矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
一、基本概念与性质
（一）等价：
1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B,则称矩阵A与B 等价，记为A三B。
2、矩阵等价的充要条件：
A.B同型，且人r（A）=r（B）
—存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=成立
3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：
1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P,使得A三BP T AP = B 成立，则称A,B合同，记作A三B该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A二B=二次型X T A X 与X T B X有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似
1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B = P'AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：
A T ~
B T,A k~B k,A J~ B J(前提，A,B均可逆)
| E-A |=| ■ E - B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)
A?B n r(A)=r(B)
tr(A) =tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B|
3、矩阵相似的充分条件及充要条件：
①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A?Bu (.E—A)m(.E — B)
二、矩阵相等、合同、相似的关系
(一)、矩阵相等与向量组等价的关系：
设矩阵 A =(，1,2 丨1( J n)， B = ( ：i, F)
1、若向量组()是向量组(’1, '2,川，’n)的极大线性无关组,则有m^n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)=r(B)但不能得出A三B。
2、若m=n两向量组(人,毎,川,打)兰(f 川严m)则有矩阵A,B同型且r(A)二r(B)
二 A ?B, A LI B, A 二 B r( A)二r(B)二 A 二B。
3、若A三B= r( A) = r(B)=两向量组秩相同，?二两向量组等价，即有
A三BjC i, kjlh'n)三(一1,-2,川,'n)
综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
(二)、矩阵合同。相似，等价的关系。
1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。
2、合同、相似、等价之间的递推关系
①相似=等价：A~B= A,B同型且r(A) =r(B)= A三B
②合同=等价：A[JB= A,B同型且r(A)=r(B)= A三B
③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以