第二章有导体时的静电场
（一）要求
1、掌握导体静电平衡的条件，了解导体表面的电荷分布，掌握平行板导体组场强及电势的计算
2、掌握空腔内有电荷以及没有电荷时的电场特点，静电屏蔽效应。
3、了解孤立导体的电容，掌握电容器的电容及电容器的串、并联。
4、了解带电体系的静电能及电容器的静电能
5、演示实验：
（1）静电平衡的实验
（2）静电屏蔽的实验
（二）要点
l、静电平衡
（1）静电平衡
（2）导体静电平衡问题的讨论方法
（3）平行板导体组的场强和电势问题
2、封闭金属壳内外的静电场
（1）壳内空间的场
（2）壳外空间的场
3、电容器及其电容
（1）孤立导体的电容
（2）电容器及其电容
（3）电容器及其联接
4、带电体系的静电能
（1）带电体系的静电能
（2）电容器的静电能
（三）难点
1、静电平衡条件和电学性质
2、静电屏蔽
3、电容计算和电容储能。
第二章导体周围的静电场
§2-1 导体的静电平衡条件
一、静电平衡
1、静电感应
金属导体有大量自由电子作无规则的热运动。
导体内的电荷因外电场的作用而重新分布的现象叫静电感应。由于静电感应而出现的电荷叫感应电荷。
导体B上有感应电荷
2、静电平衡
导体上的感应电荷和整个空间的电场都达到稳定分布的状态叫静电平衡。
静电平衡的必要条件是：其内部场强处处为零。如果有非静电力，则必要条件改为导体内部可以移动的电荷所受的一切力的合力为零。但本章不讨论有非
静电力的情况。 静电平衡时有如下性质
1：导体是等势体，导体的表面是等势面。 设在导体内取任意两点A 和B ，则它们之间的电位差为 ??=-=B A B A AB l d E V V U
因为在静电平衡条件下，其内部场强处处为零，所以A 和B 两点电势相等：0=AB U 。
2：在静电平衡时，导体内部无净电荷，电荷只分布在导体的表面上。
证明：反证法，设导体内有
一未被抵消的净电荷0q ，
00
0≠=??εq S d E S 于是S 面上的E 不能处处为零，与静电平衡条件矛盾。
3：导体表面的场强分布
静电平衡时，导体周围场强分布的特点是：导体表面附近的场强方向处处于表面垂直，大小于该处导
体表面的电荷面密度成正比，关系式为00
n E εσ=
设导体表面外附近空间有一点P 处的场强为E ，
该点附近表面上的电荷面密度为σ。过P 作一圆柱面为高斯面，通过高斯面的电通量为
??S S d E =?S
dS E θcos ，
=?侧
dS E θcos +?上dS E θcos ， ? +?下dS E θcos =0εσS S E ?=?， 0εσ=E ，00
n E εσ= 导体 二、带电导体所受的静电力
我们来计算导体表面一个小面元所受的力。设S ?是导体表面含P 点的小面元，σ是P 点的电荷面密度，则S ?（作为一个电荷为S ?σ的点带电体）所受到静电场力为
S P E F ?'=?σ)(
其中)(P E '是除S ?外所有电荷在P 点贡献的场强。设P 1点是从P 点出发沿导体表面法向稍作外移所到之点，
则由前一节式：n e P P E 01)()(εσ=，可知P 1点的场强为
n e P E 0
1)(εσ= 它又分解为两部分：S ?σ在P 1点的场
强)(1P E S ? ，和除S ?σ外的电荷在
P 1点的场强)(1P E ' ： )()()(110
1P E P E e P E S n '+==?εσ
因为P 1点可任意靠近P ，对它而言可被视为均匀带电 无限大平面，所以n S e P E 0
12)(εσ=?，代入前一式便得 n e P E 0
12)(εσ=' P 点是带电面上的点，场强在P 点有突变，但这是指总场强。由于激发分场强E ' 的电荷已不含有S ?的电荷，E ' 在P 点是连续的，既然连续，相距极近的点P 和P 1
的E ' 就相同，所以
n e P E P E 012)()(εσ='=' 代入式 S P E F ?'=?σ)( 中，
可得到
n e S F 022εσ?=? 这就是导体表面任一面元的受力公式。把上式沿导体表面作积分便可求得整个导体所受的静电力。 三：孤立导体形状对电荷分布的影响
电荷在导体表面上的分布与导体表面形状和周围的带电体有关。对于孤立的带电体来说，其表面的电
荷面密度的大小于表面的曲率有关，表面曲率大的地方大。即导体表面凸出且尖锐的地方较大，表面平坦的地方较小，表面凹进去的地方更小。
如果带电体具有尖端，因为尖端的曲率特别大，电荷特别多，其附近的场强也特别大。在强电场的作用下，尖端附近的空气容易被电离成正负离子，与尖
端上的电荷同号的离子受到排斥而离开尖端，异号的离子受到吸引而趋向尖端，与尖端上的电荷中和，这等效于电荷从尖端放出，这就是尖端放电。
在高压电力线路中，尖端放电白白消耗了电能，要尽量避免。高压设备的电极做成光滑的球形，就是为了防止尖端放电。尖端放电也有可用的一面，静电加速器、感应起电机的喷电针尖和集电针尖都是应用的例子，避雷针也是利用尖端放电原理来防止雷击对建筑物的破坏。避雷针实际上是“引雷针”，它是将天空中雷电流引向自己，而保护周围的人和物不受雷电打击。
四：导体静电平衡问题的讨论方法
对于静电问题，正确的讨论必须遵从静电学的两个基本规律（高斯定理和环路定理），而应用它们往往涉及过多的数学知识，人们创造了许多非常巧妙的解题技巧，如电像法，复变函数法，以及工程中的图解法，但适用范围不广泛，并同样要有较好的数学知识，这些方法不是本书介绍的范围，而是电动力学的内容。本小节利用高斯定理和环路定理和电场线这一形象工具定性讨论几个静电平衡问题。
例1 ：在图中的静电感应现象中，A是带正电q 的点电荷，B是中性导体，试证B左端的感生负电荷
绝对值q '小于或等于施感电荷q 。
解：由电场线性质1知，导体B 左端的负电荷处一定有电场线终止，来源有三种：A 上的正电荷，B 右端的正电荷，无限远。但可以用反证法排除后面两种可能性。如B 左端
的电场线来自于B 右
端，则由于沿电场线
电势降落，这与导体
在静电平衡时是等势
体有矛盾。如果止于
B 左端的电场线来自
无限远，就会得出B V V >∞，而B 右端的正电荷发出的电场线也是止于无限远，又会得出∞>V V B ，与B V V >∞有矛盾。因此可以肯定止于B 左端的电场线全部发自A 正电荷。再根据电场线性质1的定量表述，止于B 左端的电场线条数正比于q '，发自A 的电场线条数正比于q ，而终止的条数只能小于或等于发出的条数，因此q q ≤'。通常施感电荷发出的电场线有一些不终止于B 的左端，故往往有q q <'。
例2 中性封闭金属壳内有正点电荷，求壳内外感生电荷的数量。
解：由于壳内电荷发出的电场线
只能止于内壁，由性质1的定量表述
可知，内壁总电荷为q -，所以外壁总电荷为q 。也可以用高斯
定理求解，作如图中高斯面（虚线），由于内部场强为零， 0=??S S d E
。
因此 0=∑内i q ，故有内壁电荷为q -。
例3：把例1的导体B 接地，试证B 上不再有0>σ的点。
解： 导体B 。设B 上某点竟有0>σ，则它所
发出的电场线只能伸至无限远。
故有∞>V V B ，另一方面，B 接地。导致地V V V B ==∞， 与∞>V V B 矛盾，命题得证。
五：平行板导体组例题
例1：金属平板A 和B 的长宽对应相等 在真空中对齐平行放置，板间距比长宽小得多，分别让每板带A q 及B q 的电荷，求每板表面的电荷密度。 解：可以把板看成是无限大，两板四壁的电荷均匀分
布，在A 、B 板内分别取点M 和N ，
A q S =+)(21σσ（1）
B q S =+)(43σσ（2）
022220
4030201=---=εσεσεσεσM E （3） 2σ 3σ 022220
4030201=-++=εσεσεσεσN E （4）
04321=---σσσσ
04321=-++σσσσ
41σσ=
32σσ-=
S q A /21=+σσ
S q B /2143=-=+σσσσ
41)2/()(σσ=+=S q q B A
32)2/()(σσ-=-=S q q B A
讨论：如果A B q q -=，
则 041==σσ
32/σσ-==S q A A q
A q -
导体板A 导体板B
§2-2 封闭金属壳内外的静电场
一：壳内空间的场
（1）壳内无带电体
当导体空腔内没有其它带电体，在静电平衡时，它具有如下静电性质（电荷、电场）：
1、导体空腔内表面处处无电荷，电荷只分布在外表面上；
2、腔外电荷（包括外表面的电荷和腔外带电体的电荷）在腔内产生的合场强为零，不影响腔内的电场分布。导体空腔内无电场，腔内是等势区。不论导体空腔是否带电，也不论导体空腔外是否有带电体，以上结论都是成立的。也就是说，在静电平衡状态下，腔内无带电体的导体空腔与实心体一样，内部没有电场。这样，导体空腔可以"保护"它所包围的区域，使之不受外表面的电荷和腔外电场的影响。
（2）腔内有带电体
当导体空腔内有其它带电体，在静电平衡时，它具有如下静电性质：
1、导体空腔内表面带电，它所带的电荷与腔内带电体所带的电荷等量异号，代数和为零。
2、壳外电荷对壳内电场仍无影响，壳内电场只由壳内带电体及壳的内壁形状决定。
二：壳外空间的场
（1） 壳外无带电体的情况
壳外空间在壳外无带电体时仍然可能有电场。 壳内的带电体和它在内壁感生出的等量异号电荷在壳外空间激发的合场强为零，但壳外壁的感生电荷在壳外空间是激发有电场的。但如果把金属壳接地，可以消除壳外电场。
（2） 壳外有带电体的情况
此时即使球壳接地，壳外壁的电荷密度也并不一定处处为零。接地封闭导体壳外部静电场不受壳内电荷影响。
封闭导体空腔（不论接地与否）内部电场不受腔外电荷的影响，接地导体空腔外部电场不受腔内电荷的影响，这种现象称为静电屏蔽。静电屏蔽现象在实际中都有重要的应用。
一个重要结论：设壳内空间的电荷为1q ，壳内壁电荷为2q （12q q -=），壳外壁电荷为3q （对中性壳有123q q q =-=），壳外空间的电荷为4q （不算外壁），则不论壳是否接地，21,q q 在壳内壁之外任一点的合场强为零，43,q q 在壳外壁之内任意一点合场强为零。
外壁的电荷都均匀分布
三、静电加速器
近代物理实验常常需要高速的
粒子，用以加速粒子的装置叫做加速
器。静电加速器（又名范德格喇夫起
电机）是加速器的一种。它是利用静
电高压加速带电粒子的装置。可用以
加速电子或质子。1931年范德格拉
夫首先研制成功。它是通过输电带将
喷电针电晕放电的电荷输送到一个绝缘的空心金属电极内，使之充电至高电压用以加速带电粒子。加速器加速粒子的能量受到所使用绝缘材料击穿电压的限制。为了提高静电加速器的工作电压和束流强度，近代静电加速器安置在钢筒内，钢筒内充有绝缘性能良好的高压气体，以提高静电高压发生器的耐压强度，加速粒子能量可达14兆电子伏特（MeV）。静电加速器属于低能加速器，主要作各种技术应用。
§2-3 电容及其电容器
一、孤立导体的电容
如果在一个导体周围没有其它带电体和导体，我们就把这个导体称为孤立导体。
孤立导体球，其电势按以前例题所求为
R q
V 04πε= 这表明，孤立导体球的电势和电量之间成正比关系， 对任何形状的孤立导体都有
CV q =
比例系数C 叫做孤立导体的电容，其物理意义是导体每升高单位电势所需的电荷量。它是反映导体储电能力的物理量。
在国际单位制中，单位：法拉F 。常用还有二个较小的单位：微法F μ、微微法pF 。它们和法拉的关
系是：F F 6101-=μ ，
F pF 12101-= 二、电容器的电容
在一个带电导体附近置入其它导体，其电势与电量的正比关系不再成立。这是因为非孤立导体周围的场强不仅决定于该导体，还与周围的情况有关。因此，我们不能用原来的方法来引入电容的概念。利用静电屏蔽，可用导体空腔B 把导体A 屏蔽起来。这样，腔
内电场仅由导体A 和所带电量q 及和内表面形状决定，与外界情况无关。
如果带电体A 的带电量增加一倍，则B 的内表面带电量也增加一倍，同时腔内任一点的场强也增加一倍，因而A 、B 之间的电位差也增加一倍，即U A -U B 与q 成正比。因此可以定义B A U U q C -=
，比例系数仅决定于的大小、形状和相对位置，与它们是否带电以及带电多少无关。我们把导体组A 、B 称作电容器，
A 、
B 为电容器的两个极板，称
C 为电容器的电容。
三、电容器的计算
1、球形电容器
球形电容器由一个导体球A 和一个同心薄导体球壳B 组成，半径分别为21,R R 。它有如下特点：
（1）电荷在内球外壁及外球内壁均匀分布，两壁电荷等值异号。其内球电荷1q 的绝对值称为球形电容
器的电荷，记作Q 。
（2）A 、B 间的电位差与电量成正比，
21120204421R R R R q
r d e r q
U r R R AB -=?=?πεπε 由电容器的定义式，得
122104R R R R U q C -==πε
即电容只与球和球壳的半径有关。
2、平行板电容器。
由两块平行放置的挨得较近的金属板组成。设极板面积为S ，极板间的距离为d.
d d S Q Ed U 0
0εσε===， d S
C 0ε=
平行板电容器在实际得到广泛应用，两板之间用电介质隔住，再从两块极板上分别接出引线而成。加电介质的目的是为了增大电容量。
3：圆柱形电容器
圆柱形电容器由两个同轴圆柱体A 、B 组成，半径分别为
，两柱距离比其长度小得多，忽略边缘效应，把它看作无限长。设A 、B 带电量分别为+Q 、-Q ，则两柱体内、外表面间的场强为 rL q E 02πε=
A 、
B 间的电位差为 A B R R B A AB R R L q Edr U U U B A ln 20?==-=πε
由电容器的定义式，得
)ln(20A
B B A R R L U U q
C πε=-=
四：电容器的联接
1、 串联
每个电容器所带的电量相等，
++=++=++==2121211111C C Q
U Q U U U Q U Q C 因此 ++=2
1111C C C 串联各电容器上的电压分配与其电容成反比，即 n n C C C U U U 1:1:1:::2121 =
2、并联
++=21Q Q
Q ++=++==2121C C U
Q U Q U Q C 并联时各电容器上的电量分配与其电容成正比，即 n n C C C q q q ::::::2121 =
如果要求承受较高的电压时，可以把几个电容器串联起来使用；如果需要大电容时，可以把几个电容器并联起来使用。 不管串联还是并联，除了考虑获得合适的电容量外，还需要注意使每个电容器上的电压都不超过它的耐压能力。
§2-5 带电体系的静电能
一、带电体系的静电能
回忆引力势能，物体间存在引力，引力场是势场，可以引入引力势能概念，引力做正功，引力势能减少，反之，则引力势能增加。约定以两物无限远离时的引力势能为零，两物相距为R 时的引力势能等于让该两物从该状态运动到无限远离的状态的过程中引力做的功。
电荷间存在电场力，静电场是势场，也可以引入静电势能的概念。电场力做正功，静电势能减少，反之，则静电势能增加。约定以两电荷21,q q 无限远离时的静电势能为零，两电荷相距为R 时的静电势能等于让该两电荷从该状态运动到无限远离状态的过程中电场力做的功。
自能和互能：只有一个点电荷的体系也有静电势能，叫做这个带电体的自能，而每个带电体相距一定距离时两者之间的相互作用能叫做互能。
由多个带电体组成的体系的静电能为以下两部分之和：（1）每个带电体的自能，定义为让它的每一小块无限远离时电场力做的功（2）各个带电体之间的互能，定义为让各个带电体无限远离时电场力的功。
二、电容器的静电能
将一电池与电容器相连，电池给电容器充电。在某一瞬间，电容器带电量q 、极板间电位差为U 时，将电量dq 由电容器的负极移到正极时，电源克服电场力作功绝对值为：
C Q qdq C udq A Q
Q 212
00===??
此值等于体系静电能的增加量。利用CU Q =，可以得到：
QU W 21
= 221
CU W =
本章作业：2.1.2 2.1.3 2.2.3
2.2.5 2.
3.2 2.3.3 2.3.6 2.5.1
习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。 设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q Q E U r r εε= = ππ； （B ）01 0, 4Q E U r ε==π； （C ）00, 4Q E U r ε==π； （D ）020, 4Q E U r ε== π。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得 00 0202 Q Q Q Q U r r r r εεεε-= + += 4π4π4π4π 2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］ （A ）0； （B ）2 q ； （C ）2q -； （D ）q -。 答案：C 解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U d R πεπε'=+ =（球面上所有感应电荷到 球心的距离相等，均为R ），由此解得2 R q q q d '=-=-。 3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2 200,44r Q Q E D r r εεε= =ππ； （B ）22 ,44r Q Q E D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）22 00,44Q Q E D r r εε==ππ。 答案：C
第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律
介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量：
103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。
104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为
第二章有导体时的静电场（8学时） 一、目的要求 1．深刻理解导体静电平衡的条件和特点； 2．了解导体平衡时的讨论方法； 3．掌握电容、电容器及电容的计算方法； 4．了解带电体系的静电能。 二、教学内容 1．静电场中的导体（2学时） 2．封闭金属壳内外的（2学时） 3．电容器及其电容（2学时） 4．带电体系的静电能（2学时） 三、本章思路 本章主要研究导体在静电场中的特性，其基本思路是：导体的电结构→ 静电平衡条件→静电场中导体的特性→静电场中导体特性的应用→电容、静电屏蔽、尖端放电。 四、重点难点 重点：导体静电平衡的特性 五、讲课提纲 §2.1 静电场中的导体 一、教学内容 （1）静电平衡 （2）带电受到的静电力 （3）孤立导体形状对电荷分布的影响 （4）导体静电平衡时的讨论方法 （5）平行板导体组举例 二、教学方式 讲授 三、讲授提纲 （一）导体的静电平衡 1．导体的特性 导体内存在着大量的自由电荷，它们在电场作用下可以移动。 中性导体：导体若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于正离子点阵 ρ； 间，从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度0 = 带电导体：净余电量不为零的导体；
孤立导体：距其它物体无限远的导体。 电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。 2．导体的静电平衡 （1）静电平衡的定义 导体中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随时间而变的状态。 （2）静电平衡条件 导体内部的场强处处为零。 即所有场源（包括分布在导体上的电荷）产生的电场在导体内部处处抵消，即0=i E ? 。 [反证] 若导体内某点场强不为零，则该点的自由电荷将在电场力的作用下作定向运动，导体便没有达到静电平衡，与定义矛盾。 （3）导体的静电感应 中性导体无外电场作用时，自由电荷只作微观热运动，无宏观电量的迁移，处于静电平衡。 当加上外电场0E ?（施感外场）时，0E ? 推动导体内的自由电荷作定向运动，引起自由电荷重新分布，在导体表面出现等量异号电荷，这种现象叫静电感应，导体表面上出现的电荷称感 应电荷。这些感应电荷产生的附加场'E ?在导体内与外场0E ?反向。当E '? <0 E ? 时，0≠E ρ，自 由电荷将继续运动，导体表面的感应电荷增多，E '? 增大，总有一个时候使得导体内部00='+=E E E ???（E '? 与0 E ?在导体内完全抵消）时，无净电力作用于电荷，则它停止定向运动，电荷重新分布过程结束——达到新的静电平衡。 可见：导体处在电场中达静电平衡时，导体上总有一定感应电荷分布，否则无E '? ； 导体上感应电荷产生的场与外电场的合场强在导体内处处为零，导体内不能有电场线穿越。 [示例]：导体球置于均匀外电场0 E ? 中。图2-1(a)为原问题，图2-1(b)为静电平衡时的情 形：导体内0 E ?与E '? 反方，至0 =内E ?止；导体外0 E ?与E '? 叠加，场发生畸变，成为E E E '+=???0。 (a) (b) 图2-1 （4）导体静电平衡时的性质 ① 导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。 ∵ 导体内处处0=E ? ， 设P 、Q 是导体上任意两点（包括表面） ∴ 导体上任两点电势差? =?=Q P PQ l d E U 0? ?，即 Q P U U = 。 ②静电平衡时，导体所带电荷只能分布在导体表面上
静电场的能量 静电场的能量 一个物体带了电是否就具有了静电能？为了回答这个问题，让我们把带电体的带电过程作下述理解：物体所带电量是由众多电荷元聚集而成的，原先这些电荷元处于彼此无限离散的状态，即它们处于彼此相距无限远的地方，使物体带电的过程就是外界把它们从无限远聚集到现在这个物体上来。在外界把众多电荷元由无限远离的状态聚集成一个带电体系的过程中，必须作功。根据功能原理，外界所作的总功必定等于带电体系电势能的增加。因为电势能本身的数值是相对的，是相对于电势能为零的某状态而言的。按照通常的规定，取众多电荷元处于彼此无限远离的状态的电势能为零，所以带电体系电势能的增加就是它所具有的电势能。于是我们就得到这样的结论：一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成该带电体系的过程中，外界所作的功。 那么带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还是由电荷激发的电场所携带？也就是，能量定域于电荷还是定域于电场？在静电学范围内我们无法回答这个问题，因为在一切静电现象中，静电场与静电荷是相互依存，无法分离的。随时间变化的电场和磁场形成电磁波，电磁波则可以脱离激发它的电荷和电流而独立传播并携带了能量。太阳光就是一种电磁波，它给大地带来了巨大的能量。这就是说，能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。 既然静电能是定域于电场的，那么我们就可以用场量来量度或表示它所具有的能量。 , 式中C是电容器的电容。电容器所带电量从零增大到Q的整个过程中，外力所作的总功为 . 外力所作的功A等于电容器这个带电体系的电势能的增加，所增加的这部分能量，储存在电容器极板之间的电场中，因为原先极板上无电荷，极板间无电场，所以极板间电场的能量，在数值上等于外力所作的功A，即 . (9-77) 若电容器带电量为Q时两极板间的电势差为U AB ，则平行板电容器极板间电场的能量还可以表示为
二、导体和电介质中的静电场 一、 选择题： 1、在一静电场中，作一闭合曲面S ，若有??=?0s d D ??，（式中D ?为电位移矢量），则S 面内必定： A ：既无自由电荷，也无束缚电荷； B ：没有自由电荷； C ：自由电荷和束缚电荷的代数和为零； D ：自由电荷代数和为零。 [ ] 2、一带正电荷的物体M ，靠近一不带电的金属导体N ，N 的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷，若将N 的左端接地，如图所示，则 （A ） N 上的负电荷入地 （B ） N 上的正电荷入地 （C ） N 上的电荷不动 （D ） N 上所有电荷都入地 [ ] 3、在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面： （Ａ）高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强； （Ｂ）高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强； （Ｃ）由于电介质不对称分布，高斯定理不成立； （Ｄ）即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。 [ ] 4、有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电．若在它的下方放置一电量为q 的点电荷，则 (A)只有当q>0时，金属球才下移． (B)只有当q 第二章 静电场 (注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑） 2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中 心处放置电荷量为Q 的点电荷。问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。 解 如图建立坐标系，可得 x x x x a Q a a q E e e e 2/12242122142 0220??+???? ???+=πεπε y y y y a Q a a q E e e e 2/12242122142 0220??+??? ? ???+=πεπε 据题设条件，令 022421=??? ??+??? ? ??+Q q ， 解得 () 2214 +-=q Q 2-2 有一长为2l ，电荷线密度为τ的直线电荷。 1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。 解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于x 轴上l ~l 3之间，则x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为 ()x x x e E -=2 04d d πετ，x x 04d d πετ?= 由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位 分别为 ()()()x l l x l l l x x e e E E -=-==??0320364d d 0πετ πετ ()3ln 44d d 0030 3l πετ πετ??===??l l l x x 2）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于y 轴 上l -~l 之间，则y 处的电荷微元在点()l 2,0处产生的电场强度和电位分别为 ()r r y e E -=2 04d d πετ，r y 04d d πετ?= 式中，θθ2cos d 2d l y =，θcos 2l r =，51 4sin 22=+=l l l α，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为 ()l l l r y l x x x x 0000020 054sin 4d cos 4cos 4d 2d 20,2πεταπετθθπετθπεταααe e e e E E =====??? 第二章 静电场与导体 一、判断题（正确划“∨”错误码划“?” ） 1、由公式 0εσ = E 知，导体表面任一点的场强正比于导体表面处的面电荷密度，因此该 点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。（ ）× 2、一导体处静电场中，静电平衡后导体上的感应电荷分布如图，根据电场线的性质，必有一部分电场线从导体上的正电荷发出，并终止在导体的负电荷上。（ ）× 3、一封闭的带电金属盒中，内表面有许多针尖，如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按曲率分布的规律，针尖附近的场强一定很大。（ ）× 4、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面上。（ ）√ 5、对于一个孤立带电导体，当达到静电平衡时，面电荷的相对分布与导体表面的曲率成正比。（ ）√ 6、一个接地的导体空腔，使外界电荷产生的场强不能进入腔内，也使内部电荷产生的场不进入腔外。（ ）×抵消 7、若电荷间的相互作用不满足平方反比律，导体的屏蔽效应仍然存在。（ ）× 8、用一个带电的导体小球与一个不带电的绝缘大导体球相接触，小球上的电荷会全部传到大球上去。（ ）× 9、带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带电过程中外力反抗电力作的功。（ ）√ 10、静电平衡时，某导体表面的电荷在该导体内部产生的场强处处必为零。（ ）× 11、两个带有同种电荷的金属球，一定相斥。（ ）× 12、真空中有一中性的导体球壳，在球中心处置一点电荷q ，则壳外距球心为r 处的场强为2 04r q E πε= ,当点电荷q 偏离中心时，则r 处的场强仍为2 04r q πε。（ ）√ 13、接地的导体腔，腔内、外导体的电荷分布，场强分布和电势分布都不影响。（ ）√ 14两个导体A 、B 构成的带电系的静电能为） （B B A A q q ?+?21，则式中的A A q ?21及 B B q ?21 分别表示A 和B 的自能。（ ）× 15、两个半径相同的金属球，其中一个是实心的，一个是空心的，通常空心球比实心球的电容大。（ ）× 二、选择题、 第二章 供稿：group5&2 整理：徐阳 §1静电场中的导体 概念： 1.静电平衡：当自由电子不作宏观运动（没有电流）时的状态。 2．平衡条件：导体内部场强处处为0。（仅当导体内部不受除静电力以外其它力。例如一节电池，还必须有不为0的静电场力来抵消非静电力来达到平衡。3.静电屏蔽：无论封闭导体壳是否接地，壳内电荷不影响壳外电场；封闭导体壳接地时，壳外电荷不影响壳内电场（不接地时可能影响）。 公式： σ ε0（运用高斯定理） 1.导体表面附近场强： dFσ= 2.导体表面单位面积所受静电力：ds2ε0（运用公式1、叠加原理E= 及体内场强为0） 推论： 1.静电平衡时，导体是个等势体，处处电势相等，导体表面是个等位面；导体以外靠近表面地方场强方向垂直表面。 2．对于实心导体：净电荷只存在于外表面 对于内部有空腔导体：若空腔内无净电荷，； 若空腔有净电荷q，内表面感生出-q，其余净电荷只分布于外表面。 3．对于孤立导体：凸处（表面曲率为正且较大）电荷面密度较大，凹处（表面曲率为负且较小）电荷面密度较小。所以凸处易产生尖端放电， 应用： 1.避雷针。 2.为了避免输电过程中的电晕，导线要求光滑且半径较大。 3.库仑平方反比律的精确验证。 4.利用法拉第圆筒吸走带电体的净电荷。 5.范德格拉夫起电机：使导体电位不断升高，加速带电粒子。 §2 电容器 1概念： 电容：对于一个确定的孤立导体，电位U随着带电量Q的增加而成比例的增加，所以定义C=Q U.(注意：C和电容器自身属性有关，和Q、 U无关，这只是定义和度量方法) 2电容的计算方法： 1.定义：场强积分得出U，再根据 C=C=QU。（注意：这是最根本的方法！） 2.利用串并联关系：串联： 3常见电容： 1.平行板电容器：C=C1?C2C1+C2；并联：C=C1+C2 ε0S d 2.球形电容器：C=4πε0R（不过只有一极，实用价值不大） C= 3.同心球电容器：4πε0R1R24πε0R12ε0SC0≈=R2-R1（1)当R2-R1=d< 导体中的静电场 一．选择题： 1*．有一点电荷q 及金属球A ，且A 处于静电平衡状态。下列说法中正确的是 （ ） （A ）金属球A 内E = 0， 点电荷 q 不在金属球A 内产生电场； （B ）金属球A 内E ≠0， 点电荷 q 在金属球A 内产生电场； （C ）金属球A 内E = 0， 点电荷 q 在金属球A 内产生电场； （D ）金属球A 内E ≠0， 点电荷 q 不在金属球A 内产生电场。 2*．将一个带负电的物体M 靠近一个不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷， （ ） 右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则 （A ）N 上的负电荷入地； （B ）N 上的正电荷入地； （C ）N 上的所有电荷入地； （D ）N 上所有的感应电荷入地。 3*．孤立金属导体球带有电荷Q ，由于它不受外电场作用，则 （ ） （A ）孤立导体电荷均匀分布，导体内电场强度不为零； （B ）电荷只分布于导体球表面，导体内电场强度不为零； （C ）导体内电荷均匀分布，导体内电场强度为零； （D ）电荷分布于导体表面，导体内电场强度为零。 4*．当一个带电导体达到静电平衡时，下列说法中正确的是 （ ） （A ）表面上电荷面密度较大的地方电势较高； （B ）表面曲率半径较大的地方电势较高； （C ）导体内部的电势比表面的电势高； （D ）导体内任意一点与其表面处的电势差为零。 5． 如图所示，绝缘的带电导体上有a 、b 、c 三点，三点处的电荷密度 （ ） （A ）a 点最大； （B ）b 点最大； （C ）c 点最大； （D ）一样大。 二．填空题： 1*．如图所示，将一个电荷量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的 导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，设无穷远处为零电势， 则导体球球心O 点处的电场强度E = ；电势U = 。 2*．一孤立带电导体球，其表面附近处电场强度的方向 ；当将另一带电体 放在这个导体附近时，该导体球表面附近处电场强度的方向 。 3*．球状导体A 外罩一同心球壳B ，A 的带电量为＋Q ，B 不带电，达到静电平衡后球壳B 内表面上所带的电量为 ；外表面上所带的电量为 。 4*．点电荷 －q 向一不带电的孤立导体靠近，如图所示。则导体内的 场强 ，导体内的电势 （填升高、不变或降低）。 图中各点的电势 U a ′ U a U b U b ′（填 ＞，＜，= ）。 注：加“*”的为必做题！ －q a ′ ′ 题3图 a M + － N 第二章静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分 形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方 程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特 性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。 通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三 种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、 各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密 度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静 电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量 不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常 电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可 以从简。 重要公式 真空中静电场方程： q E d SE d l 0积分形式： Sl EE 0微分形式： 已知电荷分布求解电场强度： 1(r ) 1，E (r )(r )；(r )d V 4|rr| V 0 2， E (r ) V 4 (r 0 )( | r r r r ) 3 | d V q E d S 3， 高斯定律 S 1 介质中静电场方程： E d l0 积分形式：D d S q S l 微分形式：DE0 线性均匀各向同性介质中静电场方程： q E d SE d l0积分形式： S l 微分形式：EE0 静电场边界条件： 1，E1t E2t。对于两种各向同性的线性介质，则 D 1tD t 2 12 2，D2n D1ns。在两种介质形成的边界上，则 D 1 2n nD 对于两种各向同性的线性介质，则 E 2n 1 12 nE 3，介质与导体的边界条件： e n E0；e n DS 若导体周围是各向同性的线性介质，则 S S E； n n 静电场的能量： 第二章静电场与导体 教学目的要求： 1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。 2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。 3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。 4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。 教学重点： 1、静电场中的导体 2、电容和电容器 教学难点： 1、静电场的唯一定理 §2.1 静电场中的导体 §2.2 电容和电容器 §2.3 静电场的能量 §2.1 静电场中的导体 1、导体的特征功函数 （1）金属导体的特征 金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。 ①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。 ②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。 ③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。 （2）功函数 金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。 一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。 2、导体的静电平衡条件 （1）什么是静电感应？ 当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。 （2）静电平衡状态 当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。 （3）静电平衡条件 所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。 静电平衡时： ①导体是等势体。 ②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。 ③导体表面是一个等势面，且与导体内部的电势相等。 3、导体上的电荷分布 第二章 静电场 习题2.1 真空中有一密度为2πnC/m 的无限长电荷沿y 轴放置，另有密度分别为0.1nC/m 2和-0.1nC/m 2 的无限大带电平面分别位于z =3m 和z =-4m 处。求点 P （1,7,2）的电场强度E 。 z=-4 x y z z=3 τ O 图2.1 题意分析： 题目中给出了3 个不同类型电荷的位置与大小，计算空间中一点的电场强度E 。可 以先分别计算每个电荷在场点产生的电场强度，然后采用叠加原理得出总的场强。考虑平面电荷与直线电荷的电场共同产生电场，选用用直角坐标系进行计算比较合适，如图2.1所示，对圆柱坐标系中计算出的直线电荷电场，需要转换成直角坐标下的形式，再进行矢量叠加求总电场。 解： （1）计算无限大平板在P 点产生的电场强度 在计算无限大平板在P 点产生的电场强度时，建立图2.1所示的直角坐标系，则位 于z =3m 处的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度1σE 为： Z e E 0 21.01εσ-= （1） 位于z =-4m 的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度为： Z e E 0 21.02εσ-= （2） 因此，2个无穷大带电板在P 点产生的合成场强1E 为： Z e E 11.0ε-= （3） （2）计算无穷长直电荷产生的电场强度 对于圆柱坐标系中位于z 轴上的长直电荷产生的电场强度至于场点的ρ坐标有关，其电场强度的表达式为： ρ ρ πετ e E 02- = z=-4 x y z z=3 τ O z' ρ O' 图2.2 因此图2.2中所示在沿y 轴放置的无穷长线电荷产生的电场2E 为： ρ ρ πετ e E 022- = 式中 2 2 x z ρ= + z x e z x z e z x x e 2 2 2 2 ++ += ρ ∴ () z x z x e z e x z x e z x z e z x x z x E ++=???? ??++ ++= 2 2 02 22 2 220 21 1 122επεπ 所以，P 点(1,7,2)的电场强度E 为: 第六章 静电场中的导体和电介质 将一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内激发的电场是否等于零静电屏蔽的效应是如何体现的 答：带电体单独在导体空腔内激发的电场不为零。静电屏弊效应体现在带电体的存在使导体腔上的电荷重新分布（自由电子重新分布），从而使得导体空腔内的总电场为零。 将一个带正电的导体 A 移近一个接地的导体 B 时，导体 B 是否维持零电势其上面是否带电 答：导体B 维持零电势，其上带负电。 在同一条电场线上的任意两点 a 、b ，其场强大小分别为a E 及b E ，电势分别为a V 和b V ，则以下结论正确的是： (1 ) b a E E =； (2 ) b a E E ≠； (3) b a V V = ； (4) b a V V ≠ 。 答：同一条电场线上的两点，电场强度可以相同，也可以不同，但沿着电场线电势降低，所以选（4）。 电容器串、并联后的等值电容如何决定在什么情况下宜用串联什么情况下宜用并联 解：串： ∑=i i c c 1 1 并：∑=i i c c 当手头的电容器的电容值比所需要的电容值小，宜用并联。当手头的电容器的耐压值比所需要的大，宜采用电容器串联。 两根长度相同的铜导线和铝导线，它们两端加有相等的电压．问铜线中的场强与铝线中的场强之比是多少铜线中的电流密度与铝线中的电流密度之比是多少（已知 m 1082m,104487?Ω?=ρ?Ω?=ρ--..铝铜） 答：电压V 相同和导线长度l 相同，则电场强度E 相同； 由 ρ σE E j = = 得：1107 10 4410827 8=??=ρρ= ? ρ=ρ--..铜 铝铝 铜铝铝铜铜j j j j 第二章有导体时的静电场 （一）要求 1、掌握导体静电平衡的条件，了解导体表面的电荷分布，掌握平行板导体组场强及电势的计算 2、掌握空腔内有电荷以及没有电荷时的电场特点，静电屏蔽效应。 3、了解孤立导体的电容，掌握电容器的电容及电容器的串、并联。 4、了解带电体系的静电能及电容器的静电能 5、演示实验： （1）静电平衡的实验 （2）静电屏蔽的实验 （二）要点 l、静电平衡 （1）静电平衡 （2）导体静电平衡问题的讨论方法 （3）平行板导体组的场强和电势问题 2、封闭金属壳内外的静电场 （1）壳内空间的场 （2）壳外空间的场 3、电容器及其电容 （1）孤立导体的电容 （2）电容器及其电容 （3）电容器及其联接 4、带电体系的静电能 （1）带电体系的静电能 （2）电容器的静电能 （三）难点 1、静电平衡条件和电学性质 2、静电屏蔽 3、电容计算和电容储能。 第二章导体周围的静电场 §2-1 导体的静电平衡条件 一、静电平衡 1、静电感应 金属导体有大量自由电子作无规则的热运动。 导体内的电荷因外电场的作用而重新分布的现象叫静电感应。由于静电感应而出现的电荷叫感应电荷。 导体B上有感应电荷 2、静电平衡 导体上的感应电荷和整个空间的电场都达到稳定分布的状态叫静电平衡。 静电平衡的必要条件是：其内部场强处处为零。如果有非静电力，则必要条件改为导体内部可以移动的电荷所受的一切力的合力为零。但本章不讨论有非 静电力的情况。 静电平衡时有如下性质 1：导体是等势体，导体的表面是等势面。 设在导体内取任意两点A 和B ，则它们之间的电位差为 ??=-=B A B A AB l d E V V U 因为在静电平衡条件下，其内部场强处处为零，所以A 和B 两点电势相等：0=AB U 。 2：在静电平衡时，导体内部无净电荷，电荷只分布在导体的表面上。 证明：反证法，设导体内有 一未被抵消的净电荷0q ， 00 0≠=??εq S d E S 于是S 面上的E 不能处处为零，与静电平衡条件矛盾。 3：导体表面的场强分布 静电平衡时，导体周围场强分布的特点是：导体表面附近的场强方向处处于表面垂直，大小于该处导 体表面的电荷面密度成正比，关系式为00 n E εσ= 设导体表面外附近空间有一点P 处的场强为E ， 该点附近表面上的电荷面密度为σ。过P 作一圆柱面为高斯面，通过高斯面的电通量为 第2章 静电场(二) 2.1 静电场的唯一性定理及其应用 静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。 静电场求解方法： (1) 直接由电场强度公式计算； (2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。 唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。 2.1.1 唯一性定理 静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。 2.1.2 导体边界时，边界条件的分类 (1) 自然边界条件：有限值参考点=∞ →?r r lim (相当于指定电位参考点的值) (2) 边界衔接条件：σ?ε?ε??=??-??=n n 221121 (该条件主要用于求解区域内部) (3) 导体表面边界条件 (a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。 该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。 S n ??-=?εσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。 思考？ 为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。 2.1.3 静电场唯一性定理的意义 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据 第二章 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导岀微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导岀真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳岀根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结岀计算能量的三种方法，指岀电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： q 积分形式：：i E d S E d I = 0 S - - I % 微分形式：'' E= —V E =O 已知电荷分布求解电场强度： 1，E (r )--''?(r); φ( r) -[ . (IdV 4 叭J I r —r | 2， r P(r )( r E (r) LV 4πε0 | r ^r)d" 3 -r I 3，r q E d S = S；0 高斯定律 介质中静电场方程： 静电场 积分形式：■. D d S =q =S E ■ l d I= 0 微分形式：? D=-V X E= 0线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： q E d S =- ■2 S ε I E d I= 0 微分形式：V E =V X E= 0静电场边界条件： 1,E1t =E2t。对于两种各向同性的线性介质，贝U D 1t D 2t ∑1 2,D2n-D1n = I。在两种介质形成的边界上，则 Dm = D2n 对于两种各向同性的线性介质，则 ；疋仆_ ；2E2n 3,介质与导体的边界条件： e n E =O ；e n D = \ 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ;:n 静电场的能量： 静电场中的导体 2.1 填空题 2.1.1 一带正电小球移近不带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带负电小球移近不 带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带正电小球靠近不带电的接地导体时，小球将受到（ ）力作用。 2.1.2 在一个带正电的大导体附近P 点放置一个点电荷q(电荷q 不是足够小)，实际测得它的受力为F ，如果q>0, 则F/q 与P 点场强E 0关系为（ ），如果q<0, 则F/q 与P 点场强关系为( ) 2.1.3 导体在静电场中达到静电平衡的条件是（ ）和（ ）。 2.1.4 导体处于静电平衡状态时，导体内部电荷体密度（ ），电荷只能分布在（ ）。 2.1.5 导体处于静电平衡状态时，导体是（ ）体，表面是（ ）面。 2.1.6 接地导体的电势等于（ ），地球与（ ）等电势。 2.1.7 一导体球壳，内外半径分别为R 1和R 2，带电q ，球壳内还有一点电荷q ，则导体球壳的电势是（ ）。 2.1.8 一点电荷q 放在一接地的无限大导电平面附近，则导电平面上的总电量为（ ）。 2.1.9 将一个点电荷+q 移近一个不带电的导体B 时，则导体B 的电势将（ ）。 2.1.10 一封闭导体壳C 内有一些分别带q 1、q 2…的带电体，导体壳C 外也有一些分别带Q 1、Q 2…的带电体，则q 1、q 2…的大小对导体壳C 外的电场强度（ ）影响，对C 外的电势（ ）影响；Q 1、Q 2…的大小对导体壳C 内的电场强度（ ）影响，对C 内的电势（ ）影响。 2.1.11 两个同心导体球壳A 、B ，若内球B 上带电q ，则电荷在其表面上的分布呈（ ）分布；当从外边把另一带电体移近这两个同心球时，则内球B 上的分布呈（ ）分布。 2.1.12 两导体球半径分别为r A 和r B ，A 球带电q ，B 球不带电，现用一细导线连接，则分布在两球上的电荷之比Q A ∶Q B （ ）。 2.1.13 在带等量异号电荷的二平行板间的均匀电场中，一个电子由静止自负极板释放，经t 时间抵达相隔d 的正极板，则两极板间的电场为（ ），电子撞击正极板的动能为（ ）。 2.1.14 中性导体空腔的腔内、腔外分别有一个点电荷q 和Q ，均与导体空腔不接触，则导体空腔内、外表面的电量分别为（ ）和（ ）。 2.1.15 当空腔内有带电体时，导体空腔内表面带电，它所带电荷与腔内带电体所带电荷（ ）。 2.1.16 金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球心O 点的电势为（ ）。 2.1.17 两个同心导体球，内球带电1Q ，外球带电2Q ，则，外球内表面电量为（ ）；外球外表面电量为（ ）。 2.1.18 两个同心导体球，内球带电1Q ，外球带电2Q ，若将外球接地，外球内表面电量为（ ）； 第二章 静电场 重点和难点 本章的重点是，静电场方程、边界条件和介质的电特性等。主要讲解如何由积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 对于介质的电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。 介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程在边界上不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容一节可以从简。 题 解 2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。 解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷q 1及q 2的力应该大小相等，方向相反，即q q q q F F ''=21。那么，由 122122 010224π4πq q q q r r r r εε'' =?=，同时考虑到d r r =+21，求得 d r d r 3 2 ,3121== 可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距 d 3 1 。 2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为 ) 0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。 解 令321,,r r r 分别为三个 点电荷的位置321,,P P P 至P 点的距离，则21=r ，32=r ， 23=r 。 利用点电荷的场强公式2 04πr q r ε= E e ，式中r e 为点电 荷q 指向场点P 的单位矢量。那么，1q 在P 点的场强大小为112 01014π8πq E r εε= =，方向 为)1r y z =+e e e ；2q 在P 点的场强大小为222 020 1 4π12πq E r εε= =，方向 为)2r x y z =++e e e e ；3q 在P 点的场强大小为 332 030 14π4πq E r εε= =，方向为3r y =-e e 。P 点的合成电场强度为 1230 1 1 π4x y z ε=++???=- +++????E E E E e e E第二章静电场题解
第二章 静电场与导体
静电场中的导体和电介质复习(精)
填空与选择(有导体存在时的静电场)
电磁场与电磁波第二章课后答案
静电场与导体
第二章 静电场
静电场中的导体和电介质
第2章 有导体时的静电场
工程电磁场第二章静电场二精品文档8页
电磁场与电磁波第二章课后答案
静电场中的导体
第二章静电场
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