第五章概率论初步
前言：概率论是研究随机现象的统计规律的一门重要的数学科。
在实际中，我们经常会遇到两类现象：
（一）随机事件随机现象
1.必然现象与
1.）必然现象——在一定的条件下，必然会发生的现象。例：上抛物体必然
会下
落；同性相斥，异性相吸；在标准大气压下，把水加热到100C ，水必然会沸腾，等等，在自然界中我们常见的物理、化学、电磁等现象，就是属于这类必然现象。
2）随机现象——在一定的条件下，可能会发生，也可能不发生的现象。
抛掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面；
检验一批产品，其中含有3个次品，每次抽取5个产品进行检验，抽取到的5个产品中可能含有的次品数为：0，1，2，3；
下周某天的天气预报：可能是睛，下雨，阴；
在金融市场中，预估下周的上证指数是在]
[b
a区间内；
,
在电讯服务业中，电话总机在某一时刻接到的呼唤次数是：0，1，2，…，100，…；
像这类现象，在日常生活中随处可见，我们称为随机现象。
计规律的方法。
2.随机试验
这里的随机试验一般是泛指对某种现象或事物进行观察或测试。例在前面曾经提到的随机现象：
1.观察抛掷一枚硬币出现正面、或者是出现反面；
2. 检验一批产品，观察其中所含的次品数；
3. 预报下周某天的天气；
4.在金融资本市场中，预估下周的上证指数运行的区间范围；
1.在电讯服务业中，观察电话总机在某一时刻接到的呼唤次数等等，都称为
作随机
试验。
这种试验与普通的物理，化学试验不同的地方是它具有三个特点：
（1）试验可以重复进行；
（2）试验的结果不止一个；
（3）在试验前，不能确定究竟会出现哪一种结果，我们把这种试验称为随机试验，简称为试验。
3.随机事件与样本空间
1.定义：随机试验的各种可能结果称为随机事件，简称为事件。一般常用大写的英文字母:
,
A,
,等等来表示。
C
B
D
2.随机事件的分类
（1）基本事件——在随机试验中，发生的每一个可能的试验结果。
例：掷一枚均匀的骰子，每一面出现的可能点数1，2，3，4，5，6就是一个基本事件。
（2）复合事件——由两个以上的基本事件组所成的事件。
例：在上例中，出现的点数为偶数2，4，6为复合事件。
（3）必然事件——每次试验都会出现的事件，一般记为Ω。
例：出现的点数是1到6中的某一个。
（4）不可能事件——在随机试验中，不可能发生的事件，一般记为Φ。
例：出现7点的事件。
（5）样本空间——基本事件的全体，记为Ω。
例掷一枚均匀的骰子，其样本空间Ω={}6,5,4,3,2,1。
（二）事件的关系及其运算
1.包含关系（或称为子集）——如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件B包含了事件A，记为B
A?。
2.等价关系——如果事件B
A?，则称事件A与事件B是
A?，同时事件B
等价的，记为B
A=。
事件的运算；
1.和事件——若“事件A与B和中，至少有一个事件发生”则事件必然发生，
则称
事件为A与B的和事件，记为B
A+）。
A?（或B
2.积事件——若“事件A与B同时发生”，则事件必然发生，则称事件为A与
A?，或AB。
B的积事件，记为B
3.差事件——若“事件A发生，而事件B不发生”，称事件为A与B的差事件，记为B
A-（或B
A）。
4.互斥事件——若“事件A 与B 不能同时发生的事件”， 则称事件为A 与B 为互斥事件，记为Φ=?B A ，或Φ=AB 。
5.对立事件——若“事件A 与B 不能同时发生的事件，但必须有一个发生，即满足Ω=?Φ=?B A B A ,”， 则称事件为A 与B 为对立事件，一般记为A B =。 1.完备事件组——如果事件n A A A ,,,21 满足两两互斥，且其和事件又为必
然事件，即Ω
=≠Φ
=∑=n
i i j i A j i A A 1
,，则称n A A A ,,,21 为一个完备事件组。
下面用文氏图来说明事件之间的关系及其运算
1.包含关系 2和事件 3积事件
(三)事件的运算的规律
1.分配律 C B A D B C A ??=???)()(；
2.对偶律 （摩根律）B
A A
B B
A B A ?==?..；
3.吸收律 若B A ?，则B B A A AB =?=,；
4.蕴涵律 若,φ=AB 则A B B A ??,；
5.差积转换律 AB A B A B A -==-。
（四）事件的运算与集合运算之间的关系
§2概率的定义及计算
一、事件的频率
1．定义：设事件A 在n 次试验中发生了A n 次，称比值n
n A 为事件A 发生的
频率，记为n
n A f A n =
)(。
2．频率的性质：
1）对任意事件A ，有1)(0≤≤A f n ； 2） 1)(=ΩP ；
3）若A 与B 为两两互斥事件，则有),()()(B P A P B A P +=
推广 若n A A A ,,21为两两互斥事件，则∑===
n
i i n
i i A P A P 1
1
)()( 。
4）当试验的次数n 不断增加时，频率稳定于某个常数p ，称常数p 为事件A 发生的概率——这就是概率的统计定义。
例 投掷一枚硬币，当次数不断增加时，出现正面的频率稳定于常数
1
。
设Ω为样本空间，若对样本空间中的每一个基本事件A ，总有某个实数)(A P 与之对应，且实数)(A P 满足下列三个条件：
（1）
,
1)(0≤≤A P （2） 1)(=ΩP ， （3）若
,,,,21n A A A ，
两两互斥，
则有∑∞
=∞
==
1
1
)()(i i i i A P A P ，则称实数)(A P 为事件A 的概率。
三、概率的性质 1．0)(=φP ；
证：因0)()()()()(,=∴Ω=+Ω=Ω∴=ΩΩ=ΩφφφφφφP P P P P 。
2．,,,,21n A A A 为两两互斥，则有∑===
n
i i n
i i A P A P 1
1
)()( ；
3．设A 为任意事件，则有)(1)(A P A P -=；
证：因为,1)()()(,=+=∴=Ω=A P A P A A P A A A A φ 所以 )(1)(A P A P -=。
4．若事件A B ?,则有)()(,)()()(A P B P A P B P A B P ≥-=-； 证：因为 )()()()(),(A B P A P B P A B A A B A B -+=∴=--=φ 所以 )()(0)()()(A P B P A P B P A B P ≥∴≥-=-。
5．设B A ,为两个任意事件，则有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 证：因为AB B AB B A B A B A B A ?-=--=,)( ， 所以 )()()()()()()(AB P B P A P B A P AB P B P A B P -+=∴-=- 。
推广 若 n A A A ,,,21 为n 个任意事件，
则)()
1()()()()(1
1
111
1
∏∑∑∑=-≤<<≤≤<≤==-+++
-=
n
i i n n
k j i k j i n
j i j i n
i i n
i i A P A A A P A A P A P A P 。
例 三个事件C B A ,, )()()()()()(AC P AB P C P B P A P C B A P --++= -)()(ABC P BC P +。
例 某人想外出旅游两天，据天气预报。第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概
率为0.3，两天都下雨的概率为0.1。试求下列事件的概率： （1）第一天下雨而第二天不下雨的概率； （2）第一天不下雨而第二天下雨的概率； （3）至少有一天下雨的概率； （4）两天都不下雨的概率；
（5）至少有一天不下雨的概率。
解 设)
2,1(=i A i 表示第i 天下雨的事件，由题义有
1.0)(,3.0)(,6.0)(2121===A A P A P A P 。
（1） 设B 表示第一天下雨而第二天不下雨的事件，则由 ,2112121A A A A A A A B -=-==又因事件211A A A ?，所以
5.01.0
6.0)()()()()(21121121=-=-=-=-=A A P A P A A A P A A P B P ； （2）设C 表示第一天不下雨而第二天下雨的事件，则有
21212A A A A A C -=-= ，所以2.01.03.0)()()(212=-=-=A A P A P C P ； （3）设D 表示至少有一天下雨的事件，则由21A A D = 可得8.01.03.06.0)()()()(2121=-+=-+=A A P A P A P D P ； （4）设E 为两天都不下雨的事件，则由2121A A A A E ==
2
.08.01)(1)()(2121=-=-==A A P A A P E P ；
（5）设F 表示至少有一天不下雨的事件，则有 9.01.01)(1)()(2121=-=-==A A P A A P F P 。
三、概率的计算公式
1.古典概型——如果试验具有1）发生的基本事件数是有限的；2）每个基本事件的
发生是等可能的，则称这种试验为古典概型。
计算公式 基本事件总数
的基本事件数
有利于A n k A P =
=
)(。
举例 （一）随机摸球问题（随机抽取产品问题） 1.在袋中奘有2个白球，4个黑球，现连续地不返回地取两次球，每次一个，试求
下列事件的概率：1）两个都是白球；2）其中有一个是白球；3）至少有一个是白球。
解 设事件A 是取到两个白球事件，B 是取到两个球中有一个是白取事件，C 至少
有一个是白球的事件。
1） 21A A A = 151
.651.2)()(1
5
1
1161
221==?==C C C C A A P A P ； 2) 1111A B B A B +=,)()()(1111A B P B A P B P +=,
P(B)=158
3083081
5
1
2161
4151
4161
2=+=?+?C C C C C C C C 3）---C C 的对立事件，即取得的两个球都是黑球事件。
53
301211)(1)(1)(,1
5
1
316142121=-=?-=-=-==C C C C B B P C P C P B B C （二）分房问题（抽签、生日、匹配等问题）
例 将n 个人等可能地分配到N 个房间中的每一个房间中去。)(n N ≥，试求下列事件的概率：
1）某指定的房间中各有一人； 2）恰有n 间房各有一人；
3）某指定的房间中恰有m 个人。
解 设C B A ,,分别为某指定的房间中各有一人，恰有n 间房各有一人，某指定的房间中恰有m 个人的事件。基本事件总数为n N ，
1）有利于事件A 的基本事件数是!12)1(n n n =?- ，所以 n
N
n A P !)(=
；
2）有利于事件B 的基本事件数是
!n C n N
?所以n n
N N
n C B P !)(?=；
3）有利于事件C 的基本事件数是
m
n m n
N
C -?，所以n
m
n m
n N
N
C C P -?=
)(。
（三）随机取数问题
例 从1，2，3，4，5个数字中等可能地，不放回地连续抽取3个数字，试求下列事件的概率：
1）三个数字完全不同；（设为事件A ）
2）三个数字完全中不含有1和5；（设为事件B ） 3）三个数字中5恰好出现两次；（设为事件C ） 4）三个数字中5至少出现1次。（设为事件D ）。
解 基本事件总数为35，
1） 有利于事件A 的基本事件数为35A ， 则 ;25
12125
3.455
)(33
5=
?=
=
A A P
2）有利于事件B 的基本事件数为 在5个数字中，把1和5拿掉，用2，3，4组成三个数字，其方法有33，所以
216,05
3)(3
3==
B P ；
3）有利于事件C 的基本事件数为 ：在5个数字中5恰好出现两次的方法有
14
23C C ?，所以096.0125
125
)(3
1
4
23==
?=
C C C P ；
4）D 的对立事件是---D 三个数字中5不出现，512.05
4)(3
3==
D P ，则，
488
.0512.01)(1)(=-=-=D P D P
习题 一 7，9，12，15，17。
§3条件概率
一、条件概率
例 大家去买福利彩票，每100张中必有一张可中500元，每张彩票的价格为10元，某人经销这种彩票，当然，大家都知道中奖概率是100
1
，但经销者已
经售出连号的彩票90张，无人中奖，经销者会去买这余下的这10张福利彩票，显然，他只要付100元，就可得一张500元的彩票，净得400元。这就是说，在他知道前面90张都没有中奖的条件下，在余下的这10张福利彩票中，其中奖的概率是
10
1，远远大于原先的
100
1。
从这个例子可以看出，有时，事件A 的发生会影响事件B 发生的概论。在上面的例子中，我们假设事件A 是已经售出连号的彩票90张，无人中奖的事件，
而事件B 是91号至100号中的某张彩票中奖的事件，由等可能性知，
10
1)(=B P ，
这是在已知事件A 的发生的条件下，事件B 发生的概论，我们称为条件概率，记为)(A B P 。
定义 设Ω为样本空间，B A ,为任意两个随机事件，当0)(>A P 时，称 )
()()(A P AB P A
B P =
为在事件A 的发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
例 掷一颗骰子两次，问：在第一次出现点数6的条件下，“两次掷得点数
之和大于8”的概率有多大？
解 记y x ,为第一次和第二次掷得的点数，{6,,2,1),( ==Ωx y x ，
}6,2,1 =y ，Ω中具有3666=?个元素，已知6=x 的条件下，可能的结果为（6，
1）（6，2）（6，3） （6，4）（6，5）（6，6）这6个样本点。而使两次掷得点数之和大于8的样本点为
（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）这4个，因此，所求概率为
3
264=。
当然，也可以用定义求解：记A 表示“第一次掷给点数6”，B 表示“两次掷给点数之和大于8”，{})6,6)(5,6)(4,6)(3,6(,6
1)(==
AB A P ，所以，
3
2
646
1364
)(,364
)(====
A B P AB P 。
二 乘法公式
由条件概率公式当)()()()
()()(,0)(A
B
P A P AB P A P AB P A
B P A P =?=
>，同样，
当0)(>B P 时，由)
()()(B P AB P B A P =可推出)()()(B A P B P AB P =，称以上公式为
乘法公式。
定义 设B A ,为两个任意事件，若,0)(,0)(>>B P A P 则称
)()()()()(B
A P
B P A
B P A P AB P ==为事件B A ,的积事件公式（乘法公式）。
推广 若n A A A ,,,21 为n 个事件，则有
)
(
)(
)()()(1
212
13
1
2121-=n n
n A A A A P A A A P A A
P A P A A A P 。
例 一批产品共有10件，其中有3件次品，每次从这批产品中无放回地抽取一件进行检查，求第三次才查到正品的概率。
解 设).3,2,1(,=i A i 为第i 次才取到正品的事件，i A 表示第i 次取到次品的事件。第三次才取到正品的事件为1A 32A A ，由乘法公式有 058.012078792103)()(()(1
8
1
71912110
1
3
213121321===??=
=C C C C C C A A A P A A P A P A A A P 。 第三次才查到正品的概率为0。058。
三、全概率公式
为计算复杂事件的概率，常常需要将复杂事件分解成一些互不相容的简单事件之和，分别计算出简单事件的概率，再利用概率的可加性计算出复杂事件的概率。
例 某商店出售来自甲、乙两个工厂的产品，其中，甲厂的产品占%70，乙厂的产品占%30，它们的合格率分别为0.9和0.85。某顾客从该商店购买了一件产品，求他买到了合格品的概率。
解 设顾客买到了合格品的事件为A ，而这件产品可能是甲厂的产品，用B 来表示，也可能是乙厂的产品用B 来表示，则B A AB A ?=因为φ=?B A AB ，所以
),()()(B A P AB P A P += 由乘法公式，则
885.0225.063.085.03.09.07.0)()()()()(=+=?+?=+=B A P B P B A P B P A P 。 将上述解题方法推广到一般情况就有了全概率公式。
定理 设n B B B ,,21是一组两两互不相容的完备事件组，即它们满足
n
i n
i n
i i n
i i i AB AB AB AB A B A B n i B P ???==?
Ω==>===
211
1
1
,,,,,2,1,0)(
且n AB AB AB ,,,21 是一组两两互不相容的事件，由概率的有限可加性可得
∑∑=====
=n
i i i n
i i n
i i B A P B P AB P AB P A P 1
1
1
)()()()()( 。
称这个公式为全概率公式。 例 书上的例7。
四、贝叶斯公式
在顾客购买产品的例子只，假如我们问，他买到的一件产品是次品，可能是哪一家工厂生产的？我们会通过分析，比较两个工厂的次品率来作出判断，这就要用到贝叶斯公式。
分析 若设A ——表示他买到一件产品是次品，,,21B B 是甲厂，乙厂生产的产品，)()()(21B A P B A P A P +=————顾客购买到次品的 概率， 而 115.0885,01)(1)(=-=-=A P A P 而 )()
()()
()()(1111A P B A P B P A P B A P A B P =
=
,6087.0115
.07.01.0=?=
.3913.0115
.03.015.0)
()
()()(222=?=
=
A P
B A P B P A B P
显然，我们会得出结论是他买到的次品是甲厂生产的可能性大一些。
贝叶斯公式 设n B B B ,,21是一组两两互不相容的完备事件组，即它们满足
n n
i i i B n i B P ,,,,2,1,0)(1
Ω==>= j i AB AB j i ≠=?,φ，则
∑==
=
n
i i i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P 1
)
()()
()()
()()(。
例 习题一中的第29题。
习题一 23，25，28，30。
§4 随机事件的独立性与贝努里概型 一、事件的独立性的定义 1.两个事件的独立性
若事件A 的发生，不影响事件B 发生的概率，称事件A 与事件B 相互独立。例如连
续地有放回地摸两次球，则第一次摸到什么球，并不影响第二次摸到白球或是黑球的概率。设事件A 是第一次摸到白球，事件B 是第二次摸到白球，则 )(6
2)(,62)(16
12
B P
C C A B
P A P ==
=
=
，即
)
()()()()
()()(B P A P AB P B P A P AB P A
B P =?==
1）定义 若事件B A ,有0)(,0)(>>B P A P 且 满足
)()()(B P A P AB P =，
则称事件A 与事件B 是相互独立。简称B A ,独立。 2）事件独立性的性质
01 如果事件A 与事件B 相互独立的充要条件是),()(A P B
A P =或
)()(B P A
B
P =；
02 若事件A 与事件B 独立，则其对立事件B A B A B A 与与与,,也是相互独立 的。例若事件A 与事件B 独立，证明A 与B 也是相互独立。
因为)](1)[()()()()()()()(A P B P B P A P B P AB P B P A B P B A P -=-=-=-= =)()(B P A P ，所以)()()(B P A P B A P =，因此，A 与B 是相互独立。
推论1：若n 个事件n A A A ,,,21 ，满足n C C C n
n n n n --=++1232 个等式，
即
),()()()(),()()(k j i k j i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A A P ==
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P =，则称这n 个事件n A A A ,,,21 是相互独立的。
注意：两两独立，并不等于相互独立。
推论2 ：若n A A A ,,,21 为n 个任意事件，则它们的和事件公式
∏===-=-=-=???
? ??-=????
??n i i n n n i i n i i A P A P A P A P A A A P A P A P 1212111)(1)()()(1)(11 当n =3时，)()()(1)(C P B P A P C B A P -=??。
例1 Pg 50，39题 设C B A ,,表示三个人能译出的事件，D 是密码能破译的事件。
则)()()(1)(1)(1)(,C P B P A P C B A P D P D P C B A D -=-=-=??=
5
35214
332541)411)(311)(511(1)](1)][(1)][(1[1=-
=-
=-
-
-
-=----C P B P A P 。
已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，且他们是否含有肝炎病
毒是相互独立的，今混合100个人的血清，试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率。
解 设事件i A 表示“第i 个人的血清中含有肝炎病毒”，而“混合后的血清中含有肝炎病毒”等价与“这100个人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”，即事件“10021A A A ??? ”，则
))(1())(1))((1(1)(1002110021A P A P A P A A A P ----=??? =
33
.0)
004.01(1100
=--。
现在，我们知道对100个人的血清作检验，用老方法要检验101次的可能性为0.33，而只需要检验一次的可能性为1-0.33=0.67。实际上，我们可以将100个人分成10人一组，对每一组只要检验一次，如果没有发现血清中含有肝炎病毒，则不必再对每个人进行检验，若发现血清中含有肝炎病，再对每个人进行检验。
一、贝努里概型
1.贝努里试验 ：若在每次试验中，仅有两种结果，即A A 与，并且A 发生的概率为p A P =)(，A 发生的概率为10,1)(≤≤=-=p q p A P ，则称这种试验为贝努里试验。将这种试验重复独立地进行n 次，称这种试验为n 重贝努里试验。
例
（1） 购买一张彩票，要么中奖，要么不中奖，仅有两种结果，购买了n 张彩票，就是作了n 次贝努里试验；
（2） 参加一次考试，可能你通过，也可能你没有通过，也是两种结果； （3） 抽取一件产品，可能是正品，也可能是次品； （4） 作一次试验，可能成功，也可能失败。
在实际问题中，这类现象到处可见，求这类问题的概率，就可以用贝努里概型来计算。
2．计算公式
设在n 次重复试验中，每次事件A 发生的概率为,p 即,)(p A P =而不发生的概率为q A P =)(，在n 次试验中，事件A 恰好发生了k 的概率为
n k q P C k P k
n k k n n ,,2,1,0,)( ==-。
例1 一批产品中有20%的次品。进行重复抽样检查，共取五件样品。计算这五件样品中恰好有三件次品、至多有三件次品的概率。
解 设是i A 五件样品中恰好有i 件次品，)3,2,1,0(=i ，2.0,5==p n ， 1）五件样品中恰好有三件次品的事件是3A 。由公式可得
;0512.0)7.0()2.0()(2
353==i C A P
2）至多有三件次品的概率是
=+++=???)()()()()(32103210A P A P A P A P A A A A P
2
3
3
53
2
2
54
1
55
5555)8.0()2.0()8.0()2.0()8.0)(2.0()8.0()3()2()1()0(C C C P P P P +++=+++
=0.3277+0.4096+0.2048+0.0512=0.9933。
例2 一份试卷上有6道选择题，每题给出4个可能的答案，而其中只有一个答案是正确的，求某考生随机地作选择而至少答对2题的概率。
解 在每题有4个可能的答案，而其中只有一个答案是正确的，所以，每题能答对的概率为41
，而答错的概率是
4
3，共有6个题目，可看成是作了6次贝努
里试验，其中，4
3,4
1,6=
=
=q p n ，“至少答对2题的事件”的对立事件是“至多
答对1题”，因此，所求概率为466.0)4
3)(4
1
()4
3()41
(1)(5
16
6006≈--=C C A P
第一章小测试 一、选择题 1.设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 不全发生可表示为（ ） A. ABC B. ABC C. C B A D. C B A 2.设事件A 和B 互为对立事件，则下列各式不成立的是（ ） A. ()0P AB = B. ()0P AB = C. ()1P A B = D.()1P B A = 3.将一枚均匀硬币抛掷3次，则至少有2次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 18 B. 38 C. 12 D. 58 4.盒内有6个产品，其中正品4个次品2个，不放回地一个一个往外取产品，则第二次才取到次品的概率与第二次取产品时取到次品的概率分别为（ ） A. 41153， B. 441515， C. 1133 ， D. 14315， 5.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.5P A =，()0.4P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 6.对于任意事件A,B,若A B ?,则下列各等式不成立的是（ ） A. B B A = B. φ=B -A C. B B A = D. φ=B A 7.设A,B 为任意两个概率不为0的互斥事件，则下列结论中一定正确的是（ ） A. ()()P A B P A = B. ()()()P A B P A P B -=- C. ()()()P AB P A P B = D.()()P A B P A -= 8.将一枚均匀硬币抛掷3次，则恰有一次出现币值面朝上的概率是（ ） A. 38 B. 18 C. 58 D. 12 9. 已知在10只电子元件中，有2只是次品，从其中取两次，每次随机地取一只，作不放回抽取，则第二次取出的是次品的概率是（ ） A. 145 B. 15 C. 1645 D. 845 10.设两个事件A 和B 相互独立，且()0.6P A =，()0.3P B =， 则()P A B 的值是（ ） A. 0.3 B. 0.7 C. 0.72 D. 0.9 11.事件A 、B 、C 中恰有一个事件发生的事件是（ ） A ．ABC B ． C AB C ．C B A D ．C B A C B A C B A ++ 12．设A 和B 是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ）
概率论第六章习题解答 1、在总体2 (52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率。 解 因为2(52,6.3)N ，所以 {50.853.8}P X P <<=<< 10.87.2 ( )()6.3 6.3 -=Φ-Φ(1.71)( 1.14)=Φ-Φ- 0.956410.87290.8293=-+= 2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X < 解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5114 (12,)55 i i X X N ==∑: 所求概率为 {|12|1}1{|12|1}P X P X ->=--≤ 1{1121}P X =--≤-≤ 1X P =-≤≤ 1( ()22 =-Φ+Φ- 22(1.12)=-Φ2(10.8686)0.2628=-= （2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 123451{15,15,15,15,15}P X X X X X =-≤≤≤≤≤ 51 1{15}i i P X ==- ≤∏5 1121512 1{ }22 i i X P =--=-≤∏ 5 1((1.5))=-Φ5 1(0.9332)0.2923=-=. （3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <
《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） A ，B ，C 都不发生。 （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？
第六章 数理统计习题 一、填空题 1.若n ξξξ,,,21Λ是取自正态总体),(2 σμN 的样本，则∑==n i i n 1 1ξξ服从分布 )n ,(N 2 σμ 2. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,) x x x L 和 129(,,,) y y y L 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量 129 222129 ~U y y y =+++L (9)t . 3. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X L 与1216 ,,,Y Y Y L 分别 为X 与Y 的一个简单随机样本, 则22 2 129222 1216X X X Y Y Y ++++++L L 服从的分布为 (9,16).F 二、选择题 1、设总体ξ服从正态分布，其中μ已知，σ未知，321,,ξξξ是取自总体ξ的 个样本，则非统计量是( D ). A 、)(3 1321ξξξ++ B 、μξξ221++ C 、),,m ax (321ξξξ D 、 )(1 2322212 ξξξσ++ 2、设)2,1(~2 N ξ，n ξξξK ,,21为ξ的样本，则( C ). 221N n ξ?? ???:， A 、 )1,0(~2 1N -ξ B 、)1.0(~41 N -ξ C 、)1,0(~/21N n -ξ D 、 )1,0(~/21 N n -ξ 3、设n ξξξΛ,,21是总体)1,0(~N ξ的样本，S ,ξ分别是样本的均值和样本标准差， 则有( C ) A 、)1,0(~N n ξ B 、)1,0(~N ξ C 、 ∑=n i i n x 1 22)(~ξ D 、)1(~/-n t S ξ 三、计算题 1、在总体)2,30(~2N X 中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X 在 29到31之间取值的概率.
附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理 1.加法原理：分类计数。 2.乘法原理：分步计数。 二、排列组合 1.排列数（与顺序有关）： )(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---=Λ !n A n n =，n A A n n ==10,1 如：25203456757=????=A ，12012345!5=????= 2.组合数(与顺序无关)： !m A C m n m n =，m n n m n C C -= 如：3512344567!447 4 7 =??????==A C ，211 2672757757=??===-C C C 3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=??=A ____种取法。 （2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没 有重复的3位数，共有___483442 414 =??=A A ____种取法。 （3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=????=A _种排法。 （4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有 _48)1234()12(4422=?????=A A ___种排法。 （5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。 （6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3个， 取到2个白球1个红球的方法有___1 325C C ____种。
38876 56321 C ??= =?? 第一章、基础知识小结 一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含 设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ?。 2.和事件 事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A Y 或B A +。 性质：（1）B A B B A A Y Y ?? , ； （2）若B A ?，则B B A =Y 3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A I 或AB 。 性质：（1）,AB A AB B ??； （2）若B A ?，则A AB = 4.差事件：事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件，记作()A B AB -。 性质：（1）A B A ?-； （2）若B A ?，则φ=-B A 5.互不相容事件：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB Φ=，则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件，简称A 与B 互不相容（或互斥）。 6.对立事件：称事件A 不发生为事件A 的对立事件，记作A 。 性质：（1）A A =； （2）Ω==Ωφφ,； （3）AB A B A B A -==- 设事件A,B ，若AB=Φ,A+B=?,则称A 与B 相互对立.记作 。
第六章 样本及抽样分布 1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。 解： 8293 .0)7 8( )7 12( } 6 3.68.16 3.6526 3.62.1{}8.538.50{),36 3.6, 52(~2 =-Φ-Φ=< -< - =<
《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。
3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率
第十五章 概率论初步 一、等可能事件概率 如果一个试验共有N 种等可能出现的结果，而且其中任意两个结果都不可能同时出现，则称这个试验为等可能试验。如果这个试验共有N 种可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有k 种，那么事件A 的概率N k P = 二、和事件、积事件的概率（理） 事件A 与事件B 至少有一个出现叫做事件A 和事件B 的和事件。 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 事件A 与事件B 同时出现叫做事件A 和事件B 的积事件。)(B A P ?或)(AB P 。 三、互斥事件、独立事件、对立事件（理） 1、互斥事件 不可能同时出现的两个事件叫做互不相容事件或互斥事件。 )()()(B P A P B A P +=?即0)(=AB P 2、 独立事件 如果事件A 出现和事件B 出现互相之间没有影响，那么称事件A 和事件B 相互独立。 )()()(B P A P AB P ?= 3、对立事件 事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。1)()(=+B P A P ， )()(B P A P =。 四、离散型随机变量的分布列、期望与方差（理） 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. *③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，…，i x ，…n x ，ξ取每一个值i x （=i 1，2，…n ）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.
2008-2009年度第二学期概率论与数理统计测试题 1．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问： ⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？(5分) ⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？(5分) 2. 设随机变量X 服从区间)6,1(上的均匀分布，求一元二次方程012=++t X t 有实根的概率；(10分) 3．设X 与Y 是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布(0,1)U 。试求 Z X Y =-的分布函数与概率密度函数；(10分) 4．设X 的密度函数为),(,21)(∞+-∞∈=-x e x f x ① 求X 的数学期望EX 和方差DX ；(10分) ② 求X 与X 的协方差和相关系数，并讨论X 与X 是否相关？(10分) ③ 问X 与X 是否相互独立？说明理由。(10分) 5. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是`一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。求收入至少400元的概率；(10分) 6．设总体X 的概率密度为(1)01()0x x f x θ θ?+<<=??其它，其中1θ>-是未知参数，12,,,n X X X 为一个样本，试求参数θ的矩估计量和最大似然估计量。 7．已知X 的概率分辨为 21012320.132i X p a a a a a -- ，试求： （1）常数a ；(2分) （2）21Y X =-的概率分布。(5分)
习题六 1．设总体X 的概率密度为(1)01(;)0x x f x θ θθ?+<<=? ?其它 ，其中1θ>-， 12,,X X ,n X 为来自总体X 的样本，求参数θ的矩估计量。 解：总体的一阶原点矩为2 1 )1();()(1 11++= +===??++∞ ∞ -θθθθθdx x dx x xf X E v ，而样本的一阶原点矩为X X n A n i i ==∑=1 11，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶 原点矩，即有 X =++21θθ，由此得θ的矩估计量为.112?X X --=θ 3．设总体~(0,)X U θ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本观测值为： 0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6 试求参数θ的矩估计值。 解：总体的一阶原点矩为2 )(1θ = =X E v ，而样本的一阶原点矩为 X X n A n i i ==∑=111，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有X =2θ， 由此得θ的矩估计量为X 2?=θ ，其矩估计值为 68.2)6.10.25.18.02.12.27.16.03.15.0(10 1 22?=+++++++++?==x θ 6．设12,,,n x x x 为来自总体X 的一组样本观测值， 求下列总体概率密度中θ的最大似然估计值。 （1）101(;)0 x x f x θθθ-?<<=??其它（0θ>）； （2）10 (;)0x x e x f x α αθθαθ--?>?=? ?? 其它 （α已知）； （3）?? ? ??≤>=-000);(2 2 22x x e x x f x θθθ
1 第60讲 概率论初步 教学目标：1、理解各项概念； 2、概率问题计算； 3、频率?经验概率． 教学重点难点：概率问题如何具体问题具体分析． 一、问题引入 骰子6面6个数，投掷一次出现1朝上的可能性是16 ，各种结果情况的可能性不是对任意数量总体均匀按照16 比例出现的，而是当试验次数达到一定数量后体现出来的一种结果分布数量规律． 概率论：研究试验中随机现象、随机事件出现的数量规律． 二、教学过程 1、基本事件：一次实验可能出现的结果．（实验随机出现的结果） 基本事件是试验中必然会出现的结果． 2、古典概型：经典概率模型 ①一次试验所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等，地位等价． 3、随机事件：随机事件由基本事件构成（0个or 若干个or 全部个）． 随机事件可能发生，可能一定会发生，也可能一定不会发生． 常将随机事件记为：事件A 、事件B ，等等． 4、用集合语言：1w ，2w ，3w ，，n w 表示所有的基本事件，将由所有基本事件构成的集合记作 {}123,,,n w w w w Ω=，则可以看作Ω—全集，A —子集，n w —元素． 5、古典概型中，随机事件A 出现的概率定义为 6、我们把试验后必定会出现的事件叫做必然事件（随机事件含有全部基本事件），记作Ω； 把不可能出现的事件叫做不可能事件（随机事件不含有任何基本事件），记作?． 特点：①不可能事件的概率为零，即()0P ?=； ②必然事件的概率为1，即()1P Ω=； ③对任意随机事件E ，有()01P E ≤≤； ④若{}123,,,n w w w w Ω=，则()()()121n P w P w P w +++=． 例1、掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率： （1）出现5点； （2）出现奇数点； （3）出现的点数大于4； （4）出现7点； （5）出现的点数小于7． 例2、掷两颗骰子得到两个数的点数差为2的概率？ 例3、一个罐子里有同样大小、同样重量的20个玻璃球，其中4个是红色的，6个是黑色的，10个是无色的，经充分混合后，求下列事件的概率：
第一章测试 1 【单选题】(10分) 设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}，则事件=()。 A. {1,2,5,6,7,9,10} B. {1,2,5,6,7,8,9,10} C. {1,2,4,5,6,7,8,9,10} D. {1,2,3,5,6,7,8,9,10} 2 【单选题】(10分) 同时掷3枚均匀的硬币，恰好有两枚正面向上的概率为()。 A. 0.325 B. 0.125 C. 0.375 D. 0.25
3 【单选题】(10分) 假设任意的随机事件A与B，则下列一定有（）。 A. B. C. D. 4 【单选题】(10分) 设A，B为任意两个事件，则下式成立的为()。 A. B. C.
D. 5 【单选题】(10分) 设则＝（）。 A. 0.48 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.30 6 【单选题】(10分) 设A与B互不相容，则结论肯定正确的是()。 A. B.
C. D. 与互不相容 7 【单选题】(10分) 已知随机事件A,B满足条件，且，则（）。 A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.6 8 【单选题】(10分)
若事件相互独立，且，则()。 A. 0.665 B. 0.875 C. 0.775 D. 0.95 9 【单选题】(5分) A. B. C. D.
10 【判断题】(5分) 不可能事件的概率一定为0。（） A. 对 B. 错 11 【判断题】(5分) A. 错 B. 对 12 【判断题】(5分) 贝叶斯公式计算的是非条件概率。（）
概率论第六章习题解答 1、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率。 解 因为2(52,6.3)N ，所以 3.8 52 {50.853{}6.336 P X << = 10.87.2 ( )()6.3 6.3 -=Φ-Φ(1.71)( 1.14)=Φ-Φ- 0.956410.87290.8293=-+= 2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X < 解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5114 (12,)55 i i X X N ==∑ 所求概率为 {|12|1}1{|12|1}P X P X ->=--≤ 1{1121}P X =--≤-≤ 1P =-≤≤ 1( ()22 =-Φ+Φ- 22(1.12)=-Φ2(10.8686)0.2628=-= （2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 123451{15,15,15,15,15}P X X X X X =-≤≤≤≤≤ 51 1{15}i i P X ==- ≤∏5 1 121512 1{ }22 i i X P =--=-≤∏ 51((1.5))=-Φ5 1(0.9332)0.2923=-=. （3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <
第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆
第十四章 概率论初步 第一节 事件与概率 一、随机事件和样本空间 在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180o。另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。 对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行； （2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果; （3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。 随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。 例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数 解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i = 其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。 例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {} i i 取出球的号码为= 则}1021{、、、Λ=Ω 称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。 如在例2中， A={} 取出球的标号为奇数 因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即 φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。 我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下： （1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包
第六章 统计量与抽样分布 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解：易知的X 期望为μ，方差为2n σ ，则 ()0,1X N μσ-近似地 ， 所以，( ) (0.10.10.909X P X P μσ μσσ? ? - ? -<=<≈Φ= ? ? ??? 。 2、解 （1）由题意得： 2 2 2 2211111()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n σμ==??=+=+=+ ???∑∑ ()2211111111 ()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n σμ==?=?==+∑∑ （2）1X X -服从正态分布，其中： 1()0E X X -=，22 1122111()( )()()n n n D X X D X D X n n n σ----=+= 从而 2 11~(0,)n X X N n σ-- 由于 ~(0,1)i X N μ σ -，1,2, i n =，且相互独立，因此： () ()2 22 1 ~n i i X n μχσ=-∑ ~(0,1)X N μ -，所以( ) ()2 22 ~1n X μ χσ- 由于 ()2 22 (1)~1n S n χσ--，所以 () () ()2 2 2 2 22 (1)/~1,1(1) n X n X n S F n n S μ μ σσ---=-- （3）由于 () 2 /2 2 1 ~(/2)n i i X n μχσ =-∑ ，以及 () 2 2 1/2 ~(/2)n i i n X n μχσ =+-∑ ，因此有：
第一章 概率论的基本概念 §1.1 -1.2 一、选择题 1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ ） A 、甲种产品滞销，乙种产品畅销 B 、甲乙两种产品均畅销 C 、甲种产品滞销 D 、甲种产品滞销或乙种产品畅销 2．设必然事件123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=其中(1,2,3,4,5,6)i i ω=是基本事件，事件 1235{,,,}A ωωωω=，24{,}B ωω=，123{,,}C ωωω=，则下列选项正确的是（ ） A 、A B ? B 、B A = C 、A C -与B C -互斥 D 、A C -与B 逆 二、填空题 1．同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的电数之和，则样本空间Ω= ． 2．上题中，设事件A 表示“点数之和为偶数”，事件B 表示“点数之和大于7” 事件C 表示“点数之和为小于5的偶数”，则A B ?= ，A B -= ， AB = ，A B C ??= 。 三、设事件A 、B 、C 分别表示某运动员参加的三个项目，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）该运动员只参加A 项目，不参加B 、C 项目； （2）该运动员参加A 、B 两项目，不参加C 项目； （3）该运动员参加全部三个项目； （4）该运动员三个项目都不参加； （5）该运动员仅参加一项； （6）该运动员至少参加一项； （7）该运动员至多参加一项； （8）该运动员至少参加两项．
§1.3 一、从5双不同的鞋中任取4只，求其中恰有一双配对以及其中至少有两只配对的概率． 二、将n只球随机地放入() N N n ≥个盒子中去，试求每个盒子最多有一只球的概率． 三、随机的向由 1 01, 2 y x <<<所围成的正方形内掷一点，点落在该正方形内任何 区域的概率与区域面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于3 4 π的概率． 四、将三个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最多个数分别为1,2,3的概率．
概率论习题解答文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
概率论第六章习题解答 1、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在与之间的概率。 解 因为2(52,6.3)N ，所以 2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X < 解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5 1 14(12,)55 i i X X N ==∑ 所求概率为 （2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 51((1.5))=-Φ51(0.9332)0.2923=-=. （3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X < 3、求总体(20,3)N 的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值不超过的概率。 解 设容量为10的样本均值为X ，样本容量为15的样本均值为Y ， 则 3 (20, )10 X ，3 (20, )15 Y ，331()(0, )(0,)10152 X Y N N -+= 4、（1）设126,,,X X X 样本是来自总体(0,1)N ， 22123456()()Y X X X X X X =+++++， 试确定常数C ，使CY 服从2χ分布。 （2）设125,, ,X X X 来自总体(0,1)N 样本，121 22 22345 () () C X X Y X X X += ++，试确定常数 C 使Y 服从t 分布。
习题六解答 1. 设X 求出：以下随机变量的分布律。（1）2+X ；（2）1+-X ；（3）2X 。 解 由X 由此表可定出 （1）2+X （2）1+-X （3）2X 的分布律为 其中() ()()24 682242=+=-=+===X P X P X P 。 2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量=Y , 1,1;1,0>≤X X 若若试 求随机变量Y 的分布律。 解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布，因此 (),,2,1,0,! !11 1 ====--k k e e k k X P k 而 ()()()()11 12! 1!01010---=+==+==≤==e e e X P X P X P Y P ；
()()()1211111--=≤-=>==e X P X P Y P 。 即Y 的分布律为 3. 设X 的密度函数为()=x f , 0,2x , ;10其他< 第一章测试题 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.21 8．设A ，B 是两个随机事件，且0 附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理 1.加法原理：分类计数。 2.乘法原理：分步计数。 二、排列组合 1.排列数（与顺序有关）： )(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---= !n A n n =，n A A n n ==10,1 如：25203456757=????=A ，12012345!5=????= 2.组合数(与顺序无关)： !m A C m n m n =，m n n m n C C -= 如：3512344567!447 4 7 =??????==A C ，211 2672757757=??===-C C C 3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=??=A ____种取法。 （2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一 个没有重复的3位数，共有___483442 414 =??=A A ____种取法。 （3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=????=A _种排 法。 （4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有_48)1234()12(4422=?????=A A ___种排法。 （5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。 （6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3 个，取到2个白球1个红球的方法有___1 325C C ____种。 3 8876 56321 C ??= =?? 第一章、基础知识小结 一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含 设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ?。 2.和事件 事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A 或B A +。 性质：（1）B A B B A A ?? , ； （2）若B A ?，则B B A = 3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A 或AB 。 性质：（1）,AB A AB B ??； （2）若B A ?，则A AB = 4.差事件：事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件，记作()A B AB -。 性质：（1）A B A ?-； （2）若B A ?，则φ=-B A 5.互不相容事件：若事件A 与事件B 不能同时发生，即 AB Φ=，则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件，简称A 与B 互不相容（或互斥）。 6.对立事件：称事件A 不发生为事件A 的对立事件，记作A 。(精选)概率论与数理统计第一章
《概率论与数理统计》第一章知识小结
相关主题
文本预览