第二章有导体时的静电场(8学时)

第二章有导体时的静电场（8学时）

一、目的要求

1．深刻理解导体静电平衡的条件和特点；

2．了解导体平衡时的讨论方法；

3．掌握电容、电容器及电容的计算方法；

4．了解带电体系的静电能。

二、教学内容

1．静电场中的导体（2学时）

2．封闭金属壳内外的（2学时）

3．电容器及其电容（2学时）

4．带电体系的静电能（2学时）

三、本章思路

本章主要研究导体在静电场中的特性，其基本思路是：导体的电结构→ 静电平衡条件→静电场中导体的特性→静电场中导体特性的应用→电容、静电屏蔽、尖端放电。

四、重点难点

重点：导体静电平衡的特性

五、讲课提纲

§2.1 静电场中的导体

一、教学内容

（1）静电平衡

（2）带电受到的静电力

（3）孤立导体形状对电荷分布的影响

（4）导体静电平衡时的讨论方法

（5）平行板导体组举例

二、教学方式

讲授

三、讲授提纲

（一）导体的静电平衡

1．导体的特性

导体内存在着大量的自由电荷，它们在电场作用下可以移动。

中性导体：导体若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于正离子点阵

ρ；

间，从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度0

=

带电导体：净余电量不为零的导体；

孤立导体：距其它物体无限远的导体。

电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。 2．导体的静电平衡 （1）静电平衡的定义

导体中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随时间而变的状态。 （2）静电平衡条件 导体内部的场强处处为零。

即所有场源（包括分布在导体上的电荷）产生的电场在导体内部处处抵消，即0=i E ? 。 [反证] 若导体内某点场强不为零，则该点的自由电荷将在电场力的作用下作定向运动，导体便没有达到静电平衡，与定义矛盾。 （3）导体的静电感应

中性导体无外电场作用时，自由电荷只作微观热运动，无宏观电量的迁移，处于静电平衡。

当加上外电场0E ?（施感外场）时，0E ?

推动导体内的自由电荷作定向运动，引起自由电荷重新分布，在导体表面出现等量异号电荷，这种现象叫静电感应，导体表面上出现的电荷称感

应电荷。这些感应电荷产生的附加场'E ?在导体内与外场0E ?反向。当E '? <0

E ?

时，0≠E ρ，自

由电荷将继续运动，导体表面的感应电荷增多，E '?

增大，总有一个时候使得导体内部00='+=E E E ???（E '?

与0 E ?在导体内完全抵消）时，无净电力作用于电荷，则它停止定向运动，电荷重新分布过程结束——达到新的静电平衡。

可见：导体处在电场中达静电平衡时，导体上总有一定感应电荷分布，否则无E '?

；

导体上感应电荷产生的场与外电场的合场强在导体内处处为零，导体内不能有电场线穿越。

[示例]：导体球置于均匀外电场0 E ?

中。图2-1(a)为原问题，图2-1(b)为静电平衡时的情

形：导体内0 E ?与E '? 反方，至0 =内E ?止；导体外0 E ?与E '?

叠加，场发生畸变，成为E E E '+=???0。

(a) (b)

图2-1

（4）导体静电平衡时的性质

① 导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。

∵ 导体内处处0=E ?

， 设P 、Q 是导体上任意两点（包括表面）

∴ 导体上任两点电势差?

=?=Q P

PQ l d E U 0?

?，即 Q P U U = 。

②静电平衡时，导体所带电荷只能分布在导体表面上

在导体内任作一个闭合曲面S ，应用高斯定理有：

00

==

?∑??εi

S

q

S d E ρρ ∑=?0i q

由于S 是任意的，当0→S 时仍成立，即导体内任一点均无电荷。故导体所带电荷只

能分布在导体的表面上。

③静电平衡时，导体面外附近的场强处处与表面垂直，且正比于该点的电荷面密度。

∵ E ?

与等势面正交，且导体表面为一等势面，

∴ n E E ??=（n ?

为导体面外法向单位矢）。

作如图2-2所示高斯面:

n h s ?

,,?? 由?=?S q s d E 0

ε内??， 得

εσs

s d E s d E s d E ?=?+?+????内

侧外?????? 即：0εσs s E ?=? 0

εσ

=E 或 n E ??0εσ=

。 [说明]

(1) σ是导体表面某一面元上的电荷面密度，E 是该面元邻近一点的场强，不同的面元上电荷面密度不同，场强亦不同。

（2）导体面外邻近一点的场强并非仅仅由S ?上的电荷激发，而是空间所有电荷共同激发的合场强，

（3）若在导体附近引入另一导体,将影响导体表面的电荷分布σ（对应于已调节到使导

体内0=E ?

为终态的σ），从而影响电场分布。但原导体表面附近的场公式形式不变。

(4) 公式与无限大均匀带电σ的平板之场公式0

2εσ

=E ?差倍的解释：

如图2-3所示，先在导体上取面元s ?：因

p p ',两点分居面内外,而且极接近面元，故可视s ?为无限大，有n E p ??02εσ=、n E p ?

?0

2εσ-=' 再看其余面（s s ?-）上电荷以及其他电荷（除s ?外）在p p ',点之场：由于p p ',点极近，

图2-2

图2-3

除s ?外的所有电荷在p p ',之场设为S E ?

。

最后，用叠加原理：0=+='''S p p E E E p ?

??合点在导体内，所以因为，即

p p S E n E E ?

???==-='0

2εσ

故面外p 点合场强为：n E E E E p S p p ?

????0

22εσ==+=合 上述可形象地理解为：场大一倍之因在于无限大平板两侧发出的电场线（两侧等量）、在

导体情况下则集中于一侧（导体内0=E ?），使面外场强加倍，而成为0

εσ。

（二）带电导体所受到的静电力

静电平衡时，导体所带电荷分布在导体的表面上，在导体表面P 点处任取一个小面元S ?，其上带有电荷 S q ?=?σ，它将位于其余电荷的电场之中，故受电场力为q P E F ?'=?)(，其中)(p E '是除S ?以外所有电荷在P 点处产生的场强n P E ρ

2)(εσ=

'，所以n S q P E F ρ

22)(εσ?=?'=?，这就是导体表面任一面元S ?的受力公式。推广到无限小面元有：

n dS dq P E dF ρ022)(εσ='= ，整个导体所受到的力为：????==S S n dS F d F ρ

ρσ022εσ。

[例1] 如图所示，两块厚度都是δ的无限大平行平板均匀带电，电荷体密度分别为ρ± ，试求电场对每一平板单位面积的作用力，设A 板带正电，B 板带负电。 解：A 板上的电荷在B 板处产生的电场为：

在B 板上取面元S ?，S ?上的电荷受到的电场力为：

00

11

22AB E i i

σδρεε==r r

r A

B

x

图2-4

i S i S E dq F AB ρρρρ?-=??-==220

02121ρδεδρερδ

单位面积受到的电场力为：

i E i i S F f ρρρρ

ρ2

0202202

12121εσερδε-=-=-=?= [例2]一半径为R 、带电为q 的球形导体，被切为两半，如图2-5所示，求两半球的相互排斥力。

解：

方向沿x 轴方向。

（三）孤立导体表面曲率对电荷分布影响

导体静电平衡时，电荷分布于表面，但确定),,(z y x σ是有一定难度的。 1． 一般情况

),,(z y x σ与导体????

???周围其它电荷的场

带电总量形状 等因素有关。即使周围引入不带电的其它导体

也会改变),,(z y x σ分布（静电感应，达到新的平衡）。

2． 特例——孤立导体

其它物体在该导体处的影响略而不计。此时导体表面σ分布（相对分布）只与导体形状有关：凸的地方（曲率大），σ大；凹的地方（曲率小），σ小。

例如：孤立带电Q 、半径R 的导体球（壳），外表面 24R Q

πσ=，电荷球面对

称分布；孤立无限大导体平板带电Q 、面积S ，各面S Q

2=σ。

例：相距甚远的两导体球，半径分别为 A R 、B R ，现用一根细导线将它

2012n

dF E dSe ε=r r ?=0

Y

dF dS E dF X

θεcos 2

1

20?

?=??

?===π

π?

θθθπε20

2

202sin cos 16d d R

q dF F F X X 2

2

0321R q πε=?

θθd d R dS sin 2

=2

04R

q E πε=

θ

F

d ρ

dS

图2-5

们相连，并使它们带电，求面电荷之比

=B

A

σσ？。 解：两球相距甚远，可将两球各自视作独立，导线相连则等势。因电荷分 布于有限区域，故可以

A A A R q U 04πε=

，B

B

B R q U 04πε=

其中A q 、B q 可作为预先假设。由B A U U =得

B

A

B A R R q q = ， ∴ A B A B B A B

B A A

B A R R R R q q R q R q =?==22

2

244ππσσ 球面上的电荷面密度与球半径成反比。

大致说来，形状简单的孤立导体，表面上的面电荷密度与曲率有密切的关系，曲率大，σ大；曲率小，σ小；曲率为负的地方，σ最小。

3．尖端放电 导体尖端σ大，0

εσ

=

E 亦大，易击穿空气而放电。空气中存有少量电子，在E ρ

中被加速，碰撞中性分子使之电离成

负

正离子，正、负离子可自由移动，空气击穿而成导体： ① 与尖端异号电荷被吸引至尖端而中和——尖端放电， ② 与尖端同号电荷被排斥远离——形成“电风”。

尖端放电时，其附近隐隐笼罩光晕——电晕，黑夜中高压线附近可见此景。 尖端放电之利弊：利——场致发射显微镜、范氏起电机、引雷针、静电除尘等； 弊——浪费电能、引发火灾、爆炸等。 作业：

第78页 2.1.1 2.1.5 2.1.6

（四）导体静电平衡问题的讨论方法

当把导体引入电场后，由于电荷与电场的相互影响，相互制约，使问题变得复杂，正确的讨论必须遵从静电场两个基本方程——高斯定理和环路定理，但涉及的数学知识较多，我们将借用电场线这个工具来讨论几个静电平衡问题。

图2-6

[例1] ：感应电荷的绝对值q’小于或等于施感电荷q 。 解：终止于B 左端的电场线不可能来自于B 右端的正电荷，也不可能来自无穷远，只能来自A 上的正电荷。

由高斯定理知： [例2] 中性封闭金属壳内有点电荷q ，求壳内、外壁的感应电荷。

解：从壳内电荷发出的电场线在无电荷处不中断，又不能穿过金属壳，只能全部终止在壳内表面上。故有：

q q -='由于金属壳是电中性的，所以在壳外表面上

有：

q q =''

例3：如图2-9所示，已知R 、r 、q 及接地条件，求导体球上感应电荷?='q 。

解：选O 点进行考察。运用电势叠加原理及接地条件，有

04140

0='+

?

S

R

ds

r

q σπεπε

而ds q S

?'='σ

∴

0='

+R

q r q 即： q r R q -

=' ， 其中 1

R

。 例4：第52页例 6，略……

（五）平行板导体举例[例5]：两平行金属平板A 、B ，面积均为S ，板间距为d 比板面的长、宽小得多，令A 、B 分别带上A q 、B q 电量，求两板上电荷分布。

解：略去边缘效应，设四个面上的电荷面密度分别为1σ、

2σ、3σ、4σ。

方法一：运用高斯定理、电荷守恒定律解答。

∵ ?????=+=+S q S q B

A

43

21

σσσσ ， 32σσ-=，41σσ= ∴

∞

>>U U U B A q

q <||'+

+ +-B

A +q

-q’ q’

A

B

图2-7

q

q

－q

r

P

.

.

导体

{

d

图2-8

q 0 S

r

R

'

q 导体球

图2-9

a b

S

σ1 σ2 σ3 σ4

d

图2-10

A

B

. .

S q q B A 21+=

σ ，S

q q B

A 22-=σ 方法二：用场叠加原理、电荷守恒解答。

基础公式为0

2εσ

=E ，运用在导体内的合场为零进行分析，结论同

因导体内E=0 04321=+++E E E E ρ

ρρρ 以对a 点： 同理对b 点： 可得：

， 又：

讨论① Q Q Q B A ==时， 41σσ==

S

Q

， 033=-=σσ ② Q Q Q B A =-= 041==σσ， 32σσ-==S Q

[例6]在上例中，若将金属板B 接地，求A 、B 两板表面上的电荷密度。

解：B 板接地后，方程变为：

04=σ

S

Q

=

+21σσ

解之得： 01=σ 0321=--σσσ 32σσ-==S

Q

A

03

21=++σσσ

四、作业

P79 2.1.1 2.1.5 2.1.6

§2.2 封闭金属壳内外的静电场

一、教学内容 （1）壳内空间的场 （2）壳外空间的场 （3）范德格拉夫起电机

（4）库仑平方反比定律的精确验证 （5）静电屏蔽 二、教学方式

讲授

021********

302010=---σεσεσεσε0

4321=---σσσσ04321=-++σσσσ41σσ=32σσ-=S

Q A

=

+21σσS

Q B =

+43σσ4

12σσ=+=

S

Q Q B

A 3

32σσ-=-=

S

Q Q B

A 1

σ2σ4

σx

A B

I II I I I

3

σ图2-11

三、讲授提纲 （一）壳内空间的场

1．壳内空间没有带电体的情况（壳外有）

⑴导体壳的内表面上处处没有电荷，电荷只分布在外表面； ⑵空腔内没有电场，或者说，空腔内的电位处处相等。

为了证明上述结论，在导体壳内、外表面之间取一闭合曲面S ，将空腔包围起来（见右图）。由于闭合面S 完全处于导体内部，其上场强处处为0，因此没有电通量穿过它。由高斯定理可知，在S 内（即导体壳的内表面上）电荷的代数和为0。

在此基础上还需证明，在导体壳的内表面上不仅电荷的代数和为0，而且各处的面电荷密度σ也为0。利用反证法，假定内表面上σ并不处处为0，由于电荷的代数和为0，必然有些地方0>σ ，有些地方 0<σ 。由于电场线只能从正电荷出发，到负电荷终止，不能在没有电荷的地方中断。此时，空腔中没有电荷，所以从内表面0>σ的地方发出的电场线，还会在腔内中断，只能终止在内表面0<σ的地方。如果存在这样一根电场线，电场沿此电场线的积分必不为0。

也就是说，这电场线的两端间有电位差。但这根电场线的两端都在同一导体上，静电平衡要求这两点的电位相等。因此上述结论与平衡条件相违背。由此可见，达到静电平衡时，导体壳内表面上σ必须处处为0。

下面证明腔内没有电场。由于内表面附近

，且电场线既不可能起、止于内表面，又不可能在腔内有端点或形成闭合线。所以腔内不可能有电场线和电场。没有电场就没有电位差，故腔内空间各点的电位处处相等。

根据静电平衡下导体壳的内表面处处没有电荷的性质，将带电导体与导体壳内表面接触时，带电导体上的电荷一定会全部转移到导体壳的外表面上去。

2．壳内空间有带电体q 时 ⑴导体壳内表面带电-q

0e n E σ

ε

==

⑵壳内空间的场由壳内电荷与壳内表面上感应电荷共同决定 证明：如右图所示，在导体壳内、外表面之间作 一高斯面S （图中虚线），由于高斯面处在导体内部，

在静电平衡时场强处处为0，所以通过S 的电通量为0。

根据高斯定理，S 内∑=0q ，所以如果导体壳内有一带电体q ，则内表面必定带电-q 。 （二）壳外空间的场

1．壳外空间无带电体（壳内有） ⑴壳外表面带电+q

⑵壳外空间的电场由壳外表面上的感应电荷决定

壳外空间的场由壳内电荷间接引起，但壳外表面上的感应电荷分布决定于壳外表面的形状。移动壳内电荷时，壳外电场不变（壳内要变）增加壳内电荷的量值时，壳外电场成比例增加，但分布规律不变 。从这种意义上说，壳内电荷不影响壳外电场的分布。若将导体壳接地，外表面感应电荷入地，壳外电场为零。 2．壳外空间有带电体

⑴壳外电荷q 在壳外表面要感应出电荷)(q q q <'',壳内电荷Q 在壳外表面上感应出电荷Q ⑵壳外空间的场由壳外电荷与壳外表面上的感应电荷共同决定。若将导体壳接地，壳内电荷 在外表面感应出的同号电荷将入地，而壳外电荷在外表面感应出的异号电荷由于受到壳外电场的约束而不能入地，壳内电荷不影响壳外的场。

A ．

结论：封闭导体壳（不论接地与否）

内部电场不受壳外电场的影响；

B ．封闭导体壳外部的电场受壳内电场的间接影响（影响强度而不影响分布），但接地导体壳外部的电场不受内部电场的影响；

C. 壳外空间的电荷（包括壳外壁的感应电

荷）在壳外壁以内的区域产生的合场强为零；壳内电荷（包括壳内壁的感应电荷）在壳内壁以外的区域产生的合场强为零。（三）、范德格拉夫起电机

利用导体壳的性质可以将电荷不断地由电位较低的导体一次一次地传递给另一电位较高的导体，使后者电位不断升高。如右图所示，绝缘金属球A 与电池的正极相联，电池负极接地，从而球A 地之间保持一定的电位差。我们用一个带有绝缘柄的金属小球B 与球A 接触后又与一个具有

小孔的金属球壳C 的内壁接触，这时小球B 上原来带的电荷全部传到金属球壳C 的外表面上

图2-15

+q

图2-16

图2-17

范德格拉夫起电机原理演示

去。一次一次地重复这种接触过程，电荷可一次一次地被小球B 传递到金属壳C 的外壁上去。范德格喇夫起电机就是利用这种原理作成的。图2-18是它的结构示意图。大金属壳1由绝缘支柱2支持着。3是橡胶布做成的传送带，由一对转轮4带动。传送带由联接电源一端的尖端导体5喷射电荷而带电。在尖端5的对面，传送带背后的接地导体板6的作用是加强由尖端5向传送带的电荷喷射。当带电传送带经过另一尖端导体7的近旁时，尖端导体7便将电荷传送给与它相接的导体球壳1。这些电荷将全部分布到金属壳的外表面上去，使它相对于地的电位不断地提高。

范德格喇夫起电机主要用于加速带电粒子。将离子源放在金属壳内，由于金属壳相对于外界具有高电位差，因此将离子引出球壳后进入加速管时，它就象位置很高的小球在重力场中下降时获得很大动能一样，在电场力的作用下将获得很大的动能。这种高速带电粒子可供原子核反应实验

之用。

（四）库仑平方反比律的精确验证

电荷只分布在导体外表面上的结论，是建立在高斯定理的基础上的，而高斯定理又是由库仑平方反比律推导出来的。相反，如果点电荷之间的相互作用力偏离了平方反比律，即：

其中0≠δ ，则高斯定理将不成立，从而导体上的电荷也不完全分布在外表面上。用实验方法来研究导体内部是否确实没有电荷，可以比库仑扭秤实验远为精确地验证平方反比律。

这类实验首先是卡文迪许在库仑于1785年建立平方反比律之前若干年（1773年）完成的。它的装置如右图所示，金属球1由绝缘支柱2支持。绝缘的金属球壳3套在金属球1的外边，它由两个半球组成，在其中之一的上面有一个小孔。一段导线条由绝缘丝线5悬挂，可探进小孔将球1与球壳3联接起来。 这样，球1的表面就成为球壳3 内表面的一部分，实验时，先使联接在

一起的球1 和球壳3带电。然后将怀线抽出，将球壳3的两半分开并移去，再用静电计检验球1上的电荷。反复实验结果表明球1上总没有电荷。

由于电荷之间的相互作用力的规律具有原则意义的重大问题，后来许多人重复并改进了上述实验。目前在实验仪器灵敏度所允许的范围内可以肯定，与平方指数的偏离δ即使有，也不会超过 16107.2-? 。（可参阅书中60页小字部分）这样，平方反比律便得到了十分精确的实验验证。

（五）静电屏蔽

21

f r δ

±∝

图2-18

图2-19

在静电平衡状态下，腔内无带电体的导体壳和实心导体一样，内部无电场。只要达到了静电平衡状态，不管导体壳本身带电或是导体处于外界电场中，这一结论总是对的。这样，导体壳的表面就“保护”了它所包围的区域，使之不受导体壳外表面上的电荷或外界电场的影响，这个现象称为静电屏蔽（对内）。

静电屏蔽现象在实际中有重要的应用。例如为了使一些

精密的电磁测量仪器不受外界电场的干扰，通常在仪器外面

加上金属罩。实际上金属外壳不一定要严格封闭，甚至用金

属网作成的外罩就能起到相当好的屏蔽作用。

工作中有时要使一个带电体不影响外界，例如对屋内的

高压设备就要求这样。这时可以把这带电体放在接地的金属

壳或金属网内。可由右图来说明其原理。为方便见，假定带

图2-20

电体带正电。有了金属外壳之后，其内表面出现等量的负电

荷。由内部带电体出发的电力线就会全部终止在外壳内表面等量的负电荷上，使电力线不能穿出导体壳。这样就把内部带电体对外界的影响全部隔绝了。实际上，应是外壳内表面的负电荷在导体壳外产生了一个电场，它和内部带电体在导体壳外产生的电场处处抵消。然而，如果外壳一接地，在它的外表面还有等量的感应电荷，它的电场将对外界产生影响（见图a），这样，内部带电体对外界的影响就全部消除了。

等电位高压带电作业

大家都知道,接触高压电是很危险的。怎样才能在不停电的条件下检修和维护高压线呢？原来对人体造成威胁的并不是由于电位高造成的，而是电位梯度大造成的。近年来我国工人和工程技术人员经过多次科学实验和反复实践，摸索出一套等电位带电作业的方法。作业人员全身穿戴金属丝网制成的衣、帽、手套和鞋子。这种保护服叫做金属均压服。穿上均压服后，作业人员就可以用绝缘软梯和通过瓷瓶串逐渐进入电场区。当手与高压电线直接接触时，在手套与电线之间发生火花放电之后，人和高压线就等电位了，从而可以进行操作。均压服在带电作业中有以下作用：

一是屏蔽和均压作用。均压服相当于一个空腔导体，对人体起到电屏蔽作用，它减弱达到人体的电场。

二是分流作用。当作业人员经过电位不同的区域时，要承受一个幅值很大的脉冲电流，由于均压服与人体相比电阻很小，可以对此电流进行分流，使绝大部分电流流经均压服。这样就保证了作业的安全。

作业

P79

2.2.1 2.2.4 2.2.5

§2.3 电容及电容器

一、教学内容

（1）孤立导体的是电容 （2）电容及电容器 （3）电容器的联接 （4）静电演示仪* 二、教学方式 讲授

三、讲授提纲 1.孤立导体的电容

所谓“孤立”导体，就是说在这导体的附近没有其它导体和带电体。 设想使一个孤立导体带电q ,它将具有一定的电位U （如图2-21所示）。理论和实践证明，随着q 的增加，U 将按比例地增加。这个比例关系可写成

C U

q

= 式中C 与导体的尺寸和形状有关,它是一个与q 、 U 无关的常数，称之为该孤立导体的电容，其物理意义是使导体每升高单位电位所需的电量。电容的单位是库仑/伏特，专门名称法拉，简称法，用F 表示：

1法拉=1库仑/1伏特实际中嫌法拉这个单位太大，常用微法（记作μF ）、皮法（记作

PF ）。

电容 C 在量值上等于升高单位电势时导体所带的电量，它就像热容等于升高单位温度时物体所吸收的热量一样。电容的单位是法(F)及微法(μF)、皮法(pF)等(1F ＝1C ／V)。

为了便于理解电容的意义，可以打个比喻。图2-22表示三个盛水容器。当我们向各容器灌水时，容器内水面便升高。可以看到，对三个容器来说，为使它们的水面都增加一个单位的高度，需要灌入的水量是不同的。使容器中的水面每升高一个单位高度要灌入的水量是由容器本身的性质（即它的截面积）所决定的。导体的“电容”与此类似。若一个导体的电容比另一个大，就表示每升高一个单位电位时，该导体上面所需增加的电量比另一个多。

【例题1】求半径为 的孤立导体球的电容。 【解】

因 ，故 0

4q U πε=

04q

C R U

πε=

=图2-21

孤立导体的电容

U

图2-22

图2-23

2.电容及电容器

如果在一个导体A 的近旁有其它导体，则这导体的电位U 不仅与它自已所带电量q 的多少有关，还取决于其它导体的位置和形状。这是由于电量q 使邻近导体的表面产生感应电荷，它们将影响着空间的电位分布和每个导体的电位。在这种情况下，我们不可能再用一个常数

U

q

c =来反映q 和U 之间的依赖关系了。要想消除其它导体的影响，可采用静电屏蔽的方法。

如右图所示，用一个封闭的导体壳B 把导体A 包围起来，并将B 接地（0=B U ）。这样一来，壳外的导体C 、D 等就不会影响A 的电位了。这时若使导体A 带电A q ，导体壳B 的内表面将带电A q -。随着A q 的增加，A U 将按比例地增大，因此我们仍可定义它的电容为:

A

A A

B U q

C =

当然这时AB C 已与导体壳B 无关了。其实导体壳B 也可不接地，则它的电位0≠B U 。虽然这时B

A 、U

U 都与外界的导体有关，但电位差B A AB U U U -= 仍不受外界的影响，且正比

于A q ，比值不变。这种导体壳B 和其腔内的导体A 组成的导体系，叫做电容器，比值

叫做它的电容。电容器的电容与导体的尺寸、形状和相对位置有关，与 q 和U 无关。组成电容器的两导体叫做电容器的极板。

实际中对电容器屏蔽的要求并不象上面所述那么苛刻。如上页图所示那样，一对平行平面导体A 、B 的面积很大，而且靠得很近，集中在两导体相对的表面上的那部分电荷将是符号相反，数量相等的，它们产生的电场线集中在两表面之间狭窄的空间里。

这时外界的干扰对电荷 A q 与电位差 B A U U - 之比（即电容C ）的影响实际上是可以忽略的。我们也可以把这种装置看成电容器（平行板电容器）。

电容器在实际中（主要在交流电路、电子电路中）有着广泛的应用。当你打开任何电子仪器或装置（如收音机、示波器等）的外壳时，就会看到线路里有各种各样的元件，其中不少是电容器。实际的电容器种类繁多。（156页图2-23）通常在电容器两金属极板间还夹有一层绝缘介质（叫做电介质）。绝缘介质也可以是空气或真空。按两金属极板间所用的绝缘介质来分，有真空电容器、空气电容器、云母电容器、纸质电容器、油浸纸介电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、电解电容器、聚四氟乙烯电容器、钛酸钡电容器等；按其电容量的可变与否来分，有可变电容器、半可变或微调电容器、固定电容器等。但是，常用的各种类型的电容器的基本结构相同，都由两片面积较大的金属导体极板中间夹一层绝缘介质组合而成。

下面我们来推导电容器的电容公式，由此可以看出电容量的大小是由哪些因素决定的。在下面的计算中暂不考虑绝缘介质，即认为极板间是空气或真空。

（1）平行板电容器

实际常用的绝大多数电容器可看成是由两块彼此靠得很近的平行金属板组成的平行板电容器。设它们的面积都是S ，内表面间的间距是d （图2-24）。在极板面的线度远大于它们

A

AB A B

q C U U =

-

之间的距离（或者说d S >> ）的情况下，除边缘部分外，情况和两极板为无限大时差不多。这时两极板的内表面均匀带电，极板间的电场是均匀的。

设两极板A 、B 的带电量分别为q ±，则电荷的面密度分

别为 S

q

=±σ 。根据式（2.1），场强为 0εσ ，电位差为

从而按照电容的定义（ 2.3），则有 对于电容器的电容通常略去下标AB 不写，而写为：d

S

C 0ε= （2.4）

这便是平行板电容器的电容公式。此式表明， 正比于极板面积S ，反比于极板间隔d 。它指明了加大电容器电容量的途径：首先必须使电容器极板的间隔小，但是由于工艺的困难，这是有一定的限度；其次要加大极板的面积，这势必要加大电容器的体积。为了体积小电容量大的电容器，需要选择适当的绝缘介质。 （2）同心球形电容器

如右图示，电容器由两个同心球形导体A 、B 组成，设半径

分别为 和 （ ＞ ）。

设A 、B 分别带电

，利用高斯定理可知，两导体之间的 电场强度 ，方向沿矢径。这时两球形电极A 、B 之间 的电位差为

于是电容为

消去q ，整理后得同心球形电容器的电容公式为 （3）同轴柱形电容器

如右图示，电容器是由两个同轴柱形导体A 、B 组成，设其半径

分别为 和 （ ＞ ），长度为L 。当 B A U U L ->>时， 两端的边缘效应可以忽略，计算场强分布时可以把圆柱体看成是 无限长的。利用高斯定理可知，两导体间的电场强度为:

其中λ是每个电极在单位长度内电荷的绝对值，场的方向在垂直于轴的平面内沿着辐向。两柱形电极A 、B 间的电位差为

00B

e AB A

d qd U E dl Ed S

σεε=?===

?

r r 0AB AB S q

C U d

ε=

=A R B R A R B R q ±2

014q E r πε=2

000111444B A B R B A AB A R A B A B R R q q q U E dl dr r R R R R πεπεπε??-=?==-= ?????r r ()04AB B A A B

q q C U q R R R R πε==-04A B B A

R R C R R πε=

-A R B R A R 02E r

λπε=

B R 图2-24

图2-25

图2-26

在柱形电容器每个电极上的总电荷为L q λ=，故消去λ ，整理后得同轴柱形电容器的电

容公式为

从以上三例归纳起来，计算电容的步骤是：

①设电容器两极板上分别带电荷q ± ，计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极间的电位差AB U 来；

②所得的AB U 必然与 q 成正比，利用电容的定义AB

U q

C =

,求出电容，它一定与此q 无关，完全由电容器本身的性质（如几何尺寸，形状等）所决定。

3．电容器的并联、串联

电容器的性能规格中有两个主要指标，一是它的电容量，一是它的耐压能力。使用电容器时，两极板所加的电压不能超过所规定的耐压值，否则电容器内的电介质有被击穿的危险，即电介质失去绝缘性质，电容器就损坏了。在实际工作中，当遇到单独一个电容器在电容的数值或耐压能力方面不能满足要求时，可以把几个电容器并联或串联起来使用。 （1）并联

如右图示，其中每个电容器有一个极板接到共同点A ，而另一极板则接到另一共同点B 。接上电源后，每一个电容器两极板上的电位差（电压）都等于A 、B 两点间的电位差，设为 。但是分配在每个电容器上的电量则

不同，它们分别是U C q 11= ，U C q 22= ，……

这表明，电容器并联时，电量与电容成正比地分配在各个电容器上。

因此，整个电容器系统总的电容C 是

故电容器并联时，总电容等于各电容器电容之和。并联后总电容增加了。 （2）串联

如右图示，其中每个电容器的一个 极板只与另一电容器的一极板相连接， 把电源接到这个电容器组合的两个极板 上。当给第一个电容器左边的极板带上 电荷量 q 时，其右边的极板上就由于

静电感应产生电荷量-q ，而在第二个电容器左边的极板带上电荷量q ；这样依次感 应。因此，串联的每一个电容器都带有相等的电荷量 。每个电容器上的电压则为

01ln 22B A B R B

AB A R A R U E dl dr r R λλ

πεπε=?==??r r ()0

ln 2AB B A q L C U R R λλπε==02ln B A

L C R R πε=

()1212n n q q q q C C C U =++???+=++???+12n

C C C C =++???+图2-27

图2-28

, ,……… 这表明，电容器串联时，电压与电容成反比地分配在各电容器上。整个串联电容器组两

端的电压等于每一个电容器两极板上

电压之和，即

而整个电容器系统总电容 ，由此得出: 即电容器串联后，总电容的倒数是各电容器电容的倒数之和，总电容C 比每个电容器的电容都有小。例如两个电容相等的电容器串联后，总电容为每个电容器电容的一半，

分配在每一电容器上的电压也为总电压的一半，因此，这个串联电容器组的耐压能力为每一个电容器的两倍。

例题 1 ：试求平行板电容器的电容。设两板面积皆为 S ，板间距为d ，分别带电±q。 例题 2 : 试求球形电容器的电容。 (球形电容是由半径为RA 的导体球和半径为RB 的同心导体球壳组成。)

例题 3 :试求柱形电容器的电容。(柱形电容器是由半径分别为RA 和RB 较长的同轴圆柱组成的)

4. 练习作业

P80 2.3.2 2.3.4 2.3.6

§2.4 带电体系的静电能

一、教学内容

（1）带电体系的静电能 （2）带电导体组的静电能 （3）电容器的静电能 二、教学方式 讲授

三、讲授提纲 1．带电体系的静电能

在n 个带电体组成的体系中，每一个带电体均处于其余n-1个带电体的电场中，当该带电体移动时，场力要做功，说明电场具有能量。

(1) 互能——把各个带电体无限远离时电场力的功（或把各带电体从无穷远放到现在的位置时外力的功）。

(2) 自能——把一个带电体分成若干小块，每一小块无限远离时电场力的功（或把这个带电体每一小块从无限远位置放到现在的位置组成这个带电体系时外力的功。

11q U C =22q U C =n n

q U C =121

2111n n U U U U q C C C ??

=++???+=++???+ ?

??q C U =12

1111n C C C C =++???+

（3）静电能——互能与自能的总和 （4）点电荷体系的互能公式 ① 两个点电荷之间的相互作用能

设q 1不动，q 2在q 1的电场中无限远离，电场力的功为：

??∞∞===?=r r U q r q q dr r q q r d E q W 12202120

2

1121244πεπε??

设q 2不动，q 1在q 2的电场中无限远离，电场力的功为：

??

∞∞

===?=r r

U q r q q dr r q q r d E q W 21102120

21212144πεπε?? 可见：

)(2

1

1222112112U q U q W W +=

= ②三个点电荷时

)(2

1

)(21)(21133311233232122211312312123U q U q U q U q U q U q W W W W +++++=

++= )()()([21

231333212231211U U q U U q U U q +++++= )(21

332211U q U q U q ++=

∑==3

1

21i i i U q

③ n 个点电荷时

∑==n

i i i U q W 1

21

其中之处电势之叠加之外所有电荷在除为i i n

j ji i

i q q r q U ∑==

1041

πε (5) 对于连续电荷分布情况, 体系总能量为

???????====

L V S dL dS U dV U Udq W ησρ2

1212121 积分遍及电场存在的所有空间，U 是电荷体系的电势分布。上式中带电体系已被无限分割，不仅是互能，也包括了自能，是带电体系总的静电能。

(6) 点电荷在外场中的能量

一个点电荷q 在外场E ?

中受电力作用：)()(末初Q P →，电场力做功为

Q 1

2

r 图2-29

q 1

q 3

q 2

图2-30

W W W U U q l d E q A P Q Q P Q

P

?-=--=-=?=?)()(?

?场力

其中W ?为电势能的（形式）增量。即若电场力做正功，则体系电势能将减少。设场源不变，则此能量减少的去处——应转化为q 之动能的增加

)(Q P P Q U U q T T -=-

或

Q Q P P qU T qU T +=+

此式为电荷q 在外场中运动的能量守恒关系。其中动能

????

?

????-=--=)()(1)(2102

02

202

表示相对论总能高速，低速W W W c m c v c m mv T 若选定电势零点参考，则电荷q 在外场E ρ

中的电势能为

qU W =

注意：此处U 不含q 本身之贡献,W 也是电荷间的相互作用能,此式是计算点电荷系等相互作用能的基础。

2．带电导体组的静电能

(1) 一个带电导体（电荷分布在表面上，将导体表面分割成若干个小面元）

i i n

i U S W ?=∑=σ1

21 当：，S i 故有时成立0→?

qU dS U dS U W S S 2

1

2121===

????σσ q 是带电导体的电量，U 是该导体的电势（带电导体上所有电荷共同激发） 2．N 个带电导体

∑=

i i U q W 2

1

q i 是第i 个导体的电量，U i 是第i 个导体的电势，不仅是互能，也包含了自能，为总的静电能。

例1： 求半径为R 、带电量为Q 的导体球球外的静电能W 。

方法一：??=

==∞R Q dr r r Q dV E W R 022

22

002084)4(2121πεππεεε。 方法二：C

Q W 22

=，而R C 04πε=。

例2：如图2-17平行板电容器，板面积为S ，板间距为d ，两板分别带电Q ±。现以匀速将极板拉开，使其之间距离变为d 2，试求：

(1) 外力所做的功； (2) 两板间的相互作用力。

解：(1)电容器两极板相互吸引，匀速拉开板间距，外力将克服板间引力做正功，使电容器储能增加。现在利用电容器储能的增加来计算外力做功，分别记极板被拉开的前、后状态为1、2状态。

∵d

s

C 01ε=

，d

s

C 202ε=

∴d F d S

Q C Q C Q W W W A 外外==-=

-=?=02

122212222ε i S

Q F ρρ022ε=外

(2) 板间引力

i Q i S Q F F ρρρρ0

0222εσε-=-=-=外

也可以用Q E Q F ρ

ρ-=求解：

∵ i E Q ρ

ρ0

2εσ= ∴ i S

Q i Q F ρρρ02022εεσ-=-=。

[注] 这里i E Q ρρ0εσ≠，因为i ρ

εσ为两板间总场，包含（Q -）之贡献。必须指出，静电作用力不能“自举” ！

（三） 电容器储能

S

Q

Q

－外

F ?x

d

图2-31

静电场中的导体和电介质习题详解

习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r 和2r 的金属球壳。 设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为［ ］ （A ）200, 44Q Q E U r r εε= = ππ； （B ）01 0, 4Q E U r ε==π； （C ）00, 4Q E U r ε==π； （D ）020, 4Q E U r ε== π。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内0=E ；外球壳内、外表面分别带电为Q -和Q +，根据电势叠加原理得 00 0202 Q Q Q Q U r r r r εεεε-= + += 4π4π4π4π 2．半径为R 的金属球与地连接，在与球心O 相距2d R =处有一电量为q 的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷q '为［ ］ （A ）0； （B ）2 q ； （C ）2q -； （D ）q -。 答案：C 解：导体球接地，球心处电势为零，即000044q q U d R πεπε'=+ =（球面上所有感应电荷到 球心的距离相等，均为R ），由此解得2 R q q q d '=-=-。 3．如图，在一带电量为Q 的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为r ε，壳外是真空，则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A ）2 200,44r Q Q E D r r εεε= =ππ； （B ）22 ,44r Q Q E D r r ε==ππ； （C ）220,44Q Q E D r r ε==ππ； （D ）22 00,44Q Q E D r r εε==ππ。 答案：C

电磁场与电磁波第二章课后答案

第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律

介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量：

第八章 静电场中的导体和电介质

103 第八章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1．理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。 2．了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。 3．理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。 4．了解电场能量、电场能量密度的概念。 二、本章要点 1．导体静电平衡 导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等势面。 在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净电荷。 2．电位移矢量 在均匀各向同性介质中 E E D r εεε0== 介质中的高斯定理 ∑??=?i i s Q s d D 自 3．电容器的电容 U Q C ?= 电容器的能量 C Q W 2 21= 4．电场的能量 电场能量密度 D E w ?= 2 1 电场能量 ? = V wdV W 三、例题 8-1 下列叙述正确的有（Ｂ） （Ａ）若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。 （Ｂ）若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。

104 （Ｃ）若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。 （Ｄ）若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。 （Ｅ）若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。 解：选（B ）。由高斯定理??∑=?0/εi i q s d E ，由 ∑=?=00φq ，但场强则 不一定为零，如上题。 （C ）不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。 （D ）曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。 （E ）只要通过闭曲面电通量为0，面内就可能无电荷。 8-2 如图所示，一半径为Ｒ的导体薄球壳，带电量为-Ｑ1，在球壳的正上方距球心Ｏ距离为３Ｒ的Ｂ点放置一点电荷，带电量为＋Ｑ2。令∞处电势为零，则薄球壳上电荷-Ｑ1在球心处产生的电势等于___________，＋Ｑ2在球心处产生的电势等于__________，由叠加原理可得球心处的电势Ｕ0等于_____________；球壳上最高点Ａ处的电势为_______________。 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Ｑ1在O 点的电势为 R Q U 0114πε- = 点电荷Ｑ2在球心的电势为 R Q R Q U 02 0221234πεπε= ?= 所以，O 点的总电势为 R Q Q U U U 01 2210123ε-= += 由于整个导体球壳为等势体，则 0U U A =R Q Q 01 2123ε-= 8-3 两带电金属球，一个是半径为２Ｒ的中空球，一个是半径为Ｒ的实心球，两球心间距离ｒ（>>Ｒ），因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电势为Ｕ1，实心球电势为Ｕ2，则空心球所带电量Ｑ1=___________，实心球所带电Ｑ2=___________。若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为______________，两球电势为______________。 解：连接前，空心球电势R Q U 2401 1πε= ，所以带电量为

第二章有导体时的静电场(8学时)

第二章有导体时的静电场（8学时） 一、目的要求 1．深刻理解导体静电平衡的条件和特点； 2．了解导体平衡时的讨论方法； 3．掌握电容、电容器及电容的计算方法； 4．了解带电体系的静电能。 二、教学内容 1．静电场中的导体（2学时） 2．封闭金属壳内外的（2学时） 3．电容器及其电容（2学时） 4．带电体系的静电能（2学时） 三、本章思路 本章主要研究导体在静电场中的特性，其基本思路是：导体的电结构→ 静电平衡条件→静电场中导体的特性→静电场中导体特性的应用→电容、静电屏蔽、尖端放电。 四、重点难点 重点：导体静电平衡的特性 五、讲课提纲 §2.1 静电场中的导体 一、教学内容 （1）静电平衡 （2）带电受到的静电力 （3）孤立导体形状对电荷分布的影响 （4）导体静电平衡时的讨论方法 （5）平行板导体组举例 二、教学方式 讲授 三、讲授提纲 （一）导体的静电平衡 1．导体的特性 导体内存在着大量的自由电荷，它们在电场作用下可以移动。 中性导体：导体若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于正离子点阵 ρ； 间，从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度0 = 带电导体：净余电量不为零的导体；

孤立导体：距其它物体无限远的导体。 电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。 2．导体的静电平衡 （1）静电平衡的定义 导体中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随时间而变的状态。 （2）静电平衡条件 导体内部的场强处处为零。 即所有场源（包括分布在导体上的电荷）产生的电场在导体内部处处抵消，即0=i E ? 。 [反证] 若导体内某点场强不为零，则该点的自由电荷将在电场力的作用下作定向运动，导体便没有达到静电平衡，与定义矛盾。 （3）导体的静电感应 中性导体无外电场作用时，自由电荷只作微观热运动，无宏观电量的迁移，处于静电平衡。 当加上外电场0E ?（施感外场）时，0E ? 推动导体内的自由电荷作定向运动，引起自由电荷重新分布，在导体表面出现等量异号电荷，这种现象叫静电感应，导体表面上出现的电荷称感 应电荷。这些感应电荷产生的附加场'E ?在导体内与外场0E ?反向。当E '? <0 E ? 时，0≠E ρ，自 由电荷将继续运动，导体表面的感应电荷增多，E '? 增大，总有一个时候使得导体内部00='+=E E E ???（E '? 与0 E ?在导体内完全抵消）时，无净电力作用于电荷，则它停止定向运动，电荷重新分布过程结束——达到新的静电平衡。 可见：导体处在电场中达静电平衡时，导体上总有一定感应电荷分布，否则无E '? ； 导体上感应电荷产生的场与外电场的合场强在导体内处处为零，导体内不能有电场线穿越。 [示例]：导体球置于均匀外电场0 E ? 中。图2-1(a)为原问题，图2-1(b)为静电平衡时的情 形：导体内0 E ?与E '? 反方，至0 =内E ?止；导体外0 E ?与E '? 叠加，场发生畸变，成为E E E '+=???0。 (a) (b) 图2-1 （4）导体静电平衡时的性质 ① 导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。 ∵ 导体内处处0=E ? ， 设P 、Q 是导体上任意两点（包括表面） ∴ 导体上任两点电势差? =?=Q P PQ l d E U 0? ?，即 Q P U U = 。 ②静电平衡时，导体所带电荷只能分布在导体表面上

静电场的能量(精)

静电场的能量 静电场的能量 一个物体带了电是否就具有了静电能？为了回答这个问题，让我们把带电体的带电过程作下述理解：物体所带电量是由众多电荷元聚集而成的，原先这些电荷元处于彼此无限离散的状态，即它们处于彼此相距无限远的地方，使物体带电的过程就是外界把它们从无限远聚集到现在这个物体上来。在外界把众多电荷元由无限远离的状态聚集成一个带电体系的过程中，必须作功。根据功能原理，外界所作的总功必定等于带电体系电势能的增加。因为电势能本身的数值是相对的，是相对于电势能为零的某状态而言的。按照通常的规定，取众多电荷元处于彼此无限远离的状态的电势能为零，所以带电体系电势能的增加就是它所具有的电势能。于是我们就得到这样的结论：一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成该带电体系的过程中，外界所作的功。 那么带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还是由电荷激发的电场所携带？也就是，能量定域于电荷还是定域于电场？在静电学范围内我们无法回答这个问题，因为在一切静电现象中，静电场与静电荷是相互依存，无法分离的。随时间变化的电场和磁场形成电磁波，电磁波则可以脱离激发它的电荷和电流而独立传播并携带了能量。太阳光就是一种电磁波，它给大地带来了巨大的能量。这就是说，能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。 既然静电能是定域于电场的，那么我们就可以用场量来量度或表示它所具有的能量。 , 式中C是电容器的电容。电容器所带电量从零增大到Q的整个过程中，外力所作的总功为 . 外力所作的功A等于电容器这个带电体系的电势能的增加，所增加的这部分能量，储存在电容器极板之间的电场中，因为原先极板上无电荷，极板间无电场，所以极板间电场的能量，在数值上等于外力所作的功A，即 . (9-77) 若电容器带电量为Q时两极板间的电势差为U AB ，则平行板电容器极板间电场的能量还可以表示为

导体和电介中的静电场

二、导体和电介质中的静电场 一、 选择题： 1、在一静电场中，作一闭合曲面S ，若有??=?0s d D ??，（式中D ?为电位移矢量），则S 面内必定： A ：既无自由电荷，也无束缚电荷； B ：没有自由电荷； C ：自由电荷和束缚电荷的代数和为零； D ：自由电荷代数和为零。 [ ] 2、一带正电荷的物体M ，靠近一不带电的金属导体N ，N 的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷，若将N 的左端接地，如图所示，则 （A ） N 上的负电荷入地 （B ） N 上的正电荷入地 （C ） N 上的电荷不动 （D ） N 上所有电荷都入地 [ ] 3、在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面： （Ａ）高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强； （Ｂ）高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强； （Ｃ）由于电介质不对称分布，高斯定理不成立； （Ｄ）即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。 [ ] 4、有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电．若在它的下方放置一电量为q 的点电荷，则 (A)只有当q>0时，金属球才下移． (B)只有当q

第二章静电场题解

第二章 静电场 (注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑） 2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中 心处放置电荷量为Q 的点电荷。问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。 解 如图建立坐标系，可得 x x x x a Q a a q E e e e 2/12242122142 0220??+???? ???+=πεπε y y y y a Q a a q E e e e 2/12242122142 0220??+??? ? ???+=πεπε 据题设条件，令 022421=??? ??+??? ? ??+Q q ， 解得 () 2214 +-=q Q 2-2 有一长为2l ，电荷线密度为τ的直线电荷。 1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。 解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于x 轴上l ~l 3之间，则x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为 ()x x x e E -=2 04d d πετ，x x 04d d πετ?= 由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位 分别为 ()()()x l l x l l l x x e e E E -=-==??0320364d d 0πετ πετ ()3ln 44d d 0030 3l πετ πετ??===??l l l x x 2）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于y 轴 上l -~l 之间，则y 处的电荷微元在点()l 2,0处产生的电场强度和电位分别为 ()r r y e E -=2 04d d πετ，r y 04d d πετ?= 式中，θθ2cos d 2d l y =，θcos 2l r =，51 4sin 22=+=l l l α，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为 ()l l l r y l x x x x 0000020 054sin 4d cos 4cos 4d 2d 20,2πεταπετθθπετθπεταααe e e e E E =====???

第二章 静电场与导体

第二章 静电场与导体 一、判断题（正确划“∨”错误码划“?” ） 1、由公式 0εσ = E 知，导体表面任一点的场强正比于导体表面处的面电荷密度，因此该 点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。（ ）× 2、一导体处静电场中，静电平衡后导体上的感应电荷分布如图，根据电场线的性质，必有一部分电场线从导体上的正电荷发出，并终止在导体的负电荷上。（ ）× 3、一封闭的带电金属盒中，内表面有许多针尖，如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按曲率分布的规律，针尖附近的场强一定很大。（ ）× 4、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面上。（ ）√ 5、对于一个孤立带电导体，当达到静电平衡时，面电荷的相对分布与导体表面的曲率成正比。（ ）√ 6、一个接地的导体空腔，使外界电荷产生的场强不能进入腔内，也使内部电荷产生的场不进入腔外。（ ）×抵消 7、若电荷间的相互作用不满足平方反比律，导体的屏蔽效应仍然存在。（ ）× 8、用一个带电的导体小球与一个不带电的绝缘大导体球相接触，小球上的电荷会全部传到大球上去。（ ）× 9、带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带电过程中外力反抗电力作的功。（ ）√ 10、静电平衡时，某导体表面的电荷在该导体内部产生的场强处处必为零。（ ）× 11、两个带有同种电荷的金属球，一定相斥。（ ）× 12、真空中有一中性的导体球壳，在球中心处置一点电荷q ，则壳外距球心为r 处的场强为2 04r q E πε= ,当点电荷q 偏离中心时，则r 处的场强仍为2 04r q πε。（ ）√ 13、接地的导体腔，腔内、外导体的电荷分布，场强分布和电势分布都不影响。（ ）√ 14两个导体A 、B 构成的带电系的静电能为） （B B A A q q ?+?21，则式中的A A q ?21及 B B q ?21 分别表示A 和B 的自能。（ ）× 15、两个半径相同的金属球，其中一个是实心的，一个是空心的，通常空心球比实心球的电容大。（ ）× 二、选择题、

静电场中的导体和电介质复习(精)

第二章 供稿：group5&2 整理：徐阳 §1静电场中的导体 概念： 1.静电平衡：当自由电子不作宏观运动（没有电流）时的状态。 2．平衡条件：导体内部场强处处为0。（仅当导体内部不受除静电力以外其它力。例如一节电池，还必须有不为0的静电场力来抵消非静电力来达到平衡。3.静电屏蔽：无论封闭导体壳是否接地，壳内电荷不影响壳外电场；封闭导体壳接地时，壳外电荷不影响壳内电场（不接地时可能影响）。 公式： σ ε0（运用高斯定理） 1.导体表面附近场强： dFσ= 2.导体表面单位面积所受静电力：ds2ε0（运用公式1、叠加原理E= 及体内场强为0） 推论： 1.静电平衡时，导体是个等势体，处处电势相等，导体表面是个等位面；导体以外靠近表面地方场强方向垂直表面。 2．对于实心导体：净电荷只存在于外表面 对于内部有空腔导体：若空腔内无净电荷，； 若空腔有净电荷q，内表面感生出-q，其余净电荷只分布于外表面。 3．对于孤立导体：凸处（表面曲率为正且较大）电荷面密度较大，凹处（表面曲率为负且较小）电荷面密度较小。所以凸处易产生尖端放电， 应用： 1.避雷针。 2.为了避免输电过程中的电晕，导线要求光滑且半径较大。 3.库仑平方反比律的精确验证。 4.利用法拉第圆筒吸走带电体的净电荷。 5.范德格拉夫起电机：使导体电位不断升高，加速带电粒子。 §2 电容器 1概念： 电容：对于一个确定的孤立导体，电位U随着带电量Q的增加而成比例的增加，所以定义C=Q U.(注意：C和电容器自身属性有关，和Q、 U无关，这只是定义和度量方法)

2电容的计算方法： 1.定义：场强积分得出U，再根据 C=C=QU。（注意：这是最根本的方法！） 2.利用串并联关系：串联： 3常见电容： 1.平行板电容器：C=C1?C2C1+C2；并联：C=C1+C2 ε0S d 2.球形电容器：C=4πε0R（不过只有一极，实用价值不大） C= 3.同心球电容器：4πε0R1R24πε0R12ε0SC0≈=R2-R1（1)当R2-R1=d<

填空与选择(有导体存在时的静电场)

导体中的静电场 一．选择题： 1*．有一点电荷q 及金属球A ，且A 处于静电平衡状态。下列说法中正确的是 （ ） （A ）金属球A 内E = 0， 点电荷 q 不在金属球A 内产生电场； （B ）金属球A 内E ≠0， 点电荷 q 在金属球A 内产生电场； （C ）金属球A 内E = 0， 点电荷 q 在金属球A 内产生电场； （D ）金属球A 内E ≠0， 点电荷 q 不在金属球A 内产生电场。 2*．将一个带负电的物体M 靠近一个不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷， （ ） 右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则 （A ）N 上的负电荷入地； （B ）N 上的正电荷入地； （C ）N 上的所有电荷入地； （D ）N 上所有的感应电荷入地。 3*．孤立金属导体球带有电荷Q ，由于它不受外电场作用，则 （ ） （A ）孤立导体电荷均匀分布，导体内电场强度不为零； （B ）电荷只分布于导体球表面，导体内电场强度不为零； （C ）导体内电荷均匀分布，导体内电场强度为零； （D ）电荷分布于导体表面，导体内电场强度为零。 4*．当一个带电导体达到静电平衡时，下列说法中正确的是 （ ） （A ）表面上电荷面密度较大的地方电势较高； （B ）表面曲率半径较大的地方电势较高； （C ）导体内部的电势比表面的电势高； （D ）导体内任意一点与其表面处的电势差为零。 5． 如图所示，绝缘的带电导体上有a 、b 、c 三点，三点处的电荷密度 （ ） （A ）a 点最大； （B ）b 点最大； （C ）c 点最大； （D ）一样大。 二．填空题： 1*．如图所示，将一个电荷量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的 导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，设无穷远处为零电势， 则导体球球心O 点处的电场强度E = ；电势U = 。 2*．一孤立带电导体球，其表面附近处电场强度的方向 ；当将另一带电体 放在这个导体附近时，该导体球表面附近处电场强度的方向 。 3*．球状导体A 外罩一同心球壳B ，A 的带电量为＋Q ，B 不带电，达到静电平衡后球壳B 内表面上所带的电量为 ；外表面上所带的电量为 。 4*．点电荷 －q 向一不带电的孤立导体靠近，如图所示。则导体内的 场强 ，导体内的电势 （填升高、不变或降低）。 图中各点的电势 U a ′ U a U b U b ′（填 ＞，＜，= ）。 注：加“*”的为必做题！ －q a ′ ′ 题3图 a M + － N

电磁场与电磁波第二章课后答案

第二章静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分 形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方 程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特 性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。 通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三 种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、 各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密 度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静 电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量 不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常 电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可 以从简。 重要公式 真空中静电场方程： q E d SE d l 0积分形式： Sl EE 0微分形式： 已知电荷分布求解电场强度： 1(r ) 1，E (r )(r )；(r )d V 4|rr| V 0 2， E (r ) V 4 (r 0 )( | r r r r ) 3 | d V q E d S 3， 高斯定律 S

1

介质中静电场方程： E d l0 积分形式：D d S q S l 微分形式：DE0 线性均匀各向同性介质中静电场方程： q E d SE d l0积分形式： S l 微分形式：EE0 静电场边界条件： 1，E1t E2t。对于两种各向同性的线性介质，则 D 1tD t 2 12 2，D2n D1ns。在两种介质形成的边界上，则 D 1 2n nD 对于两种各向同性的线性介质，则 E 2n 1 12 nE 3，介质与导体的边界条件： e n E0；e n DS 若导体周围是各向同性的线性介质，则 S S E； n n 静电场的能量：

静电场与导体

第二章静电场与导体 教学目的要求： 1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。 2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。 3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。 4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。 教学重点： 1、静电场中的导体 2、电容和电容器 教学难点： 1、静电场的唯一定理 §2.1 静电场中的导体 §2.2 电容和电容器 §2.3 静电场的能量 §2.1 静电场中的导体 1、导体的特征功函数 （1）金属导体的特征 金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。 ①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。 ②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。 ③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。 （2）功函数 金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。 一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。 2、导体的静电平衡条件 （1）什么是静电感应？ 当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。 （2）静电平衡状态 当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。 （3）静电平衡条件 所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。 静电平衡时： ①导体是等势体。 ②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。 ③导体表面是一个等势面，且与导体内部的电势相等。 3、导体上的电荷分布

第二章 静电场

第二章 静电场 习题2.1 真空中有一密度为2πnC/m 的无限长电荷沿y 轴放置，另有密度分别为0.1nC/m 2和-0.1nC/m 2 的无限大带电平面分别位于z =3m 和z =-4m 处。求点 P （1,7,2）的电场强度E 。 z=-4 x y z z=3 τ O 图2.1 题意分析： 题目中给出了3 个不同类型电荷的位置与大小，计算空间中一点的电场强度E 。可 以先分别计算每个电荷在场点产生的电场强度，然后采用叠加原理得出总的场强。考虑平面电荷与直线电荷的电场共同产生电场，选用用直角坐标系进行计算比较合适，如图2.1所示，对圆柱坐标系中计算出的直线电荷电场，需要转换成直角坐标下的形式，再进行矢量叠加求总电场。 解： （1）计算无限大平板在P 点产生的电场强度 在计算无限大平板在P 点产生的电场强度时，建立图2.1所示的直角坐标系，则位 于z =3m 处的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度1σE 为： Z e E 0 21.01εσ-= （1） 位于z =-4m 的无穷大带电平板在P 点产生的电场强度为： Z e E 0 21.02εσ-= （2）

因此，2个无穷大带电板在P 点产生的合成场强1E 为： Z e E 11.0ε-= （3） （2）计算无穷长直电荷产生的电场强度 对于圆柱坐标系中位于z 轴上的长直电荷产生的电场强度至于场点的ρ坐标有关，其电场强度的表达式为： ρ ρ πετ e E 02- = z=-4 x y z z=3 τ O z' ρ O' 图2.2 因此图2.2中所示在沿y 轴放置的无穷长线电荷产生的电场2E 为： ρ ρ πετ e E 022- = 式中 2 2 x z ρ= + z x e z x z e z x x e 2 2 2 2 ++ += ρ ∴ () z x z x e z e x z x e z x z e z x x z x E ++=???? ??++ ++= 2 2 02 22 2 220 21 1 122επεπ 所以，P 点(1,7,2)的电场强度E 为:

静电场中的导体和电介质

第六章 静电场中的导体和电介质 将一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内激发的电场是否等于零静电屏蔽的效应是如何体现的 答：带电体单独在导体空腔内激发的电场不为零。静电屏弊效应体现在带电体的存在使导体腔上的电荷重新分布（自由电子重新分布），从而使得导体空腔内的总电场为零。 将一个带正电的导体 A 移近一个接地的导体 B 时，导体 B 是否维持零电势其上面是否带电 答：导体B 维持零电势，其上带负电。 在同一条电场线上的任意两点 a 、b ，其场强大小分别为a E 及b E ，电势分别为a V 和b V ，则以下结论正确的是： (1 ) b a E E =； (2 ) b a E E ≠； (3) b a V V = ； (4) b a V V ≠ 。 答：同一条电场线上的两点，电场强度可以相同，也可以不同，但沿着电场线电势降低，所以选（4）。 电容器串、并联后的等值电容如何决定在什么情况下宜用串联什么情况下宜用并联 解：串： ∑=i i c c 1 1 并：∑=i i c c 当手头的电容器的电容值比所需要的电容值小，宜用并联。当手头的电容器的耐压值比所需要的大，宜采用电容器串联。 两根长度相同的铜导线和铝导线，它们两端加有相等的电压．问铜线中的场强与铝线中的场强之比是多少铜线中的电流密度与铝线中的电流密度之比是多少（已知 m 1082m,104487?Ω?=ρ?Ω?=ρ--..铝铜） 答：电压V 相同和导线长度l 相同，则电场强度E 相同； 由 ρ σE E j = = 得：1107 10 4410827 8=??=ρρ= ? ρ=ρ--..铜 铝铝 铜铝铝铜铜j j j j

第2章 有导体时的静电场

第二章有导体时的静电场 （一）要求 1、掌握导体静电平衡的条件，了解导体表面的电荷分布，掌握平行板导体组场强及电势的计算 2、掌握空腔内有电荷以及没有电荷时的电场特点，静电屏蔽效应。 3、了解孤立导体的电容，掌握电容器的电容及电容器的串、并联。 4、了解带电体系的静电能及电容器的静电能 5、演示实验： （1）静电平衡的实验 （2）静电屏蔽的实验 （二）要点 l、静电平衡 （1）静电平衡 （2）导体静电平衡问题的讨论方法 （3）平行板导体组的场强和电势问题 2、封闭金属壳内外的静电场 （1）壳内空间的场 （2）壳外空间的场 3、电容器及其电容 （1）孤立导体的电容 （2）电容器及其电容 （3）电容器及其联接 4、带电体系的静电能 （1）带电体系的静电能 （2）电容器的静电能

（三）难点 1、静电平衡条件和电学性质 2、静电屏蔽 3、电容计算和电容储能。 第二章导体周围的静电场 §2-1 导体的静电平衡条件 一、静电平衡 1、静电感应 金属导体有大量自由电子作无规则的热运动。 导体内的电荷因外电场的作用而重新分布的现象叫静电感应。由于静电感应而出现的电荷叫感应电荷。 导体B上有感应电荷 2、静电平衡 导体上的感应电荷和整个空间的电场都达到稳定分布的状态叫静电平衡。 静电平衡的必要条件是：其内部场强处处为零。如果有非静电力，则必要条件改为导体内部可以移动的电荷所受的一切力的合力为零。但本章不讨论有非

静电力的情况。 静电平衡时有如下性质 1：导体是等势体，导体的表面是等势面。 设在导体内取任意两点A 和B ，则它们之间的电位差为 ??=-=B A B A AB l d E V V U 因为在静电平衡条件下，其内部场强处处为零，所以A 和B 两点电势相等：0=AB U 。 2：在静电平衡时，导体内部无净电荷，电荷只分布在导体的表面上。 证明：反证法，设导体内有 一未被抵消的净电荷0q ， 00 0≠=??εq S d E S 于是S 面上的E 不能处处为零，与静电平衡条件矛盾。 3：导体表面的场强分布 静电平衡时，导体周围场强分布的特点是：导体表面附近的场强方向处处于表面垂直，大小于该处导 体表面的电荷面密度成正比，关系式为00 n E εσ= 设导体表面外附近空间有一点P 处的场强为E ， 该点附近表面上的电荷面密度为σ。过P 作一圆柱面为高斯面，通过高斯面的电通量为

工程电磁场第二章静电场二精品文档8页

第2章 静电场(二) 2.1 静电场的唯一性定理及其应用 静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。 静电场求解方法： (1) 直接由电场强度公式计算； (2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。 唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。 2.1.1 唯一性定理 静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。 2.1.2 导体边界时，边界条件的分类 (1) 自然边界条件：有限值参考点=∞ →?r r lim (相当于指定电位参考点的值) (2) 边界衔接条件：σ?ε?ε??=??-??=n n 221121 (该条件主要用于求解区域内部) (3) 导体表面边界条件 (a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。 该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。 S n ??-=?εσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。 思考？ 为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。 2.1.3 静电场唯一性定理的意义 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据

电磁场与电磁波第二章课后答案

第二章 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导岀微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导岀真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳岀根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结岀计算能量的三种方法，指岀电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： q 积分形式：：i E d S E d I = 0 S - - I % 微分形式：'' E= —V E =O 已知电荷分布求解电场强度： 1，E (r )--''?(r); φ( r) -[ . (IdV 4 叭J I r —r | 2， r P(r )( r E (r) LV 4πε0 | r ^r)d" 3 -r I 3，r q E d S = S；0 高斯定律 介质中静电场方程： 静电场

积分形式：■. D d S =q =S E ■ l d I= 0 微分形式：? D=-V X E= 0线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： q E d S =- ■2 S ε I E d I= 0 微分形式：V E =V X E= 0静电场边界条件： 1,E1t =E2t。对于两种各向同性的线性介质，贝U D 1t D 2t ∑1 2,D2n-D1n = I。在两种介质形成的边界上，则 Dm = D2n 对于两种各向同性的线性介质，则 ；疋仆_ ；2E2n 3,介质与导体的边界条件： e n E =O ；e n D = \ 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ;:n 静电场的能量：

静电场中的导体

静电场中的导体 2.1 填空题 2.1.1 一带正电小球移近不带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带负电小球移近不 带电导体时，小球将受到（ ）力作用；一带正电小球靠近不带电的接地导体时，小球将受到（ ）力作用。 2.1.2 在一个带正电的大导体附近P 点放置一个点电荷q(电荷q 不是足够小)，实际测得它的受力为F ，如果q>0, 则F/q 与P 点场强E 0关系为（ ），如果q<0, 则F/q 与P 点场强关系为( ) 2.1.3 导体在静电场中达到静电平衡的条件是（ ）和（ ）。 2.1.4 导体处于静电平衡状态时，导体内部电荷体密度（ ），电荷只能分布在（ ）。 2.1.5 导体处于静电平衡状态时，导体是（ ）体，表面是（ ）面。 2.1.6 接地导体的电势等于（ ），地球与（ ）等电势。 2.1.7 一导体球壳，内外半径分别为R 1和R 2，带电q ，球壳内还有一点电荷q ，则导体球壳的电势是（ ）。 2.1.8 一点电荷q 放在一接地的无限大导电平面附近，则导电平面上的总电量为（ ）。 2.1.9 将一个点电荷+q 移近一个不带电的导体B 时，则导体B 的电势将（ ）。 2.1.10 一封闭导体壳C 内有一些分别带q 1、q 2…的带电体，导体壳C 外也有一些分别带Q 1、Q 2…的带电体，则q 1、q 2…的大小对导体壳C 外的电场强度（ ）影响，对C 外的电势（ ）影响；Q 1、Q 2…的大小对导体壳C 内的电场强度（ ）影响，对C 内的电势（ ）影响。 2.1.11 两个同心导体球壳A 、B ，若内球B 上带电q ，则电荷在其表面上的分布呈（ ）分布；当从外边把另一带电体移近这两个同心球时，则内球B 上的分布呈（ ）分布。 2.1.12 两导体球半径分别为r A 和r B ，A 球带电q ，B 球不带电，现用一细导线连接，则分布在两球上的电荷之比Q A ∶Q B （ ）。 2.1.13 在带等量异号电荷的二平行板间的均匀电场中，一个电子由静止自负极板释放，经t 时间抵达相隔d 的正极板，则两极板间的电场为（ ），电子撞击正极板的动能为（ ）。 2.1.14 中性导体空腔的腔内、腔外分别有一个点电荷q 和Q ，均与导体空腔不接触，则导体空腔内、外表面的电量分别为（ ）和（ ）。 2.1.15 当空腔内有带电体时，导体空腔内表面带电，它所带电荷与腔内带电体所带电荷（ ）。 2.1.16 金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球心O 点的电势为（ ）。 2.1.17 两个同心导体球，内球带电1Q ，外球带电2Q ，则，外球内表面电量为（ ）；外球外表面电量为（ ）。 2.1.18 两个同心导体球，内球带电1Q ，外球带电2Q ，若将外球接地，外球内表面电量为（ ）；

第二章静电场

第二章 静电场 重点和难点 本章的重点是，静电场方程、边界条件和介质的电特性等。主要讲解如何由积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 对于介质的电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。 介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程在边界上不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容一节可以从简。 题 解 2-1 若真空中相距为d 的两个电荷q 1及q 2的电量分别为q 及4q ，当点电荷q '位于q 1及q 2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q '的大小及位置。 解 要使系统处于平衡状态，点电荷q '受到点电荷q 1及q 2的力应该大小相等，方向相反，即q q q q F F ''=21。那么，由 122122 010224π4πq q q q r r r r εε'' =?=，同时考虑到d r r =+21，求得

d r d r 3 2 ,3121== 可见点电荷q '可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷1q 相距 d 3 1 。 2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为 ) 0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。 解 令321,,r r r 分别为三个 点电荷的位置321,,P P P 至P 点的距离，则21=r ，32=r ， 23=r 。 利用点电荷的场强公式2 04πr q r ε= E e ，式中r e 为点电 荷q 指向场点P 的单位矢量。那么，1q 在P 点的场强大小为112 01014π8πq E r εε= =，方向 为)1r y z =+e e e ；2q 在P 点的场强大小为222 020 1 4π12πq E r εε= =，方向 为)2r x y z =++e e e e ；3q 在P 点的场强大小为 332 030 14π4πq E r εε= =，方向为3r y =-e e 。P 点的合成电场强度为 1230 1 1 π4x y z ε=++???=- +++????E E E E e e E