2004年 下学期高中数学概率学初步
第二节 等可能性事件的概率
重点难点：
本节的重点是正确理解等可能性事件概率的定义，能比较正确地计算等可能性事件的概率；难点是根据问题的试验方式选取合适的基本事件空间；解题的关键是确定基本事件出现的等可能性及相关随机事件包含的基本事件个数.
1、等可能性事件的概率：在概率论中，又称为古典概率.它要求所研究的问题必须具有如下两个基本特征：（1）随机试验下基本事件空间的元素只有有限个；（2）每次试验中各个基本事件出现的可能性相同.
宏观上讲，等可能性事件概率的计算步骤为：
（1）以基本事件出现的等可能性为基础构建基本事件空间；
（2）求出基本事件空间中的基本事件总数n ；
（3）确定事件A 所包含的基本事件数m ；
（4）代入公式
)
()()(I Card A Card A n m A p ===试验中基本事件总数包含的基本事件数事件 进行计算.
特别值得注意的是：基本事件出现的等可能性必须努力从试验背景所蕴藏的“均匀性、对称性”等方面进行确定，它是解题正确性的重要保证.
2、等可能性事件概率的计算方法：一是直接确定基本事件空间的基本事件总数n 和事件A 包含的基本事件数m ，然后根据公式计算；二是斟酌题设情形，先按前法求出有关事件的概率，然后运用概率的基本性质，间接地算出p （A ）.通常，前者称为直接法，后者则称为间接法.
无论是直接法，还是间接法，解题的关键都在于确定n 和m 的数值.一般来说，当基本事件总数较少时，可用直接法将基本事件空间和事件A 包含的基本事件一一列举出来，以确定n 和m ；当基本事件总数较多或难于直接列举时，可利用排列、组合等数学知识，通过相应地计算以确定n 和m.
思路方法：
例1、一袋中装有大小相同的a 个黑球和b 个白球，从中逐一将它
们取出，求第k 次取出的球恰为黑球的概率（1≤k ≤a+b ）.
剖析：本题旨在训练运用公式求相关事件的概率；难点在于构建
与“第k 次取出的球恰为黑球“这一事件相对应的基本事件与基本事件空间；解题的关键在于对第k 次取出的球恰为黑球的认识和处理.题设将袋中球逐一取出，应理解为依次取出，每次一个，全部取完为止，其中第k 次取出黑球仅是逐一取球中的某一次.因此，若以全部取出球
的先后顺序为基础，将球按同色球有无区别对待，构建基本事件空间，
不难发现可获得两种解法；而从前k 次取球为独立的一段及每次取球
对球的机会均等性两方面考虑构建基本事件空间，则又可获得两种解
法.
解法一：设事件A=“第k 次取出的球恰为黑球”，将袋中每个球
均视为有区别，依次对球进行编号，不妨黑球为1，2，?，a 号；白球为a+1，a+2，?，a+b 号.以全部取得球确定的编号顺序为一基本事件，则其基本事件总数相当于a+b 个数的
全排列即(a+b)！；而事件A 包含的基本事件数为a(a+b-1)!.因此 b
a a
b a b a a A p +=+-+=)!()!1()(. 解法二：视同色球间无区别，则此时相当于将a+b 个“格子”分
成两类.基本事件可看成a+b 个格子中有a 个为黑球所占居，其中a 个位置是任意的，从而
基本事件总数为a b a C +，
事件A 则可认为在a+b 个格子中除第k 个位置必放一个黑球外，其余在余下的a+b-1个格子中有任意的a-1个位置放黑球，因此事件A 包含的基本事件数为11--+a b a C .于是 b
a a C C A p a
b a a b a +==+--+11)(. 解法三：由于题设关心的是第k 次取出的球恰为黑球，因此只需
考虑前k 次的取球，而无需考虑后面a+b-k 次的取球.对于前k 次又可将依次从a+b 个球任
取k 个放在k 个位置作为一基本事件，此时基本事件总数为k b a A +；而事件A 包含的基本事
件数则为11--+k b a aA .于是
b a a A aA A p k b a k b a +==+--+11)( . 解法四：由于每一个球都有同样的可能性被第k 次取到，而只有
当a 个黑球之一出现时才有事件A 发生.因此，以第k 次取得的效果为基本事件，此时基本事件总数为a+b ，而事件A 包含的基本事件数为a.于是 b
a a A p +=)( . 迁移点拨：本题给出的四种解法，分别来自于基本事件及基本事
件空间的不同构建，这一点需要读者在学习过程中努力掌握.构建了恰当且比较简洁的基本事件空间，能很快且准确地确定对应事件的概率.
本题的结果亦表明，取得黑球的概率与取球的先后顺序无关，这
个结论与我们日常生活中的经验是一致的.例如：体育比赛中进行的
抽签对各队的机会均等，与抽签的先后次序无关.
例2、从5双不同尺码的鞋子中任取4只，求4只鞋子中至少有2
只配成一双的概率.
剖析：本题旨在训练用直接法和间接法求“4只鞋子中至少有2
只配成一双”的概率；难点在于配成“一双”的认识和处理；解题的关键在于对“至少”的处理.
解法一：设事件A 为“4只鞋子中至少有2只配成一双”.显然，
基本事件总数为从10只鞋子中任取4只的组合数即n= 210410=C .
将事件A 理解为“恰好配成一双”与“恰好配成二双”的和事件，此
时事件A 包含的基本事件数为 1302512122415=+=C C C C C m .
于是 21
13)(==n m A p .
解法二：设事件A 为“4只鞋子中至少有2只配成一双”，则其对
立事件__
A 为“4只鞋子中没有2只配成一双”.显然，基本事件总数为 n=
210410=C . 而__
A 包含的基本事件数理解为“先从5双中取出4双，然后在每一
双中取出一只”构成的组合数即 801212121245==C C C C C m . 所以 21
821080)(__
==A p 于是 2113)(1)(__=-=A p A p . 例3、一袋中装有大小相同的a 个白球和b 个黑球，
（1）从中任取m+n 个球（m 、n ∈N ，m ≤a ，n ≤b ），试求所取出的球恰有m 个白球和n 个黑球的概率；
（2）从中依次无放回地取出3球，求3球依次为“黑白黑”的概率；
（3）从中依次无放回地将球取出，直至留在袋中的球均为同一种颜色为止，求最后留在袋中均为白球的概率.
剖析：本题旨在针对不同的取球方式，构建恰当的基本事件空间，
熟练地计算m 、n 和相关事件的概率；难点在于对取球方式的分类处理，
明确其对应的基本事件；解题的关键在于分清取球的先后次序，合理
运用排列、组合方法确定对应事件包含的基本事件数.
解：（1）设事件A 为“取得的m+n 个球中恰有m 个白球和n 个黑
球”.由题意，取出的m+n 个球的一个组合为一个基本事件 此时基本事件总数为n m b a C ++.事件
A 包含的基本事件数则相当于从a 个白球中取出m 个白球与b 个黑球中取出n 个黑球的组合数即 n b m
a C C .于是 n m b
a n
b m a C C C A p ++=)( . （2）设事件B 为“取出的3球依次为黑白黑”.则以取出的3球的一个排列为基本事
件，其基本事件总数为3b a A +；而事件B 包含的基本事件数相当于第一、三位置为黑球，第
二位置为白球的排列数即21b a A A .于是 )2)(1)(()1()(321-+-++-==+b a b a b a b ab A A A B p b
a b a . （3）设事件C 为“袋中留下的均为白球”.此时事件C 相当于“取出b 个黑球，i 个白球（i=0,1,2,?,a-1）”的和事件，它与事件“第a+b 次取出白球“为等价事件.于是由例1可得 b
a a C p +=)(. 迁移点拨：本题（3）亦可用下节的互斥事件有一个发生的概率加
法公式进行计算，此处就避而不谈了.
例1、例2、例3是概率论中的理想化模型，只需将球、鞋子换为
产品中的正（次）品，扑克牌中的红桃、黑桃，自然数中的奇数与偶
数等对象，就可于获得许多不同形式的问题.因此次类问题在概率论
中也常称为摸球问题或抽签问题.下面略举几例，供读者类比研究：
（1）、一批灯泡100只，其中有3只坏的，现从中任取5只检查.
求：①5只都是好的的概率；②5只中有2只坏的的概率.
（2）、在分别标有2，5，6，7，12的5张相同卡片中，任意取出
2张，求：①所得两数构成可约分数的概率；②所得两数之和为偶数的概率.
（3）、一个班级有2n 个男生和2n 个女生，将全班学生任意分成人数相等的两组，求每
组中男女生人数相等的概率.
例4、将球一个接一个随机地放入n 个格子中，并指定其中一个格子；当这个指定格子空着时，放球就继续，否则放球就停止，求在第k 次球放到此格子里的概率.
剖析：本题旨在用直接法求事件的概率；难点是前k-1次放球的随
机性；解题的关键在于第k 次后放球停止即只放了k 个球.
解：因为每个球随机地放入每一个格子且只放了k 个球，所以基
本事件总数为n k .又当第k 次球被放入指定格子时，前k-1 次球可在其余n-1个格子中任意
放置，因此事件A=“第k 次把球放入指定格子中”
所包含的基本事件数为(n-1)k-1.于是 k k n n A p 1
)1()(--=
迁移点拨：本题只注重于放球与不放球这一行为，相当于等待问
题，无须考虑球与球之间的差别.类似的问题有：
一个人有n 把钥匙，其中只有一把能打开某扇门.由于该人事先
不知哪一把能打开门，所以他随机地用这些钥匙去试开，试完后又放
回，求该人恰好第k 次把门打开的概率.
例5、现有n 个球，每个都能以同样的概率N
1落入N 个格子（N ≥n ）的每一个格子中，试求下列事件的概率：
（1） A=“某指定的n 个格子中各有一个球”；
（2） B=“恰有n 个格子，其中各有一球”；
（3） C=“某指定格子中恰有m （m ≤n ）个球”.
剖析：本题旨在进一步熟练用直接法求事件的概率；解题的难点
与关键在于挖掘“每个球均以同样概率落入每一个格子中”的含义：即每球落入任意一个格子是等可能的，此时每球有N 种不同的去向.
解：因为n 个球中的每一个球均以同样的概率落入每一个格子，
所以基本事件总数为N n .
（1） n 个球落入n 个事先指定的格子中，相当于n 个球的全排列即事件A 包含的基
本事件数为n n A .
于是 n
n n n N n N A A p !)(== .
（2） 对于事件B ：n 个格子可自N 个格子中任意选取，有n N C 种选法，从而事件B 包
含的基本事件数为!n C n N ? .
于是 n n n N N
N N n C B p !!)(=?= . （3） 事件C 中的m 个球，可从n 个球中任意选取，有m n C 种选法，其余的n-m 个球
可以任意落入另外N-1个格子中去，有m n N --)1(
种去向.因此事件C 包含的基本事件数为m n m n N C --)1(.于是 m n m m n n m n m n N
N C N N C C p ---=-=)11()1()1()( . 迁移点拨：由结论（3）可知，当n 和N 固定时，p （C ）随m 的
变化而变化.若记p （C ）=P m ，由二项式定理有 1)11()1(
00=-=-==∑∑m n m n m m n n m m N
N C P 此等式的概率意义是显二易见的：因为对于某个指定格子而言，落入
格子中的球数不外是0，1，2，?，n ，但这n+1种情形的和事件应为
必然事件，所以其概率亦为1.
N 个球落入N 个格子，是又一种理想意义下的概率模型，常常称
为“入格问题”；其研究思路可用来描述许多貌异质同的问题.如：
（1） 生日问题：n 个人在一年（或一周或一月）中的生日分布相当于n 个球放
入N=365（或N=7或N=12）个格子的不同排列（假定一年有365天即不考虑闰
年、闰月的情形）.
（2） 性别问题：n 个人的性别分布相当于将n 个球放入N=2个格子中.
（3） 掷骰子问题：抛掷n 颗骰子，观察点子数相当于把n 个球放入N=6个格子
中.
（4） 寄信问题：将n 封信投入N 只邮箱相当于n 个球放入N 个格子中.
（5） 旅客到站问题：一列列车中有n 位旅客在N 个站下车是等可能的情形相当
于n 个球放入N 个格子中.
（6） 住房分配问题：n 个人进入N 个房间，此时相当于将人当球、房间当格子.
（7） 印刷错误问题：n 个印刷错误在一本具有N 页的书中的一切可能分布，相
当于n 个球放入N 个格子中的一切可能分布（n 必须小于每一页的字数）.
（8） 意外事件问题：n 个意外事件在一周中的分布，相当于将n 个球放入N=7
个格子中.
例6、从0至9十个数字中任取一个，假定每个数字都以同样的概率被取中，取后放回、先后取出6个数.试求下列各事件的概率：
（1）A=“6个数字全不相同”；
（2）B=“不含0和1”；
（3）C=“0恰好出现四次”；
（4） D=“取到的最大数恰好为6”；
（5） E=“0至少出现两次”.
剖析：本题旨在训练返回抽样中概率的计算；解题的难点与关键 在于基本事件及公式n
m A p =)(中m 、n 的确定. 解：由题设可知，每一个事件均具有相同的基本事件空间，而所
有的基本事件相当于10个相异元素允许重复的6元排列，故基本事件总数为106.
（1）对于事件A ：由取出数字的互不相同性和先后次序可知它相当于10个相异元素
中每次取6个相异元素的排列，即事件A 包含的基本事件数为610A .于是 1512.010
)(6610==A A p （2）对于事件B ：由于“不含0和1”，所以它相当于从余下的8个相异元素中允许
重复地取出6个数的排列，即B 包含的基本事件数为86.于是 262144.0108)(6
6
==B p （3）对于事件C ：由于“0恰好出现四次”，因此6次取数中有任意4次取到0，其取
法为46C 种，而余下的2次为每次在剩下的9个数字中任取一个，共有92
种取法，于是事件C 包含的基本事件数为2
469?C .由此 001215.0109)(62
46=?=C C p . （4）对于事件D ：取到的最大数恰好为6，可有下列两种思路确定其解题途径：
思路一：将事件D 看成取到最大数6恰有1次、2次、?、6次这些互斥事件的和事
件 ，而取到最大数6恰有k 次包含的基本事件数为k k C -665，于是事件D 包含的基
本事件数为k k k C
-=?∑66165.因此 031031.0105)(6
6
166=?=∑=-k k k C D p . 思路二：将事件D 看成最大数不大于6的重复排列中剔除最大数小于6的重复排列，
此时事件D 包含的基本事件数为66-56.于是
031031.01056)(6
6
6=-=D p . （5）事件E 可看成事件 “0至多出现一次”的对立事件.因此 114265.010
991)(66
516=+?-=C E p . 迁移点拨：例6是一种比较典型的返回抽样问题，在概率论中常
称为随机取数问题，其解题思想方法，对于同类问题具有指导作用.不过，在解题过程亦不能把它作为现成模式套用，即使同是随机取数问题，也须斟酌题意，灵活处理.例如下列几个问题，表面看结构相仿，但仔细分析后可知，其本质上还是有很大差别的.
（1） 从0至9这十个数字中，不放回地任取5个，求由完全不同数字组成
五位数的概率.
（2） 从0至9这十个数字中，有放回地任取5个，求由完全不同数字组成
五位奇数的概率.
（3）某城市电话号码都是7位数码（每个数码可从0至9十个数字中任取），如果从这
个城市的电话号码簿中任指一个电话号码，求开始两位都不超过5且第三位为1的概率. 例7、甲有n+1枚硬币，乙有n 枚硬币，双方抛掷之后进行比较.
求甲抛出的正面比乙抛出正面多的概率.
剖析：本题旨在强化事件等可能性的认识，非公式的直接运用；
难点是每个人抛出的正面与抛出的反面的机会均等；解题的关键是理清事件间的关系.
解：设事件A 为“甲抛出的正面比乙抛出的正面多”
事件B 为“甲抛出的反面比乙抛出的反面多”
显然 B A =__，所以 )()(__B p A p =
又由于每人抛出正面与抛出反面的机会均等，
因此 2
1)(=A p 。 例8、甲乙两人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若
另一个人还没有来就可离开.现在甲是1点半到达的，假设乙在1点至2点內到达，且在1点至2点之间何时到达是等可能的，求甲、乙能见
面的概率.
剖析：本题旨在认识连续变量下等可能事件概率的计算方法；难
点在于等待10分钟在1点至2点时间段上的处理，即如何将连续变量下的概率转化为非连续变量下概率的计算；解题的关键是构建恰当的基本事件及判定其等可能性.
解：设事件A 为“乙在1点至1点20分间到达”；
事件B 为“乙在1点20分至1点40分间到达”；
事件C 为“乙在1点40分至2点间到达”；
由题设知，以上三个事件的发生是等可能的且三个事件彼此之间
是互斥事件并包含了题设的各种可能。显然，A 、C 发生时甲、乙不能
见面，只有在B 发生时甲、乙才能见面。因此，甲、乙见面的概率为
3
1 . 迁移点拨：本题中，虽然乙在1点至2点间任何时刻到达的可能
性相同，却不能以乙到达的可能时刻作为一基本事件；由于那样，该试验下的所有可能结果即基本事件总数就不是有限个了，同样甲乙两人能见面所包含的基本事件数也不是有限的，因此就无法用公式n
m A p =)(计算对应事件的概率了.当然，如本题的解法那样，对试验的可能结果进行归并处理，从而构建等价的基本事件即设法转化为古典概型问题还是可解的，不过在构建等价的基本事件时要注意其彼此间的互斥性及出现的等可能性.
将连续型随机问题通过归并处理转化为古典概型问题从而实现对
问题概率的计算固然是一种比较好的数学思路，但由于在实践中很难
做到这一点.因此，人们通过研究概括出连续型等可能性事件发生的
概率计算公式：
的测度
的测度I A A p =)( 其中：I 为基本事件空间，测度通常指线段的长度、平面图形的
面积、立体图形的体积等.
读者可从下述问题的解法中了解到上述公式的应用：
甲乙两人街头约会，约定谁先到后等待20分钟，这时若另一人还没有来就可离开；若甲、乙两人都是1点至2点到达且何时到达是等可能的，求甲、乙能见
面的概率.
解：设x 、y 分别表示甲、乙到达的时刻，则两人到达的时间的一
切可能结果对应边长为60的正方形内所有点.两人能见面的充要条件是
|x-y|≤20
所以事件A=“两人能见面”对应图中阴影部分里的一切点.因此由
上述公式可得
9560
4060)(222=-==的面积的面积I A A p . 能力训练：
1、袋中装有4个红球、3个白球和5个黑球，从中依次有放回地随机取出5球，求：
（1）取得2个红球与3个白球的概率；
（2）第一次取得黑球第二次取得白球其余三次取得红球的概率.
2、若以连续抛掷两次骰子分别获得的点数m 、n 为点P 的横、纵坐标，求点P 落在圆x 2+y 2=16
内的概率.
3、将一颗骰子连掷两次分别获得的点数m 、n 作为方程x 2+Bx+C=0中的系数B 和C ，求方程
没有实根的概率.
4、从一付扑克牌（52张）中任取5张，求下列事件的概率：
（1） 取得3张方块2张梅花；
（2） 恰有4张同色；
（3） 异花顺次五张牌；
（4） 恰有3张同点数牌；
（5） 五张中有不同点的两对.
5、在桥牌游戏中（4个人各从52张牌中分得13张），求4张A 集中于一个人手中的概率.
6、把10个足球队均分成两组进行比赛，求：两支最强队被分在（1）不同的组；（2）同一
组的概率.
7、从n 付不同的手套中任取2r （2r ＜n ＝只，求：（1）无成付手套；（2）恰有2付手套；（3）
有r 付手套的概率.
8、同时抛掷4颗质量均匀的骰子，求出现完全不相同点数的概率.
9、设每个人的生日出现在一星期中的任一天是等可能的，求6个人的生日集中在一星期中
任意两天但不是都在同一天的概率.
10、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到n 个房间中的任一间去住，求恰有一个空房间
的概率.
11、现有6个人在一栋10层大楼的第一层同时进入电梯.设他们中的每一个人自第二层开始
在每一层离开电梯是等可能的.试求这6个人在不同层次离开电梯的概率.
12、一个号码锁有5个拨盘，每个盘上有从0至9十个数字，当5个拨盘上的数字组成某个
确定的五位数码时锁才能打开.求：
（1）任意拨号一次把锁打开的概率；
（2）如果知道开锁号码的前两位数码为58，但不知后几位数码，拨号一次把锁打开的
概率；
（3）如果知道开锁号码的各位数码均不同且前三位由大到小排列，后两位亦大到小排
列，拨号一次把锁打开的概率.
13、从1，2，3，?，9中可重复地任取5个数，求所取5个数之积能被10整除的概率.
14、在1，2，3，4，5五个数中先任取一个，然后在剩下的四个中再任取一个，试求某个奇
数（1）在第一次被取到；（2）在第二次被取到；（3）两次都没有被取到的概率.
15、从分别标有5，6，7，8，9的五张卡片中，任意抽取两张，求：
（1）卡片上的数均为奇数的概率；
（2）卡片上的数之和为偶数的概率；
（3）卡片上的数之积为偶数的概率.
第三节 互斥事件有一个发生的概率
重点难点：
本节的重点是进一步理清互斥事件、对立事件的概念，能比较熟练地运用互斥事件有一个发生的概率公式（即概率的加法公式）计算有关事件的概率；难点在于将一个事件分解为几个互斥事件的“和”
或“积”；解题的关键是正确认识“同时”、“至少”、“至多“等词语的含义，熟练运用集合观点分析处理事件间的关系.
1、两个互斥事件A 、B 中至少有一个发生的概率公式：
P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
此公式揭示了互斥事件的和事件的概率等于各自概率的和这一性质；该性质可由概率的
统计定义即频率的性质自然推出.现简介如下：
假设在n 次随机试验中A 、B 、A+B 发生的次数分别为m A 、m B 、
m A+B ，由于A 与B 互斥，所以 m A+B =m A +m B ； 从而对应的频率有下列关系： n
m n m n m m n m B A B A B A +=+=+ 即互斥事件和事件发生的频率等于互斥事件各自发生的频率和.在数学概括下即得上述概率性质；互斥事件和事件发生的概率公式常称为概率的加法公式.
上述结论亦可推广到有限多个互斥事件的情形，即若A 1、A 2、?、A n 彼此互斥，则 P （A 1+A 2+?+A n ）=P(A 1)+P(A 2)+?+P(A n )
2、对立事件的概率：
由于对立事件为互斥事件的极端情形即__
A A +为必然事件，所以
P(A)+P(__A )=P(A+__A )=1 或 )(1)(__A P A P -=
3、和事件发生的概率公式：
当A 、B 非彼此互斥事件时，其和事件发生的概率亦有相应的加法公式；现列举如下：
P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）
事实上，此公式由集合的文氏图可十分容易地得到.
思路方法：
例1、判别下列问题下的各对事件的互斥性与对立性：
从1000只灯泡中任取3只检验（其中有10只次品，其余为正品）取得
（1）“恰有1只次品”和“恰有2只次品”；
（2）“至少有1只次品“和”全是次品”；
（3）“至少有1只正品”和“至少有1只次品”；
（4）“至少有1只次品”和“全是正品”.
剖析：本题旨在强化对“互斥事件”与“对立事件”概念的认识；解题的难点与关键是理清问题中相关词语的含义与事件间的相互关系.
解：（1）由于题设试验下的基本事件相当于从1000只灯泡中任取3只的一个组合，它可能全是正品，亦可能是其它情形，现在恰有1只次品和恰有2只次品仅是其中的两种情形且在一次试验下是不可能同时出现的，因此它们是互斥事件但非对立事件.
（2）由（1）知，至少有1只次品包含了全是次品的情况，在一次试验中是可以同时发生的，因此它们不是互斥事件更不是对立事件.
（3）由（1）知，至少有1只正品是恰有1只正品、恰有2只正品、恰有3只正品的和事件；类似地，至少有1只次品是恰有1只次品、恰有2只次品、恰有3只次品的和事件.于是，它们在同一次试验中是可以同时发生的，因此它们既不是互斥事件也不是对立事件.
（4）由（2）知，两事件不可能同时发生且其和事件构成必然事件.因此它们不仅是互斥事件更是对立事件.
迁移点拨：本题表明，在明确的基本事件空间下正确运用集合观念能很好地处理各事件间的关系.
例2、从0至9十个数字中，任取四个数字组成没有重复数字的四位数码，求组成的四位数码为大于6528的四位数的概率.
剖析：本题旨在认识如何用概率的加法公式求事件的概率；解题的难点与关键是认识“大于”一词的含义并由此将题设事件分成若干互斥事件的和.
解：由题设知，其基本事件相当于从10个不同元素中取4个不同元素的排列且每一
基本事件的出现是等可能的.因此对应的基本事件总数为410A .
设事件A 为“组成的四位数大于6528”，事件A 1为“千位数字大于6的四位数”， 事件A 2为“千位为6，百位大于5的四位数”，
事件A 3为“千位为6、百位为5，十位大于2的四位数”，
事件A 4为“千位为6、百位为5、十位为2，个位大于8的四位数”.
显然 A 1、A 2、A 3、A 4 两两互斥且 A=A 1+A 2+A 3+A 4
由于 103)(41039131==A A A A P 301)(410
28132==A A A A P 1441)(410
17153==A A A A P 504011)(4104==A A P
所以 P （A ）=P （A 1+A 2+A 3+A 4）
=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）+P （A 4） =
5040
11441301103+++ =420
143 3405.0≈ 迁移点拨：该题以四位数的千、百、十、个位为切入点将一个复杂事件分解为若干互斥事件的和，体现了数学中重要的分类讨论与化难为易的思想.切入点与基本事件出现的等可能性的确定是解决此类问题的关键.
若将题中“四位数码”改成“四位数”是否可同法解之？为什么？
例3、向假设的三个相邻的军火库随机地投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.05，炸中第二个军火库的概率为0.1，炸中第三个军火库的概率为0.25，求炸毁军火库的概率.
剖析：本题旨在进一步熟悉互斥事件下概率加法公式的运用；解题的关键是互一枚炸弹最多只能炸中一个军火库.
解：设事件A 为“炸毁军火库”，事件A i 为“炸中第I 个军火库”（i=1,2,3）
显然 A 1、A 2、A 3 彼此互斥且 A=A 1+A 2+A 3
由于 P （A 1）=0.05 P(A 2)=0.1 P(A 3)=0.25
所以 P （A ）=P （A 1+A 2+A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）
=0.05+0.1+0.25
=0.4
即炸毁军火库的概率为0.4.
例4、若x i (i=1,2,3,4)能以同样的概率取得0和1两数，求事件x 1+x 2+x 3+x 4≥2的概率.
剖析：本题旨在熟练概率加法公式的运用；解题的难点与关键是抓住“≥”将题设事件分解为若干互斥事件的和.
解：由于x i 可随机地取得0和1，所以问题对应的基本事件为从0、1中有放回地取出
四个元素的可重复排列即基本事件总数为24=16.
若记事件A 为“x 1+x 2+x 3+x 4≥2”，事件A 1为“x 1+x 2+x 3+x 4=2”，
事件A 2为“x 1+x 2+x 3+x 4=3”，事件A 3为“x 1+x 2+x 3+x 4=4”；
则A 1、A 2、A 3 彼此互斥且 A=A 1+A 2+A 3
由于 8316)(241==C A P 4116)(342==C A P 16
116)(443==C A P 于是P （A ）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3） =16
111614183=++ 迁移点拨：本题还可从事件的对立角度分析确定其解题途径.现简解如下：
事件B 1为“x 1+x 2+x 3+x 4=1”，
事件B 2为“x 1+x 2+x 3+x 4=0”，则B 1与B 2互斥且21__
B B A +=
而 1651616)()()(441421__
=+=+=C C B P B P A P 于是 16
11)(1)(__=-=A P A P . 将两种解法试加比较后可知，运用对立事件的概率公式有时可简化概率的计算.
另外，本题还可作为有放回摸球、同时抛掷几枚硬币、骰子等等可能性事件概率的数量
刻划.读者可自行设计一些问题，用同法尝试解之.
例5、现有某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，若从中任取3个，求至少有一个二级品的概率.
剖析：本题中的基本事件相当于从50不同元素中取3个不同元素的组合；其中至少取得一个二级品可理解为“恰有一个二级品”、“恰有二个二级品”、“恰有三个二级品”中之一发生，因此可用加法案公式解之.当然也可作为“没有二级品”的对立事件，利用对立事件的概率公式求解；比较后可知，后者较简单.
解：设事件A 为“至少取得一个二级品”，则事件__
A 为“没有取得二级品”.
而 350345__
)(C C A P = 于是 276.01)(1)(350345__≈-=-=C C A P A P . 例6、袋中装有红球和白球共50个，从中任取3个，求袋中有几个红球时，取得的3球均为同色球的概率最小.
剖析：这是一道以函数为基础的概率题.可通过假设红球个数，确定出3球为同色球的概率，然后再用函数方法求其最小值并获得问题的解决.
解：设袋中装有x 个红球，（50-x ）个白球（其中：x ∈N ）且事件A 为“取得的3球为同色”，
事件A 1为“取得的3球均为红色”，事件A 2为“取得的3球均为白色”， 显然 A 1、A 2 互
斥且 A=A 1+A 2，
由于 484950)2)(1()(350
31??--==x x x C C A P x 484950)48)(49)(50()(350
3502??---==-x x x C C A P x 所以 P(A)=P(A 1)+P(A 2)
]625)25[(245031)50(2450
3148
4950)
48)(49)(50()2)(1(2--+=-+=??---+--=
x x x x x x x x x 因此，当x=25时，P （A ）最小且P min （A ）=98
23 。 迁移点拨：此题表明，解答有关概率问题不仅需要坚实的排列、组合知识，而且还需具备函数等其它数学知识；只有在掌握了正确的思维方法之后，才能客观地、有效地解决问题.
能力训练：
1、 现有某产品40件，其中次品10件，若从中任取5件，求取出的5件产品中至少有4件
次品的概率.
2、 （1）某房间内有500人，求至少有一个人的生日是10月1日的概率（其中：1年计365
天）.
（2）某房间内有4人，求至少有二个人的生日是同一个月的概率.
3、 从0至9十个数字中，随机可重复地取出5个数，求取得的5个数至少有两个相同的概
率.
4、 将r 个球随机地放入n 个盒子中，求至少有两个球放入同一个盒中的概率.
5、 一个袋中装有质量、大小均相同的红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，若从中
任取一球，求
（1） 摸得红球或黑球的概率；
（2） 摸得白球或绿球的概率；
（3） 摸得红球或白球或绿球的概率.
6、 把8个足球队均分成两组进行比赛，求两支最强队被分在不同组的概率.
7、 从1，2，?，50这些数中随机地取一个，求能被7或11整除的概率.
8、 从15 名男生、5名女生中任选4名代表，求其中至多有2名女生的概率.
9、 一名射手一次射中10环的概率是0.31，射中9环的概率是0.42，射中8环的概率是0.25
求这名射手（1）一次射中9环或8环的概率；（2）一次射中不超过8环的概率.
浅谈高中数学线性变换的解题技巧 在新课改之后，要求高中生不仅要学会灵活运用学科基础知识解决问题，还要利用课余时间学习自身兴趣的知识点，使得每个人都能得到全面发展和锻炼。高中线性变换虽然作为选修章节，但是其所蕴含的内容是衔接高中与大学的关键点，掌握线性变换的基础知识也就是提前了解和学习了大学所要接触的高等数学知识模块，即矩阵问题。因此，笔者立足于高中选修的重要知识点——线性变换，先阐述其概念及性质，然后来探究如何巧妙解决高中数学中线性变换的难题，从而为初等数学过渡到高等数学做提前的准备。 标签：数学线性变换解题技巧 一、高中数学线性变换的概述 1.线性变换的概念 线性变换一般是指，在构建的xOy坐标系内，存在至少一个点或多个点的集合A与另一个相对应的至少一个或多个点的集合B两者之间按照一定规则可以相互变换，且不同的点与所转变后的点不相同，即在平面直角坐标系中，把形如进行几何变换，这就叫做线性变换。 2.线性变换的基本性质 线性变换具有三个基本性质，第一个性质是任何向量乘于零都为零，数学表达式为：T（0）=0；第二个性质是任何向量乘于任何一个负向量等于两个向量相乘的负数，数学表达式为：T（-a）=-T（a）；第三个性质是线性变换满足乘法交换律、结合律，即，其中A是一般矩阵，是平面直角坐标系内任意的两个向量，是任意实数。 二、高中数学线性变换的解题技巧 1.数形结合 例1：在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x + y≤1，且x≥0，y≥0}，求平面区域B={（x + y，x - y）|（x，y）∈A}的面積。 解析：本题考察的是线性变换结合不等式的应用难点，解决该问题首先要分析题干信息，根据题目给出的信息列出平面区域A的不等式条件。由于本题平面区域B存在与平面区域A相重合的未知数，因此要假设两个新的未知数替代B的条件，再将新的未知数条件代入A中就能很快确定B的向量表示，最后快速建立平面直角坐标系画出平面区域B的图形就能的出其面积的大小。 设：未知数u=x+y，v=x-y
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法 概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。 题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。 例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 32和4 3.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．． 目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少? 解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()4 26511381P A P A ??=-=-= ???（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则 ()223 23442131133448P B C C ??????=?????= ? ? ???????（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。 故()22123313145444441024 P C C ??????=+????=?? ? ?????????例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率； （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率. 解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等. （I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!32 4?C （从4个部门中任选2个作为1组， 另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为 P（A 1）=.943!3424=?C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2
概率综合 开篇语 每一章学习之后，都要进行总结，我们说，适时的总结对数学的学习是非常有好处的，能起到事半功倍的作用，也是数学学习的重要方法之一．本讲老师将带着屏幕前的同学们一起把必修3的概率部分进行小结．首先我们把基础知识和基本方法进行梳理，然后借助典型例题再次体现双基的落实．重难点易错点解析 随机事件的意义；随机事件概率的含义；互斥事件的概率计算公式；古典概型；几何概型． 金题精讲 题一：在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节 目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为9 20，那么参加这次联欢会的教师共有() A．360人B．240人C．144人D．120人 题二：某学习小组有3名男生和2名女生，从中任取2人去参加演讲比赛，事件A＝“至少一名男生”，B＝“恰有一名女生”，C＝“全是女生”，D＝“不全是男生”，那么下列运算结果不正确的是() A．A∩B＝B B．B∪C＝D C．A∩D＝B D．A∪D＝C 题三：现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率． 题四：某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： (1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率． 题五：已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________． 概率综合 讲义参考答案 金题精讲
浅谈高中数学解题步骤及方法 【摘要】在高中数学教学中，进行数学解题是十分重要的.本文结合实际论述了高中数学解题的一般步?E及方法. 【关键词】数学；解题步骤；解题方法 高中数学包括了很多的理论知识，这就要求我们高中生要掌握解题方法和技巧，并且要对学习有更高的总结和观察的能力.因此，对于数学的学习，我们一定要先把解题方法和步骤牢固掌握，这一点对我们来讲是非常重要的.基于此，本文将对高中数学的解题方法和步骤进行分析讨论. 一、解题基本步骤 （一）认真审题是关键 要探寻出良好的数学解题方法，首先，要弄清楚在解题时应该采取怎样的步骤.在解题的过程中，我们首先要做的就是“审题”，这一步是为了让我们深刻理解题意.当拿到一道数学题目时，我们应该充分掌握出题人的意图，然后，再对已知条件和问题进行仔细地思考和分析，从而在脑海里建立起解题的基本框架.只有通过这种步骤，明确地抓住题目的类型，才能充分理解题目的准确意思，才能在自己已有的知识中找出和题目相关的知识点，利用正确的理论和公式进行作答.我们在解答数学问题时，一定要充分重视“审题”的关键
作用，并且在这个基础上培养自己善于审题的良好习惯，在这个过程中把题目和已掌握的知识点进行联系和转化，把问题变得更加清晰、简单，从而实现正确地解答. （二）进行联想是重点 对问题进行联想就是要充分利用已经掌握的知识和内容，对知识进行正确地迁移，能够做到活学活用、举一反三.我们如果能把联想的方法运用到数学学习中，就能够促进我们对问题的深层次挖掘，而且我们对于题目线索的挖掘和提取，有利于他们唤醒自己已经掌握的定义、公式、定理和类似题目的解答方法等内容，然后连接起题目和自己熟悉的知识. （三）深入分析是保障 对问题进行细致的分析是高中数学解题中最重要的一个步骤，分析问题需要做的就是提出猜想，对解题的步骤等进行制订，如果题目比较开放的话，可能还需要去探索出多元化的解题思路.在数学问题的解答过程中，我们可以把问题的条件和结论进行互换，也可以在不同的条件间进行转换，从而把数学问题变得一般或特殊.这种分析的方法，可以帮助我们把相关的数学知识融会贯通，提高学习的质量.除了这种方法，也可以提出一些和题目相关的问题来辅助求解，从而运用自己熟悉的解题方法进行解答. （四）进行类化是方法
深入分析高考中概率试题的特点与解题方法 1 概率试题的特点 （1）密切联系教材，试题通常是通过对课本原题的改编，通过对基础知识的重新组合、拓广，从而成为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题． （2）概率试题与其它数学试题有着明显的区别，它具有一定的应用性.近三年来出现过三种类型：一是课本中出现的，从实际生活中概括出来的；二是与横向学科有联系的问题；三是赋予时代气息的数学问题． （3）概率试题中注重了对四个基本公式的考查，即对等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式；独立事件的概率乘法公式；事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率的考查． 2 概率试题的解题分析 2.1 通过对事件的理解与把握来解决问题 例1 （2000年新课程卷第17题）甲乙两人参加普法知识竞赛，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题． （Ⅰ）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 分析本题是一个等可能性事件的概率问题.同时注意到“甲、乙二人依次各抽一题”在解题中的作用，于是可利用排列知识及等可能事件的概率公式加以求解． 2.2 通过应用分类讨论的思想来解决问题 例2 （2002年新课程卷第19题）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）． （Ⅰ）求至少3人同时上网的概率； （Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 分析本题可应用分类讨论的思想将问题（Ⅰ）“至少3人同时上网的概率”转化为恰有3人同时上网，恰有4人同时上网，恰有5人同时上网，恰有6人同时
上网的四种类型，再结合相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法加以求解．同时问题（Ⅰ）的解决为第二问的求解做好了铺垫. 2.3 通过合理运用公式()1()P A P A =-来解决问题 例3 （2000年新课程卷第18题）用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作，当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90,分别求系统N 1、N 2正常工作的概率． 分析 系 统N 1正常工作的概率由物理串联知识结合独立事件的乘法公式即可求得；而系统N 2正常工作的概率由“当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作”可知，必须分成三类：一元件A 、B 正常工作，元件C 不正常工作；二元件A 、C 正常工作，元件B 不正常工作；三元件A 、B 、C 都正常工作．在解题时容易遗漏第三种情况，且忘记不正常工作的元件，导致解题错误．但若我们合理使用公式()1()P A P A =-，则系统N 2正常工作的概率可以看成元件A 正常工作，元件B 、C 都不正常工作的对立事件的概率，从而可以简化计算过程． 3 概率试题对高考复习的启示 3．1 在复习中，不能因为概率这部分是新增加的内容而加以忽视，也不能因为概率与排列、组合同在一个章节，认为只可能出现填空、选择题的类别.因为从近三年的试卷看到，每年均有一个概率解答题，所以在复习中应引起足够的重视． 3．2 在复习中，应充分研究大纲、考纲，使学生做到：（1）五个了解，即了解随机事件的统计规律性；随机事件的概率；等可能事件的概率；互斥事件；相互独立事件.（2）四个会，即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的（N 1 （N 2
概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤
专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题． 【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】 题型1 抽样方法 -）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（） A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对 分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B． 点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体． 例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（） A．24B．18C．16D．12 Array 分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了． x=?=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380 +++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=．答案C． 2000 点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识． 例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， 2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[) 出人．
《随机事件的概率》教学设计 一、教学内容解析 由于概率问题与人们的实际生活有着紧密的联系，对指导人们社会生产、生活具有十分重要的意义，所以概率不仅是高考重点内容，更是学生应该掌握的重要知识。 相对于传统的代数、几何而言，概率论形成较晚，其定义方式新颖独特，具有不确定性，这是理解概率的难点所在．“随机事件的概率”是人教A版《数学必修3》第三章第一节的内容，本节课是其中的第一课时。课程标准要求：“在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别”。并指出：“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”。要求“教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活遇到的一些错误认识。”本节课在学生已有的初中知识基础上通过数学试验展开了对概率的研究——利用频率估计概率，即当试验次数较大时，频率渐趋稳定的那个常数就叫概率，属于原认知性知识，本节课通过对生活实例的剖析，让学生体会生活中我们利用事件发生的频率估计概率的实践经验，通过抛硬币的数学试验让学生逐渐体会虽然随机事件在一次试验中其发生与否不可确定，但是大量重复试验的情况下其概率值会存在一定的规律性——接近于一个常数。体会偶然与必然的联系，体会现象与本质的关系，体会规律的客观存在性，体会数学源于生活又应用于生活。同时，本节课的学习，将为后面学习古典概型、几何概型、条件概率等打下基础。因此，我认为“通过抛掷硬币了解概率的定义、明确其与频率的区别和联系”是本节课的教学重点。 二、教学目标设置 课程标准要求：“在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别”。并指出：“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”。要求“教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性。”因此本节课的教学目标设定为： 1、知识与技能 ⑴了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念； ⑵通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；正确理解事件A出现的频率的 P A的区别与联系 意义，明确事件A发生的频率与事件A发生的概率() 2、过程与方法
浅谈高中数学教学中的解题方法 发表时间：2017-08-07T15:55:47.000Z 来源：《教育学》2017年6月总第121期作者：谭雪燕 [导读] 在高中数学教学过程中，学生普遍存在这些现象：在学习上“一听就懂，一做就错”、考试时“解题思路和老师分析的一样。广西钦州市灵山县第二中学535400 摘要：针对高中数学教学过程中学生能听懂老师讲课但不会解题的现象，从审题和基础知识这两个方面分析了导致这一个现象的原因，并对这两个方面给出了建议。 关键词：审题基础知识解题方法 在高中数学教学过程中，学生普遍存在这些现象：在学习上“一听就懂，一做就错”、考试时“解题思路和老师分析的一样，但没有做出来，或者考试时没有思路，老师在评讲时，一分析就知道如何解题”、“考试粗心”等。以上这些问题导致学生在考试中没有取得理想的成绩，对此问题，我不断思考，努力去寻找解决此问题的方法，最终得出结论：“这不是偶然，而是学生没有掌握高中数学的解题方法”。以下将从审题和基础知识这两个方面做深入的分析。 一、理解题目 著名数学教育家G·波利亚在《怎样解题》一书中，把数学解题分为四个步骤：（1）弄清问题；（2）拟定计划；（3）实施计划；（4）检验回顾。 而不少学生在这四个步骤中的“弄清问题”存在问题，对题目难以理解，导致解题困难。 1.审题时存在问题的原因主要有： （1）肤浅阅读。读题时，就以读题而读题，只限于字认识，不会去思考、去挖掘题目条件暗含怎样的数学基础知识。（2）心理障碍。当学生看到题目的文字多、关系式子较复杂，或者新题时，便会产生畏惧心理，变得紧张起来，在读题时就会出现读不懂，认为有一定难度，便选择放弃。 （3）节省时间。采用阅读的方式，加快读题的速度，争取更多解题时间，但往往适得其反，遇到不清楚的地方再重复读，导致没有思路，结果是更加浪费时间。 2.审题能力的培养： （1）理解题目。学生首先要把题目读懂，能够把题中每一个条件经过转换、化简等方法把其隐藏的基础知识点挖掘出来。再根据条件逐一联想所学知识、方法、类似的题目、注意点和关键点。这样才能发现题目中条件与结论的联系，从而逐步入题，找到解题的关键点、突破口。 （2）树立自信。帮助学生建立正确的人生观、世界观和价值观。遇到困难，相信自我，挑战困难，战胜困难，以提高他们勇于消除心理障碍、克服学习困难的心理素质。 （3）稳定沉着。读题时要慢、要细心，边读边想边理解，逐字逐句分析。若读一遍找不到解题思路，多读几遍，读清楚题目内容，会从题目中找到解题的思路。读懂题，理解题是解题的基础，然后在理解题意基础之上结合知识与技能联系题目相关的知识、方法，进而深入理解题目的本质，为下一步的解题做好基础准备。 二、理解概念，掌握基础 要想学好高中数学，必须先理解概念，就像设计师在设计房屋时，首先要知道什么是房子；同时数学基础知识是学好数学最基本的，就像建房子一样，房基就不可少，只有坚固的根基，你才能建设出更牢固、更有特色的房子，所以学好数学，理解概念，掌握数学基础知识是学好数学必不可少的要素，只有理解概念，掌握基础知识才能灵活运用。 理解概念，可以让学生感觉到学数学是轻松、容易的，学习数学离不开数学概念的学习，在数学中的概念是核心，把数学中各个知识点特有属性及之间的关系联系起来。在数学学习中，学生经常会遇到一些形似而质异的易混问题，如果概念不清，这样的题是非常容易错的。 例如，函数f（x）=x3-12x，求函数与x的交点，零点，极值点。 解答此题，首先要理解交点、零点和极值点的定义，方能解题。 （1）根据题意f（x）=x3-12x，x3-12x=0，x（x2-12x）=0，解得x1=0，x2=2和x3=-2所以函数f（x）=x3-12x的图象与x轴交点坐标（0，0），（2，0）和（-2，0）。 （2）函数f（x）=x3-12x的零点是0，2和-2。 （3）又因为f`（x）=3x2-12，3x2-12=0，解得x1=2或x2=-2；当f`（x）>0时，函数在区间（-∞，-2）、（2，+∞）上是单调递增函数；当f`（x）<0时，函数f（x）在区间（-2，2）上是单调递减函数，所以x=2是函数f（x）的极大值点，x=-2是函数f（x）的极小值点。只有把数学基础知识正确地掌握好，才有可能做到思路清晰，条理分明，容易找到解决问题的突破口，顺利解题。而每一个题目都是由多个知识点综合而得，于是要解决它就必须掌握数学基础知识。 总之，想学好高中数学，必须具备较强的解题能力，掌握解题方法。审题是解题的前提，基础知识是解题的基础，在此基础上解决问题。只有掌握基础，才谈得上创新。在以后的教学中，加强培养学生的审题能力、理解能力，同时注重基础知识掌握和应用，让学生掌握解题的方法，对学习数学达到事半功倍的效果，爱学、乐学数学。 参考文献 [1]朱华伟数学解题策略[J].科学出版社有限责任公司，2009。 [2][美]G.波利亚数学思维的新方法[M].上海科技教育出版社，2007。 [3]陈晓敏拓展思维，简洁直观——例谈向量法在高中数学解题中的妙用[J].中学数学，2014，（5）：14-16。 [4]潘文德. 以退为进灵活解题——浅析高中数学解题技巧[J].新课程学习：中，2014，（1）：71-71。
概率与统计高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型及解题思路 1.正确读取统计图表的信息 典例1：（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）.
A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，选A. 2．古典概型概率问题 典例2：（ 全国卷理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德 巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13 ，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方 法，故概率为 ，选C. 典例3： (2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得 ，故选A. 3．几何概型问题 典例4：(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13 B.12 C. 23 D.3 4
高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
浅谈高中数学解题策略张忠传 发表时间：2018-11-07T10:05:53.660Z 来源：《教育学》2018年10月总第157期作者：张忠传 [导读] 只有将知识的学习与解题技巧相互结合，才能够在考试中更好地解决问题，学习的效率才会大大提高。安徽省金寨第一中学237322 摘要：在教学过程中，教师要注重对学生解题思维的教授与培养，引导学生在解题的过程中不断总结方法与规律，提高学生解题时的准确率与效率，从而减轻学生学习的压力，在解题方面能够更加自如。只有将知识的学习与解题技巧相互结合，才能够在考试中更好地解决问题，学习的效率才会大大提高。 关键词：高中数学解题策略有效性 一、多元方程的问题——逆向思维解题策略 在解决多元方程的问题中，最为常用的就是逆向思维的方法。在多元方程的解题中，如果仅仅是通过题目条件，正常地进行问题的分析与解决，就会遇到许多新的不必要的麻烦，导致问题不能及时地解决；并且多元方程的解决要求学生思维的转变，这对于很多同学来说存在一定的困难，因为惯性思维会阻碍其纵深发展。因此，在对多元方程的解决中就应该有意识地采取逆向思维的方法。新课改要求的过程和方法，需要让同学们打破常规，积极改变自己的思维模式，思维也要有所突破，老师在教学引导中应该鼓励同学们用逆向思维去解答。 例1：实数l，m，n，满足m-n=8，且mn+l2+16=0。求证：m+n+l=0。 分析：用顺推法直接求得l、m、n的值，运算量很大且容易出现运算错误。简单的方法是用韦达定理的逆定理，从题目中的两个条件来结合进行计算，求出m、n的关系，然后进行关系的转换，将其转变为x的关系，再带入到原式中进行求解。 证明：由m-n=8可以得到m+（-n）=8，由mn+l2+16=0得到m（-n）=l2+16，那么根据m和n的关系就能够将两者通过一个新的未知数x来代替，则m、-n即为一元二次方程x2-8x+l2+16=0的两个根。又因为m、-n为实数，所以，△=（-8）2-4（l2+16）≥0，解得4l2≥0，所以l=0，则m，-n即为一元二次方程x2-8x+16=0的两个根，解得m=-n=4，则有m+n+l=0成立。 以上就是通过逆向思维的方法，由此也能够看出在面对这种多元函数的证明问题时，通过逆向思维就能够有效地解决。 二、函数与方程问题——分类讨论解题策略 1.在解方程中的应用。 在高中初级阶段解方程中最为常见的就是所给的未知数或者条件有着两方面的情况，此时就需要借助分类讨论的方法对每一个未知的情况分几个方面进行讨论求解。 2.在函数题目中的应用。 例2：当m=____时，函数y=（m+5）x2m-1+7x-3（x≠0）是一个一次函数。 解：当（m+5）x2m-1是一次项时，2m-1=1，m=1，整理为y=13x-3。当（m+5）x2m-1是常数项时，2m-1=0，m=1/2，整理为y=7x+5/2。m+5=0，m=-5，整理为y=7x-3。 在讨论（m+5）x2m-1的情况时，就需要分为两种情况，第一种就是为一次项，第二种就是结果为常数。而通过不同的m值也就能够得到不同的解果，最终进行整理就能够得出正确的答案。 三、不等式证明问题——构造函数解题策略 在解决不等式问题时最为适合采用构造函数的解题策略。通过构造函数的方法，能够将不等式的问题转化为函数方程的问题，并根据题目中的信息，来求出相应方程的单调性、值域、定义域，从而结合多种条件来证明不等式的正确。 例3：如已知a、b、c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1，证明ab+bc+ca+1>0。 对于该不等式的解题过程：构造函数f（x）=（b+c）x+bc+1，证明x（-1，1）时函数f（x）>0恒成立。当b+c=0时，f（x）=1-b2>0恒成立。当b+c≠0时，函数f（x）=（b+c）x+bc+1在区间（-1，1）上是单调的。由于f（1）=bc+b+c+1=（b+1）（c+1）>0，f（-1）=bc-（b+c）+1=（1-b）（1-c）>0，因此f（x）=（b+c）x+bc+1在区间（-1，1）上恒大于零。 综上可知，当|a|<1、|b|<1、|c|<1时，ab+bc+ca+1>0恒成立。 所以，通过以上的解题，就能将一些不等式的问题通过函数的方法来解决，更加有效。 总之，高中数学对于学生的逻辑思维方面有着更高的要求，高中数学的学习阶段也要更加重视对学生数学思维以及解题思维的培养，培养学生做题时的应变性以及灵活性，从而提高解题的效率。教师在教学过程中也要不时地将自己多年解题经验中得来的解题方法教授给学生，渗透学习思维。数学题目的形式千变万化，但是核心不会改变，只要学生能够熟练地掌握解题技巧，并且灵活地运用，相信不管遇到什么问题都能迎刃而解，更好地达到学习的目标。 参考文献 [1]梅松竹冷平王燕荣城乡数学教师对新课程的解题教学的研究——函数解题技巧[J].教育与教学研究，2010，（08）。 [2]马玉武探究数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].中国校外教育（下旬刊），2012，（12）。 [3]李文婕解题思维在高中数学教学中的应用探析[J].中华少年教育论坛，2017，（03）。 [4]吴冬香探究高中数学解题教学方法的应用研究[J].中国考试教育周刊（上、下旬），2017，（12）。
概率与数据 概率 １．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0； 2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。理解这里m、ｎ的意义。比如： （1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：）； （2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依 次取5件恰有2件次品。（答：①；②；③；④） 3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。比如： （1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：）； （2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）； （3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得
到，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（答：） 4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)； 5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B) 。提醒： （1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件； （2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A B）＝1－P(A)P(B)； （3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（） ＝1－P()P()。比如： ①设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答：）； ②某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）； ③袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：）；
概 率 （1）随机事件——概率学把“可能性”引进数学 在概率学中，我们称一定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件. 概率也就是事件发生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而随机事件的概率在区间（0，1）之中. 【例1】 同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件？ （1） 点数之和是正整数； （2） 点数之和小于2； （3） 点数之和是3的倍数. 【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是随机事件. （2）等可能事件——概率公式的起源 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且这n 个结果出现的可能性相同，则称这类事件为等可能事件.由此导出基本概率公式是： ()m P A n = .（其中n 和 m 分别表示基本事件总数和事件A 发生的次数.） 【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为 （ ） Ａ． 19 Ｂ． 112 Ｃ．1 15 Ｄ． 1 18 【解析】抛掷一枚骰子后，出现任何一面的可能性相同.所以本题属于等可能事件. 一枚骰子连续抛掷三次，则基本事件总数3 6 216n ==；设事件A ；连掷3次所得点数依次成等差数列，那么3数相等时有111， 222，…666等六种；3数不相等时有123，234，345，456，135，246及其反序数等12个.于是事件A 发生的次数61218m =+=种. 故()181 21612 P A = =.选B. （3）互斥事件——概率的加法原理 在某种试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件.如果A 、B 是互斥事件，那么： ()()()P A B P A P B ?=+. 【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A ． 310 B ．15 C ．110 D ．112 【解析】设小球标注的数字之和为3与6的事件分别为A 、B.显然A 与B 不能同时成立，是互斥事件. 由于基本事件总数 2 510.n C ==事件 A 只有1+2=3一种，；事件 B 有1+5=2+4=6两种，.∵A 与B 互斥， ()()()12 3 10 10 P A B P A P B +∴?=+= =.选A. （4）对立事件——两互斥事件的特写 在一次试验中，如果事件A 与B 一定恰有一个发生，则称事件A 与B 是对立事件. 注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立. 一般地，记A 的对立事件为 A .由于A 与A 具有互补性，所以()()1P A P B +=.这是简化概率计算的基本公式. 【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少? 【解析】 我们用a 、b 分别记八个队中的两个强队. 令C =“a 队与b 队分在同一组”， 则C =“a 队与b 队不在同一组”. a 队与 b 队不在同一组，只能分成两种情况：a 队在第一组，b 队在第二组，此时有C 3 6·C 3 3＝C 3 6种分法；a 队在第二组，b 队在第一
选修2-3定理概念及公式总结 第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算， 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????-Λn n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==L 用于计算， 或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。