或22A B =π-；
②cos2cos2A B =?A B =.
6．与三角形有关的不等式：①sin sin cos cos a b A B A B >?>?<.
7．解三角形的三种题型：①知三个条件(知三个角除外)，求其他(角、边、面积、周长等)； ②知两个条件，求某个特定元素或范围；
③知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.
【典型例题】
1．在ABC △中，若cos cos a A b B =，试判断ABC △的形状.
2．在ABC △中，证明：sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<.
3．在ABC △中，1a =，6
A π
=，3b =C 的大小.
4．在ABC △中，2C A =，2c a =，求角A 的大小.
5．在ABC △sin 3cos c
C A
=，求角A 的大小.
6．在ABC △中，c =
3
C π=
. (I)求ABC △面积的最大值； (II)求ABC △周长的取值范围.
【跟踪练习】
1．在B C A ?中，(sin sin )()(sin sin )a A B c b C B -=-+，求角C .
2．在B C A ?中，222
a c
b a
c +=-． (I)求B ∠的大小；
(II)求C A cos cos +的最大值．
3．在B C A ?中，2
2
2
+-=b c a ，23
B π
=，=b . (I)求BC 边上的中线AD 的长； (II)求BAC ∠的角平分线AE 的长.
参考答案
5.1 三角公式 【典型例题】
1．证明：如图，在单位圆中，记xOP α∠=，
=2
xOQ απ∠-，有(,),(,)P x y Q y x -， 则sin()2x απ-=-，而cos x α=-，
∴sin()cos 2
ααπ
-=-.
2．解法一：∵(0,)2
απ
∈，tan 2α=，有sin 2cos αα=，
代入2
2sin
cos 1αα+=得21cos 5α=
，则cos 5α=
，sin 5
α=，
∴sin cos αα+=
. 解法二：∵(0,)2
απ
∈，tan 2α=， ∴2
(sin cos )12sin cos αααα+=+
222sin cos 1sin cos αααα=+
=+2
2tan 9
1tan 15
αα+=+， 又sin cos 0αα+>
，有sin cos 5
αα+=
. 3．解：由sin()1αβ+=，1sin()2
αβ-=
， 得sin cos cos sin 1
1
sin cos cos sin 2
αβαβαβαβ+=??
?-=??，则31sin cos ,cos sin 44αβαβ==，
∴tan tan αβsin sin cos cos 3sin cos sin cos α
αβαβαββ
===.
4．解：∵cos15cos(4530)cos45cos30sin 45sin 30=-=+
12=
+=， tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 30-=
-=
+2
==-
∴cos15tan15+24
=
+-5．证明：cos3cos(2)cos cos2sin sin2ααααααα=+=- 2
2
cos (2cos 1)2cos sin αααα=-- 3
2
2cos cos 2cos (1cos )αααα=--- 34cos 3cos αα=-.
【跟踪练习】
1．解：∵()()632ααπππ+--=，且3sin()35απ-=， ∴3
cos()cos[()]sin()62335
αααππππ+=+-=--=-.
2．解：由1sin 22β=
得1
2sin cos 2
ββ=，即22
sin cos 1sin cos 4ββββ=+， ∴
2
tan 1tan 14
β
β=+，即2
tan 4tan 10ββ-+=
，解得tan 2β=±.
由cos ?=
得cos(2)2
k α3ππ+-=
，即sin sin αα-=?=.
由sin 5?=
得sin(2)
25k α3ππ+-=，即cos cos 55
αα-=?=-，
∴2sin cos 5
αα+=-
.
5.3 解三角形 【典型例题】
1．解：由cos cos a A b B =及正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，即sin2sin2A B =， 又,(0,)A B ∈π，有22A B =或22A B =π-，即A B =或2
A B π+=
， ∴ABC △是等腰三角形或直角三角形.
2．证明：a b A B >?>，由a b >及正弦定理得2sin 2sin sin sin R A R B A B >?>， 而函数()cos f x x =在(0,)π上单调递减，有0()()B A f B f A <<<π?>， ∴cos cos A B A >?<，
∴sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<.
3．解：由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
，得sin 1sin 22b A B a ===．
因为1b a =>=，所以B A >，故3B π=
或3
2π． 当3B π=时，()()632C A B πππ=π-+=π-+=．
当23B π=时，()2()636C A B πππ
=π-+=π-+
=． ∴角C 为2π或6
π
.
4．解：∵a c 2=，∴ 由正弦定理有sin C =2sin A ． 又C =2A ，即sin2A =2sin A ，于是2sin A cos A =2sin A ， 在△ABC 中，sin A ≠0，于是cos A =22
，∴ A =4
π． 5
sin sin c a
C A
=
=，
从而sin A A =，tan A =， ∵0A <<π，∴3
A π=
.
6．解：(I)∵3c C π==
，由余弦定理得222
2cos 3
a b ab π=+-， ∴2232a b ab ab ab ab =+-≥-=，仅当a b =时等号成立，
∴ABC △的面积11sin sin 3223S ab C ab π=
=≤=
∴当a b ==时，ABC △面积的最大值为
4
； (II)由(I)得223a b ab =+-，即23()3a b ab =+-，
∴221()1()32
a b ab a b +=
+-≤，则2()12a b +≤，即a b +≤a b =时等号成立.
∴ABC △的周长a b c ++≤=a b ==
而a b c +>=
a b c ++>，
∴ABC △周长的取值范围是. 【跟踪练习】
1．解：由已知以及正弦定理，得()()()a a b c b c b -=-+，即2
2
2
a b c ab +-=. ，
∴2221cos 22a b c C ab +-=
=，又()0πC ∈，，所以π
3C =. 2．解：(I)由已知得:2
1
2cos 222-=-+=
ac b c a B ，0B <<π，23
B π
∴=
； (II)由(I)知:3A C π+=
，故033
A C C ππ=-<<,，
所以3cos cos cos(
)cos cos 32A C C C C C π+=-+=+)3
C π
=+，
0,sin()133C C ππ<<
<+≤，3cos cos 2
3
≤+<∴C A .
3．解：(I)
由2
2
2
+-=b c a
及余弦定理得222cos 22
b c a A bc +-==，
又(0,)A ∈π，∴6A π=
，则6
C A B π
=π--=，即a c =，
而b =sin sin sin a b c
A B C ==
得sin sin sin 636
a c ==ππ
，即2a c ==. AD 是BC 边上的中线，则1
()2
AD AB AC =+，
∴222
1(2cos )746
AD c b bc π=++=，有||7AD =
即BC
；
(II)由(I)
得2,c b ==6A π
=，又AE 是BAC ∠的平分线， 由ABE CAE ABC S S S +=△△△得111sin sin sin 2122122
6
c AE b AE bc πππ
+=，
∴1)sin 2312AE π=
1)sin 312
AE
π
=
，
又1sin
sin()1234
2πππ=-
=-?=， ∴AE =BAC ∠的角平分线AE =
5.2 三角函数的图象与性质
【通俗原理】
1．三个基本三角函数的图象与性质
sin y x = (1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称； (2)对称性：关于(,0)k π中心对称，关于 2
x k π
=π+轴对称；(k ∈Z ，下同) (3)周期性：周期为2T =π； (4)单调性：在[2,2]22
k k ππ
π-π+上递增，在[2,2]22
k k π3π
π+π+上递减；
(5)最值性：当22
x k π
=π+时，max 1y =，
当22
x k 3π
=π+时，max 1y =-；
(6)有界性：当x ∈R 时，sin [1,1]x ∈-.
cos y x =
(1)奇偶性：偶函数，图象关于y 轴对称；
(2)对称性：关于(,0)2
k π
π+
中心对称， 关于x k =π轴对称；(k ∈Z ，下同) (3)周期性：周期为2T =π；
(4)单调性：在[2,2]k k ππ+π上递减， 在[2,22]k k π+ππ+π上递增； (5)最值性：当2x k =π时，max 1y =， 当2x k =π+π时，max 1y =-； (6)有界性：当x ∈R 时，sin [1,1]x ∈-.
tan y x =
tan y x = y x =
sin y x =
2．函数图象平移与伸缩变换
(1)左右平移：()()y f x a y f x a ==-向右平移个单位； 同理有如下结果：
(2)上下平移：()()y f x b y b f x =-=向上平移个单位，即()y f x b =+；
说明：①当0a >时，()y f x =向右平移a 个单位得()y f x a =-，当0a <时，()y f x =向左平移||a 个单位得()y f x a =-；②当0b >时，()y f x =向上平移b 个单位得()y b f x -=， 即()y f x b =+，当0b <时，()y f x =向下平移||b 个单位得()y b f x -=，即()y f x b =+. (3)横向伸缩：1
()()()y f x x A y f x A
==横向伸长到原来的倍； (4)纵向伸缩：1
()()()y f x y B y f x B
==纵向伸长到原来的倍
，即()y Bf x =. 说明：当1A >时，表示伸长，当01A <<时，表示缩短；当1B >时，表示伸长，当01
B <<时，表示缩短.
【典型例题】
1．已知函数()sin(2)3
f x x π=+
. (1)求()f x 的对称轴及对称中心；
(2)求()f x 的单调递增区间及在[0,]π上的单调递增区间； (3)求()f x 在[,0]2
π
-上的最大值与最小值，并求出相应的x 的值.
3．把函数()sin f x x =的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数1
()2cos 13
g x x =+的图象？
【跟踪练习】
1．函数|tan2|y x =的对称轴是 .
2．已知0a >，0?<，函数()sin()f x x ?=+，把()y f x =的图象向右平移a 个单位得到一个偶函数()y g x =的图象，把()y f x =的图象向左平移a 个单位得到一个奇函数()y h x =的图象，当||?取得最小值时，求()y f x =在[0,2]π上的单调递减区间.
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin β，那么下列命题成立的是( )． A ．若α，β 是第一象限角，则cos α ＞cos β B ．若α，β 是第二象限角，则tan α ＞tan β C ．若α，β 是第三象限角，则cos α ＞cos β D ．若α，β 是第四象限角，则tan α ＞tan β
7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝31 ，则sin β 的值是( )． A ．3 1 B ．－3 1 C ． 3 2 2 D ．－ 3 2 2 9．在(0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为( )． A ．??? ??2π ，4π∪??? ??4π5 ，π B ．?? ? ??π ，4π C ．?? ? ??4π5 ，4π D ．??? ??π ，4π∪??? ? ?23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )． A ．y ＝sin ??? ? ? 3π － 2x ，x ∈R B ．y ＝sin ?? ? ??6π ＋ 2x ，x ∈R C ．y ＝sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R D ．y ＝sin ??? ? ? 32π ＋ 2x ，x ∈R 二、填空题 11．函数f (x )＝sin 2 x ＋3tan x 在区间??? ???3π4π ，上的最大值是 ． 12．已知sin α＝ 552，2 π ≤α≤π，则tan α＝ ． 13．若sin ??? ??α ＋ 2π＝53，则sin ?? ? ??α － 2π＝ ． 14．若将函数y ＝tan ??? ? ? 4π ＋ x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ??? ? ? 6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ． 15．已知函数f (x )＝21(sin x ＋cos x )－2 1 |sin x －cos x |，则f (x )的值域是 ． 16．关于函数f (x )＝4sin ??? ? ? 3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题：
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）．
三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A高三三角函数专题复习(题型全面)
三 角 函 数 考点1：三角函数的有关概念； 考点2：三角恒等变换；（两角和、差公式，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式） 考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心） 考点4：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换） 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，则sin θ= ． 练习1．已知角α的终边上一点的坐标为（3 2cos ,32sin π π），则角α的最小正值为（ ） A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法： 例2.设(0,)2πα∈，若3 sin 5α=)4 πα+=（ ） A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1．若πtan 34α??-= ??? ，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12 - Ｃ．12 Ｄ．2 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3． cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4．已知1sin cos 5θθ+=，且324 θππ ≤≤，则cos2θ的值是 ． 3．化简求值 例3.已知α为第二象限角，且sin α，求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习：1。已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ．15 D ．35
数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1．已知sin α，sin()10 αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ． 512 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22 π π αβ- <-< ，利用三角函数的基本关系式，分别求得 cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解. 【详解】 由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2 π. 又sin(α－β)，∴cos(α－β). 又sin α＝ 5，∴cos α＝5 ， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5×10 －5×10??- ? ??? ＝2.∴β＝4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关 于y 轴对称，且1π2f ω?? =- ??? ，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B ．()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C ．()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D ．()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式： 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式： 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式： si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式：① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R，证明：sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ，求cos( )的值. 2 ?若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 ， sin() 2，求芽的值.
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1 2?若sin2 2，求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型：①知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等 ② 知两个条件，求某个特定元素或范围； ③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形： b c a a c cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系：在 △ ABC 中, ②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）. 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程：① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .
训练专题化设计 能力系统化培养 必修4三角函数的诱导公式专项练习题 班级： 姓名： 座号： 一、选择题 1. 已知sin(π+α)=4 5 ，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 【 】 (A)－ 5 3 (B) 53 (C)±5 3 (D) 5 4 2. 若cos100°= k ，则tan ( -80°)的值为 【 】 (A) (D) 3. 在△ABC ，则△ABC 必是 【 】 (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4. 已知角α终边上有一点P (3a ，4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是 【 】 (A)－45 (B)－35 (C)±3 5 (D)±4 5 5. 设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是 【 】 (A)cos(A +B )=cos C (B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin 2A B +=sin 2 C 二、填空题 6. 若1cos()2A π+=-，则sin()2 A π +的值是 . 7. 若cos() (||1)6m m πα-=≤，则2 sin()3 πα-是 . 8. 计算： tan(150)cos(570)cos(1140) tan(210)sin(690) -??-??-?-??-?= . 9. 化简：sin 2( 3π－x )+sin 2(6 π +x )= . 10. = . 三、解答题 11. 化简23 tan()sin ()cos(2) 2cos ()tan(2) π πααπααπαπ-?+?---?-. 12. 设f (θ)=322 2cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++-，求f (3π )的值.
初中三角函数基础检测题 山岳 得分 （一）精心选一选（共３６分） 1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ） A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定 2、在Rt △ABC 中，∠C=90 ，BC=4，sinA=5 4 ，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且 sinA=31 ，则（ ） A 、00<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600 D 、600<∠A<900 4、若cosA=31，则A A A A tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、74 B 、31 C 、21 D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ） A 、1：1：2 B 、1：1：2 C 、1：1：3 D 、1：1：22 6、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ） A 、sinA=sin B B 、sinA=cosB C 、tanA=tanB D 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．sinB=23 B ．cosB=23 C ．tanB=23 D ．tanB=3 2 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）
A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-3 2，-12） D ．（-12，-32） 9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．?某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ） A ．6.9米 B ．8.5米 C ．10.3米 D ．12.0米 10．王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走 200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ） （A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m 11、如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30?， 向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45?，则该高楼的高度大约为（ ） A.82米 B.163米 C.52米 D.70米 12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）． （A ）30海里 （B ）40海里 （C ）50海里 （D ）60海里 （二）细心填一填（共３３分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 2．在△ABC 中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________． 3．在△ABC 中，AB= ，AC=2，∠B=30°，则∠BAC 的度数是______． 图1 45? 30? B A D C
三角函数与解三角形专项练习 1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-． （1）求角C ； （2）若D 是边BC 的中点，11cos 14 B =，21AD =，求AB C 的面积S ． 2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=；
（2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=， （1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ； （2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值． 4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→?△；①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角B 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围. 5．已知ABC 的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在ABC 中，7cos 8 A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）b 的值；