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矩阵的三种等价关系

摘要

本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。

关键字

矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系

A matrix of three equivalence relations

Abstract

This paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.

Key words

matrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.

0 引言

在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.

另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.

为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.

1 矩阵的三种等价关系的定义

1.1 矩阵的三种等价关系

定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。

等价是矩阵之间的一种关系。不难证明，它具有反身性、对称性与传递性。

定义1.1.2 数域P 上n ×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n ×n 矩阵C,使

AC C B '=

合同是矩阵之间的一个关系。不难看出，合同一定等价，同时合同关系具有（1）反身性：AE E A '=;

（2）对称性：由AC C B '=即得BC C A )'(1

-=;

（3）传递性：由11

11AC C A -=和21'

22C A C A =即得 )()'(21212C C A C C A =.

定义1.1.3 设A,B 为数域P 山两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级矩阵X ，使得B=X

-AX,就说A 相似于B,记作A ～B.

由相似的定义易知相似一定等价.相似作为矩阵之间的一种关系，具有下面三个性质：（1）反身性：A ～A.这是因为AE E A 1

-=. （2）对称性：如果A ～B,那么B ～A. 如果A ～B ，那么有X 使AX X

B 1

-=.令1-=X Y ,就有BY Y XBX

A 11

--==,所以B ～A.

（3）传递性：如果A ～B, B ～C,那么A ～C.

已知有X,Y 使AX X

B 1

-=，BY Y C 1-=.令XY Z =,就有

AZ Z AXY X Y C 111---==,

因而

A ～C

综上可知，矩阵的等价、合同、相似是矩阵的三种等价关系。

定义1.1.4 设函数f 定义在矩阵集合M 上，若对于任意两个相似的矩阵A 、B ∈M ，有

()(),f A f B =则称f 为相似不变量.

1.2 λ—矩阵相关知识

为了探究矩阵相似更多的判断方法，我们需要了解一些λ—矩阵的知识. 定义1.2 如果λ—矩阵A(λ)中有一个r （r ≥1）级子式不为零，而所有r+1级子式（如果有的话）全为零，则称A(λ)的秩为r.特别的，零矩阵的秩规定为零.

定义1.2.2 λ—矩阵A(λ)称为与B(λ)等价，如果可以经过一系列的初等变换将A(λ)化为B(λ).

定义1.2.3 设λ—矩阵A(λ)的秩为r ，对于正整数k, 1k r ≤≤,A(λ)中必有非零的k 级子式的首项系数为1的最大公因式()k D λ称为A(λ)的k 级行列式因子.

定义1.2.4 标准形的主对角线上非零元素12(),(),,()r d d d λλλ 称为λ—矩阵A(λ)的不变因子.

定义1.2.5 把复数域上的矩阵A 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A 的初等因子.

定理 1.2.1 两个λ-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.

定理1.2.2 矩阵()A λ可逆的充要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积.

推论两个s n ?的λ-矩阵()A λ与()B λ等价的充要条件是，有一个s s ?可逆的矩阵

()P λ与一个n n ?可逆的()Q λ，使

()()()()B P A Q λλλλ=

引理1.2.1 如果有n n ?数字矩阵0P ，0Q 使00()E A P E B Q λλ-=-，则A 与B 相似. 证明因000000()P E B Q PQ P BQ λλ-=-,它又与E A λ-相等，进行比较后应有

0000,PQ E P BQ A ==.由此100Q P -=，而100A P BP -=.故A 与B 相似.

引理1.2.2 对于任何不为零的n n ?数字矩阵A 和λ—矩阵()U λ与()V λ，一定存在λ—矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使

0()()()U E A Q U λλλ=-+ （1） 0()()().V R E A V λλλ=-+

证明把()U λ改写成

1011()m m m m U D D D D λλλλ--=++++

这里都01,,,m D D D 是n n ?数字矩阵，而且00.D ≠如0,m =则令()0Q λ=及00,U D =它们显然满足引理2的要求. 设0,m >令

120121()m m m m Q Q Q Q Q λλλλ----=++++

这里j Q 都是待定的数字矩阵.于是

1010112 1.()()()()()m m m k k k m m m E A Q Q Q AQ Q AQ Q AQ AQ λλλλλλ-------=+-++-++--

要想使(1)式成立，只需取

00110221111201,,,,,.

k k k m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ -----==+=+=+=+=+

就行了.用完全相同的办法可以求得和.引理证毕.

2 三种等价关系的性质

性质2.1 A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ）性质2.2 设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于???

??000r

E ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ，使???

??=000r

E PAQ . 性质 2.3 (Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于

???

? ??n λλ0*1

其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值.

证明（数学归纳法）当n=1时，结论显然成立。假设对于n-1级复矩阵，结论成立。对于n 级复方阵A 的情形：

设1λ是A 的一个特征值，1α是相应的特征向量，则111αλα=A . 把1α扩充为n

C 的一组基n ααα,,,21 ，令P=(n ααα,,,21 ),则P 可逆. 所以

????

? ??====---001111111111 λλαλαe P A P APe P

从而，???

??=-11

A AP P βλ,其中β为n-1维行向量，1A 为n-1级复方阵. 对1A 由归纳假设可得存在可逆矩阵1P 使得????

?=-n P A P

λλ0*2

111

1 ，

其中n λλ,,2 为1A 的特征值. 令?

??=1001A Q ,则Q 可逆且????

? ??=???? ??-n Q A Q λλβλ0*01

1 ，令,PQ T =则????

? ??=-n AT T λλ0*1

由数学归纳法知，对于任意的n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵.□ 注a 设矩阵A ∈n

n R

?，A 的特征值全是实数，则存在实n 级可逆矩阵P 使

???

? ??=-n AP P λλ0*1

1 .

注b 若A ∈n

n R ?,A A =',则A ～????

??n λλ 1. 性质2.4 设A 、B ∈n

n C ?，AB=BA,则存在n 级可逆矩阵T ，使????

? ??=-n AT T λλ0*1

1 ，

???

? ??=-n BT T μμ *1

1，

其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值，n μμ,,1 为矩阵B 的特征值. 证明（数学归纳法）当n=1时，结论显然成立.只需令T=E 即可.

假设对n-1级复方阵，结论成立. 对于n 级方阵A 、B 的情形：

因为AB=BA ，则A 、B 有公共的特征向量1α，并且111111,αμααλα==B A . 由扩基原理把1α扩充为n

C 的一组基n ααα,,,21 . 则

???

??=111

21210

),,(),,(A A n n βλαααααα ,

???

?=121

21210

),,(),,(B B n n βμαααααα 其中21,ββ为n-1维行向量，11,B A 为n-1级复方阵. 令P=(n ααα,,,21 )，则P 可逆且????

??=-111

A AP P βλ,???

?=-1211

0B BP P βμ. 因为AB=BA ，所以1111A B B A =.

由归纳假设，存在n-1级可逆矩阵1P ，使????

??=-n P A P λλ0*2111

1 ，

????

? ??=-n P B P μμ0*2

111

1 .令???? ??=1001P Q ,则Q 可逆.

则

????

? ??=???? ?

?=---n Q A Q APQ P Q λλβλ0*0

111

111 ，????

? ??=????

?=---n Q B Q BPQ P Q μμβμ0*0

121111 .

令T=PQ,则T 可逆并且????? ??=-n AT T λλ0*11 ，????

? ??=-n BT T μμ0*1

性质2.5 设A 、B 都是n 级方阵，则以下条件等价：

①A ～B ；

②E A λ-等价于E B λ-； ③A 、B 有相同的不变因子；

④A 、B 是n 维线性空间中同一线性变换在不同基下所对应的矩阵； ⑤E A λ-与E B λ-有相同的标准形； ⑥A 、B 有相同的初等因子.

性质2.6 设A ～B ，则有以下结论成立： ①A B =； ②()()tr A tr B =； ③秩(A)=秩(B)； ④

E A E B λλ-=-;

⑤A 等价于B ；

⑥f(A)=f(B),f(x)为多项式； ⑦A 、B 的最小多项式相同.

性质2.7 对称矩阵A 、B 合同的充要条件是二次型'()f x X AX =与()'g y Y BY =等价，

即()f x 可经非退化的线性替换X CY =化为()g y ，而()g y 可经1

Y C X -=化为()f x 。

性质2.8 任意秩为r 的对称矩阵都合同于100r

d d ??

? ? ?

? ??

，其中i d ≠0，

i=1,2, ,r.

性质2.9 两个n 级复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。

性质2.10 两个n 级实对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等且符号差相等。性质2.11 对于对称矩阵合同不改变其正定性;合同也不改变等价二次型的正定性. 性质2.12 实对称矩阵相似必合同，但合同不一定相似.

性质2.13 实对称矩阵必正交相似于对角形矩阵，即催存在正交矩阵T 使

1'1n T AT T AT λλ-?? ?

== ? ???

，其中1λ，，n λ为A 的全部特征值.

例1 设A 、B ∈n n

?，1.求证：A 、B 在R 上相似的充要条件是A 、B 在C 上相似.

2.上述命题对合同的情况如何？为什么？证明 1（必要性）结论显然成立.

（充分性）已知A 、B 在C 上相似，所以存在n n P iQ C ?+∈，0P iQ +≠，中P 、Q ∈n n

?,使得

1()()P iQ A P iQ B -++=,即()()A P iQ P iQ B +=+

从而，,.AP PB AQ QB ==又因为0P iQ +≠，所以P Q λ+不恒等于0，于是存在0R λ∈使00P Q λ+≠且00()()A P Q P Q B λλ+=+ 令0T P Q λ=+，则n n

T R

?∈且T 可逆，所以1

T AT B -=,则A 、B 在R 上相似□

2 设A 、B n n

?∈,若A 、B 在R 上合同，则A 、B 在C 上一定合同.反之不真.例如：

221001,0110A B R ?????==∈ ? ?????

,则A 、B 在C 上合同（因为秩相等）但A 、B 在R 上不合

同（因为A 、B 的符号差不等）□

3 矩阵的三种等价关系之间的联系

由以上三种关系的定义，可以知道每一种矩阵关系都必须具备自己的条件，但是这三种关系之间存在着密切的联系。

定理3.1 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.

定理3.2 对于n 级方阵A 、B ，若存在可逆矩阵P 、Q 使PAQ B =(即A 与B 等价，且

PQ E =)则A 、B 相似.

定理3.3 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵. 定理3.4 正交矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵. 由以上结论可以得到：

⑴相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，但反之不真.

⑵相似矩阵为正交相似，合同为正交合同时，相似于合同等价. 定理3.5 设A 、B 是数域P 上两个n n ?矩阵.A 与B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价.

证明由定理2的推论知道E A λ-与E B λ-等价就是有可逆的λ-矩阵()U λ和

()V λ，使

()()()E A U E B V λλλλ-=- (2)

先证必要性.设A 与B 相似，即有可逆的矩阵T ，使1

A T BT -=.于是

11()E A E T BT T E B T λλλ---=-=-

从而E A λ-与E B λ-等价

再证充分性.设E A λ-与E B λ-等价，即有可逆的λ-矩阵(),()U V λλ，使（2）成立.用引理2，存在λ-矩阵()Q λ和()R λ以及数字矩阵0U 和0V 使

0()()(),U E A Q U λλλ=-+ (3) 0()()()V R E A V λλλ=-+ (4)

成立.把（2）改写成

1()()()()U E A E B V λλλλ--=-,

式中()V λ的用（4）代入，再移项，得

10[()()()]()()U E B R E A E B V λλλλλ----=-.

右端次数等于1或00V =，因此1

()()()U E B R λλλ---是数字矩阵（后一情形下应是零矩阵），记作T ，即

1()()()T U E B R λλλ-=--

0()()T E A E B V λλ-=- （5）

现在我们来证明T 是可逆的.由（5）的第一式有

()()()()E U T U E B R λλλλ=+-

1()()()()U T E A V R λλλλ-=+-

10[()()]()()()E A Q U T E A V R λλλλλ-=-++- 10()[()()()]U T E A Q T V R λλλλ-=+-+

等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少是1，由于E 和0U T 都是数字矩阵，等式不可能成立.因此

0E U T =.

这就是说，是可逆的.由（5）的第二式得

10()E A T E B V λλ--=-

再用引理1，A 与B 相似.

推论矩阵A 与B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子.

定理3.6 两个同级复数矩阵相似的充分条件是它们有相同的初等因子.

4 三种等价关系之间的不变量

⑴等价不变量等价保持矩阵的秩不变. ⑵合同不变量合同保持矩阵的秩不变.

对于合同的实对称矩阵，有：ⅰ它们的秩相等且符号差相等；ⅱ它们的正定性相同；ⅲ等价二次型的正定性相同.

⑶相似不变量对任意两个相似矩阵，有以下的结论：

① 秩是相似不变量； ② 行列式是相似不变量； ③ 特征多项式是相似不变量； ④ 特征值是相似不变量； ⑤ 矩阵的迹是相似不变量； ⑥ 初等因子是相似不变量； ⑦ 不变因子是相似不变量； ⑧ 任一k 级行列式因子.

下面仅给出相似不变量结论②③④⑤的证明：

证明 ②若A ～B,则由定义可知存在可逆的矩阵P ，使得1

P AP B -= 从而

11B P AP P A P A --===

故行列式是相似不变量.

③若A ～B,则由定义可知存在可逆的矩阵P ，使得

1P AP B -=

从而

111()E A P E A P P E A P E P AP E B λλλλλ----=-=-=-=-

故矩阵的特征多项式是相似不变量.

④由于矩阵的特征值就是他的特征多项式的根，故由③知矩阵的特征值也是相似不变量.

⑤若A ～B,则由定义可知存在可逆的矩阵P ，使得

1P AP B -=

由于任何n 级矩阵()ij n n C c ?=和()ij n n D d ?=，矩阵CD 的迹等于DC 的迹，因为

()()()()n n n n

ij ij ij ij i j j i tr CD c d d c tr DC =======∑∑∑∑

所以

1111()()[()][()][()]()tr B tr P AP tr P AP tr AP P tr A PP tr A ----=====

故矩阵的迹是相似不变量.

例2 已知01010100a A ?? ?= ? ???与111B ?? ?

= ? ?-??

相似，求a.

解法一由于A 、B 相似，则tr(A)=tr(B),即是a+1=1,所以，a=0.

解法二 201

0(1)(1)1

E A a λλλλλλλ

---=

-=----

因为A 与B 相似，B 有特征值-1，所以，- 1是2

1a λλ--=0的根，故a=0.

参考文献

[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].高等教育出版社，2008. [2]吴昌悫，魏洪增.矩阵理论与方法[M].电子工业出版社.2006. [3]廖玉怀.矩阵的等价关系探究[J].科技风.2009（15）.

[4]张李盈，步海林，田喜峰.矩阵的等价、相似与合同[J].陕西教育（高教）.2008，4. [5]贺爱玲，马玉明，刘慧，陈叶红.关于相似矩阵的一个注记[J].山东轻工业学院学报.2005，

19(3).

矩阵的合同-等价与相似的联系与区别(新)

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。（三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系

线性代数结课论文

华北水利水电大学线性代数发展简史课程名称：线性代数专业班级：成员组成：姓名学号联系方式：年月日

摘要：一次方程也叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就是线性代数，它是高等代数的一大分支，同时也是大学数学教育中一门主要基础课程。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧式空间和二次型等。关键词：线性代数行列式矩阵向量线性方程组二次型群论正文： 1.引言：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，对于培养面向21世纪人才起着重要作用。通过了解线性代数的发展简史可以让我们更好地理解数学，从而更好地学习并应用它。 2.1 行列式我们知道，在线性代数中最重要的内容之一就是行列式，它不仅是一种语言和速记，而且他的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙，同时人们已经证明了这个概念是数学、物理中非常有用的工具。行列式出现于线性方程组的求解，它的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中提出的。他于1683年写

了这本书，书里对行列式的概念和它的算法进行了清除的叙述。同时代的德国数学家莱布尼茨是欧洲提出行列式的第一人，也是微积分学的奠基人之一，他于1693年4月在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性带分析导引》中，比较完整、明确地阐述了行列式的定义与展开法，并且发表了求解线性系统方程的重要公式，即我们现在所称的解线性方程组的克莱姆法则。 1764年，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式等于零这一条件判断对给定了含n个未知量的n 个齐次线性方程是否有非零解。尽管上述几位数学家对行列式的提出与应用做出了很大的贡献，但仍在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。可喜的是，法国数学家范德蒙给出了一条法则，用二阶余子式和它们的余子式来展开行列式，从而把行列式理论与线性方程组求解相分离，他也因此成为了第一个对行列式理论做出连贯的系统的阐述的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但他对数学却有浓厚的兴趣，后来终于成为了法兰西科学院院士，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法。

矩阵的等价-合同-相似的联系与区别

目录摘要....................................................................................................................... I 引言. (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (6) 结束语 (6) 参考文献 (6)

摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.

矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文

矩阵分析在同步捕获性能研究新应用摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．

矩阵论论文

西安理工大学研究生课程论文课程名称：矩阵论任课教师：XXX 论文/研究报告题目：线性变换在电路方程中的应用完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx 学号：XXXXXXX 姓名：XXX 成绩：

线性变换在电路方程中的应用摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换引言在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 d q坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 F B坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的相互转换。电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。变压器变换在复杂绕组变

矩阵的基本概念

§1 矩阵及其运算教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。知识要点：一、矩阵的基本概念矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。

当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。

给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们可以定义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：（ 1）交换律：；（ 2）结合律：；（ 3）存在零元：；（ 4）存在负元：。 2 、数与矩阵的乘法：设为一个数，，则定义与的乘积仍为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，即。由定义可知：。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：（1 ）；（2 ）；（3 ）；（4 ）。

矩阵的各种标准形研究

玉林师范学院本科生毕业论文反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question 院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学学生班级2010级1班姓名学号201004401137 指导教师单位数学与信息科学学院指导教师姓名指导教师职称副教授

数学与应用数学2010级1班梁玉漫指导老师钟镇权摘要数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板，供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点. 摘要部分说明： “摘要”是摘要部分的标题，不可省略. 标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体：黑体，居中，字号：四号，1.5倍行距，段前为0，段后11磅. 论文摘要是学位论文的缩影，文字要简练、明确。内容要包括目的、方法、结果和结论。单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。文中不允许出现插图. 摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项. 摘要篇幅以一页为限，字数为300-500字. 摘要正文后，列出3－5个关键词。“关键词：”是关键词部分的引导，不可省略。关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词. 关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔，末尾不加标点，3－5个，黑体，小四.

Mathematics and Applied Mathematics 2007-2 Supervisor Su Derong Abstract Study about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application. This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound. Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或。即：（2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：，，，。 3、单位矩阵与零矩阵在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此

都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即：当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：（1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如：由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：（1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA

关于矩阵等价标准型定理的探讨

上海大学2011～2012学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目: 关于矩阵等价标准型定理的探讨作者姓名: 学号: 成绩: 论文评语: 评阅人: 评阅日期:

关于矩阵等价标准型定理的探讨姓名：学号：摘要：矩阵的等价标准形在我们的学习中很重要，能帮助我们解决许多问题．本文首先阐述并论证矩阵的等价标准型定理，其次本文就本定理的各方面的应用进行了逐个具体举例验证。关键词：矩阵等价标准型定理应用正文：引言本文主要讲述了矩阵的等价标准型定理，也就是矩阵的相抵标准型定理。接下来的就简单介绍了等价标准型定理的基本性质，最后分类具体介绍了等价标准型定理在线性代数中的各方面应用。章节一：等价标准型的概念定义1、设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆阵Q ，使 I 00 0r PAQ ??= ???，则我们把I 00 0r ?? ?? ? 称为 A 的等价标准型，也称相抵标准型定理。定义2、对于任意m*n 的矩阵A ，则A 一定可以通过一系列初等行变换和一系列初等变换化成形式为I 000 r ??? ? ??m*n （r

为矩阵A 的等价标准型. 章节二：等价标准型的性质两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．当矩阵A 是可逆矩阵时，矩阵A 的秩（即r （A ））是唯一的。下面给出相应的证明：（反证法）假设 r 不唯一, 不妨设 r < s , 存在 m 阶可逆矩阵 P, M 和 n 阶可逆矩阵 Q, N ,使得 P AQ = 000Ir ?????? ，M AN =s 000I ?????? 所以A = P ?1 000Ir ?????? Q ?1 = M ?1s 00 0I ?????? N ?1 ? M P ? 1000Ir ???? ? ?Q ?1N =s 000I ????? ? ，将 M P ?1 和 Q ?1N 进行相容的分块,记M P ?1= 123 4P P P P ?????? ，Q ?1N =Q 1Q 2Q 3Q 4?? ??? ? ，其中P 1 和Q 1 是r 阶方阵.则 1 234P P P P ??????000Ir ??????Q 1Q 2Q 3Q 4??????=P1Q 1 P1Q 2P3Q 1 P3Q 2?? ? ??? =s 000I ????? ? =Ir 000Is-r 00 0?? ???????? 比较相应位置的分块矩阵, 得 P 1Q 1 = I r , P 1Q 2 = 0r ×(n ?r ), P 3 Q 1 = 0(m ?r )×r , P 3Q 2 =00 0Ir ?????? （m-r ）×（n-r ）则P 1 Q 2 = 0 ? Q 2 = 0, P 3Q 1 = 0 ? P 3 = 0，所以P 3Q 2 =0，

矩阵与伴随矩阵的关系

方阵 A 与其伴随矩阵*A 的关系摘要本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵* A 的定义，讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵* A 之间的关系，例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学习了矩阵,伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。 1.伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?? ??? ? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A 212221212111．令() ?? ?? ? ? ? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A 2122212 12111 * ,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵. ２．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. ２.1 *AA ＝A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A A A = -，即1* det -=AA A [1]．证明:因为???≠==+++; ,0,,det 221 1j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若 ? ??≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若所以*AA =A A * ＝????? ? ? ??A A A det 000det 000det =AI det . 当 A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即

曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明

曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明邢家省，王拥军（北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191）摘要: 给出3 R 中曲面的3 个基本形式的系数矩阵之间关系的一个直接证明, 并由此得到曲面的3 个基本形式之间的关系表示及其一些应用. 关键词: 第三基本形式; 法曲率的最值; 测地挠率中图分类号: O186. 11 文献标识码: A 曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示是一个重要结论[19]-，对其证明引起了人们的极大兴趣.我们在已有方法的基础上，经过综合分析和领会，发现了一套自然合理的推导转换的过程，给出了直接简单自然的证明过程. 1曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明设曲面 :(,)r r u v ∑= 是2C 类的正则曲面.曲面∑上一点(,)P u v 处的单位法向量为n .我们采用文献[1-3]中的记号. 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013），北京航空航天大学教改项目基金资助作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,博士，副教授,从事数学教学和科研工作. Email:xjsh@https://www.doczj.com/doc/696341439.html, .

令,,u u u v v v e n n f n n g n n =?=?=? ， ,,e f g 称为曲面 ∑的第三类基本量.用III 表示曲面∑的第三基本形式[13]-： 22()2()e du fdudv g dv III =++ . 曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示，在文献[1-3]中是在曲面上选取了曲率线网作为坐标曲线网后，给予证明的.我们在曲面上选取正交曲线族为坐标曲线网下，给出证明. 选取曲面∑上的正交曲线族为坐标曲线网. 设曲面 :(,)r r u v ∑= 上的坐标曲线网是正交网. 则有0u v F r r =?= ，曲面的第一基本形式2 2 ()()E du G dv I =+，曲面的第二基本形式22()2()L du Mdudv N dv II =++，高斯曲率2LN M K EG -=，平均曲率2LG NE H EG +=. 因为1,n n ?= 所以0,0u v n n n n ?=?= ，从而,,u u v n r r 共面，,,v u v n r r 共面，设12u u v n a r a r =+ ，则有12,L M a a E G =- =-；设12v u v n b r b r =+ ，则有12,M N b b E G =-=- . 于是 2212u u u u v v e n n a r r a r r =?=?+? 22222L G M E L G LNE LNE M E HL KE EG EG ++-+===-， 1122u v u u v v f n n a b r r a b r r =?=?+? 2LGM NEM HM EG += =， 2212v v u u v v g n n b r r b r r =?=?+?

matlab结课论文

山西大同大学matlab课程结课作业MATLAB程序应用姓名：课程序号： 2 班级：学号： 2013年12月

1.实验内容：已知!123n n =????? ，编写一个程序求满足100!10n ≤的最大的n 值以及此时!n 的值。 function n n=2;m=1; while m<=10^100 m=m.*n;n=n+1; end m=m/(n-1)；n=n-2; m n m = 1.7112e+098 n =69 2.设)15113111191715131 1(22 +--++--+=π，试根据公式编出计算pi 的Mat lab 主程序文件，pi 的精度为0.00001。程序： k=0;n=1;b=0;a=0; while abs((pi-a))>0.00001 a=2*sqrt(2)*k; k=( bcos( *pi/2)+sin(b*pi/2))/n+k; n=n+2; b=b+1; end a 输出a=3.141602572083633 ; a-pi= 9.918493839577991e-006 3.有两个矩阵A 和B 如下：????????????---=771175420132861-1A ，????????????------=0162310013125673B ，将A 中所有等于-1的元素改为-2，将B 中所有小于0的元素改为1，然后将B 中等于0的元素的值改为A 的相应位置元素的值。请用Matlab 函数文件实现上述运算。

clear; clc; A=[1 -1 6 8;2 3 -1 0;-2 4 5 7;1 -1 7 7]; B=[-3 -7 6 -5;-2 1 3 -1;0 0 1 3;2 6 -1 0]; C=A;A(A==-1)=-2;U=A; D=B;B(B<0)=1;V=B; A=C;B=D;[i,j]=find(B==0);A(i,j)=0;W=A; A=C;B=D; A,B,W,U,V %用函数文件实现矩阵中元素的变换。 %A、B为输入变量。 %U、V、W分别存放A、B中间变换结果。 ; 4.用matlab主程序文件产生动画：呈现一小圆（半径为1）在一大圆（半径为3）的圆周外部滚动的动画，要求连续滚动20周。 clea close;clc;r; axis([-6 6 -6 6],'equal','manual');hold on; ezplot('x^2+y^2-9'); h=ezplot('x^2+y^2-1'); x=get(h,'xdata'); y=get(h,'ydata'); for t=1:7200 set(h,'xdata',x+4*cosd(t),'ydata',y+4*sind(t)); drawnow; end

矩阵与伴随矩阵的关系

方阵A 与其伴随矩阵* A 的关系摘要本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵* A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?? ?? ? ? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A 2122212 12111 .令 () ?? ?? ? ?? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A 2122212 12111 *,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称* A 为A 的伴随矩阵. 2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. 2.1 *AA =A A *= AI det .当A 可逆时,有*1 det 1 A A A = -,即1*det -=AA A [1]. 证明：因为? ??≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若 ???≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若所以*AA =A A * =????? ? ? ??A A A det 000det 000det = AI det .

当 A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即 *1det 1 A A A = -. 证毕. 2.2 ()* T A =()T A *.(显然) 2.3 若A 可逆，则()*1-A =() 1 *-A .(显然) 2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ，则 () ()()()?? ???=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110* [2]. 引理1.若()2≥?n n n 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+. 证明: 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而 ()0=B r ; 若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含r n -个向量,于是()r n B r -≤, 因此有()()n B r A r ≤+. 证毕. 下面证明2.4. ⑴当()1-

矩阵论课程论文

西安理工大学研究生课程论文报告课程名称：矩阵论课程代号：任课教师：论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动学号：姓名：成绩：

矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用摘要控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数. 1.问题提出线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。线性定常系统齐次状态方程为 ()()t Ax t x = ()1-1 其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ?系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即 )(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1 式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。式()2-1代入方程()1-1得 () +++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有

矩阵的认识

什么是矩阵线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵” 的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说： * 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？ * 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？ * 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这

矩阵的等价标准形应用

第3讲矩阵的等价标准形的应用设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆阵Q ，使 00 0r E PAQ ??= ??? ，我们把000r E ?? ??? 称为A 的等价标准形．熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题．例1 每个方阵A 均可写成A BC =，其中B 是可逆阵，C 是幂等阵（即2 C C =）．证设A 的秩rank A r =，则存在可逆阵P 和Q ，使000r E A P Q ?? = ??? ．记B PQ =， 100 0r E C Q Q -??= ??? ，显然B 是个可逆阵，2 C C =是个幂等阵，并且A BC =．例2 设n 阶方阵A 的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使1 P AP -的后n r -行全是零．证存在可逆阵P 和Q ，使1000r E P AQ -??= ???，从而1 1 000r E P AP Q P --??= ??? 的后n r -行全是零．例3 设n 阶矩阵A 的秩rank A r n =<，证明存在非零n 阶矩阵B ，使0BA AB ==．证由例1知存在可逆阵1A 和幂等阵2A ，使12A A A =．记()1 21B E A A -=-，显然0B ≠，且 ()()11211212210BA E A A A A A A E A A AB --=-==?-?=．例4 设n 阶矩阵A ，B 满足AB E =，证明BA E =．证存在n 阶矩阵P ，Q ，使得000r E PAQ ?? = ??? ，这里r =rank A ，我们断言r n =．事实上，从AB E =易知 1 1 00 0r E PAQ Q B P Q B --???== ??? ， 11 000r E E Q BP --??=? ??? ，由此显然得到r n =，此时11PAQ Q BP E --==，从而111 E Q BP PAQ Q BAQ ---=?=，进而BA E =．例5 设n 阶幂等阵A （即2 A A =）的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使