两个矩阵之间的关系汇总表

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两个矩阵A 和B 之间的关系汇总表 ,n a 与向量组,n β等

B

B ?二次型的正负惯性指数B

B ?(r A

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矩阵的合同-等价与相似的联系与区别(新)

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系

矩阵的等价-合同-相似的联系与区别

矩阵的等价-合同-相似的联系与区别

目录 摘要....................................................................................................................... I 引言. (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (6) 结束语 (6) 参考文献 (6)

摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化． 关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

引言： 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系 定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系 定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.

矩阵与伴随矩阵的关系

方阵 A 与其伴随矩阵*A 的关系 摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵* A 的定义，讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵* A 之间的关系，例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵,伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。 1.伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?? ??? ? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A 212221212111．令() ?? ?? ? ? ? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A 2122212 12111 * ,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵. ２．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. ２.1 *AA ＝A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A A A = -，即1* det -=AA A [1]． 证明:因为???≠==+++; ,0,,det 221 1j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若 ? ??≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若 所以*AA =A A * ＝????? ? ? ??A A A det 000det 000det =AI det . 当 A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即

矩阵特征值求解

矩阵特征值求解的分值算法 12组 1. 1矩阵计算的基本问题 (1) 求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求 一个n 维向量X,使得 Ax =b (1.1.1 ) (2) 线性最小二乘问题，即给定一个mx n 阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量 使得 |A X -b | =min{ |Ay -比严 R n } (3) 矩阵的特征问题，即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特 征值 以及对应的特征向量，也就是求解方程 Ax = Z x A 的属于特征值A 的特征向量。 在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的振动问题： 机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题 ；无线电电子学及光学系统的电磁 振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题 .又如天文、地 震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。 在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马 尔可夫链模拟等实际问题，最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问 题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用，因此对矩阵的特征值问题的求解理 论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的 重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。 1.2矩阵的特征值问题研究现状及算法概述 对一个nxn 阶实(复)矩阵A,它的特征值问题，即求方程(I.1.3)式的非平凡 解,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来 许多计算问题.为了求(1.1.3)式中的A , —个简单的想法就是显式地求解特征方 程 det(A —几I) = 0 除非对于个别的特殊矩阵，由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由 行列式的计算来求得，既使能精确计算出特征方程的系数，在有限精度下，其特征 多项式f ") =det(A-ZJ)的根可能对多项式的系数非常敏感 能在理论上是有意义的，实际计算中对一般矩阵是不可行的 数 较大，则行列式det(A -几I)的计算量将非常大；其次，根据 数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法 ，基于上述原因，人们只能寻求其 它途径.因此,如何有效地！精确地求解矩阵特征值问题，就成为数值线性代数领 域的一个中心问题. 目前,求解矩阵特征值问题的方法有两大类：一类称为变换方法，另一类称为 向 X, (1.1.2 ) (1.1.3 ) 一对解(4 X),其中R(C),x- R n (C n ),即A 为矩阵A 的特征值，X 为矩阵 (121 ) .因此，这个方法只 .首先,若矩阵A 的阶 Galois 理论,对于次

曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明

曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明 邢家省，王拥军 （北京航空航天大学数学与系统科学学院， 数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191） 摘 要: 给出3 R 中曲面的3 个基本形式的系数矩阵之间关系的一个直接 证明, 并由此得到曲面的3 个基本形式之间的关系表示及其一些 应用. 关键词: 第三基本形式; 法曲率的最值; 测地挠率 中图分类号: O186. 11 文献标识码: A 曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示是一个重要结论[19]-，对其证明引起了人们的极大兴趣.我们在已有方法的基础上，经过综合分析和领会，发现了一套自然合理的推导转换的过程，给出了直接简单自然的证明过程. 1曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明 设曲面 :(,)r r u v ∑= 是2C 类的正则曲面.曲面∑上一点(,)P u v 处的单位法向量为n .我们采用文献[1-3]中的记号. 收稿日期： 基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013）， 北京航空航天大学教改项目基金资助 作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,博士，副教授,从事数学教学和科研工作. Email:xjsh@https://www.doczj.com/doc/596777332.html, .

令,,u u u v v v e n n f n n g n n =?=?=? ， ,,e f g 称为曲面 ∑的第三类基本量.用III 表示曲面∑的第三基本形 式[13]-： 22()2()e du fdudv g dv III =++ . 曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示，在文献[1-3]中是在曲面上选取了曲率线网作为坐标曲线网后，给予证明的.我们在曲面上选取正交曲线族为坐标曲线网下，给出证明. 选取曲面∑上的正交曲线族为坐标曲线网. 设曲面 :(,)r r u v ∑= 上的坐标曲线网是正交网. 则有0u v F r r =?= ， 曲面的第一基本形式2 2 ()()E du G dv I =+， 曲面的第二基本形式22()2()L du Mdudv N dv II =++， 高斯曲率2LN M K EG -=，平均曲率2LG NE H EG +=. 因为1,n n ?= 所以0,0u v n n n n ?=?= ， 从而,,u u v n r r 共面，,,v u v n r r 共面， 设12u u v n a r a r =+ ，则有12,L M a a E G =- =-； 设12v u v n b r b r =+ ，则有12,M N b b E G =-=- . 于是 2212u u u u v v e n n a r r a r r =?=?+? 22222L G M E L G LNE LNE M E HL KE EG EG ++-+===-， 1122u v u u v v f n n a b r r a b r r =?=?+? 2LGM NEM HM EG += =， 2212v v u u v v g n n b r r b r r =?=?+?

矩阵的特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．

== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =

矩阵与伴随矩阵的关系

方阵A 与其伴随矩阵* A 的关系 摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵* A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系， 对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?? ?? ? ? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A 2122212 12111 .令 () ?? ?? ? ?? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A 2122212 12111 *,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称* A 为A 的伴随矩阵. 2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. 2.1 *AA =A A *= AI det .当A 可逆时,有*1 det 1 A A A = -,即1*det -=AA A [1]. 证明： 因为? ??≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若 ???≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若 所以*AA =A A * =????? ? ? ??A A A det 000det 000det = AI det .

当 A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即 *1det 1 A A A = -. 证毕. 2.2 ()* T A =()T A *.(显然) 2.3 若A 可逆，则()*1-A =() 1 *-A .(显然) 2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ，则 () ()()()?? ???=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110* [2]. 引理1.若()2≥?n n n 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+. 证明: 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而 ()0=B r ; 若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含r n -个向量,于是()r n B r -≤, 因此有()()n B r A r ≤+. 证毕. 下面证明2.4. ⑴当()1-

矩阵的三种等价关系

矩阵的三种等价关系 摘要 本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。 关键字 矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系 A matrix of three equivalence relations Abstract This paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge. Key words matrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.

第4章 矩阵特征值和特征向量的计算

第四章 矩阵的特征值与特征向量问题 物理、力学和工程技术中的许多问 题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题.计算方阵A 的特征值，就是求特征方程 0=-I A λ 即 02211=++++--n n n n p ...p p λλλ 的根.求出特征值λ后，再求相应的齐次线性方程组 ()0=-x I A λ 的非零解,即是对应于λ的特征向量.这对于阶数较小的矩阵是可以的,但对于阶数较大的矩阵来说,求解是十分困难,所以用这种方法求矩阵的特征值是不切实际的. 我们知道,如果矩阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值.因此人们就希望在相似变换下,把A 化为最简单的形式.一般矩阵的最简单的形式是约当标准形.由于在一般情况下,用相似变换把矩阵A 化为约当标准形是很困难的,于是人们就设法对矩阵A 依次进行相似变换,使其逐步趋向于一个约当标准形,从而求出A 的特征值. 本章介绍求部分特征值和特征向量的幂法,反幂法;求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比方法；求特征值的多项式方法；求任意矩阵全部特征值的QR 方法. 第一节幂法与反幂法 一 幂法 幂法是一种求任意矩阵A 的按模最大特征值及其对应特征向量的迭代算法.该方法最大的优点是计算简单,容易在计算机上实现,对稀疏矩阵较为合适,但有时收敛速度很慢. 为了讨论简单,我们假设 (1)n 阶方阵A 的特征值 n ,...,,λλλ21按模的大小排列为 ||||||n λλλ≥≥> 21 (1) (2) i v 是对应于特征值i λ的特征向量()n ,,,i 21=; (3) n v ,...,v ,v 21线性无关. 任取一个非零的初始向量 0x ,由矩阵A 构造一个向量序列 ?????????===-......Ax x ......Ax x Ax x k k 1 1201 (2) 称为迭代向量.由于 n v ,...,v ,v 21线性无关，构成n 维向量空间的一组基,所以,初始向量0x 可唯一表示成 n n v a v a v a x ++=22110 (3) 于是

矩阵与伴随矩阵的关系

方阵A 与其伴随矩阵*A 的关系 摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?????? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A Λ M M M ΛΛ2122212 12111.令() ???? ?? ? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A ΛM M M ΛΛ 212221212111* ,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称* A 为A 的伴随矩阵. 2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. 2.1*AA =A A * =AI det .当A 可逆时,有*1det 1A A A = -,即1 *det -=AA A [1]. 证明：因为? ??≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若Λ ? ??≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若Λ 所以*AA =A A * =???? ?? ? ? ?A A A det 000det 000det ΛM M M ΛΛ=AI det . 当A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即

方法求矩阵全部特征值

数 值 分 析 课 程 设 计 QR 方法求矩阵全部特征值 问题复述 用QR 算法求矩阵特征值： （i ）621()231111A ????=?????? （ii ）234564 4567036780 02890 0010H ????????=?? ?????? 要求： （1）根据QR 算法原理编制求（i ）与（ii ）中矩阵全部特征值的程序并输出 计算结果（要求误差510-<） （2）直接用现有的数学软件求（i ），（ii ）的全部特征值，并与（1）的结果比 较。 问题分析 QR 方法是目前公认为计算矩阵全部特征值的最有效的方法。它适用于任一种实矩。QR 方法的原理是利用矩阵的正交分解产生一个与矩阵A 相似的矩阵迭代序列，这个序列将收敛于一个上三角阵或拟上三角阵，从而求得原矩阵A 的全部特征值。

QR 是一个迭代算法，每一步迭代都要进行QR 分解，再作逆序的矩阵乘法。要是对矩阵A 直接用QR 方法，计算量太大，效率不高。因此，一个实际的QR 方法计算过程包括两个步骤，首先要对矩阵A 用初等相似变换约化为上Hessenberg 矩阵，再用QR 方法求上Hessenberg 矩阵的全部特征值。 示意如下： ? ???? ? ??? ???=?????????→?x x x x x Hessenberg B A A r Householde 阵上第一步的每一列计算一次不需迭代，对阵作正交相似变换用 ? ????? ????? ?→==?????????→?n k k k k k k x x x Q R B R Q B λλλ 21QR B 代计算变换产生迭代序列，迭用第二步 对B 矩阵的约化只需将每列次对角线上的元素约化为0。因此常常用平面旋转阵（Givens 变换阵）来进行约化。 一、QR 方法原理及收敛性 设n n R A ?∈已实现了QR 分解，记 111R Q A A == 其中是正交阵，是上三角阵。因为1 11-=Q Q T ，用对作正交相似变换有 2111A Q A Q T = 可改写为 111111 1111 12Q R Q R Q Q Q A Q A ===-- 显然只是的QR 分解因子阵的逆序相乘，而且与原矩阵有相同的特征值。对矩阵再重复以上过程并继续下去，可以得到一个与原矩阵A 有相同特征值的矩阵序列。其过程如下： 记A A =1 对作正交分解 111R Q A = 作矩阵 112Q R A =， ～A A =1 对作正交分解 222R Q A = 作矩阵 223Q R A =，～～，～A A =1 重复以上过程可得一般的形式为

矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

目录 摘要 ............................................................................................................... I 引言 . (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5) 结束语 (6) 参考文献 (6)

摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化． 关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

引言： 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系 定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和 Q （n 阶），使得00 0r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系 定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵 p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩 阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =

矩阵的等价,相似 合同的关系及应用

目录 摘要 (1) 1引言 (2) 2矩阵间的三种关系 (2) 2.1 矩阵的等价关系 (2) 2.2 矩阵的合同关系 (3) 2.3. 矩阵的相似关系 (3) 3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 (4) 3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别 (4) 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5) 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5) 4矩阵的等价、合同和相似的应用 (6) 4.1矩阵等价的应用 (7) 4.2矩阵相似的应用 (9) 4.3矩阵合同的应用 (9) 4.4三种关系在概率统计中的应用 (10) 5结论 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13)

摘 要: 本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。 关键字： 矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用 1.引言 高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？ 2.矩阵的三种关系 2.1矩阵的等价关系 定义2.1.1 : 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使得B PAQ = 矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使B PAQ =. 2.1.2矩阵等价的性质： （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ?. （3）传递性：若A B ?，B C ?，则A C ?. (4)A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ） (5)设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于???? ??00 0r E ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ， 使 ???? ??=00 0r E PAQ . (6)(Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于????? ? ?n λλ0 *1 其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值. 定理2.2.1： 若A 为m n ?矩阵，并且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），

6 IATF16949 体系过程相互关系矩阵图

广东XXXX科技有限公司体系过程相互关系矩阵图 过程过程 顾客导向过程管理过程支持过程 C1 产品 要求 C2 设计 开发 C3 生产 服务 C4 售后 服务 M1 组织 环境 M2 风险 机遇 M3 经营 计划 M4 内部 审核 M5 管理 评审 M6 改进 S1 领导 作用 S2 基础 设施 S3 测量 系统 S4 人力 资源 S5 知识 信息 S6 外部 提供 S7 标识 防护 S8 放 行 S9 不合 格 顾客导向C1产品要求╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳C2设计开发╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳C3生产服务╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳C4售后服务╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳ 管理过程M1组织环境╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳M2风险机遇╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳M3 经营计划╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳M4 内部审核╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳M5 管理评审╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳M6改进╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳ 支持过程S1 领导作用╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳S2 基础设施╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳S3测量系统╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳S4 人力资源╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳S5知识信息╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳S6外部提供╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳S7标识防护╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳S8放行╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳S9不合格╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳╳

标准条款要求 开发服务服务环境机遇计划审核评审作用设施系统资源信息提供防护格C1 C2 C3 C4 M1 M2 M3 M4 M5 M6 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 4组织环境□□□□■□□□□□□□□□□□□□□5 领导作用□□□□□□□□□□■□□□□□□□□ 6 策划6.1应对风险机会 机遇措施 □□□□□■□□□□□□□□□□□□□6.2目标策划 6.3变更策划 □□□□□□■□□□■□□□□□□□□ 7 支持7.1.3基础设施□□■□□□□□□□□■□□□□□□□ 7.1.4过程运行环 境 □□■□□□□□□□□■□□□□□□□7.1.5监测资源□□□□□□□□□□□□■□□□□□□7.1.6组织知识□□□□□□□□□□□□□■■□□□□7.2 能力 7.3 意识 □□□□□□□□□□□□□■□□□□□7.4 沟通□□□□□□□□□□□□□■□□□□□7.5 文件信息□□□□□□□□□□□□□□■□□□□ 8 运行8.1 运行策划控制■□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 8.2 产品和服务要 求的确定 ■□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 8.3 产品和服务的 设计与开发 □■□□□□□□□□□□□□□□□□□

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B 等价，记为A三B。 2、矩阵等价的充要条件： A.B同型，且人r（A）=r（B） —存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P,使得A三BP T AP = B 成立，则称A,B合同，记作A三B该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A二B=二次型X T A X 与X T B X有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B = P'AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。 2、矩阵相似的性质： A T ~ B T,A k~B k,A J~ B J(前提，A,B均可逆) | E-A |=| ■ E - B|即A,B有相同的特征值(反之不成立) A?B n r(A)=r(B)

tr(A) =tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：A?Bu (.E—A)m(.E — B) 二、矩阵相等、合同、相似的关系 (一)、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 A =(，1,2 丨1( J n)， B = ( ：i, F) 1、若向量组()是向量组(’1, '2,川，’n)的极大线性无关组,则有m^n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)=r(B)但不能得出A三B。 2、若m=n两向量组(人,毎,川,打)兰(f 川严m)则有矩阵A,B同型且r(A)二r(B) 二 A ?B, A LI B, A 二 B r( A)二r(B)二 A 二B。 3、若A三B= r( A) = r(B)=两向量组秩相同，?二两向量组等价，即有 A三BjC i, kjlh'n)三(一1,-2,川,'n) 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 (二)、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①相似=等价：A~B= A,B同型且r(A) =r(B)= A三B ②合同=等价：A[JB= A,B同型且r(A)=r(B)= A三B ③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以

IATF16949-2016过程识别及关系说明-矩阵图

IATF16949：2016过程识别及关系

前言 1、本《过程识别及关系》依据《 IATF16949：2016 质量管理体系汽车生产件及相关服务件组织应用 ISO9001：2015 的特别要求》技术规范要求，采用过程方法识别、建立、实施质量管理体系，并形成文件，加以实施和保持，并持续改进，满足顾客的要求，以实现公司、顾客、员工及相关方的满意。 2、本《过程识别及关系》根据 ********** 公司的质量手册、程序文件的相关要求编制，是对***** 等产品的过程说明，也是管理过程的说明。 3、质量管理体系过程的识别：本公司采用汽车行业的过程方法，进行以顾客导向为基础的 过程描述，包括： COP（Customer Oriented Process）过程：顾客导向过程，是指通过输入和输出直接和外部顾客联系的过程。包括： C1 市场营销 C5 产品制造 SP（Support Process C2报价及项目确立C3 C6产品交付C7 ）过程：支持过程，是指支持 订单管理C4过程设计与开发 顾客反馈处理 COP过程实现的过程，可以分为若干个 层次。包括： S1 基础设施管理 S2 监视和测量资源管理S3 人力资源管理 S4 文件记录管理 S5 采购控制S6生产设备管理S7工装管理S8产品防护 S9 产品和服务放行S10不合格输出控制S11客户满意度测量 MP（Management Process）过程：管理过程，指为顾客导向输入和输出交接处或COP过程与过程之间的连接过程。包括： M1 领导作用M2策划M3分析和评价M4内部审核 M5 管理评审M6改进 4、本《过程识别及关系》采用章鱼图的界面模式描述顾客导向形成的公司产品实现的过程 结构。 5、本《过程识别及关系》采用乌龟图的界面模式进行了COP、SP、MP的过程分析。 6、本《过程识别及关系》采用矩阵图的界面模式描述了COP、SP、MP三个过程之间的相互关系。 7、本《过程识别及关系》采用流程图的界面模式描述了质量管理体系过程的顺序及相互关