专题 三角函数与解三角形 大题
1．已知函数()44sin cos 2cos2f x x x x x =+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,4x π??
∈????
时，求()f x 的最大值和最小值. 【答案】（1）2
π
（2）最大值为1，最小值为14
【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为sin()y A x ω=+?的形式，再利周期公式求函数的最小正周期．
（2）当[0x ∈，]4
π
时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即求出()f x 的最大值和最
小值． 【详解】
解：已知函数44()sin cos sin 2cos 22
f x x x x x =+-
.
()
2
2222sin cos 2sin cos 4x x
x x x =+-，
21122sin x --＝4x
＝1111cos 4sin 42224
x x ??
-
-- ???
＝
13cos 4444x x -+
＝13sin 4264x π?
?-
-+ ??
?， （1）()f x 的最小正周期为242
T ππ
=＝
.
（2）当[0]4
x π
∈，时，
[46
6
x π
π
-
∈-
，
5]6
π， ()1416[2]sin x π-∈-，，13sin 4264x π?
?--+ ???
1[14]∈，
当46
x π
-6
π
-＝时，即0x ＝时，()f x 取得最大值为1，
当46
2
x π
π
-=
时，即12
x π
＝
时，()f x 取得最小值为
1
4
.
2. 已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC ?的面积为2
3sin b B
.
（1）求sin sin A C ；
（2）若6cos cos 1A C =，3b =，求角B 的大小及ABC ?的周长，
【答案】（1）2sin sin 3A C =（2）3
B π
=，周长3+ 【解析】 【分析】
（1）先利用三角形面积公式可得2
1sin 23sin ABC b S bc A B
?==
,即3sin sin 2c B A b =,再利用正弦定理化边为角即可求解；
（2）由（1）及6cos cos 1A C =可得1cos cos sin sin 2A C A C -=-
,可解得3
B π
=,再根据正弦定理可得
2sin b
R B
==则可得8ac =,进而根据余弦定理可得a c +,即可求解. 【详解】
解:（1）由三角形的面积公式可得2
1sin 23sin ABC
b S b
c A B
?==
, 3sin sin 2c B A b ∴=,
由正弦定理可得3sin sin sin 2sin C B A B =,
sin 0B ≠,2
sin sin 3
A C ∴=
（2）
6cos cos 1A C =,即1
cos cos 6
A C =,
1
cos cos sin sin 2
A C A C ∴-=-,
()1cos 2A C ∴+=-,1
cos 2
B ∴=,
0B π<<,3
B π
∴=
,
2sin sin sin a b c
R A B C
==== 2
sin sin 3
A C =,8ac ∴=,
2222cos b a c ac B =+-,
229a c ac ∴+-=,()2
33a c ∴+=,
a c ∴+=∴周长为3a
b
c ++=+
3. 设函数()sin sin 2f x x x =+，x ∈R .
（1）已知[)0,2θ∈π，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；
（2）求函数51212f x f x ππ????-++ ? ????
?的值域.
【答案】（1）0θ=或π（2）??
【解析】 【分析】
（1）根据奇函数得到()sin 12cos 0θθ+=，解方程并验证得到答案.
（2）化简得到651212f x f x x πππ??
??-++ ? ??
?
?=- ?????
?，得到答案. 【详解】
（1）由于题目x ∈R ，()f x θ+是奇函数，∵()()()sin sin 2f x x x θθθ+=+++，
()00f θ+=，sin sin 20θθ+=，sin 2sin cos 0θθθ+=，()sin 12cos 0θθ+=，
①若sin 0θ=，0θ=或π， ②若12cos 0θ+=，1
cos 2θ=-
，23
θπ=，经检验得0θ=或π.
（2）51212f x f x ππ??
??-
++ ? ??
???55sin sin 2sin sin 212121212x x x x ππππ???????
?=-+-++++ ? ? ? ????????
?
sin cos 1212x x ππ????=-+- ? ?????124x ππ??=-+ ???
6x π?
??=-∈ ????.
4.已知函数2
()sin 2sin 233f x x x x a ππ?
?
??=++-++ ? ??
??
?的最大值为1. （Ⅰ）求常数a 的值；
（Ⅰ）求出()0f x ≥成立的x 的取值集合.
【答案】（Ⅰ）1；（Ⅰ）|,12
4x k x k k π
π
ππ??
-+≤≤
+∈???
?
Z . 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用三角恒等变换以及降幂公式、辅助角公式化简函数解析式，再根据三角函数的最大值即可求出答案；
（Ⅰ）由题意得1sin 232x π?
?+≥ ?
?
?，利用三角函数的图象可得5222636k x k πππππ+≤+≤+，解出即可． 【详解】
解：（Ⅰ）()2sin 2cos
1)3
f x x x a π
=+++
sin 2x x a =+++
2sin 23x a π?
?=++ ??
?，
由()f x 的最大值为1可知，21a =，
Ⅰ1a =-；
（Ⅰ）由（Ⅰ）可知，()2sin 213f x x π?
?
=+
- ??
?
， 由2sin 2103x π??
+
-≥ ?
?
?，得1sin 232
x π?
?+≥ ???，
Ⅰ
52226
3
6
k x k π
π
π
ππ+≤+
≤
+， 即12
4
k x k π
π
ππ-
+≤≤+，k ∈Z ，
故解集为|,12
4x k x k k π
π
ππ??
-
+≤≤
+∈???
?
Z ． 5.如图，在四边形ABCD 中，已知3AB =，5BC =，7CD =，120ABC ∠=?，ACB ACD α∠=∠=.
（1）求sin α的值； （2）求AD 的长度.
【答案】（1（2 【解析】 【分析】
（1）在ABC ?中，利用余弦定理求得AC 的长，再由正弦定理，即可求解sin α的值；
（2）由α为锐角，得到cos αABC ?中，利用余弦定理，即可求得AD 的长度． 【详解】
（1）在ABC ?中，因为3AB =，5BC =，7CD =，120ABC ∠=?， 由余弦定理，可得2222cos 49AC AB BC AB BC ABC =+-???∠=， 所以7AC =， 又由正弦定理可得
sin sin120AB AC α=?，所以sin1203sin AB AC α?==
（2）由（1），因为α为锐角，可得cos 3
4
11α==， 在ACD ?中，根据余弦定理，
可得22222
13
2cos 77277714
AD AC CD AC CD α=+-??=+-???
=，
所以AD =
6.已知函数()()sin ,0,0,02f x A x x R A πω?ω???
=+∈>><<
??
?
的图像如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()1212g x f x f x ππ?
??
?=--
+ ? ????
?的单调递增区间.
【答案】（1）()2sin 26f x x π?
?
=+ ??
?
；
（2）5,12
12k k π
πππ?
?
-+
???
?
，k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）由图知，2A =，由T π=，可求得ω，由2sin(20)1??+=可求得?；
（2）先化简()g x ，然后利用三角函数的单调性即可得到结论． 【详解】 解：（1）Ⅰ
11521212
T ππ
=-， ⅠT π=，2ω=，
sin 1
25212
A A ?π
?π=??
?=??+=??，6π=?， Ⅰ()2sin 26f x x π?
?
=+
??
?
. （2）2sin 212f x x π??
-
= ??
?，2sin 2123f x x ππ???
?+=+ ? ?????，
()2sin 2sin 212123f x f x x g x x πππ???
????
?=--
+=-+ ? ? ? ???
?????
?2sin 23x π??=- ???，
Ⅰ2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+，k Z ∈，
解得单调递增区间：5,12
12k k π
πππ?
?
-+
???
?
，k Z ∈.
7. 设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.
（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；
（2）若()f α=
，求3f πα??+ ???.
【答案】（1）34πθ=或74
π
（2）3f πα?
?+= ??
?
【解析】 【分析】
（1）由三角恒等变换求得()4f x x πθθ??
+=++ ???
，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.
（2）由()f α可求出1sin 42πα??+= ???，cos 4πα??+= ???，则所求
344f a πππαα?????
?++++ ? ? ??????
?，即可求出值.
【详解】
解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π?? ??==+?+，()4f x x πθθ??
+=++ ???
因为()f x θ+为奇函数，所以,4
k k Z π
θπ+
=∈，解得,4
k k Z π
θπ=-+∈
Ⅰ02θπ≤≤Ⅰ当0k =或1 时，34πθ=或
74
π
.
（2）因为()f α=
4πα??+= ??
?，即1sin 42πα??+= ???，可得cos 4πα??+= ???
所以34344f a πππππααα?????????
?+=++=
+++ ? ? ? ??????
???????
当cos 4πα??+= ???3f πα??+= ???；当cos 4πα??+= ???3f πα?
?+= ???
.
8. 设函数()sin cos ()6f x a x x x R π?
?
=+∈ ??
?
的最大值为1． （1）求实数a 的值；
（2）若函数()(),22g x f x m m ππ??
??=+∈-
? ??
???为偶函数，求sin m 的值．
【答案】（1）43a =或4-．（2），12
．
【解析】 【分析】 (1)化简()sin 224
+6a f x a
x π??=
+ ???，根据()f x 的最大值为1，可求出参数a 的值. (2)由条件可得()sin 22+264a a g x x m π??=
++ ???为偶函数，即262m k πππ+=+，k Z ∈，由,22m ππ??
∈- ???
，可得出3
m π
=-，进一步可求出sin m . 【详解】 解：
（1）1()cos cos 2cos 2244a a
f x a x x x x x ?=+=++????
sin 2+264a a x π?
?=
+ ??
? 4+12a a =或14+2a a -=，得4
3
a =或4-． （2）()sin 224+6a f x a x π??=
+ ???，()sin 22+264
a a
g x x m π??=++ ???为偶函数，
则26
2
m k π
π
π+
=+
，k Z ∈
26
k m ππ
=
+，
由于,22m ππ??
∈- ???，则3m π=-，6π，sin m =，12．
9. 已知函数()2
22sin 4x f x x π??
=+
???
. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()02313f x =
，07,212x ππ??∈????
，求0cos2x 的值.
【答案】（1）()512
12k x k k Z π
πππ-+≤≤
+∈.（2）1226
+- 【解析】 【分析】
(1)将函数化简为()2sin 213f x x π??
=-
+ ??
?
，由正弦型函数的的单调增区间可求解. (2)由()02313f x =有05sin 2313x π??-= ???，根据07,212x ππ??∈????可得012cos 2313x π?
?-=- ?
??，再根据00cos 2cos 233x x ππ??
??-+ ???
??=??展开可求出答案.
【详解】
解析：（1）())1cos 21cos 22x x f x π??=-+++ ???2sin 213x π?
?=-+ ??
?.
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，
得()f x 的单调递增区间为()512
12
k x k k Z π
π
ππ-+≤≤
+∈. （2）Ⅰ07,212x ππ??∈?
???
，Ⅰ0252,336x πππ??-∈????，Ⅰ0cos 203x π??-< ???， 由()00232sin 21313f x x π?
?
=-
+= ??
?，有05sin 2313
x π??-= ???
Ⅰ012cos 2313
x π??
-
=- ??
?， Ⅰ0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ππππππ??
?????
?-
+=--- ? ? ????
????
???=
121513213=-
?-= 10.
设函数2()sin 2123f x x x ππ?
?
??=+
-- ? ??
??
?． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）若0,
2x π??
∈????
，求函数()f x 的值域． 【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间是5,()12
12k k k Z ππ
ππ
?
?
-
++∈????；（2
）12?-???
. 【解析】 【分析】
（1）根据倍角公式、两角和与差的余弦公式和辅助角公式，把()f x 化为1sin 2(23)f x x π?
?=-+ ??
?，即求最小正周期及单调递减区间； （2）由0,2x π??
∈????求出sin 23x π??+ ??
?的范围，即求函数()f x 的值域． 【详解】
（1
）21cos 26()sin 2cos 21223223x f x x x x ππππ?
?-+ ?
????????=+--=-- ? ? ??????
?
1111sin 2cos222222x x x x ??=
---+??????
111cos2sin 2sin 22222
3x x x π????=-+=-+ ? ?????. Ⅰ最小正周期22
T π
π=
=.
由222,232k x k k πππ
-
+π≤+≤+π∈Z 解得5,1212
k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， Ⅰ()f x 的单调递减区间是5,()12
12k k k Z π
πππ
??
-
++∈????
. （2）Ⅰ0,
2x π??
∈????，Ⅰ42,333x πππ??+∈????
，
Ⅰsin 23x π???
?+∈?? ?????
，
Ⅰ()f x 的值域是11,22?+-???
.