第十五章 概率论初步 一、等可能事件概率 如果一个试验共有N 种等可能出现的结果，而且其中任意两个结果都不可能同时出现，则称这个试验为等可能试验。如果这个试验共有N 种可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有k 种，那么事件A 的概率N k P = 二、和事件、积事件的概率（理） 事件A 与事件B 至少有一个出现叫做事件A 和事件B 的和事件。 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 事件A 与事件B 同时出现叫做事件A 和事件B 的积事件。)(B A P ?或)(AB P 。 三、互斥事件、独立事件、对立事件（理） 1、互斥事件 不可能同时出现的两个事件叫做互不相容事件或互斥事件。 )()()(B P A P B A P +=?即0)(=AB P 2、 独立事件 如果事件A 出现和事件B 出现互相之间没有影响，那么称事件A 和事件B 相互独立。 )()()(B P A P AB P ?= 3、对立事件 事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。1)()(=+B P A P ， )()(B P A P =。 四、离散型随机变量的分布列、期望与方差（理） 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. *③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，…，i x ，…n x ，ξ取每一个值i x （=i 1，2，…n ）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.
1 第60讲 概率论初步 教学目标：1、理解各项概念； 2、概率问题计算； 3、频率?经验概率． 教学重点难点：概率问题如何具体问题具体分析． 一、问题引入 骰子6面6个数，投掷一次出现1朝上的可能性是16 ，各种结果情况的可能性不是对任意数量总体均匀按照16 比例出现的，而是当试验次数达到一定数量后体现出来的一种结果分布数量规律． 概率论：研究试验中随机现象、随机事件出现的数量规律． 二、教学过程 1、基本事件：一次实验可能出现的结果．（实验随机出现的结果） 基本事件是试验中必然会出现的结果． 2、古典概型：经典概率模型 ①一次试验所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等，地位等价． 3、随机事件：随机事件由基本事件构成（0个or 若干个or 全部个）． 随机事件可能发生，可能一定会发生，也可能一定不会发生． 常将随机事件记为：事件A 、事件B ，等等． 4、用集合语言：1w ，2w ，3w ，，n w 表示所有的基本事件，将由所有基本事件构成的集合记作 {}123,,,n w w w w Ω=，则可以看作Ω—全集，A —子集，n w —元素． 5、古典概型中，随机事件A 出现的概率定义为 6、我们把试验后必定会出现的事件叫做必然事件（随机事件含有全部基本事件），记作Ω； 把不可能出现的事件叫做不可能事件（随机事件不含有任何基本事件），记作?． 特点：①不可能事件的概率为零，即()0P ?=； ②必然事件的概率为1，即()1P Ω=； ③对任意随机事件E ，有()01P E ≤≤； ④若{}123,,,n w w w w Ω=，则()()()121n P w P w P w +++=． 例1、掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率： （1）出现5点； （2）出现奇数点； （3）出现的点数大于4； （4）出现7点； （5）出现的点数小于7． 例2、掷两颗骰子得到两个数的点数差为2的概率？ 例3、一个罐子里有同样大小、同样重量的20个玻璃球，其中4个是红色的，6个是黑色的，10个是无色的，经充分混合后，求下列事件的概率：
第十四章 概率论初步 第一节 事件与概率 一、随机事件和样本空间 在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180o。另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。 对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行； （2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果; （3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。 随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。 例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数 解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i = 其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。 例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {} i i 取出球的号码为= 则}1021{、、、Λ=Ω 称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。 如在例2中， A={} 取出球的标号为奇数 因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即 φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。 我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下： （1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包
第五章概率论初步 前言：概率论是研究随机现象的统计规律的一门重要的数学科。 在实际中，我们经常会遇到两类现象： （一）随机事件随机现象 1.必然现象与 1.）必然现象——在一定的条件下，必然会发生的现象。例：上抛物体必然 会下 落；同性相斥，异性相吸；在标准大气压下，把水加热到100C ，水必然会沸腾，等等，在自然界中我们常见的物理、化学、电磁等现象，就是属于这类必然现象。 2）随机现象——在一定的条件下，可能会发生，也可能不发生的现象。 抛掷一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面； 检验一批产品，其中含有3个次品，每次抽取5个产品进行检验，抽取到的5个产品中可能含有的次品数为：0，1，2，3； 下周某天的天气预报：可能是睛，下雨，阴； 在金融市场中，预估下周的上证指数是在] [b a区间内； , 在电讯服务业中，电话总机在某一时刻接到的呼唤次数是：0，1，2，…，100，…； 像这类现象，在日常生活中随处可见，我们称为随机现象。 计规律的方法。 2.随机试验 这里的随机试验一般是泛指对某种现象或事物进行观察或测试。例在前面曾经提到的随机现象： 1.观察抛掷一枚硬币出现正面、或者是出现反面； 2. 检验一批产品，观察其中所含的次品数； 3. 预报下周某天的天气； 4.在金融资本市场中，预估下周的上证指数运行的区间范围；
1.在电讯服务业中，观察电话总机在某一时刻接到的呼唤次数等等，都称为 作随机 试验。 这种试验与普通的物理，化学试验不同的地方是它具有三个特点： （1）试验可以重复进行； （2）试验的结果不止一个； （3）在试验前，不能确定究竟会出现哪一种结果，我们把这种试验称为随机试验，简称为试验。 3.随机事件与样本空间 1.定义：随机试验的各种可能结果称为随机事件，简称为事件。一般常用大写的英文字母: , A, ,等等来表示。 C B D 2.随机事件的分类 （1）基本事件——在随机试验中，发生的每一个可能的试验结果。 例：掷一枚均匀的骰子，每一面出现的可能点数1，2，3，4，5，6就是一个基本事件。 （2）复合事件——由两个以上的基本事件组所成的事件。 例：在上例中，出现的点数为偶数2，4，6为复合事件。 （3）必然事件——每次试验都会出现的事件，一般记为Ω。 例：出现的点数是1到6中的某一个。 （4）不可能事件——在随机试验中，不可能发生的事件，一般记为Φ。 例：出现7点的事件。 （5）样本空间——基本事件的全体，记为Ω。 例掷一枚均匀的骰子，其样本空间Ω={}6,5,4,3,2,1。 （二）事件的关系及其运算 1.包含关系（或称为子集）——如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件B包含了事件A，记为B A?。 2.等价关系——如果事件B A?，则称事件A与事件B是 A?，同时事件B 等价的，记为B A=。 事件的运算； 1.和事件——若“事件A与B和中，至少有一个事件发生”则事件必然发生， 则称 事件为A与B的和事件，记为B A+）。 A?（或B 2.积事件——若“事件A与B同时发生”，则事件必然发生，则称事件为A与 A?，或AB。 B的积事件，记为B 3.差事件——若“事件A发生，而事件B不发生”，称事件为A与B的差事件，记为B A-（或B A）。
概率论初步 一、知识要点 （一）等可能事件（古典概型）的概率：P（A）= 等可能事件概率的计算步骤： ①计算一次实验的基本事件总数n； ②设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m； ③依公式P（A）=求值. （二）几何概型 （1）几何概率模型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比 （2）几何概型的概率公式：P（A）=构成事件的区域长度（面积或体积） 实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 二、经典例题 例1、从52张扑克牌（无大小王）中任取一张，取到“黑桃A”的概率是多少？取到“A”的概率又是多少？ 例2 、将一个圆盘8等分，指针绕着中心较快的旋转，令指针突然停止，求指针停在偶数区域内的可能性大小。
例3、选择题 （1）下列事件中是必然事件的是( )． A ．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球 B ．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C ．小红期末考试数学成绩一定得满分 D ．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上 （2）同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件中是不可能事件的是( )． A ．点数之和为12 B ．点数之和小于3 C ．点数之和大于4且小于8 D ．点数之和为13 （3）下列说法中正确的是( )． A ．抛一枚均匀的硬币，出现正面、反面的机会不能确定 B ．抛一枚均匀的硬币，出现正面的机会比较大 C ．抛一枚均匀的硬币，出现反面的机会比较大 D ．抛一枚均匀的硬币，出现正面与反面的机会相等 （4）从不透明的口袋中摸出红球的概率为51 ，若袋中红球有3个，则袋中共有 球( )． A ．5个 B ．8个 C ．10个 D ．15个 例4、在如图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它 作为一个游戏盘，游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你认为这个游戏公平吗?为什么?
第五章概率论初步 一、常见的考试知识点 1．事件的关系及运算 2．概率的加法公式，条件概率，乘法公式及事件的独立性 3．离散型随机变量的概率分布的计算，数学期望，方差和标准差的计算 4．试卷内容比例 本章内容约占试卷分值的8％，共计12分左右． 二、常用的解题方法与技巧 1．事件的关系和运算 (1)事件的包含：． (2)事件的并或和：A∪B或A+B． (3)事件的交或积：A∩B或AB． (4) (5) (6)差事件：A-B或A曰． (7)事件运算的对偶律： 2．古典概型的概率 3．概率的加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)． 4．条件概率、乘法公式及事件的独立性 (1)条件概率： (2)乘法公式： P(AB)=P(A)P(B\A)=P(B)P(A \B)． (3)事件的相互独立： P(AB)=P(A)P(曰)． 5．离散型随机变量 (1)离散型随机变量的概率分布或分布列． 任一离散型随机变量的分布列具有如下性质： ①非负性：p i≥0，i=1，2，…． ② 性质之所以重要，不仅在于可据此确定分布列中的待定系数，而且其逆命题也成立．(2)数学期望、方差和标准差．
数学期望 三、常见的考试题型与评析 (一)概念题 1．典型试题 (1)(0510) A．O．3 B．0．4 C．O．6 D．O．7 (2)(0610)若随机事件A与日相互独立，而且P(A)=0．4，P(B)=0．5，则P(AB)=()．A．0．2 B．0．4 C．0．5 D．0．9 (3)(0710)5人排成一行，甲、乙两人必须排在一起的概率P=（）． A．1/5 B．2/5 C．3/5 D．4/5 (4)(0810)已知事件A与口为相互独立事件，则P(AB)=（）． A．P(A)+P(B) B．P(A)-P(B) C．P(A)+P(B)-P(A)P(B) D．P(A)P(B) (5)(0910)任意三个随机事件A，B，C中至少有一个发生的事件可表示为（）． A．A∪B∪C B．A∪B∩C C．A∩B∩C D．A∩B∪C (6)(1010)袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，一次从中任取2个乒乓球，则取出的2个球均为白色球的概率为（）． A.5/8 B.5/14 C.5/36 D.5/56 (7)(11 10)随机事件A与B互不相容，则P(AB)=（）． A．P(A)+P(B) B．P(A)P(B)
六、事件的独立性 1．事件独立性的概念 某人掷一颗骰子两次，第一次骰子出现的点数A 并不会影响第二次骰子出现的点数B ，此时有(/)()P B A P B =.即事件A 发生的概率与事件B 发生的概率无关，也就是说A 对于B 是独立的。 定义 如果两个事件,A B 中任一事件的发生不影响另一事件发生的概率，即 )()(B P A B P =（或)()(A P B A P =） ， 则称事件A 与B 相互独立. 定理 事件A 与B 相互独立的充要条件是 ()()()P AB P A P B =. 推论 若事件A 与B 独立，则A 与__ B 、__ A 与 B 、__ A 与__ B 中的每一对事件都相互独立. 注意 实际应用中，一般不借助定义或定理来验证事件的独立性，而是根据问题的具体情况，按照独立性的直观意义或经验来判断事件的独立性。 例8 甲、乙两人单独地解答同一道习题，甲能答对的概率是0.8，乙能答对的概率是0.9. 试求：（1）两个都答对的概率；（2）至少有一个人答对的概率. 解（1）设A =（甲答对}，B ={乙答对}，则()0.8P A =，()0.9P B =，A 与B 相互独立，两人都答对为事件AB ，则有 ()()()0.80.90.72P AB P A P B ==?=. （2）至少有一人答对的事件为B A +，可用多种方法求解)(B A P +： 解法一:98.072.09.08.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P 解法二： 98 .01.02.01)()(1)(1)(1)(=?-=-=-=+-=+B P A P B A P B A P B A P 解法三:)()()()(B A P B A P AB P B A P ++=+98.09.02.01.08.072.0=?+?+= 七、离散型随机变量的的数字特征 1.离散型随机变量的概念 定义2 如果随机试验的每一个可能结果，都唯一地对应着一个实数X ，则这个随试验结果不同而变化的变量X 称为随机变量. 引入随机变量的概念后，随机事件就可以用随机变量的数量形式来表示． 例9 有一批产品共40件，其中有3件次品. 从中随机抽取5件，以X 表
2004年 下学期高中数学概率学初步 第二节 等可能性事件的概率 重点难点： 本节的重点是正确理解等可能性事件概率的定义，能比较正确地计算等可能性事件的概率；难点是根据问题的试验方式选取合适的基本事件空间；解题的关键是确定基本事件出现的等可能性及相关随机事件包含的基本事件个数. 1、等可能性事件的概率：在概率论中，又称为古典概率.它要求所研究的问题必须具有如下两个基本特征：（1）随机试验下基本事件空间的元素只有有限个；（2）每次试验中各个基本事件出现的可能性相同. 宏观上讲，等可能性事件概率的计算步骤为： （1）以基本事件出现的等可能性为基础构建基本事件空间； （2）求出基本事件空间中的基本事件总数n ； （3）确定事件A 所包含的基本事件数m ； （4）代入公式 ) ()()(I Card A Card A n m A p ===试验中基本事件总数包含的基本事件数事件 进行计算. 特别值得注意的是：基本事件出现的等可能性必须努力从试验背景所蕴藏的“均匀性、对称性”等方面进行确定，它是解题正确性的重要保证. 2、等可能性事件概率的计算方法：一是直接确定基本事件空间的基本事件总数n 和事件A 包含的基本事件数m ，然后根据公式计算；二是斟酌题设情形，先按前法求出有关事件的概率，然后运用概率的基本性质，间接地算出p （A ）.通常，前者称为直接法，后者则称为间接法. 无论是直接法，还是间接法，解题的关键都在于确定n 和m 的数值.一般来说，当基本事件总数较少时，可用直接法将基本事件空间和事件A 包含的基本事件一一列举出来，以确定n 和m ；当基本事件总数较多或难于直接列举时，可利用排列、组合等数学知识，通过相应地计算以确定n 和m. 思路方法： 例1、一袋中装有大小相同的a 个黑球和b 个白球，从中逐一将它 们取出，求第k 次取出的球恰为黑球的概率（1≤k ≤a+b ）. 剖析：本题旨在训练运用公式求相关事件的概率；难点在于构建 与“第k 次取出的球恰为黑球“这一事件相对应的基本事件与基本事件空间；解题的关键在于对第k 次取出的球恰为黑球的认识和处理.题设将袋中球逐一取出，应理解为依次取出，每次一个，全部取完为止，其中第k 次取出黑球仅是逐一取球中的某一次.因此，若以全部取出球 的先后顺序为基础，将球按同色球有无区别对待，构建基本事件空间， 不难发现可获得两种解法；而从前k 次取球为独立的一段及每次取球 对球的机会均等性两方面考虑构建基本事件空间，则又可获得两种解 法. 解法一：设事件A=“第k 次取出的球恰为黑球”，将袋中每个球 均视为有区别，依次对球进行编号，不妨黑球为1，2，?，a 号；白球为a+1，a+2，?，a+b 号.以全部取得球确定的编号顺序为一基本事件，则其基本事件总数相当于a+b 个数的
第一章：概率论初步 基本概念：随机事件、古典概率、条件概率、事件的独立性 事件的关系与运算(结合集合论和文氏图来学习) 子事件(子集)、积事件(交集)、和事件(并集)、对立事件AB A B ∪A (补集)、 差事件 ;A B AB A AB ?==? 互斥事件 AB =Φ 事件发生：事件A 中至少有一个样本点出现. 处理技巧：把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 []A B A B A =?∪∪运算规律：德摩根律 ; AB A B A B AB ==∪∪ 加法原理：(分类)，乘法原理：12m n n n +++ 12m n n n ??? (分步) 排列： 全排列：； 组合：,m m n n A P ,!n ,! m m m n n n P C C C m n m n ?== 古典概型： 满足以下两个特点的随机试验 ()A n P A n Ω = 1. 试验的样本空间中有有限的样本点； 2. 每个样本点发生的可能性是相等.(对称性和均衡性) 例题1 计算下列概率题 (求概率前先设事件) 1. 抛两颗骰子，观察他们点数出现的情况， (1) 写出试验的样本空间； (2) 设两颗骰子点数相同，:A :B 两颗骰子点数和为5，求 (),().P A P B 2. 袋子中有a 只白球，b 只红球，2个人依次在袋子中取一球， (1) 做有放回的抽样，求第二个人取得白球的概率；()a P A a b =+ (2) 做无放回的抽样，求第二个人取得白球的概率； 1(1)()11()(1)b a a a a b a a P A a b a b a b a b a b a b a b () ?+?= ?+?==++?++?++?+ 注：当箱子中奖券足够多时，摸奖不分先后； 概率的公理化定义 设E 是一个随机试验，S 是它的样本空间，对于E 中的每一个事件A 赋予一个实数，记为，称为事件的概率，如果他满足下列的假设： ()P A A (1) (2) 对于0()P A ≤≤1;S 有()1;P S = (3) 设 两两互不相容，则有 12,,,,n A A A 1212()()()n n P A A A P A P A P A =+++∪∪ ∪∪ ()
期末作业考核 《概率论与数理统计初步》 满分100分 一、计算题（每小题10分，共70分） 1、已知随机变量X 服从二项分布，且4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，试求二项分布的参数n ，p 的值。 依题意得X ～B(n ，p)，于是EX=np ，DX=np(1-p)，于是可得方程组 解这个方程组， 2、设)2,3(~2-N X ，试求X 的概率密度为)(x f 。 3、设有10个零件，其中2个是次品，现随机抽取2个，求“恰有一个是正品”的概率。 4、已知离散型随机变量X 服从参数为2的普阿松分布，即,2,1,0,! 2)(2 ===-k k e k X P k …，试求随
机变量23-=X Z 的数学期望。 5、设随机变量X 与Y 相互独立且均服从)1,0(N 分布，试求Y X Z +=的概率密度。 6、设总体X 的概率密度为?? ?<≥=--θ θ θθx x e x f x , 0, ),()(，n X X X ,,,21 为总体X 的样本，试求θ的矩估计量。 7、设总体 )10,60(~2N X ， 从总体X 中抽取一个容量为25的样本，求样本均值X 与总体均值之差的绝对值大于2的概率。（已知标准正态分布的分布函数8413.0)1(=Φ）。 二、证明题（共30分）
1、设),,,(21n X X X 是取自总体),0(2 σN 的样本，试证明统计量∑=--n i i X X n 1 2)(11是总体方差2σ的无偏估计量。 2、设二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ， ； ，， 010104),(y x xy y x f 证明:X 与Y 相互独立。