三角求值与解三角形专项训练
1 三角公式运用
【通俗原理】
1.三角函数的定义:设(,)P x y ,记xOP α∠=∈R ,||r OP ==,
则sin ,cos ,tan (0)y x y x r r x
ααα===≠.
2.基本公式:22sin sin cos 1,tan cos α
αααα
+==. 3.诱导公式:
4.两角和差公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±, cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=,
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
5.二倍角公式:sin22sin cos ααα=,
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-,
22tan tan 21tan α
αα
=
-.
6.辅助角公式:①sin cos )a b θθθ?+=+,
其中?由tan b a
?=及点(,)a b 所在象限确定.
②sin cos cos sin )a b a b θθθθθ?'''+=+=-,
其中?'由tan b a ?'
'=
'
及点(,)a b ''所在象限确定.
【典型例题】
1.已知α∈R ,证明:sin()cos 2
ααπ-=-.
2.若(0,)2
απ∈,tan 2α=,求sin cos αα+的值.
3.已知sin()1αβ+=,1sin()2αβ-=,求
tan tan α
β
的值.
4.求cos15tan15+的值.
5.证明:3cos34cos 3cos ααα=-.
【跟踪练习】
1.已知3sin()35απ-=,求cos()6
απ+的值.
2.若1sin 22
β=,求tan β的值.
三角求值与解三角形专项训练 2. 解三角形
1.三角形边角关系:在ABC △中,,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ,①
A B C ++=π;
②若a b c ≤≤,则a b c +>;③等边对等角,大边对大角. 2.正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===(R 是ABC △外接圆的半径). 变形:2sin a R A =,2sin ,2sin b R B c R C ==.
3.余弦定理:222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C
?=+-?=+-??=+-?
.变形:222cos 2b c a A bc +-=,其他同理
可得.
4.三角形面积公式:111sin sin sin 2
2
2
ABC S ab C bc A ac B ===△.
5.与三角形有关的三角方程:①sin2sin2A B =?A B =或22A B =π-;
②cos2cos2A B =?A B =.
6.与三角形有关的不等式:①sin sin cos cos
>?>?<.
a b A B A B
7.解三角形的三种题型:①知三个条件(知三个角除外),求其他(角、边、面积、周长等);
②知两个条件,求某个特定元素或范围;
③知一边及其对角,求角、边、周长、面积的范围或最值.
【典型例题】
1.在ABC
△的形状.
△中,若cos cos
=,试判断ABC
a A
b B
2.在ABC
△中,证明:sin sin cos cos
>?>?>?<.
a b A B A B A B
3.在ABC △中,1a =,6
A π=,b =C 的大小.
4.在ABC △中,2C A =,c =,求角A 的大小.
5.在ABC △
sin c
C
=,求角A 的大小.
6.在ABC △中,c =3
C π=.
(I)求ABC △面积的最大值; (II)求ABC △周长的取值范围.
【跟踪练习】
1.在B C A ?中,(sin sin )()(sin sin )a A B c b C B -=-+,求角C .
2.在B C A ?中,222a c b ac +=-.
(I)求B ∠的大小;
(II)求C A cos cos +的最大值.
3.在B C A ?中,222+-=b c a ,23
B π
=
,=b (I)求BC 边上的中线AD 的长; (II)求BAC ∠的角平分线AE 的长.
参考答案 三角公式 【典型例题】
1.证明:如图,在单位圆中,记xOP
∠=2
xOQ απ
∠-
,有(,),(,)P x y Q y x -, 则sin()2
x απ-=-,而cos x α=-, ∴sin()cos 2
ααπ
-=-.
2.解法一:∵(0,)2
απ∈,tan 2α=,有sin 2cos αα=,
代入22sin cos 1αα+=得21cos 5
α=,则cos α=
,sin α=, ∴sin cos αα+=
. 解法二:∵(0,)2
απ∈,tan 2α=, ∴2(sin cos )12sin cos αααα+=+
222sin cos 1sin cos αααα=+
=+22tan 9
1tan 15
αα+=
+, 又sin cos 0αα+>
,有sin cos αα+=
. 3.解:由sin()1αβ+=,1
sin()2
αβ-=,
得sin cos cos sin 1
1
sin cos cos sin 2
αβαβαβαβ+=??
?-=??,则31sin cos ,cos sin 44αβαβ==, ∴tan tan αβsin sin cos cos 3sin cos sin cos α
αβαβαββ
===.
4.解:∵cos15cos(4530)cos45cos30sin 45sin 30
=-=+
12=
+=, tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 30-=
-=
+2
==-
∴cos15tan15+24
=
+. 5.证明:cos3cos(2)cos cos2sin sin2ααααααα=+=-
2
2
cos (2cos 1)2cos sin αααα=-- 3
2
2cos cos 2cos (1cos )αααα=---
34cos 3cos αα=-. 【跟踪练习】
1.解:∵()()632ααπππ+--=,且3sin()35
απ-=, ∴3cos()cos[()]sin()62335
αααππππ+=+-=--=-.
2.解:由1sin 22
β=得12sin cos 2
ββ=,即
22sin cos 1
sin cos 4
ββββ=+,
∴
2
tan 1
tan 14
ββ=+,即2tan 4tan 10ββ-+=,解得tan 2β=±.
由cos ?=
得cos(2)2k α3ππ+-=,即sin sin αα-=?=.
由sin ?=
sin(2)2k α3ππ+-=,即cos cos αα-=?=,
∴2sin cos αα+=.
解三角形 【典型例题】
1.解:由cos cos a A b B =及正弦定理得sin cos sin cos A A B B =,即sin2sin2A B =, 又,(0,)A B ∈π,有22A B =或22A B =π-,即A B =或2
A B π
+=, ∴ABC △是等腰三角形或直角三角形.
2.证明:a b A B >?>,由a b >及正弦定理得2sin 2sin sin sin R A R B A B >?>, 而函数()cos f x x =在(0,)π上单调递减,有0()()B A f B f A <<<π?>, ∴cos cos A B A >?<,
∴sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<.
3.解:由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
,得sin 1sin 22b A B a ===
因为1b a =>=,所以B A >,故3B π=或3
2π. 当3
B π=时,()()6
3
2
C A B πππ=π-+=π-+=. 当23B π=
时,()2()636
C A B πππ=π-+=π-+=. ∴角C 为2
π或6
π. 4.解:∵a c 2=
,∴ 由正弦定理有
sin C =2sin A .
又C =2A ,即sin2A =2sin A ,于是
2sin A cos A =
2sin A ,
在△ABC 中,sin A ≠0,于是cos A =2
2,∴ A =4
π.
5
sin sin c a
C A
=
=
,
从而sin A A =,tan A = ∵0A <<π,∴3
A π=.
6.解:(I)∵3
c C π==,由余弦定理得2222cos 3
a b ab π=+-, ∴2232a b ab ab ab ab =+-≥-=,仅当a b =时等号成立,
∴ABC △的面积11sin sin 32
2
3
44
S ab C ab π==≤
?=
∴当a b ==ABC △; (II)由(I)得223a b ab =+-,即23()3a b ab =+-,
∴
2
21()1()32
a b ab a b +=+-≤,则2()12a b +≤,即a b +≤a b =时等号成立.
∴ABC △的周长a b c ++≤=a b ==
而a b c +>=a b c ++>,
【跟踪练习】
1.解:由已知以及正弦定理,得()()()a a b c b c b -=-+,即222a b c ab +-=. ,
∴2221cos 22
a b c C ab +-=
=,又()0πC ∈,,所以π
3C =. 2.解:(I)由已知得:2
1
2cos 222-=-+=
ac b c a B ,0B <<π,23
B π
∴=
; (II)由(I)知:3A C π
+=,故033
A C C ππ=-<<,,
所以3cos cos cos()cos cos 3
2A C C C C C π
+=-+=
+)3
C π
=+,
0,sin()133C C ππ<<
<+≤,3cos cos 2
3≤+<∴C A . 3.解:(I)
由2
2
2
+-=b c a
及余弦定理得222cos 2b c a A bc +-==
又(0,)A ∈π,∴6A π
=,则6
C A B π=π--=,即a c =,
而b =sin sin sin a b c
A B C ==
得sin sin sin 636
a c ==ππ,即2a c ==. AD 是BC 边上的中线,则1
()2
AD AB AC =+,
∴2
221(2cos )7AD c b bc π=++=,有||7AD =
即
BC ;
(II)由(I)得2,c b ==6
A π=,又AE 是BAC ∠的平分线, 由ABE CAE ABC S S S +=△△△得111sin sin sin 2
1221226c AE b AE bc πππ+=,
∴1)sin
2312AE π+=1)sin 312
AE π+=,
又1sin
sin()12342πππ=-=-=
∴AE =BAC ∠的角平分线AE =
三角函数的图象与性质 【通俗原理】
1.三个基本三角函数的图象与性质
sin y x =
(1)奇偶性:奇函数,图象关于原点对称;
(2)对称性:关于(,0)k π中心对称,关于
2
x k π
=π+
轴对称;(k ∈Z ,下同) (3)周期性:周期为2T =π;
cos y x =
(1)奇偶性:偶函数,图象关于y 轴对称;
(2)对称性:关于(,0)2
k π
π+中心对称,
关于x k =π轴对称;(k ∈Z ,下同)
tan y x =
(1)奇偶性:奇函数,图象关于tan y x = y x =
sin y x =
(1)切线:曲线sin y x =在0x =处的切线
为y x =,曲线tan y x =在0x =处
2.函数图象平移与伸缩变换
(1)左右平移:()()y f x a y f x a ==-向右平移个单位; 同理有如下结果:
(2)上下平移:()()y f x b y b f x =-=向上平移个单位,即()y f x b =+;
说明:①当0a >时,()y f x =向右平移a 个单位得()y f x a =-,当0a <时,()y f x =向左平移||a 个单位得()y f x a =-;
②当0b >时,()y f x =向上平移b 个单位得()y b f x -=,
即()y f x b =+,当0b <时,()y f x =向下平移||b 个单位得()y b f x -=,即
()y f x b =+.
(3)横向伸缩:1()()()y f x x A y f x A
==横向伸长到原来的倍; (4)纵向伸缩:1
()()()y f x y B y f x B
==纵向伸长到原来的倍
,即()y Bf x =. 说明:当1A >时,表示伸长,当01A <<时,表示缩短;当1B >时,表示伸长,当01B <<时,表示缩短.
【典型例题】
1.已知函数()sin(2)3
f x x π=+.
(1)求()f x 的对称轴及对称中心;
(2)求()f x 的单调递增区间及在[0,]π上的单调递增区间; (3)求()f x 在[,0]2
π-上的最大值与最小值,并求出相应的x 的值.
3.把函数()sin f x x =的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数
1
()2cos 13
g x x =+的图象
【跟踪练习】
1.函数|tan2|y x =的对称轴是 .
2.已知0a >,0?<,函数()sin()f x x ?=+,把()y f x =的图象向右平移a 个单位得到一个偶函数()y g x =的图象,把()y f x =的图象向左平移a 个单位得到一个奇函数()y h x =的图象,当||?取得最小值时,求()y f x =在[0,2]π上的单调递减区间.
3.若把函数2()2x f x x =+的图象向左平移1个单位,再把横坐标缩短为原来的1
2
倍(纵坐标不变)得到函数()y g x =的图象,求函数()y g x =的解析式.
三角函数的图象与性质 【典型例题】
1.解:(1)由23
2
x k ππ+=π+得212k x ππ=
+,即()f x 的对称轴为212
k x ππ=+,
由23x k π+=π得26k x ππ=
-,即()f x 的对称轴为(,0)26k ππ
-,k ∈Z ; (2)由2222
3
2
k x k ππππ-≤+≤π+得1212
k x k 5πππ-≤≤π+, ∴()f x 的单调递增区间为[,],1212
k k k 5ππ
π-π+∈Z , 当[0,]x ∈π时,2[,]3
33
x ππ7π+∈, 由23
3
2
x π
ππ≤+≤或
2233x 3ππ7π≤+≤
得012x π≤≤或12
x 7π
≤≤π, ∴()f x 在[0,]π上的单调递增区间是[0,][,1212
π7π
π]; (3)由[,0]2
x π∈-得2[,]3
33
x π2ππ+∈-
,
∴当23
3x π
π+=,即0x =时,max ()(0)sin 32
f x f π===
, 当23
2
x ππ+=-,即12x 5π=-
时,min ()()sin()1122
f x f 5ππ
=-=-=-. 2.证明:锐角ABC △中,有2
A B π
<+<π,即02
2
A B ππ<-<<, 又函数()sin f x x =在(0,)2
π上单调递增,有()()2
f A f B π-<, ∴sin()sin cos sin 2
A B A B π-<, 同理cos sin B C <,cos sin C A <, ∴sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者: 别如克* 三角函数 一、选择题 1.已知 α 为第三象限角,则 2 α 所在的象限是( ). A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C .第一或第三象限 D .第二或第四象限 2.若sin θcos θ>0,则θ在( ). A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第一、四象限 D .第二、四象限 3.sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4-=( ). A .- 4 3 3 B . 4 3 3 C .- 4 3 D . 4 3 4.已知tan θ+θtan 1 =2,则sin θ+cos θ等于( ). A .2 B .2 C .-2 D .±2 5.已知sin x +cos x =51 (0≤x <π),则tan x 的值等于( ). A .- 4 3 B .- 3 4 C . 4 3 D . 3 4 6.已知sin α >sin β,那么下列命题成立的是( ). A .若α,β 是第一象限角,则cos α >cos β B .若α,β 是第二象限角,则tan α >tan β C .若α,β 是第三象限角,则cos α >cos β D .若α,β 是第四象限角,则tan α >tan β
7.已知集合A ={α|α=2k π±3π2,k ∈Z },B ={β|β=4k π±3 π2,k ∈Z },C = {γ|γ=k π± 3 π 2,k ∈Z },则这三个集合之间的关系为( ). A .A ?B ?C B .B ?A ?C C .C ?A ?B D .B ?C ?A 8.已知cos (α+β)=1,sin α=31 ,则sin β 的值是( ). A .3 1 B .-3 1 C . 3 2 2 D .- 3 2 2 9.在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ). A .??? ??2π ,4π∪??? ??4π5 ,π B .?? ? ??π ,4π C .?? ? ??4π5 ,4π D .??? ??π ,4π∪??? ? ?23π ,4π5 10.把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ). A .y =sin ??? ? ? 3π - 2x ,x ∈R B .y =sin ?? ? ??6π + 2x ,x ∈R C .y =sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R D .y =sin ??? ? ? 32π + 2x ,x ∈R 二、填空题 11.函数f (x )=sin 2 x +3tan x 在区间??? ???3π4π ,上的最大值是 . 12.已知sin α= 552,2 π ≤α≤π,则tan α= . 13.若sin ??? ??α + 2π=53,则sin ?? ? ??α - 2π= . 14.若将函数y =tan ??? ? ? 4π + x ω(ω>0)的图象向右平移6π个单位长度后,与函数y =tan ??? ? ? 6π + x ω的图象重合,则ω的最小值为 . 15.已知函数f (x )=21(sin x +cos x )-2 1 |sin x -cos x |,则f (x )的值域是 . 16.关于函数f (x )=4sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R ,有下列命题:
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? , 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?, 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈,() 32 61g t t t =--+为减函数,且102g ??= ??? , 所以当03 x π <<时, ()1 1,02 t g t <<<,从而()'0f x <; 当 3 2 x π π << 时,()1 0,02 t g t << >,从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选:A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题. 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足,222b c a bc +-=,
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2).
解三角形专题 1.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1,3 a b B π ===,则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC ?的面积,若 () 2 2214 S b c a = +-,则A ∠=( ) A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3.在ABC ?中,若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=,则该三角形的形状是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中,内角为钝角, , , ,则 ( ) A. B. C. D. 5.在中,若,,则的周长为( )C A . B . C. D . 6. 在锐角中,角、、所对的边分别为,且、、成等差数列, 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________. 8.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,则的最小值为 . 9.在 中,内角,,所对的边分别为,,,已知 . (1)求角的大小; (2)若的面积,为边的中点,,求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
三 角 函 数 考点1:三角函数的有关概念; 考点2:三角恒等变换;(两角和、差公式,倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式) 考点3:正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质;(定义域、值域、最值;单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心) 考点4:函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质;(定义域、值域、最值;单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换) 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠,则sin θ= . 练习1.已知角α的终边上一点的坐标为(3 2cos ,32sin π π),则角α的最小正值为( ) A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法: 例2.设(0,)2πα∈,若3 sin 5α=)4 πα+=( ) A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1.若πtan 34α??-= ??? ,则cot α等于( ) A.2- B.12 - C.12 D.2 2.α是第四象限角,5 tan 12 α=-,则sin α=( ) A .15 B .15- C .513 D .513 - 3. cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4.已知1sin cos 5θθ+=,且324 θππ ≤≤,则cos2θ的值是 . 3.化简求值 例3.已知α为第二象限角,且sin α,求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习:1。已知sin α=,则44sin cos αα-的值为( ) A .15 - B .35 - C .15 D .35
数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1.已知sin α,sin()10 αβ-=-,,αβ均为锐角,则β=( ) A . 512 π B . 3 π C . 4 π D . 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意,可得22 π π αβ- <-< ,利用三角函数的基本关系式,分别求得 cos ,cos()ααβ-的值,利用sin[(]sin )ααββ=--,化简运算,即可求解. 【详解】 由题意,可得α,β均为锐角,∴-2π <α-β<2 π. 又sin(α-β),∴cos(α-β). 又sin α= 5,∴cos α=5 , ∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =5×10 -5×10??- ? ??? =2.∴β=4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题,其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式,合理构造sin[(]sin )ααββ=--,及化简与运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 2.将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象关 于y 轴对称,且1π2f ω?? =- ??? ,则当ω取最小值时,函数()f x 的解析式为( ) A .()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B .()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C .()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D .()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义:设 P(x,y),记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式: 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式: 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式: si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式:① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R,证明:sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明:cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ,求cos( )的值. 2 ?若(0,—), tan 2,求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 , sin() 2,求芽的值.
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1 2?若sin2 2,求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ,①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型:①知三个条件 (知三个角除外),求其他(角、边、面积、周长等 ② 知两个条件,求某个特定元素或范围; ③ 知一边及其对角,求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中,若acosA bcosB ,试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形: b c a a c cosA ,其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系:在 △ ABC 中, ②若a b c ,则a b c ;③等边对等角,大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形:a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R ( R 是厶ABC 外接圆的半径). 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式: S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程:① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式:① a b si nA sin B cosA cosB .
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
初中三角函数基础检测题 山岳 得分 (一)精心选一选(共36分) 1、在直角三角形中,各边都扩大2倍,则锐角A 的正弦值与余弦值都( ) A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定 2、在Rt △ABC 中,∠C=90 ,BC=4,sinA=5 4 ,则AC=( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角,且 sinA=31 ,则( ) A 、00<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600 D 、600<∠A<900 4、若cosA=31,则A A A A tan 2sin 4tan sin 3+-=( ) A 、74 B 、31 C 、21 D 、0 5、在△ABC 中,∠A :∠B :∠C=1:1:2,则a :b :c=( ) A 、1:1:2 B 、1:1:2 C 、1:1:3 D 、1:1:22 6、在Rt △ABC 中,∠C=900,则下列式子成立的是( ) A 、sinA=sin B B 、sinA=cosB C 、tanA=tanB D 、cosA=tanB 7.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则下列各式中,正确的是( ) A .sinB=23 B .cosB=23 C .tanB=23 D .tanB=3 2 8.点(-sin60°,cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )
A .(32,12) B .(-32,12) C .(-3 2,-12) D .(-12,-32) 9.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣.?某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,?若这位同学的目高1.6米,则旗杆的高度约为( ) A .6.9米 B .8.5米 C .10.3米 D .12.0米 10.王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走 200m 到C 地,此时王英同学离A 地 ( ) (A )350m (B )100 m (C )150m (D )3100m 11、如图1,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30?, 向高楼前进60米到C 点,又测得仰角为45?,则该高楼的高度大约为( ) A.82米 B.163米 C.52米 D.70米 12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C 地,则A 、C 两地相距( ). (A )30海里 (B )40海里 (C )50海里 (D )60海里 (二)细心填一填(共33分) 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB=_____. 2.在△ABC 中,若BC=2,AB=7,AC=3,则cosA=________. 3.在△ABC 中,AB= ,AC=2,∠B=30°,则∠BAC 的度数是______. 图1 45? 30? B A D C
三角函数与解三角形专项练习 1.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos 2c A b a =-. (1)求角C ; (2)若D 是边BC 的中点,11cos 14 B =,21AD =,求AB C 的面积S . 2.如图,四边形OACB 中,,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边,且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ (1)证明:2b c a +=;
(2)若22OA OB ==,且b c =,设()0AOB θθπ∠=<<,当θ变化时,求四边形OACB 面积的最大值. 3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成,1AB =米,如图所示.小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后,以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内,落点记为F .记AOE θ∠=, (1)用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ; (2)当小球从A 到F 所用的时间最短时,求cos θ的值. 4.在ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=;①3=2ABC BA BC S →→?△;①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个,作出解答.
(1)求角B 的值; (2)若ABC 为锐角三角形,且1b =,求ABC 的面积的取值范围. 5.已知ABC 的面积为 (Ⅰ)b 和c 的值; (Ⅱ)sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ;条件②:A C =,7cos 9B =-.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 6.在ABC 中,7cos 8 A =,3c =,且b c ≠,再从条件①、条件②中选择一个作为已知,求: (1)b 的值;
解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°,c=2,b=1,则a=( ) A.1 B.3 C.2 D.3 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线l1:sin A·x+ay+c=0与l2:bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 3.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 4.在△ABC中,已知A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分,则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D.0 5.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3+6 2 D. 3+39 4 6.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为( ) A.1