【高中数学】数学《三角函数与解三角形》期末复习知识要点
一、选择题
1．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341?'
2357?'
2413?'
2428?'
2444?'
正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年
【答案】D 【解析】 【分析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：
则16tan 1.610α=
=，169.4tan 0.6610
β-==， tan tan 1.60.66
tan()0.4571tan tan 1 1.60.66
αβαβαβ---=
=≈++?g ．
0.4550.4570.461< ∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年． 故选：D ． 【点睛】 本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题． 2．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40?的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70?方向的C 处，且A 与C 的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ） ( ) 7 2.6≈ A ．10分钟 B ．15分钟 C ．20分钟 D ．25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=?，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】 根据条件可得30BAC ∠=?，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ?=+-??=， 则5713BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为13 0.2552 =（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】 该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题 目. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】 根据题意，在ABC ?中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得： sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=， 即有sin sin a A c C =， 又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题． 4．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ?的面积S C =，且 1,a b ==c =（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 由题意得，三角形的面积1 sin 2 S ab C C ==，所以tan 2C =， 所以cos C = ， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B. 5．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=， 0AB BC ?>u ur u u r u u ，a =b c +的取值范围是( ) A ．31,2?? ??? B ．322?? ? ??? C ．13,22?? ??? D ．31,2 ?? ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 利用余弦定理222 cos 2b c a A bc +-=，可得3A π=，由 |||cos()|0AB BC AB BC B π?=?->u u u u u u u u r u ur u r u r ，可得B 为钝角，由正弦定理可得 sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解 【详解】 由余弦定理有：222 cos 2b c a A bc +-=，又222b c a bc +-= 故2221 cos 222 b c a bc A bc bc +-=== 又A 为三角形的内角，故3 A π = 又a =sin sin sin(120)2 o b c c B C B == - 又|||cos()|0AB BC AB BC B π?=?->u u u u u u u u r u ur u r u r 故cos 0B B <∴为钝角 3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+ (90,120)o o B ∈Q ，可得 130(120150)sin(30)(,22o o o o B B +∈∴+∈， 330))22 o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 6．在ABC ?中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ?是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】 ∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4 ∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ， ∴由余弦定理：c 2 =a 2 +b 2 ﹣2abcosC ，所以cosC= 2222a b c ab +-=222 4916223x x x x x +-??=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】 本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型． 7．若函数()sin 2f x x =向右平移6 π 个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π?? - ??? 中心对称 B ．图象关于6 x π =-轴对称 C ．在区间5,126ππ?? --????单调递增 D ．在5,1212ππ?? - ???? 单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】 利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】 函数()sin 2f x x =向右平移 6π 个单位，得()sin 2()sin(2)63 g x x x ππ=-=-． 由23x π -＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π?? - ??? 不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23 x π - ＝2 k π π+ ， 得212k x π5π = + ()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错； 由2222 3 2 k x k π π π ππ- ≤- ≤+ ，得1212 k x k π5π π- ≤≤π+ ()k ∈Z ， 所以在区间5,12 6ππ?? - -????上()g x 不单调递增，在5,1212ππ??-????上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】 解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ω?=++或cos()y A x B ω?=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2|| T π ω= 周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B π?ω-?? ??? ，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值． 8．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56 x π = ，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论： ①实数a 的值为1； ②()()1,x f x 和()() 22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为 23 π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．①④ D ．③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据56 x π = 是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为 2 T π=，然后由()()12f x f x =-，得到()()1 1 ,x f x 和()()2 2 ,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 【详解】 ∵56x π = 是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π??=- ??? ， 令0x =，得()503 f f π ??= ??? ，即-1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π? ?=-=- ?? ?f x x x x ． 又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为 2 T π=，且()()1 2f x f x =-， ∴()( )11,x f x 和()() 22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称， ∴121233223 x x x x k ππ????-+- ? ?+π????=-=π ，k Z ∈， ∴12223 x x k π π+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23 π ，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题. 9．已知函数()2sin()0,,2f x x πω?ω?π?? ??=+>∈ ?????? ?的部分图象如图所示，其中()01f =， 5 ||2 MN = ，则点M 的横坐标为（ ） A ． 12 B ．25 - C ．1- D ．23 - 【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56 π?=，由5||23MN π ω=?=，再根据()2f x =可得答案. 【详解】 由函数()2sin()0,,2f x x πω?ω?π?? ??=+>∈ ?????? ?的部分图象， 可得(0)2sin 1f ?==，56 π?∴= ， 2 2512||2243MN ππωω?? ==+?= ??? ， ∴函数5()2sin 3 6f x x π π??=+ ??? ， 令52sin 236x π π?? + = ??? ， 得 52,03 62 x k k π ππ π+ =+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3 π ω= ，属于中档题. 10．在?ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R >?>?> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C. 11．如图所示，已知双曲线C ：()22 2210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，双曲线的右支 上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=?，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是( ) A 27 B ． 52 C 7 D 7 【答案】C 【解析】 【分析】 利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】 解：双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于 原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=?，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =， 60F BF ∠'=?，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-?g ，可得22221 4962 c a a a =+-?， 2247c a =， 所以双曲线的离心率为：72 e =． 故选：C ． 【点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 12．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos cos 2cos c a B b A C +=， 1a =，3b = c =（ ） A 6 B ．1 C 2 D 3【答案】B 【解析】 【分析】 先由正弦定理将3cos cos c a B b A +=中的边转化为角，可得3sin sin()C A B +=可求出角6 C π =，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】 解：因为3cos cos 2cos c a B b A C += ， 所以正弦定理得，3sin sin cos sin cos C A B B A += 所以3sin sin()C A B += 3sin 2cos C C C =， 因为sin 0C ≠，所以3 cos C = ， 又因为(0,)C π∈，所以6 C π =， 因为1a = ，b = 所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-?=， 所以1c = 故选：B 【点睛】 此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题. 13．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3 π +），则f （x ）的最小值为（ ） A ． 12 B ． 14 C ． 4 D ． 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π? ?=-+ ?? ?，再求最值. 【详解】 已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3 π + ）， =21cos 21cos 2322 x x π? ? -+ ?-?? + ， =1cos 2111cos 22223x x π???-=-+ ? ???? ， 因为[]cos 21,13x π? ? + ∈- ?? ? ， 所以f （x ）的最小值为12 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线 3 x π = 对称；③在区间,63ππ?? - ??? ?上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π? ? =- ?? ? B ．sin 26x y π??=- ??? C ．cos 26y x π?? =- ?? ? D ．cos 23y x π?? =+ ?? ? 【答案】A 【解析】 【分析】 利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】 逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为241 2 π π =,故排除B ； 又cos 2cos 03 62π ππ?? ? - == ?? ?，所以cos 26y x π??=- ??? 的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ- ≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π? ?=+ ?? ?在,63ππ??-????上单调递减， 故排除D ； 令22 6 2 x π π π - ≤- ≤ ，得63x ππ- ≤≤，所以函数sin 26y x π? ?=- ?? ?在,63ππ??-????上单调递 增．由周期公式可得22T π π= =,当3x π=时,sin(2)sin 1362 πππ?-==, 所以函数sin 26y x π? ?=- ?? ?同时满足三个性质. 故选A ． 【点睛】 本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题. 15．已知2433sin 5cos 77ππαα????+=-+ ? ?????，则tan 14πα? ?-= ?? ?（ ） A ．5 3- B ．35 - C ． 35 D ． 53 【答案】B 【解析】 【分析】 根据诱导公式计算得到35tan 73πα??+= ???，故3tan tan 147 2πππαα?? ????-=+- ? ?????????，解得 答案. 【详解】 由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα???????? +=++=-+ ? ? ?????????? ?， 又2433sin 5cos 77ππαα????+=-+ ? ?????得333sin 5cos 77ππαα????-+=-+ ? ????? ， 所以35tan 73 πα??+= ???，313tan tan 314725tan 7πππααπα?? ????-=+-=-=- ? ???????????+ ??? . 故选：B . 【点睛】 本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力. 16．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4 π x =-对称，则()f x 的最大值为（ ） A ．2 B C ．D 或【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数2 ()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4 π x =-对称，则有()(0)2 f f π -=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】 因为函数2 ()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4 π x =-对称， 所以()(0)2f f π -=， 即220a a +-=， 解得2a =-或1a =， 当2a =- 时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π?? =--=- ?? ? ，此时()f x 的最大值为； 当1a = 时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π? ?=+-=- ?? ?，此时()f x ； 综上()f x 或. 故选：D 【点睛】 本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．函数()()()cos 20f x x ??π=+<<在区间,66ππ?? -????单调递减，在区间,06π??- ??? 上有零点，则?的取值范围是（ ） A ．,62ππ?? ? ??? B ．25,36ππ?? ?? ? ? C ．2,23ππ?? ?? ? D ．, 32ππ?? ???? 【答案】C 【解析】 分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ ∈-，2[,]33 x ππ ???+∈-++， 又∵(0,)?π∈，则[,][0,]33ππ??π-++?，即03 3π?π?π? -≥????+≤?? ，233ππ?≤≤， 由cos(2)0x ?+=得2,2 x k k Z π ?π+=+∈，242 k x ππ? = +-， ∴06 4 2 π π ? - < - <，解得 52 6 π π?<< ， 综上 22 3 π π?<≤ . 故选C. 点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点： 2 x k π π=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k π π+，k Z ∈. 18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b = ，c =，且 2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，则ABC V 的面积是（ ） A B ． 12 C 2 D ． 14或1 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知关系求出1 sin 2 B =，根据余弦定理求出边a ，根据面积公式即可得解. 【详解】 因为2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-，所以2sin cos 12cos sin A C A C =-， 所以2sin cos 2cos sin 1A C A C +=，所以2sin()1A C +=， 所以2sin 1B =，即1sin 2 B = ， 因为b c <，所以B C <，所以角B 为锐角，所以cos 2 B ==， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2132a a =+-?， 整理可得2320a a -+=，解得1a =或2a =. 当1a =时，ABC V 的面积是111sin 1222S ac B = =?= 当2a =时，ABC V 的面积是111sin 2222S ac B ==?= . 故选：C. 【点睛】 此题考查根据余弦定理解三角形，关键在于熟练掌握定理公式，结合边角关系解方程，根据面积公式求解. 19．已知函数()()03f x x πωω? ?= -> ?? ?的最小正周期为π，若 ()()122f x f x ?=-，则12x x -的最小值为（ ） A ． 2 π B ． 3 π C ．π D ． 4 π 【答案】A 【解析】 【分析】 由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ?=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122 x x k k π π-=-+，12,k k Z ∈；从 而可知120k k -=时取最小值. 【详解】 由()f x 最小正周期为π可得： 2π πω = 2ω∴= ( )2sin 23f x x π? ?∴= - ?? ? ()max 2f x ∴=，()min 2f x =- ()()122f x f x ?=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点 设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点 ()111222 2232,2232x k k k Z x k ππππππ? -=+??∴∈??-=-?? ()12122x x k k ππ∴-=-+， 当120k k -=时，12min 2 x x π -= 本题正确选项：A 【点睛】 本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果. 20．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60?的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30km C ．15km D ．153km 【答案】D 【解析】 【分析】 如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出 BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】 设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示， 可得60DBC ∠=?，30ABD ∠=?，45BC = 30ABC ∴∠=?，120BAC ∠=? 在三角形ABC 中，利用正弦定理可得： sin sin AC BC ABC BAC =∠∠， 可得 sin1 sin2 BC ABC AC BAC ∠ === ∠ 故选D 【点睛】 本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题． 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020 【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ?为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 （ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1- D ．1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点，记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??，则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== （1）求1n a 和4n a ； （2）设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. （1）求动点P 的轨迹方程； 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 22017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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