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2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题

一、选择题

1.下列各数中,无理数是( )

A. B. 9

12

C.

D.

227

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

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【答案】C 【解析】 【分析】

根据无理数的概念及其三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,结合选项解答即可.

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【详解】解:A .2=-,是整数,属于有理数; B .1

9

2

,是分数,属于有理数;

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C D .

22

7

是分数,属于有理数. 故选:C .

【点睛】本题主要考查了无理数的概念,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数. 2.不等式﹣2x >3的解集是( ) A. 23

x >-

B. 23

x <-

C. 32

x >-

D. 32

x <-

【答案】D 【解析】 【分析】

直接把x 的系数化为1即可.

【详解】解:不等式的两边同时除以﹣2得,x <﹣32

. 故选:D .

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式,熟知不等式的基本性质是解答此题的关键. 3.下列方程中,有实数根的是( )

x

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C.

221

11

x x x =-- D. x 2+2020x ﹣1=0

【答案】D 【解析】 【分析】

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A ,﹣x <0,则方程无实数根;

B 选项中,当x =11,则方程无实数根;

C 选项中,解得x =1是方程的增根,则方程无实数根;

D 选项中,△>0,则方程有两个不相等的实数根.

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【详解】解:,x ﹣1≥0, ∴x ≥1, ∴﹣x <0,

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﹣x , ∴A 不正确;

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当x =11,

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≥1, ∴B 不正确;

22

1

11

x x x =--两边同时乘以x 2﹣1,得x =1, 经检验x =1是方程的增根, ∴方程无解; ∴C 不正确; x 2+2020x ﹣1=0, ∵△=20202+4>0,

∴方程有两个不相等的实数根, ∴D 正确; 故选:D .

【点睛】本题考查分式方程、无理方程、一元二次方程;熟练掌握分式方程解法、一元二次方程根的判别式、掌握二次根式成立的条件是解题的关键.

4.已知反比例函数y=k

x

,当x>0时,y的值随x的值增大而增大,下列四个选项中,可能是二次函数y=

2kx2﹣x﹣k图象的选项是()

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用反比例函数的性质得出k的符号,再利用二次函数的性质得出答案.

【详解】解:∵反比例函数y=k

x

,当x>0时,y的值随x的值增大而增大,

∴k<0,

∴二次函数y=2kx2﹣x﹣k中,2k<0,则图象开口向下,

﹣k>0,则图象与y轴交在正半轴上,

又∵b=﹣1<0,

∴二次项与一次项系数相同,则对称轴在y轴左侧,

符合题意的只有选项D.

故选:D.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质,正确掌握系数与图象的关系是解题关键.

5.要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个拟定方案中,正确的方案是()

A. 测量对角线是否相互平分

B. 测量两组对边是否分别相等

C. 测量对角线是否互相垂直

D. 测量其中三个角是否是直角

【答案】D

【解析】

【分析】

由矩形的判定即可得出结论.

【详解】解:∵对角线相互平分的四边形是平行四边形,故A错误;

∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形,故B错误;

∵对角线互相垂直的四边形不一定是矩形,故C错误;

∵三个角是直角的四边形是矩形,故D正确;

∴在这四个拟定方案中,正确的方案是D,

故选:D.

【点睛】本题考查了矩形的判定;熟记三个角是直角的四边形为矩形是解题的关键.

6.如果两个圆的圆心距为3,其中一个圆的半径长为4,另一个圆的半径长大于1,那么这两个圆的位置关系不可能是()

A. 内含

B. 内切

C. 外切

D. 相交

【答案】C

【解析】

【分析】

首先利用一个圆的半径为4,另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围,然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可.

【详解】解:∵一个圆的半径R为4,另一个圆的半径r大于1,

∴R﹣r<4﹣1,R+r>5

即:R﹣r<3,

∵圆心距为3,

∴两圆不可能外切,

故选:C.

【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是根据两圆的半径的大小或取值范围求得两圆的半径之差,然后根据圆心距与半径的关系确定本题的答案.

二、填空题(共12题)

7.计算:a2?a3=_____.

【答案】a5.

【解析】

【分析】根据同底数的幂的乘法,底数不变,指数相加,计算即可.

【详解】a2?a3

=a 2+3 =a 5, 故答案为a 5.

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键. 8.在实数范围内分解因式:222x x --=______. 【答案】()()1313x x ---+

【解析】 【分析】

可将x 2-2x 先配成一个完全平方式,再应用平方差公式进行分解即可.

【详解】原式=2

(1)3x --

(13)(13)x x =-+-- 故填:(13)(13)x x -+--

【点睛】本题考查配方法的应用,用平方差公式因式分解.能想到分组因式分解是解决此题的关键. 9.已知f (x )=2x 2﹣1,且f (a )=3,那么a =_____. 【答案】±2 【解析】 【分析】

由已知可得f (a )=2a 2﹣1=3,解出a 即可. 【详解】解:∵f (x )=2x 2﹣1,f (a )=3, ∴f (a )=2a 2﹣1=3, ∴2a 2﹣1=3时,a =±2, 故答案为±2.

【点睛】本题考查函数值;理解题意,能够将所求问题转化为一元二次方程求解是关键. 10.已知一次函数y=kx+b 的图象如图,则关于x 的不等式kx+b >0的解集是______.

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【答案】2x <

【解析】 【分析】

直接利用一次函数图象,结合式kx+b >0时,则y 的值>0时对应x 的取值范围,进而得出答案. 【详解】如图所示:

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关于x 的不等式kx+b >0的解集是:x <2. 故答案为:x <2.

【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式,正确利用数形结合是

解题关键. 11.某同学计划购买一双运动鞋,在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表. 中码

CHN

220

225

230

250

255

260

美码USA 4.5 5

5.5

7.5

8

8.5

如果美码(y )与中码(x )之间满足一次函数关系,那么y 关于x 的函数关系式为_____. 【答案】y =0.1x ﹣17.5 【解析】 【分析】

设y 关于x 的函数关系式为:y =kx +b ,利用待定系数法求解析式. 【详解】解:设y 关于x 的函数关系式为:y =kx +b , 由题意可得:52258255k b

k b

=+??

=+?

解得:0.117.5k b =??=-?

∴y 关于x 的函数关系式为y =0.1x ﹣17.5, 故答案为:y =0.1x ﹣17.5.

【点睛】本题考查了一次函数的应用,利用待定系数法求解析式,理解题意是本题的关键.

12.一个不透明的袋子中装有8个大小、形状、都一样的小球,其中有3个红球与5个黄球,从这8个球中任取一个球是红球的概率是:_____.

【答案】3

8

【解析】 【分析】

让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率.

【详解】解:在口袋中放有3个红球与5个黄球,共8个,这两种球除颜色外完全相同,随机从口袋中任取一个球,

从这8个球中任取一个球是红球的概率是:3

8.

故答案为:3

8

【点睛】本题考查随机事件概率的求法:如果一个事件有n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A 出现m 种结果,那么事件A 的概率P (A )=

m n

. 13.如果一段斜坡的坡角是30°,那么这段斜坡的坡度是_______.(请写成1︰m 的形式). 【答案】1:3. 【解析】

【详解】试题分析:因为斜坡的坡角是30°,所以这段斜坡的坡度=tan30°=3:3=1︰3. 故答案为:1:3.

【点睛】本题考查坡度与坡角.

14.如图,在△ABC 中,AD 是边BC 上的中线,设向量AB u u u r =a r ,AC uuu r =b r ,如果用向量a r ,b r 表示向量AD u u u r ,

那么向量AD u u u r

可以表示为_____.

【答案】12a r +12

b r

【解析】 【分析】

如图,延长AD 到E ,使得DE =AD ,连接BE ,CE .证明四边形ABEC 是平行四边形,利用三角形法则求

出AE u u u r

即可解决问题.

【详解】解:如图,延长AD 到E ,使得DE =AD ,连接BE ,CE .

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∵AD =DE ,BD =CD , ∴四边形ABEC 是平行四边形, ∴BE AC b ==u u u r u u u r r , ∵AE AB BE a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,

∴111

222

AD AE a b ==+u u u r u u u r r .

故答案为:12a r +12

b r

【点睛】本题考查平面向量,平行四边形的判定和性质,三角形法则等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行四边形解决问题,属于中考常考题型. 15.已知正三角形的边长为2,那么该三角形的半径长为_____. 23 【解析】 【分析】

根据题意作出图形,构造直角三角形求得外接圆的半径即可求得本题的答案. 【详解】解:如图所示:

连接OA 、OB 、OC ,过O 作OD ⊥BC 于D , ∵△ABC 是边长为2的等边三角形, ∴AB =AC =BC =2,∠ABC =60°, ∴∠OBD =30°, ∵OD ⊥BC ,

∴∠ODB =90°,BD =CD =

1

2

BC =1, ∴OD =BD ?tan30°=1×

33=33

∴OB =2OD =

23

3

, ∴该三角形的半径长为

23

3

, 故答案为:

23

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【点睛】本题考查的

是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算;熟练掌握正三角形的性质,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.

16.如果两点A (2,a )和B (x ,b )在抛物线y =x 2﹣4x +m 上,那么a 和b 的大小关系为:a _____b .(从“>”“≥”“<”“≤”中选择). 【答案】≤ 【解析】 【分析】

由已知可得当x =2时函数有最小值,则可求b ≥a .

【详解】解:∵抛物线y =x 2﹣4x +m 的对称轴为x =2, ∴当x =2时函数有最小值, ∴b ≥a , 故答案为:≤.

【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征;熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键. 17.平移抛物线y =2x 2﹣4x ,可以得到抛物线y =2x 2+4x ,请写出一种平移方法_____. 【答案】向左平移2个单位 【解析】 【分析】

把y =2x 2﹣4x 和y =2x 2+4x 改写成顶点式,进而解答即可.

【详解】解:∵y =2x 2﹣4x =2(x ﹣1)2﹣2,y =2x 2+4x =2(x +1)2﹣2, ∴两抛物线的顶点坐标分别为(1,﹣2)和(﹣1,﹣2),

∴将抛物线y =2x 2﹣4x 先向左平移2个单位长度,可以得到抛物线y =2x 2+4x .

故答案为:向左平移2个单位.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换:先把二次函数的解析式配成顶点式,然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题.

18.如果三角形的两个内角∠α与∠β满足2α+β=90°,那么,我们将这样的三角形称为“准互余三角形”.在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4(如图所示),点D在AC边上,联结BD.如果△ABD为“准互余三角形”,那么线段AD的长为_____(写出一个答案即可).

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【答案】5

2

7

4

【解析】

【分析】

作DM⊥AB于M.设∠ABD=α,∠A=β.分两种情形:①当2α+β=90°时.②当α+2β=90°时,分别求解即可.

【详解】解:过点D作DM⊥AB于M.设∠ABD=α,∠A=β.

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①当2α+β=90°时,∵α+β+∠DBC=90°,

∴∠DBC=∠DBA,

∵DM⊥AB,DC⊥BC,

∴DM=DC,

∵∠DMB=∠C=90°,DM=DC,BD=BD,

∴Rt△BDC≌Rt△BDM(HL),

∴BM=BC=3,

∵∠C=90°,BC=3,AC=4,

∴AB22

BC AC

5,

∴AM =5﹣3=2,设AD =x ,则CD =DM =4﹣x , 在Rt △ADM 中,则有x 2=(4﹣x )2+22, 解得x =

52

. ∴AD =

52

. ②当α+2β=90°时,∵α+β+∠DBC =90°, ∴∠DBC =β=∠A , ∵∠C =∠C , ∴△CBD ∽△CAB , ∴BC 2=CD ?CA , ∴CD =

9

4

, ∴AD =AC ﹣CD =4﹣

94=74

. 故答案为:

52或74

. 【点睛】本题考查的是勾股定理,角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.

三、解答题(共7题)

19.2

318

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- 【答案】-3. 【解析】 【分析】

根据绝对值的性质,二次根式的混合运算,进行运算即可

1243-+=-

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【点睛】此题考查二次根式的混合运算,解题关键在于掌握运算法则

20.解方程组:22

28

560x y x xy y +=??+-=?

【答案】1

112 2

x y =

?

?

=-?,

2

2

8

3

8

3

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x

y

?

=

??

?

?=

??

【解析】

【分析】

先将第2个方程变形为x+6y=0,x﹣y=0,从而得到两个二元一次方程组,再分别求解即可.

【详解】解:

22

28

560

x y

x xy y

+=

?

?

+-=

?

由②得:x+6y=0,x﹣y=0,

原方程组可化为

28

60

x y

x y

+=

?

?

+=

?

28

x y

x y

+=

?

?

-=

?

故原方程组的解为1

1

12

2

x

y

=

?

?

=-

?

2

2

8

3

8

3

x

y

?

=

??

?

?=

??

【点睛】本题考查的是高次方程,关键是通过分解,把高次方程降次,得到二元一次方程组,用到的知识点是因式分解、加减法.

21.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,点D在边AC上,且∠DBC=45°,求sin∠ABD的值.【答案】

62

4

【解析】

【分析】

如图,作DM⊥AB于M,BA上取一点H,使得BH=DH,连接DH.设DM=a.解直角三角形求出BD 即可解决问题.

【详解】解:如图,过点D作DM⊥AB于M,在BA上取一点H,使得BH=DH,连接DH.设DM=a.

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∵∠C=90°,∠A=30°,

∴∠ABC=90°﹣30°=60°,

∵∠DBC=45°,

∴∠ABD=60°﹣45°=15°,

∵HB=HD,

∴∠HBD=∠HDB=15°,

∴∠DHM=∠HBD+∠HDB=30°,

∴DH=BH=2a,MH3,BM=2a3,

∴BD2222

(23)(26)

DM BM a a a a

+++=,

∴sin∠ABD=

62

(26)

DM

DB a

-

==

+

【点睛】本题考查解直角三角形,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.

22.某电脑公司2019年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为800万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元,且计划从2019年到2021年,每年经营总收入的年增长率相同,问2020年预计经营总收入为多少万元?

【答案】2400万

【解析】

【分析】

设从2019年到2021年,平均经营总收入增长率为x,根据等量关系:2019年经营总收入×(1+增长率)2=2021年经营总收入,列出方程求解即可.

【详解】解:从2019年到2021年,平均经营总收入增长率为x,根据题意可得:

800÷40%(1+x)2=2880,

解得:x1=0.2=20%,x2=2.2(不合题意舍去),

则800÷40%×(1+20%)=2400(万元),

答:2020年预计经营总收入为2400万元.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的

应用,属于增长率的问题,一般公式为原来的量×(1±x )2=后来的量,其中增长用+,减少用﹣.

23.已知:如图,△ABC 中,∠ACB =90°,D 在斜边AB 上,DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E ,F .

(1)当∠ACD =∠BCD 时,求证:四边形DECF 是正方形; (2)当∠BCD =∠A 时,求证:

CD CF

CA AD

=. 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】 【分析】

(1)由垂直的定义可得出∠DEC =∠DFC ,结合∠ECF =90°可得出四边形DECF 为矩形,由∠ACD =∠BCD 可得出CD 平分∠ACB ,利用角平分线的性质可得出DE =DF ,再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF 是正方形;

(2)由∠BCD +∠ACD =∠ACB =90°,∠BCD =∠A 可得出∠A +∠ACD =90°,利用三角形内角和定理可求出∠ADC =90°,由∠DCF =∠A ,∠DFC =∠ADC =90°可证出△CDF ∽△ACD ,再利用相似三角形的性质可证出

CD CF

CA AD

=. 【详解】证明:(1)∵DE ⊥AC ,DF ⊥BC , ∴∠DEC =∠DFC =90°, 又∵∠ECF =90°, ∴四边形DECF 为矩形. ∵∠ACD =∠BCD , ∴CD 平分∠ACB , ∴DE =DF ,

∴四边形DECF 是正方形.

(2)∵∠BCD +∠ACD =∠ACB =90°,∠BCD =∠A , ∴∠A +∠ACD =90°,

∴∠ADC =180°﹣90°=90°.

∵∠DCF =∠A ,∠DFC =∠ADC =90°, ∴△CDF ∽△ACD , ∴

CD CF

CA AD

=. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定,解题的关键是:(1)利用“邻边相等的矩形是正方形”,证出四边形DECF 是正方形;(2)利用“两角对应相等两三角形相似”证出△CDF ∽△ACD .

24.如图,已知一个抛物线经过A (0,1),B (1,3),C (﹣1,1)三点.

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(1)求这个抛物线的表达式及其顶点D 的坐标; (2)联结AB 、BC 、CA ,求tan ∠ABC 的值;

(3)如果点E 在该抛物线的

对称轴上,且以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是梯形,直接写出点E 的坐标. 【答案】(1)y =x 2+x +1,顶点D 的坐标(﹣

12,34);(2)tan ∠ABC =13

;(3)点E 的坐标为(﹣1

2,3)或(﹣

12,2)或(﹣12,1

2

) 【解析】 【分析】

(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ,将A (0,1)、B (1,3)、C (﹣1,1)代入,求a 、b 、c 的值,可得结果;

(2)如图,过点B 作BF ⊥x 轴于F ,延长CA 交BF 于点D ,过点A 作AM ⊥BC 于M ,通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM 和BM 的长,即可求解; (3)分三种情况讨论,由梯形的性质可求解.

【详解】解:(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0).

由题意可得:311a b c

a b c c =++??

=-+??=?

解得:

1

1

1 a

b

c

=?

?

=?

?=?

∴抛物线的解析式为:y=x2+x+1,

∵y=x2+x+1=2

13

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()

24

x++,

∴顶点D的坐标(﹣1

2

3

4

);

(2)如图,过点B作BF⊥x轴于F,延长CA交BF于点D,过点A作AM⊥BC于M,

∴BF=3,

∵A(0,1),C(﹣1,1),

∴AC∥x轴,

∴CD⊥BF,

∴CD=BD=2,AD=1,CA=1,

∴BC=2∠BCD=∠CBD=45°,

∵AM⊥BC,

∴∠MAC=∠MCA=45°,

∴CM=AM,

∴CM=AM

2

2

=,

∴BM=BC﹣CM=32

2

∴tan∠ABC=AM

BM

1

3

(3)∵A(0,1),B(1,3),C(﹣1,1),∴直线AC解析式为:y=1,

直线AB解析式为:y=2x+1,

直线BC解析式为:y=x+2,

若BE∥AC,则点E的纵坐标为3,且点E在对称轴上,

∴点E(﹣1

2

,3);

若CE∥AB,则CE的解析式为;y=2x+3,∵点E在对称轴上,

∴x=﹣1

2

∴y=2,

即点E(﹣1

2

,2);

若AE∥BC,则AE解析式为:y=x+1,∵点E在对称轴上,

∴x=﹣1

2

∴y=1

2

即点E(﹣1

2

1

2

),

综上所述:点E的坐标为(﹣1

2

,3)或(﹣

1

2

,2)或(﹣

1

2

1

2

).

【点睛】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,等腰直角三角形的性质,勾股定理,梯形的性质等知识,利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

25.在圆O中,弦AB与CD相交于点E,且弧AC与弧BD相等.点D在劣弧AB上,联结CO并延长交线

段AB于点F,联结OA、OB.当OA=5,且tan∠OAB=1

2

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

(1)求弦CD的长;

(2)如果△AOF是直角三角形,求线段EF的长;(3)如果S△CEF=4S△BOF,求线段AF的长.

【答案】(1)4;(2)3

2

51

;(3)

25

【解析】

【分析】

(1)如图,过点O作OH⊥AB于点H,由锐角三角函数可求OH=1,AH=2,由垂径定理可得AB=4,即可求CD=4

(2)分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求解;

(3)先利用面积关系得出

5

3

CO

FO

=,进而利用△OAF∽△EFC得出比例式,即可得出结论.

【详解】解:(1)如图,过点O作OH⊥AB于点H,

∵tan∠OAB=1

2

OH

AH =,

∴设OH=a,AH=2a,∵AO2=OH2+AH2=5,∴a=1,

∴OH=1,AH=2,

∵OH⊥AB,

∴AB=2AH=4,

∵弧AC=弧BD

∴??

AB CD

=,

∴AB=CD=4;

(2)∵OA=OB,

∴∠OAF=∠OBA,

∴∠OAF=∠ECF,

①当∠AFO=90°时,

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

∵OA tan∠OBA=1

2

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

∴OC=OA OF=1,AB=4,

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

∴EF=CF?tan∠ECF=CF?tan∠OBA;

②当∠AOF=90°时,

∵OA=OB,

∴∠OAF=∠OBA,

∴tan ∠OAF =tan ∠OBA =12

, ∵OA

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

∴OF =OA ?tan ∠OAF

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

, ∴AF =

52

, ∵∠OAF =∠OBA =∠ECF ,∠OF A =∠EFC , ∴△OF A ∽△EFC ,

EF OC OF OF AF +==

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

, ∴EF

3

2

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

=, 即:EF =

32

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

; (3)如图,连接OE , ∵∠ECB =∠EBC , ∴CE =EB ,

∵OE =OE ,OB =OC , ∴△OEC ≌△OEB , ∴S △OEC =S △OEB , ∵S △CEF =4S △BOF ,

∴S △CEO +S △EOF =4(S △BOE ﹣S △EOF ), ∴53

CEO EFO S S ??=, ∴

5

3

CO FO =, ∴FO

=35CO ,

2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试题(解析版)

∵△OF A ∽△EFC , ∴

53

CE AO OC EF FO OF ===, ∴BF =BE ﹣EF =CE ﹣EF =2

3

EF , ∴AF =AB ﹣BF =4﹣2

3

EF , ∵△OAF ∽△EFC ,

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