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矩阵的等价关系与分类
作者：谢晓华
来源：《科技视界》2014年第21期
【摘要】本文对矩阵的相抵、相似、合同三种等价关系及它们之间的联系和区别做了总结，并利用等价关系和分类的知识对矩阵进行等价分类，最后通过一个简单的例子说明了这种分类的意义。可以加深非数学专业学生对矩阵知识的了解。
【关键词】相抵；相似；合同；等价类
1 预备知识
2 矩阵的等价关系
2.1 矩阵的相抵关系
定义2.1：如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A与B是相抵的。
定理2.1：任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是：1）A、B同型且秩相等；2）存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。
2.2 矩阵的相似关系
定义2.2：对于n阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。
由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件：两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A与 B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究，即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。
定理2.2
（1）A与B相似？圳矩阵A能够经过相似变换变成矩阵B
？圳，A与B是同阶方阵且它们有相同的不变因子组
即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。
也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。
华北水利水电大学 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成：姓名 学号 联系方式： 年月日
摘要：一次方程也叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就是线性代数，它是高等代数的一大分支，同时也是大学数学教育中一门主要基础课程。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧式空间和二次型等。 关键词：线性代数行列式矩阵向量线性方程组二次型群论 正文： 1.引言：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，对于培养面向21世纪人才起着重要作用。通过了解线性代数的发展简史可以让我们更好地理解数学，从而更好地学习并应用它。 2.1 行列式 我们知道，在线性代数中最重要的内容之一就是行列式，它不仅是一种语言和速记，而且他的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙，同时人们已经证明了这个概念是数学、物理中非常有用的工具。 行列式出现于线性方程组的求解，它的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中提出的。他于1683年写
了这本书，书里对行列式的概念和它的算法进行了清除的叙述。同时代的德国数学家莱布尼茨是欧洲提出行列式的第一人，也是微积分学的奠基人之一，他于1693年4月在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性带分析导引》中，比较完整、明确地阐述了行列式的定义与展开法，并且发表了求解线性系统方程的重要公式，即我们现在所称的解线性方程组的克莱姆法则。 1764年，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式等于零这一条件判断对给定了含n个未知量的n 个齐次线性方程是否有非零解。 尽管上述几位数学家对行列式的提出与应用做出了很大的贡献，但仍在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 可喜的是，法国数学家范德蒙给出了一条法则，用二阶余子式和它们的余子式来展开行列式，从而把行列式理论与线性方程组求解相分离，他也因此成为了第一个对行列式理论做出连贯的系统的阐述的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但他对数学却有浓厚的兴趣，后来终于成为了法兰西科学院院士，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法。
1.某程序规定："输入三个整数a 、b 、c 分别作为三边的边长构成三角形。通过程序 判定所构成的三角形的类型，当此三角形为一般三角形、等腰三角形及等边三角形时，分别作计算… "。用等价类划分方法为该程序进行测试用例设计。（三角形问题的复杂之处在于输入与输出之间的关系比较复杂。） 分析题目中给出和隐含的对输入条件的要求： （1）整数（2）三个数（3）非零数（4）正数 （5）两边之和大于第三边（6）等腰（7）等边 如果a 、b 、c 满足条件（1 ）~ （4 ），则输出下列四种情况之一： 1)如果不满足条件（5），则程序输出为" 非三角形" 。 2)如果三条边相等即满足条件（7），则程序输出为" 等边三角形" 。 3)如果只有两条边相等、即满足条件（6），则程序输出为" 等腰三角形" 。 4)如果三条边都不相等，则程序输出为" 一般三角形" 。 列出等价类表并编号
覆盖有效等价类的测试用例： a b c 覆盖等价类号码 3 4 5 （1）--（7） 4 4 5 （1）--（7），（8） 4 5 5 （1）--（7），（9） 5 4 5 （1）--（7），（10）4 4 4 （1）--（7），（11）
覆盖无效等价类的测试用例： 2.设有一个档案管理系统，要求用户输入以年月表示的日期。假设日期限定在1990年1 月~2049年12月，并规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。 现用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的"日期检查功能"。（不考虑2月的问题） 1)划分等价类并编号,下表等价类划分的结果
2)设计测试用例，以便覆盖所有的有效等价类在表中列出了3个有效等价类，编号分别 为①、⑤、⑧，设计的测试用例如下： 测试数据期望结果覆盖的有效等价类 200211 输入有效①、⑤、⑧ 3)为每一个无效等价类设计一个测试用例，设计结果如下： 测试数据期望结果覆盖的无效等价类 95June 无效输入② 20036 无效输入③ 2001006 无效输入④ 198912 无效输入⑥ 200401 无效输入⑦ 200100 无效输入⑨ 200113 无效输入⑩ 3.NextDate 函数包含三个变量：month 、day 和year ，函数的输出为输入日期后一天 的日期。例如，输入为2006年3月7日，则函数的输出为2006年3月8日。要求输入变量month 、day 和year 均为整数值，并且满足下列条件： ①1≤month≤12 ②1≤day≤31 ③1920≤year≤2050 1)有效等价类为： M1＝{月份：1≤月份≤12} D1＝{日期：1≤日期≤31} Y1＝{年：1812≤年≤2012} 2)若条件①~ ③中任何一个条件失效，则NextDate 函数都会产生一个输出，指明相 应的变量超出取值范围，比如"month 的值不在1-12 范围当中" 。显然还存在着大量的year 、month 、day 的无效组合，NextDate 函数将这些组合作统一的输出：" 无效输入日期" 。其无效等价类为： M2＝{月份：月份<1} M3＝{月份：月份>12} D2＝{日期：日期<1} D3＝{日期：日期>31} Y2＝{年：年<1812} Y3＝{年：年>2012} 弱一般等价类测试用例 月份日期年预期输出 6 15 1912 1912年6月16日 强一般等价类测试用例同弱一般等价类测试用例 注：弱--有单缺陷假设；健壮--考虑了无效值
等价关系和集合分类 ＝{所有实数} ：→为（，b）＝对，若b->0 （，b）＝错，若b->0不成立。则是上的一个关系。其实，就是上的“<”关系。从的元间的关系的定义可看，当给定一个集合后，该集合上有很多不同的关系，其中有一些是重要的，有些是并非重点。现给出若干重要关系。设有的元间关系（Ⅰ）若对，，则称为自反关系（Ⅱ）若b，则b，则称为对称关系（Ⅲ）若b，则b ，则称为反对称关系（Ⅳ）若b，若bc，则c，则称为传递关系特别，满足（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），则称为等价关系，此时用～表示。Ex：“等于”这个关系是一个等价关系Ex：＝{平面上直线}，定义的上关系为：，∈时∥ （＝认为平行）则易证为等价关系。定义：若把一个集合分成若干个叫做类的子集，使得的每个元属于而且只属于一个类，则称这些类的全体为集合的一个分类。注：分类也可以如下定义，为的非空子集族，满足（ⅰ）＝（要求）（ⅱ）*等价关系与集合的分类的关系有如下重要结果。定理1：集合的一个分类决定的元间的一个等价关系。（证明）：设、，定义 b，如果,b在同一个类中则（Ⅰ）因和一定在同一个分类中，于是，（Ⅱ）若b，说明，b在同一个类中，于是b，（Ⅲ）若b，bc，则，b在同一类中，b，c在同一个类。因为该类有公共元素c，于是该两类其实是相同的。于是，c在同一类中，所以c，由（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知为的元间的等价关系。定理2：集合
的元间的一个等价关系决定一个分类。（证明）：对给定，记[]＝｛∣～b｝,考查｛[]∣｝。（ⅰ）若～b，则[]＝[b]。事实上，当c[]，则c～，于是c～b∴c[b]，故[] [b]。同理可证[b] []。∴[]＝[b]。（ⅱ）若[b] [c]，则～b且～cb～c[b]＝[c]于是 [b] [c] ＝[b]或（ⅲ）对，～，于是[]。所以＝由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）可知｛ []∣｝是的一个分类。定义：一个集合的一个分类的每一个元素中的任何元素叫做该类的一个代表，刚好由每一类的一个代表做成的集合叫做一个全体代表团。例＝，取，对,b，定义 b，如果、易证为的一个等价关系、若，其中0≤，＜，则，于是可知＝而＝说明≡(n)、于是上述等价关系叫做模n的同于关系。由于的等价关系，因此带来一个分类，易求每一个分类为[0]＝｛…,-2n,-n,0,n,2n,…｝[1]＝｛…,-2n+1,- n+1,1,n+1,2n+1,…｝……[n-1]＝｛…,-n-1,-1, n-1,2n-1,…｝、
矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．
§8 等价关系和集合分类 设A ≠?，D 只含两个元，不妨设D ＝{0,1}或D ={对，错} 定义：称一个A ×A 到D 的映射R 为A 的元间的一个关系。 若R （a ，b ）＝1则称a 和b 符合关系R ，记a R b 若R （a ，b ）＝0则称a 和b 不符合关系R ，记为a R b. 定义：称A ×A 的任何子集为A 上的一个关系。 其实，以上两个定义是等价的。 例 A ＝{所有实数} R ：A ×A →D 为R （a ，b ）＝对，若b-a >0 R （a ，b ）＝错，若b-a >0不成立。 则R 是A 上的一个关系。其实，R 就是 上的“<”关系。 从 A 的元间的关系的定义可看，当给定一个集合后，该集合上有很多不同的关系，其中有一些是重要的，有些是并非重点。 现给出若干重要关系。设有A 的元间关系R （Ⅰ）若对a ?，a R a ，则称R 为自反关系 （Ⅱ）若a R b ，则b R a ，则称R 为对称关系 （Ⅲ）若a R b ，则b R a ，则称R 为反对称关系 （Ⅳ）若a R b ，若b R c ，则a R c ，则称R 为传递关系 特别， R 满足（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），则称R 为等价关系，此时用～表示R 。 Ex ：“等于”这个关系是一个等价关系 Ex ：A ＝{平面上直线}，定义A 的上关系R 为：1l ，2l ∈A 时 1l R 2l ?1l ∥2l （1l ＝2l 认为平行） 则易证R 为等价关系。 定义：若把一个集合A 分成若干个叫做类的子集，使得A 的每个元属于而且只属于一个类，则称这些类的全体为集合A 的一个分类。 注：分类也可以如下定义，{}i i x ∈∧为x 的非空子集族，满足 （ⅰ）i i x ∈∧ ＝x （要求∧≠?） （ⅱ）,,i i j x i j x x i j =??=??≠? *等价关系与集合的分类的关系有如下重要结果。 定理1：集合A 的一个分类决定A 的元间的一个等价关系。 （证明）：设a 、b A ∈，定义 a R b ，如果a ,b 在同一个类中 则 （Ⅰ）因a 和a 一定在同一个分类中，于是a R a ， （Ⅱ）若a R b ，说明a ，b 在同一个类中，于是b R a ， （Ⅲ）若a R b ，b R c ，则a ，b 在同一类中，b ，c 在同一个类。因为该类有公共元素c ，于是该两类其实是相同的。于是a ，c 在同一类中，所以a R c ，
西安理工大学 研究生课程论文 课程名称：矩阵论 任课教师：XXX 论文/研究报告题目：线性变换在 电路方程中的应用 完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx 学号：XXXXXXX 姓名：XXX 成绩：
线性变换在电路方程中的应用 摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。 关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换 引言 在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 d q坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、 前进 - 后退 F B坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的 相互转换。电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。变压器变换在复杂绕组变
“关系”一词，在日常生活中十分常见，在学校，有同学关系、师生关系、同事关系等； 在家庭中，有兄弟姐妹关系，父子关系、母女关系等；在一般的工作单位，有师徒关系、上 下级关系等等。在研究科学中也有很多关系，如数学中的数的大小比较关系、整数中整除关 系、函数关系、集合中的包含关系；计算机软件的程序与其子程序关系等。 为了数学的方法来研究这类关系，我们将用集合论的观点来描述这类关系。 例如，集合{}e d c b a A ,,,,=，为五个人组成的集合，其中他们中，a 是b 的父亲，c 是d 的 父亲，c 也是e 的父亲。现将集合A 的父子关系用有序对表示，即为),(),,(),,(e c d c b a 。把 这三个有序对组成一个集合{}),(),,(),,(e c d c b a R =，我们把R 这种由集合A 导出的有序 对组成的集合R ，叫做A 上关系 R 。 我们称集合R 为集合A 的父子关系集合（简称关系）。 我们把13个数组成的集合{}10,,3,2,1 =A 也建立几个关系。 二、建立关系举例： 1、 它们之间的小于等于关系R ； ()()()()()()(){},13,13,13,12,,3,2,2,2,3,1,2,1,1,1 =R 2、 它们除以3以后余数相同的关系1R ； ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()? ?????=,10,10,7,10,4,10,1,10,9,9,6,9,3,9,8,8,5,8,2,8,10,7,7,7,4,7,1,7,9,6,6,6,3,6,8,5,5,5,2,5,10,4,7,4,4,4,1,4,9,3,6,3,3,3,8,2,5,2,2,2,10,1,7,1,4,1,1,12R 3、它们之间的整除关系2R ； ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()? ?????=10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,10,5,5,5,8,4,4,4,9,3,6,3,3,3,10,2,8,2,6,2,4,2,2,2,10,1,2,1,1,13 R 注意：关系有两大类关系：A 到B 的关系，A 上的关系；我们主要讨论A 上的关系。 三、关系的几种表示方法： 1、图形表示； 2、表格表示； 3、矩阵表示； 比如：{ }5,4,3,2,1=A 上的R 关系为()()()()()()(){},4,5,2,4,5,3,3,3,3,2,2,22,1=R 则??????? ? ??=01000000101010000110 00010R A
分析题目中给出和隐含的对输入条件的要求： （1）整数 （2）三个数 （3）非零数 （4）正数 （5）两边之和大于第三边 （6）等腰 （7）等边 如果 a 、 b 、 c 满足条件（ 1 ） ~ （ 4 ），则输出下列四种情况之一： 1)如果不满足条件（5），则程序输出为 " 非三角形 " 。 2)如果三条边相等即满足条件（7），则程序输出为 " 等边三角形 " 。 3)如果只有两条边相等、即满足条件（6），则程序输出为 " 等腰三角形 " 。 4)如果三条边都不相等，则程序输出为 " 一般三角形 " 。 列出等价类表并编号 覆盖有效等价类的测试用例： a b c 覆盖等价类号码 3 4 5 （1）--（7） 4 4 5 （1）--（7），（8） 4 5 5 （1）--（7），（9） 5 4 5 （1）--（7），（10） 4 4 4 （1）--（7），（11） 覆盖无效等价类的测试用例： 2. 设有一个档案管理系统，要求用户输入以年月表示的日期。假设日期限定在1990 年1月~2049年12月，并规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。现用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的"日期检查功能 "。（不考虑2月的问题） 1)划分等价类并编号,下表等价类划分的结果
2)设计测试用例，以便覆盖所有的有效等价类在表中列出了3个有效等价类，编号分 别为①、⑤、⑧，设计的测试用例如下： 测试数据期望结果覆盖的有效等价类 200211 输入有效①、⑤、⑧ 3)为每一个无效等价类设计一个测试用例，设计结果如下： 测试数据期望结果覆盖的无效等价类 95June 无效输入② 20036 无效输入③ 2001006 无效输入④ 198912 无效输入⑥ 200401 无效输入⑦ 200100 无效输入⑨ 200113 无效输入⑩ 3.NextDate 函数包含三个变量：month 、 day 和 year ，函数的输出为输入日期 后一天的日期。例如，输入为 2006年3月 7日，则函数的输出为 2006年3月8日。 要求输入变量 month 、 day 和 year 均为整数值，并且满足下列条件： ①1≤month≤12 ②1≤day≤31 ③1920≤year≤2050 1)有效等价类为： M1＝{月份：1≤月份≤12} D1＝{日期：1≤日期≤31} Y1＝{年：1812≤年≤2012} 2)若条件① ~ ③中任何一个条件失效，则 NextDate 函数都会产生一个输出，指明相 应的变量超出取值范围，比如 "month 的值不在 1-12 范围当中 " 。显然还存在着大量的 year 、 month 、 day 的无效组合， NextDate 函数将这些组合作统一的输出： " 无效输入日期 " 。其无效等价类为： M2＝{月份：月份<1} M3＝{月份：月份>12} D2＝{日期：日期<1} D3＝{日期：日期>31} Y2＝{年：年<1812} Y3＝{年：年>2012} 弱一般等价类测试用例 月份日期年预期输出 6 15 1912 1912年6月16 日 强一般等价类测试用例同弱一般等价类测试用例
《二元关系》部分习题参考答案 3.5 等价关系和划分（P129） 第2题 证明：?x∈A，
(c)它不是等价关系。因为<0,0>?R,故它不具有自反性，有<0,1>∈R,但<1,0>?R，故它不具有对称性。R诱导的等价关系是： {
1.某程序规定："输入三个整数 a 、 b 、 c 分别作为三边的边长构成三角形。通过程序判定所构成的三角形的类型，当此三角形为一般三角形、等腰三角形及等边三角形时，分别作计算… "。用等价类划分方法为该程序进行测试用例设计。（三角形问题的复杂之处在于输入与输出之间的关系比较复杂。） 分析题目中给出和隐含的对输入条件的要求： （1）整数（2）三个数（3）非零数（4）正数（5）两边之和大于第三边（6）等腰（7）等边 如果 a 、 b 、 c 满足条件（ 1 ） ~ （ 4 ），则输出下列四种情况之一： 1)如果不满足条件（5），则程序输出为 " 非三角形 " 。 2)如果三条边相等即满足条件（7），则程序输出为 " 等边三角形 " 。 3)如果只有两条边相等、即满足条件（6），则程序输出为 " 等腰三角形 " 。 4)如果三条边都不相等，则程序输出为 " 一般三角形 " 。 列出等价类表并编号
覆盖有效等价类的测试用例： a b c 覆盖等价类号码 3 4 5 （1）--（7） 4 4 5 （1）--（7），（8） 4 5 5 （1）--（7），（9） 5 4 5 （1）--（7），（10）4 4 4 （1）--（7），（11）覆盖无效等价类的测试用例
2.设有一个档案管理系统，要求用户输入以年月表示的日期。假设日期限定在1990年1月~2049年12月，并规定日期由6位数字字符组成，前4位表示年，后2位表示月。现用等价类划分法设计测试用例，来测试程序的"日期检查功能"。 1) 划分等价类并编号,下表等价类划分的结果 2) 设计测试用例，以便覆盖所有的有效等价类。在表中列出了3个有效等价类，编号分别为①、⑤、⑧，设计的测试用例如下：
定义10.6.1对非空集合上的关系，如果是自反的、对称的和传递的，则称为上的等价关系。 等价关系的例子很多，如平面上三角形集合中，三角形的相似关系是等价关系；上海市的居民的集合中，住在同一区的关系也是等价关系。 等价关系的关系图具有以下特征： 1．每个结点都由自回路，即R是自反的； 2．两个结点a,b之间若有从a指向b的弧，就有从b指向a的弧，即R是对称的； 3．若有从a指向b的弧，且有从b指向c的弧，就有从a指向c的弧，即R是传递的。 第9章给出了用平面坐标系中的矩形表示笛卡儿积的图形表示法。显然可以用正方形表示 ，如图10.6.2(a)所示。A上的关系是的子集，因此可以用正方形的子集表示。A上的等价关系可以用正方形的一条对角线和线上的若干正方形表示。如图10.6.2(b)所示。但图10.6.2(c)所表示的关系不是等价关系。它包括了对角线，所以有自反性。它以对角线为对称轴，所以有对称性。但它没有传递性。因为R中的a和b点对应的有序对，经传递得到c点对应的有序对应在R中，但c点不在R中。 图10.6.2 例1在非空集合A上的恒等关系和全关系都是等价关系。在所有谓词公式的集合上的等值关系也是等价关系。 例2集合上的关系 。 其中表示可被3整除。 对任意的可被3整除。若可被3整除，则也可被3整除。若和 可被3整除，则可被3整除。所以，R具有自反性、对称性和传递性， R是A上的等价关系。 R的关系图如图10.6.1所示。在图中，A的元素被分成三组，每组中任两个元素之间都有关系，而不同组的元素之间都没有关系。这样的组称为等价类。 图10.6.1
定义10.6.2R是非空集合A上的等价关系，对任意的，令 则称集合为x关于R的等价类，简称x的等价类，也可简记作[x]或。 例3对例2的等价关系R,有三个不同的等价类: ， ， 。 A的8个元素各有一个等价类。各等价类之间，或者相等，或者不相交。而且所有等价类的并集就是A。 整数集合Z上的模n等价关系，即 可以根据任何整数除以n（n为正整数）所得余数进行分类，构成n个等价类，记作 即 ﹒﹒﹒﹒﹒﹒ 定理10.6.1R是非空集合A上的等价关系，对任意的，成立 （1）且， （2）若，则， （3）若，则，
山西大同大学matlab课程结课作业MATLAB程序应用 姓名： 课程序号： 2 班级： 学号： 2013年12月
1.实验内容：已知!123n n =????? ，编写一个程序求满足100!10n ≤的 最大的n 值以及此时!n 的值。 function n n=2;m=1; while m<=10^100 m=m.*n;n=n+1; end m=m/(n-1)；n=n-2; m n m = 1.7112e+098 n =69 2.设)15113111191715131 1(22 +--++--+=π，试根据公式编出计算pi 的Mat lab 主程序文件，pi 的精度为0.00001。 程序： k=0;n=1;b=0;a=0; while abs((pi-a))>0.00001 a=2*sqrt(2)*k; k=( bcos( *pi/2)+sin(b*pi/2))/n+k; n=n+2; b=b+1; end a 输出a=3.141602572083633 ; a-pi= 9.918493839577991e-006 3.有两个矩阵A 和B 如下：????????????---=771175420132861-1A ，????????????------=0162310013125673B ， 将A 中所有等于-1的元素改为-2，将B 中所有小于0的元素改为1，然后将B 中等于0的元素的值改为A 的相应位置元素的值。请用Matlab 函数文件实现上述运算。
clear; clc; A=[1 -1 6 8;2 3 -1 0;-2 4 5 7;1 -1 7 7]; B=[-3 -7 6 -5;-2 1 3 -1;0 0 1 3;2 6 -1 0]; C=A;A(A==-1)=-2;U=A; D=B;B(B<0)=1;V=B; A=C;B=D;[i,j]=find(B==0);A(i,j)=0;W=A; A=C;B=D; A,B,W,U,V %用函数文件实现矩阵中元素的变换。 %A、B为输入变量。 %U、V、W分别存放A、B中间变换结果。 ; 4.用matlab主程序文件产生动画：呈现一小圆（半径为1）在一大圆（半径为3）的圆周外部滚动的动画，要求连续滚动20周。 clea close;clc;r; axis([-6 6 -6 6],'equal','manual');hold on; ezplot('x^2+y^2-9'); h=ezplot('x^2+y^2-1'); x=get(h,'xdata'); y=get(h,'ydata'); for t=1:7200 set(h,'xdata',x+4*cosd(t),'ydata',y+4*sind(t)); drawnow; end
西安理工大学 研究生课程论文报告 课程名称：矩阵论 课程代号： 任课教师： 论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统 状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动 学号： 姓名： 成绩：
矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵 求解中的应用 摘 要 控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。 关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数. 1.问题提出 线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。 线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 线性定常系统齐次状态方程为 ()()t Ax t x = ()1-1 其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ?系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。 设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即 )(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1 式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。 式()2-1代入方程()1-1得 () +++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有
测试用例设计—等价类划分法 2008-10-10 11:41:40| 分类：测试| 标签：|字号大中小订阅 1．相关概念：等价类划分法是把所有可能的输入数据，即程序的输入域划分成若干部分（子集），然后从每一个子集中选取少数具有代表性的数据作为测试用例。该方法是一种重要的,常用的黑盒测试用例设计方法。 1.2 等价类 等价类是某个输入域的集合，在这个集合中每个输入条件都是等效的。如果其中一个的输入不能导致问题发生，那么集合中其它输入条件进行测试也不可能发现错误。 等价类分为有效等价类和无效等价类。 有效等价类就是由那些对程序的规格说明有意义的、合理的输入数据所构成的集合，利用有效等价类可检验程序是否实现了规格说明中所规定的功能和性能。 无效等价类就是那些对程序的规格说明不合理的或无意义的输入数据所构成的集合。 2．划分等价类的方法 划分等价类重要的是：集合的划分，划分为互不相交的一组子集，而子集的并是整个集合。下面给出六条确定等价类的原则。 1、在输入条件规定了取值范围或值的个数的情况下，则可以确立一个有效等价类和两个无效等价类。 例如：成年人每分钟的心跳60-100之间为正常。 有效等价类：60-100 无效等价类：<60 和>100 2、在输入条件规定了输入值的集合或者规定了“必须如何”的条件的情况下，可确立一个有效等价类和 一个无效等价类。例如：用户连续输入错误密码的次数最多为3次。 有效等价类：<=3次无效等价类：>3次 3、在输入条件是一个布尔量的情况下，可确定一个有效等价类。例如：单选的选中与不选中。 4、在规定了输入数据的一组值（假定n个），并且程序要对每一个输入值分别处理的情况下，可确立n 个有效等价类和一个无效等价类。例如：输入数据为省份的选择。 5、在规定了输入数据必须遵守的规则的情况下，可确立一个有效等价类（符合规则）和若干个无效等价类（从不同角度违反规则）。例如：规定必须输入非0的正整数。这种例子应充分考虑规则是否可以拆分为具有单一的子规则，然后得到从不同角度违反规则的无效等价类。 该例子起码可拆分为非0、数字、正数、整数4个子规则，至少每个规则对应一个无效等价类，即0、字符串、负数、小数，甚至可挖掘出输入为空的隐含等价类。
黑盒测试 （一）实验目的 1．掌握用边界值方法设计测试用例和执行测试的过程； 2．掌握用等价划分方法设计测试用例和执行测试的过程； （二）实验内容 测试“NextDate”函数。NextDate返回输入日期后面的那个日期。变量年、月、日都 具有整数值，且满足如下条件： C1: 1912≤年份≤2050 C2: 1≤月份≤12 C3: 1≤日期≤31 （三）实验步骤 用熟悉的语言（如C 语言）编写实现该函数的功能，并用如下方法设计测试用例，进行黑盒测试。参考源代码： #include
day=day+1; break; case 12: if(day==31) { day=1; month=1; year=year+1; if(year==2012) printf("2012 is over"); } else if(day<31) { day=day+1; } break; case 2: { if(day==28) if(((year%4==0 && year%100!=0) || year%400==0)) { day=29; } else { day=1; month=3; } else if(day==29) { day=1; month=3; } else if(day<28) { day=day+1; } else printf("二月没有%d 号!\n",day); } break; default: ; }
§1.4等价关系 初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间． 定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△． 定义1.4.2 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果△(X)R，即对于任何x∈X，有xRx；关系R称为对称的，如果，即对于任何x，y∈X，如果xRy则 yRx；关系R称为反对称的，如果，即对于任何x，y∈X，xRy和yRx不能同 时成立；关系R称为传递的，如果R R R，即对于任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz． 集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系． 容易验证集合X中的恒同关系△（X）是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集 {（A，B）|A，B∈P(X)，A=B} 从定理1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）×P(X)的子集 {（A，B）|A，B∈P (X)，A B} 根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X)中的一个等价关系． 集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集 {(A，B)|A，B∈P(X)，A B,A≠B} 根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X)中的一个等价关系．
矩阵分析结课论文 《矩阵分析的应用与学习心得》 姓名：雷仁鹏 学号：2120120053 学院：宇航学院
矩阵分析的应用 摘要：本文主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。 关键字：矩阵方程求解相容方程 不相容方程 最小二乘解 满秩分解 一、 矩阵在相容方程求解中的应用 已知n 元线性方程组如下表示： 11112211 21122222 1122...............n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ??+++=? 其矩阵的表达形式如下： 111112********* 2 n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ???? ???????????? ??=?????????? ???????? 矩阵A 可记为 1112121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?????? =???? ?? 如果矩阵A 满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例： 例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为 3 21I I I 、、，如图2所示：
图2 已知14 ,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电 流AB I . 解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组： ??? ??=-+-=-+-+=-+-+E I I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0)()(2341321253242331221511 即 ??? ??=+--=-+-=--14 3202404321 321321I I I I I I I I I 同样计算如下几个行列式 2132124 1 114=------=A 84321424 110 1=----=D 1263 14120 1 1042=----=D 210 14 2104 1 014 3=----=D 所以 10,6,4332211====== A D I A D I A D I 从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB . 即电流是从B 流向A 的.
第 4 讲 §10 等价关系与集合的分类（2课时）本讲教学目的和要求：周知，映射是两个集合之间建立联系的一种方法，利用这种联系来对两个集合进行比较，通过这种比较就能由一个集合的性质去推测另一个集合可能有的性质。除了这种认识事物的方法之外，有时也要把一个集合分成若干个子集，对各个子集进行分门别类地研究或者对某些特殊的子集加以讨论，这种讨论有益于对原来的集合的研究。这种以局部到整体地认识事物的方法，在高等代数中已屡见不鲜，而在近世代数中更是不可缺少的，甚至是无处不有的。本讲中将分成两个层次分别介绍集合的分类以及讨论集合进行分类的一般原则——等价关系。 本讲中要求同学们能真正掌握集合的分类与等价关系它们的内在联系和互相转化的过程。 本讲的重点和难点： （1）“集合分类”的定义（尤其是分类的三大特点）。 （2）集合上的关系及等价关系(要求能辨别出是否等价关系) （1）上述两个概念的相互转化问题。 （2）一个重要的实例——模m的剩余类集合。 本讲的教法和教具：本讲中仍采用投影仪辅助教学。在教学过程中，由于其概念较多，内容也颇抽象，则需要耐心、循序渐进，将每个概念都讲透。
本讲思考题及作业：思考题都穿插安排在教学内容之中，作业置后。 一、集合的分类 例1、设整数集},4,3,2,1,0,1,2,3,4,{ ----=Z ，并令 },34{} ,24{} ,14{} ,4{3210Z q q n Z n A Z q q n Z n A Z q q n Z n A Z q q n Z n A ∈+=∈=∈+=∈=∈+=∈=∈=∈= 可知，)3,2,1,0(=i A i 是整数集Z 的一些子集，并具有以下特征： （1）)3,2,1,0(=?≠i A i （2）j i A A j i ≠??= （3） 30 3210===i i A A A A A Z 这三条性质说明，整数集Z 恰好被分成一些（四个）两两不相交的非空子集的并，这里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组成。 一般的，任取一个正整数m ，都能将Z 分解成m 个两两不相交的非空子集的并，使得每个子集恰好是由除以m 余数相同的整数组成的。特别地，取2=m 时,Z 则被分解成偶数子集和奇数子集的并。 例2、设{}2,1,;)()(2=∈=j i R a a R M ij ij 是R 上一切二阶矩阵组成的集合，令 {}{}{}2)()()(1)()()(0 )()()(2221 20=∈==∈==∈=ij ij ij ij ij ij a R M a A a R M a A a R M a A 秩秩秩 易知，)(2R M 的这些子集（三个子集）满足以下特征：