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函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质教学设计

课题：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象（第一课时）

教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修4

一、内容与内容解析

1．本课地位和作用

三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．

2．本课内容剖析

“函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sin x的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．

本节课是“函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响，再探究y＝sin(2x＋1)的图象和y＝sin2x的图象之间的变换关系．其中，对参数φ的研究方法可以迁移到后续问题解决中去．

本节课的重点是：对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象和y＝sin x的图象之间的变换规律的理解.

二、目标与目标解析

1．分别探究φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响；

2．在理解φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变换规律的基础上，探究ω不为1时的平移变换；

3．让学生自主探究研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的研究过程，培养学生的认知策略．

三、学生学情分析

在此之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函

数的图象和性质中对周期变换有所涉及，本节课是对一般函数图象变换内容的延伸和拓展，从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规律．

1．参数φ引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对平移变换的理解；

2．A、ω对y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)图象的影响，由学生类比方法独立研究．其中，参数A和ω的取值，学生会忽视0＜A＜1和0＜ω＜1情况，在这里注意引导，从而全面认识参数A和ω的变化引起的图象变换．

通过本节课的学习，学生经历从由形导数到由数释形的深化过程，形成研究函数图象变换的一般策略．

四、教学策略分析

本节课的难点是：①伸缩变换；②ω不为1时的平移变换．

突破难点的策略是：①通过探讨φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响，初步感悟变换的实质，进而类比探究A、ω对y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响．比如，从y＝sin x到y＝sinωx，代数上是用ωx代换x，因此是将y＝sin x图象上坐标

为(x0，y0)的点变换到坐标为(1

ωx0，y0)的点，所以是将y＝sin x图象上各点纵坐标不

变、横坐标变为原来的1

ω；②从y＝sin2x的图象变换到y＝sin(2x＋1)的图象，究竟

是向左平移1个单位还是1

2个单位？突破难点的方法是通过坐标变换理性分析，如

果学生仍有困难，结合几何画板作图观察．

教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体的例子，增加供归纳的样本，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，逐步概括图象变换的规律．学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法．

本节课遵循自主探究的教学方式，因为每个人的知识、能力不同，因此认识问题的习惯与特点不同，所以本节课并不把探究过程设计成一个封闭的、静态的系统，而是设计为一个动态的、开放的系统，充分发挥学生的主观能动性，这有利于学生认知策略的发展．

五、教学过程

1. 创设情境、提出问题如图，摩天轮的半径为A m (A >0)，摩天轮逆时针做匀速转动，角速度为ω rad ／min (ω>0)，如果当摩天轮上点P 从图中点P 0处开始计算时间．请在如图所示的坐标系中，确定时刻x min 时点P 的纵坐标y ．

【设计意图】

用数学的眼光观察世界，感悟函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是刻画自然界周期现象的常见的数学模型，具有丰富的自然背景．借助于实际意义来理解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象性质是自然的、清楚的、明白的！

师生活动：先将点P 0置于x 轴正半轴上，利用正弦函数的定义得到y ＝A sin ωx ；再将点P 0置于如图所示位置，得到在时刻x min 时点P 的纵坐标y ＝A sin(ωx ＋φ)．

以问题为载体以活动为主线

小结：形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数在生活中经常可见，如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足y＝A sin(ωx＋φ)，如图所示．再比如潮汐现象中水位的高度等也满足这个解析式，因此今天我们来探讨这个函数，为了探讨方便，这里A>0，ω>0．

设问1：按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢？

结论：图象．

板书课题：函数y＝A sin(ωx＋φ)（A>0，ω>0）的图象

设问2：显然，参数A，ω，φ取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？

结论：函数y＝sin x．

2．研制策略，优化方案

问题1：如何由y＝sin x的图象得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？

师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案．

小结：在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中2个，仅一个变动，先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝A sin x(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响，再综合．

【设计意图】

首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，体会从简单到复杂的研究问题的一般方法．

3．合作探究，感悟方法

问题2：如何由y＝sin x的图象得到y＝sin(x＋1)的图象？

师生活动：①让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？”；②再

举几个例子如：y＝sin(x－1)，y＝sin(x＋π

3)；③抽象到一般．

板书： y ＝sin x ———————→ y ＝sin(x ＋1)

点M (x 0，y 0) ———————→ 点N (x 0－1，y 0)

y ＝sin x ———————→ y ＝sin(x ＋φ)

点M (x 0，y 0) ———————→ 点N (x 0－φ，y 0) 【设计意图】

第一，人们认识问题大多从具体到抽象，具体的研究清楚了，抽象的就不难了；第二，引导学生说明为什么？从形上说图象变换是图象上每点的位置变化，从数上讲是点的坐标变化，这里找出是纵坐标相同的两点，从横坐标的变化关系解释平移变换．

着重探讨清楚φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响，学生可以将探究方法迁移到后续对A 、ω的探究中去．

4．类比方法，自主探究

问题3：(1) 如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝A sin x (A >0)的图象？

(2) 如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝sin ωx (ω>0)的图象？

师生活动：让学生类比之前的方法自主探讨，然后交流．

① y ＝A sin x (A ＞0)的图象可以看作是把y ＝sin x 图象上所有点在横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的A 倍得到的．

向左(φ>0)或向右(φ<0)

平移|φ|个单位向左平移1个单位

板书： y ＝sin x ————————→ y ＝A sin x (A >0)

点M (x 0，y 0) ————————→ 点N (x 0，Ay 0)

② y ＝sin ωx (ω＞0)的图象可以看作是把y ＝sin x 图象上所有点在纵坐标不变的情况

下横坐标变为原来的1ω倍得到的．

板书： y ＝sin x ————————→ y ＝sin ωx (ω＞0)

点M (x 0，y 0) ————————→ 点N ( x 0ω，y 0)

【设计意图】

类比前面的探讨方法，请学生独立探究A 、ω对y ＝A sin x 、y ＝sin ωx 的图象有什么影响.此处不仅从形的角度认识规律，更加突出从点的坐标这一数的本质去理解，实现思维水平的提升.

横坐标不变

纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变横坐标变为原来的1ω倍

设问3：刚才我们分别探讨了φ、A 、ω对函数图象的影响，我们是怎样研究的呢？

结论：（1）从特殊到一般；（2）作图比较；（3）理性分析．

小结：φ引起的是图象的平移变换，A 、ω引起的是图象的伸缩变换．图象变换的本质就是图象上每个点的位置变化，而点的位置变化对应了点的坐标的变化．因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．

5．思考巩固，深化铺垫

探究：如何由y ＝sin2x 的图象得到y ＝sin(2x ＋1)的图象呢？

师生活动：学生讨论后交流．这里是向左平移1个单位还是向左平移12个单位？①

利用几何画板画图观察，②从坐标关系理性分析．板书：

y ＝sin2x ————————→ y ＝sin(2x +1)

点M (x 0，y 0) ————————→ 点N (x 0－12，y 0)

小结：从中发现，横向变换只对x 的变化而言，同理纵向变换仅对y 的变化而言．

y ＝sin2x 的图象向左平移12个单位，得到的函数图象对应的解析式是y ＝sin2(x ＋12)，

而不是y ＝sin(2x ＋12)．

【设计意图】

探讨y ＝sin(2x ＋1)的图象与y ＝sin2x 的图象的关系，仅作为平移变换的巩固，深化对变换本质的把握，为下节课的研究铺垫. “为理解而学习、教学”是建构主义的核心目标．

鼓励学生进行探究，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答．这样做有利于培养学生的学习积极性，有利于培养学生的思维能力．

6．整理小结，规划任务

小结：今天我们分别探讨了φ、A 、ω对函数 y ＝sin(x ＋φ)、

y ＝A sin x (A >0)、y ＝sin ωx (ω>0)的图象的变换规律，下面

探讨什么呢？

向左平移12

个单位

【设计意图】

培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法.

布置作业：1．阅读课本（系统回顾本节课学习内容，学习规范表达）；

2．书第39页练习第1题，第4题．

函数的图象教学设计教案设计

函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象教学设计教学目标 1．知识与技能（1）结合物理中的简谐振动，了解()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的实际意义；（2）用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象, 并借助图形计算器动态演示三角函数图象，研究参数?ω，，A 对函数图象变化的影响，让学生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．（3）考察参数A 、?、ω对()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象影响的过程中认识到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的联系. 2．过程与方法（1）经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生的数学发现能力和概括总结能力. （2）让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系，提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力．（3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度、价值观（1）通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．（2）通过合作学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象以及参数?ω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象之间的变换关系. 教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变

1.4.1正弦函数-余弦函数图象的教学设计

§1.4.1正弦、余弦函数图象的教学设计【教材分析】《正弦函数,余弦函数的图象》是高中新教材人教A 版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正余弦函数的部分性质（定义域、值域等）【学情分析】本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。【教学目标】 1、知识与技能（1）会用单位圆中的三角函数线作出]2,0[,sin π∈=x x y 的图象，明确图象的形状；（2）根据关系)2 sin(cos π + =x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图。 2、过程与方法进一步培养合作探究、分析概括，以及抽象思维能力。 3、情感态度价值观通过作正弦函数和余弦函数图象，培养认真负责，一丝不苟的学习精神。【教学重点难点】教学重点：“五点法”画]2,0[,sin π∈=x x y ，x y cos =，[]π2,0∈x 图像教学难点：运用几何法画正弦函数图象。【教学过程】一．情景引入实验：简谐振动，得到直观的图象，让学生注意观察它的图形特点，并说明，在物理学中称其为“正弦曲线”或“余弦曲线”．问题：如何得到正弦函数的精确图象?

公开课教案《对数函数及其性质》

对数函数及其性质尤溪五中开课班级：高一（3）开课时间：2019.10.24 一、教材分析本节教材的地位和作用：基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。二、三维目标 1．知识与技能：（1）理解对数函数的概念；（2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法：（1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力；（2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力；（3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养； 3．情感、态度与价值观：在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。三．教学重难点重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。四、教学过程：

然后由学生讨论完成下表：（空白表，由学生填）函数 log a y x = 的图象特征函数 log a y x = 的性质图象都位于y轴的右方

第10讲函数图像及其变换(教案)

函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）. 教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。教学过程：一.知识要点： 1.常见函数图像及其性质：（1）平移变换： ①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象横向平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象纵向平移b 个单位，(上+下—) ③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换： ①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴对称. ③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称. ④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称. ⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称. 若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称. 若函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-= （3）翻折变换主要有 ①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习： 1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)，则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A ) A.y ＝f (x －1)－1 B.y ＝f (x ＋1)－1 C.y ＝f (x －1)＋1 D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x ) 解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称. 图2—3

对数函数优秀教案

《对数函数》教学设计一、教材分析本小节选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材-数学（基础模块上册）》第四章，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题 1．让学生看材料：如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，

函数图象的几何变换教案

函数图象的几何变换教案【教学目标】1．让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象； 2．让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论； 3．培养学生主动运用数形结合方法解题的意识．【教学重点】函数图象的几何变换【教学难点】1．各种图象变换之间的区别及灵活应用； 2．运用数形结合方法解题．【例题设置】例1（平移易错点剖析），例2、4（函数作图），例3（找中心），例5（图象法解不等式）【教学过程】第一课时一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象． ⑴ 正比例函数 kx y =，)0,(≠∈k R k ⑵ 反比例函数 k y = ， )0,(≠∈k R k ☆ 其图象是以原点为中心，以直线y x =和y x =-为对称轴的双曲线． ⑶ 一次函数 b kx y +=，)0,(≠∈k R k ⑷ 一元二次函数 )0(2 ≠++=a c bx ax y ⑸ 指数函数 ,0x y a a =>且1≠a （特征线：1=x ） ⑹ 对数函数 0, log >=a x y a 且1≠a （特征线：1=y ） ⑺ 正弦函数 R x x y ∈=,sin ，周期π2=T ⑻ 余弦函数 x y cos =，R x ∈，周期π2=T ⑼ 正切函数 ),2 (,tan Z k k x x y ∈+ ≠=π π 周期π=T ☆一个小结论：在区间)2 , 0(π 上恒有x x x sin tan >>（证明文科留至《三角函数》一节

再给出，理科用导数证明如下）证明：① 记()tan f x x x =-，则2 1 ()10cos f x x '= ->在)2 ,0(π上恒成立，故()f x 在)2 ,0(π上为增函数，所以()(0)0f x f >=，即当(0,)2x π ∈时，恒有tan x x > ② 记()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=->在)2, 0(π 上恒成立，故()g x 在)2 ,0(π 上为增函数，所以()(0)0g x g >=，即当(0,)2 x π ∈时，恒有sin x x > 综上所述，在区间)2 ,0(π 上恒有x x x sin tan >> ⑽ 椭圆 X 型：12222=+b y a x ； Y 型： 122 22=+b x a y ⑾ 双曲线 X 型：12222=-b y a x ； Y 型： 122 22=-b x a y ⑿ 抛物线 px y 22=)0(>p ；px y 22-= )0(>p ； py x 22=)0(>p ；py x 22-= )0(>p ． ★注意：1．牢记九种基本函数及圆锥曲线图象是进行函数图象变换的基础，也是提高用数形结合方法解题速度的关键． 2．理解各种曲线图象的较为精确的画法，这在用数形结合法解题，涉及两个图象之间关系时，才不至于造成误解．二、图象的初等变换 A 、平移变换 1．要作出函数)(a x f y +=的图象，只需将函数)(x f y =的图象向左)0(>a 或向右 )0(h 或向下 )0(