怎样描述圆周运动
1．知道什么是匀速圆周运动． 2．理解什么是线速度、角速度和周期．(重点) 3．理解线速度、角速度和周期之间的关系．(重点)
一、用你熟悉的物理量描述 1．线速度
(1)定义：物体经过的圆弧的长度s 跟通过这段圆弧所用时间t 的比值，叫做圆周运动的线速度；
(2)公式：v ＝s
t
；国际单位：米/秒(m/s)； (3)方向：沿切线方向；
(4)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢． 2．匀速圆周运动
物体做圆周运动时，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动．
1．匀速圆周运动是匀速运动吗？ 提示：不是．速度方向沿切线时刻变化． 二、用角度来描述 1．角速度
(1)定义：物体做圆周运动时，连接它与圆心的半径转过的角度Δθ跟所用时间t 的比值叫做角速度；
(2)公式：ω＝Δθt
；国际单位：弧度/秒(rad/s)；
(3)物理意义：描述质点转过圆心角的快慢． 2．周期与转速
(1)周期：物体沿圆周运动一周的时间叫做圆周运动的周期；国际单位：秒(s)． (2)转速：物体在单位时间内完成圆周运动的圈数叫做转速；国际单位：转/秒(r/s)．
2．
若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？ 提示：秒针的周期T 秒＝1 min ＝60 s ， 分针的周期T 分＝1 h ＝3 600 s ． 由ω＝Δθt ＝2πT 得ω秒ω分＝T 分T 秒＝60
1．
3．角速度与线速度的关系
(1)物体经过的弧长s 与转过的角度Δθ之间的关系：s ＝R Δθ． (2)角速度与线速度的关系：v ＝ωR ．
(1)由公式ω＝v
r
可知，做圆周运动半径大的物体，角速度一定小．( ) (2)飞轮转动的角速度越大，轮上同一点的线速度也越大．( ) (3)由公式r ＝v ω
可知，物体转动的半径与它的线速度大小成正比．( ) 提示：(1)× (2)√ (3)×
匀速圆周运动各物理量的比较
1．匀速圆周运动的认识 (1)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变．
②转动快慢不变，即角速度不变．由ω＝θt ＝2π
T
＝2πf ，故周期或频率都不变．
(2)运动性质
①速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动． ②速度的大小即速率不变，所以匀速圆周运动是匀速率运动． 2．描述圆周运动的各物理量间的关系
3．分析物体线速度、角速度、周期间关系的方法
(1)描述物体做圆周运动的线速度、角速度、周期及半径四个量中，若知道两个量可求出另外两个，应用的公式为v ＝ωr ＝2πr
T
．
(2)分析线速度v 、角速度ω、半径r 间数值关系时，有如下三种情况． ①当半径r 一定时，线速度v 与角速度ω成正比． ②当角速度ω一定时，线速度v 与半径r 成正比． ③当线速度v 一定时，角速度ω与半径r 成反比． 如图所示
关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确
的是( )
A ．线速度大的角速度一定大
B ．线速度大的周期一定小
C ．角速度大的半径一定小
D ．角速度大的周期一定小
[思路点拨] 解此题的关键是明确变量与不变量，用控制变量的思想结合各物理量的联系进行分析．
[解析] 由v ＝ωr 知，r 一定时，v 与ω成正比；v 一定时，ω与r 成反比，故A 、C 均错．由v ＝2πr T 知，r 一定时，v 越大，T 越小，B 错．而ω＝2πT
可知，ω越大，T 越小，
故D 对．
[答案] D
(1)v 、ω、R 之间是瞬时对应关系；
(2)v 、ω、R 三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系；
(3)若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心运动的快慢看周期、角速度．
1．(多选)关于角速度、线速度和周期，下面说法中正确的是( )
A ．半径一定，角速度与线速度成反比
B ．半径一定，线速度与角速度成正比
C ．线速度一定，角速度与半径成正比
D ．不论半径等于多少，角速度与周期始终成反比
解析：选BD ．关于角速度、线速度、周期的关系由公式v ＝ωR ，ω＝2π
T
可以得出，半
径一定时，线速度与角速度成正比，不论半径等于多少，ω与T 始终成反比．故选项B 、D 正确．
圆周运动中相遇和多解问题的分析方法
1．首先明确两个物体的运动性质，是匀速圆周运动、平抛运动还是匀变速直线运动． 2．建立起两个物体运动的关系，往往是时间关系和位移关系，这是解题的关键． 3．同时注意圆周运动的周期性，分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上加上2k π，具体k 的取值应视情况而定．
如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h 处沿OB 方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B ，求小球的初速度v 及圆盘转动的角速度ω的大小．
[解析] 小球做平抛运动，在竖直方向上有h ＝12gt 2
则运动时间t ＝
2h g
又因为水平位移为R ，所以小球的初速度
v ＝R t ＝R g 2h
在时间t 内圆盘转动的角速度
ω＝n ·2πt
＝2πn
g
2h
(n ＝1，2，3，…)． [答案] R
g
2h
2πn g
2h
(n ＝1，2，3，…) 2．如图所示，B 物体放在光滑的水平地面上，在水平力F 的作用下由
静止开始运动，B 物体质量为m ，同时A 物体在竖直面内由M 点开始做半径为r 、角速度为
ω的匀速圆周运动．求力F 多大可使A 、B 两物体的速度相同．
解析：因为B 物体在力F 作用下沿水平面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A 与B 速度相同，则只有当A 运动到圆轨道的最低点时，才有可能．
设A 、B 运动时间t 后两者速度相同(大小相等，方向相同)． 对A 物体有t ＝34T ＋nT ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋342π
ω(n ＝0，1，2，…)，v A ＝rω．
对B 物体有F ＝ma ，a ＝F
m ，v B ＝at ＝F m
t ．
令v B ＝v A 得，F m ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋342π
ω
＝ωr
解得F ＝2mrω
2
（4n ＋3）π(n ＝0，1，2，…)．
答案：F ＝2mrω
2（4n ＋3）π
(n ＝0，1，2，…)
常见传动装置及其特点
1．同轴转动
同轴的圆盘上各点
图示
相同量
角速度：ωA ＝ωB 周期：T A ＝T B
不同量 线速度：v A v B ＝r R
2．皮带传动
两轮边缘或皮带上各点
图示
相同量
边缘点线速度：v A ＝v B
不同量
角速度：
ωA ωB ＝r R
周期：T A T B ＝R r
3．齿轮传动
两齿轮啮合传动
图示
相同量
边缘点线速度：v A ＝v B
A 、
B 为两齿轮
边缘点
不同量
角速度：
ωA ωB ＝r 2
r 1
周期：T A T B ＝r 1r 2
如图所示，A 、B 两个齿轮的齿数分别是z 1、z 2，各自固定在过O 1、O 2的轴上．其
中过O 1的轴与电动机相连，此轴的转速为n 1，求：
(1)B 齿轮的转速n 2；
(2)A 、B 两齿轮的半径之比r 1∶r 2；
(3)在时间t 内，A 、B 两齿轮转过的角度之比φA ∶φB ；
(4)B 齿轮半径为r 2，B 齿轮外缘上一点在时间t 内通过的路程s B ． [解题探究] (1)齿轮传动装置中，两轮的相同量是什么？ (2)线速度、角速度周期、转速及半径的关系？
[解析] (1)在齿轮传动装置中，各齿轮的齿数是不同的，齿轮的齿数对应齿轮的周长，在齿轮传动进行转速变换时，单位时间内每个齿轮转过的齿数相等，相当于每个接合的齿轮边缘处的线速度大小相等，因此齿轮的转速与齿数成反比，所以B 齿轮的转速n 2＝z 1
z 2
n 1．
(2)A 齿轮边缘的线速度大小v 1＝ω1r 1＝2πn 1r 1，B 齿轮边缘的线速度大小v 2＝ω2r 2＝
2πn 2r 2，两齿轮边缘上各点的线速度大小相等，即v 1＝v 2，所以有2πn 1r 1＝2πn 2r 2，则两齿轮的半径之比r 1∶r 2＝n 2∶n 1＝z 1∶z 2．
(3)在时间t 内，A 、B 转过的角度分别为φA ＝ω1t ＝2πn 1t ，φB ＝ω2t ＝2πn 2t ，所以两齿轮转过的角度之比φA ∶φB ＝n 1∶n 2＝z 2∶z 1．
(4)B 齿轮外缘上一点在时间t 内通过的路程为s B ＝v 2t ＝ω2r 2t ＝2πz 1n 1r 2t
z 2
．
[答案] (1)n 2＝z 1
z 2
n 1 (2)r 1∶r 2＝z 1∶z 2 (3)φA ∶φB ＝z 2∶z 1 (4)s B ＝2πz 1n 1r 2t z 2
求解传动问题的方法
(1)分清传动特点：传动问题是圆周运动中一种常见题型，常见的传动装置有如下特点． ①皮带传动(轮子边缘的线速度大小相等)； ②同轴转动(各点角速度相等)；
③齿轮传动(相接触两个轮子边缘的线速度大小相等)．
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系． (3)用“通式”表达比例关系．
①绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n 和周期T 相等，而各点的线速度v ＝ωr ，即
v ∝r ；
②在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不
打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝v r
，即ω∝1r
；
③齿轮传动与皮带传动具有相同的特点．
3．
如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A 、B 、C 三轮的半径关系为r A ＝r C ＝2r B ，设皮带不打滑，则三轮边缘上的一点的线速度之比v A ∶v B ∶v C ＝ ，角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ＝ ．
解析：A 、B 两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A 、B 两轮边缘上各点的线速度
大小相等．B 、C 两轮固定在同一轮轴上，同轴转动，角速度相等．但是由于两轮的半径不等，由v ＝rω可知，B 、C 两轮边缘上各点的线速度大小不等，且C 轮边缘上各点的线速度是B 轮边缘上各点线速度的两倍，故有v A ∶v B ∶v C ＝1∶1∶2．因A 、B 两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由v ＝rω可知，它们的角速度与半径成反比，即ωA ∶ωB ＝r B ∶r A ＝1∶2．
答案：1∶1∶2 1∶2∶2
[随堂检测]
1．质点做匀速圆周运动，则：
①在任何相等的时间里，质点的位移都相等 ②在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等 ③在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
④在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等 以上说法中正确的是( ) A ．①② B ．③ ④ C ．①③
D ．②
④
解析：选D ．匀速圆周运动是变速运动，故在相等的时间内通过的路程相等，但位移不等，故①错，②正确．因为角速度是不变的，故④正确．平均速度是位移与时间的比值，所以③错．本题选D ．
2．两个物体都做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A ．若两者线速度大小相同，则角速度一定相同 B ．若两者角速度相同，则周期一定相同 C ．若两者周期相同，则半径一定相同 D ．若两者转速相同，则线速度一定相同
解析：选B ．由v ＝rω可知，线速度大小相同时，角速度与半径成反比，则角速度不一定相同，A 错．由ω＝2πT 可知，角速度相同时，周期一定相同，B 对．由T ＝2πr v
可知，
周期相同时，半径不一定相同，C 错．由v ＝2πnr 可知，转速相同时，线速度与半径成正比，则线速度不一定相同，D 错．
3．甲沿着半径为R 的圆形跑道匀速跑步，乙沿半径为2R 的圆形跑道匀速跑步，在相同时间内，甲、乙各跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v 1、v 2，则( )
A ．ω1＞ω2，v 1＞v 2
B ．ω1＜ω2，v 1＜v 2
C ．ω1＝ω2，v 1＜v 2
D ．ω1＝ω2，v 1＝v 2
解析：选C ．甲、乙跑步的周期相同，因为ω＝2π
T
，则角速度相同，即ω1＝ω2；又
因v ＝ωR ，所以线速度之比v 1∶v 2＝R 1∶R 2＝1∶2，即v 1＜v 2．故选项C 正确．
4．
(多选)变速自行车靠变速齿轮组合来改变行驶速度．如图是某一变速车齿轮传动结构示意图，图中A 轮有48齿，B 轮有42齿，C 轮有18齿，D 轮有12齿，则( )
A ．该车可变换两种不同挡位
B ．该车可变换四种不同挡位
C ．当A 轮与
D 轮组合时，两轮的角速度之比ωA ∶ωD ＝1∶4 D ．当A 轮与D 轮组合时，两轮的角速度之比ωA ∶ωD ＝4∶1
解析：选BC ．由题意知，当A 轮通过链条分别与C 、D 连接时，自行车有两种速度，当
B 轮分别与
C 、
D 连接时，又有两种速度，所以该车可变换四种挡位，选项B 正确；当A 与D
组合时，两轮边缘线速度大小相等，A 转一圈，D 转4圈，即
ωA ωD ＝1
4
，选项C 正确． 5．如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r 0＝1．0 cm 的摩擦小轮，小轮与自行车后车轮的边缘接触．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力．自行车车轮的半径R 1＝35 cm ，小齿轮的半径R 2＝4．0 cm ，大齿轮的半径
R 3＝10．0 cm ．求大齿轮的转速n 1和摩擦小轮的转速n 2之比．(假定摩擦小轮与自行车车轮
之间无相对滑动)
解析：大、小齿轮间、摩擦小轮与车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等．由v ＝2πnr 可知，转速n 和半径r 成反比．小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同．由以上分析可知，大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n 1n 2＝
2
175
．
答案：
2175
[课时作业][学生用书P93(单独成册)]
一、单项选择题
1．做匀速圆周运动的物体，下列物理量中改变的是( ) A ．速度 B ．速率 C ．角速度
D ．转速
解析：选A ．速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度也是矢量，在中学阶段不讨论角速度的方向，角速度不变．综上A 正确．
2．做匀速圆周运动的物体( )
A ．因相等时间内通过的弧长相等，所以线速度恒定
B ．如果物体在0．1 s 转过30°，则角速度为300 rad/s
C ．若半径r 一定，则线速度与角速度成反比
D ．若半径为r ，周期为T ，则线速度v ＝2πr
T
解析：选D ．线速度v ＝s t
，反映质点沿圆弧运动的快慢程度，是矢量，大小恒定，方向沿圆弧切线方向在不断地改变，故不能说v 恒定，选项A 错误；角速度ω＝φt
，反映质点与圆心连线转动的快慢，国际单位为rad/s ，B 中ω＝π
60.1 rad/s ＝5π
3 rad/s ，选项B 错误；
线速度与角速度的关系为v ＝ωr ，由该式可知，r 一定时，v ∝ω；v 一定时，ω∝1
r
；ω一
定时，v ∝r ，选项C 错误；物体转动一周的时间为T ，由线速度与角速度的定义，在特殊情况下(转一周)的线速度与角速度的表达式分别为：v ＝2πr T ，ω＝2π
T
，也可得到v ＝ωr ，
选项D 正确．
3．
如图所示，一个匀速转动的半径为r 的水平圆盘上放着两个小木块M 和N ，木块M 放在
圆盘的边缘处，木块N 放在离圆心1
3r 的地方，它们都随圆盘一起运动．比较两木块的线速
度和角速度，下列说法中正确的是( )
A ．两木块的线速度相等
B ．两木块的角速度不相等
C ．M 的线速度是N 的线速度的3倍
D ．M 的角速度是N 的角速度的3倍
解析：选C ．由传动装置特点知，M 、N 两木块有相同的角速度，又由v ＝ωr 知，因r N
＝1
3
r ，r M ＝r ，故木块M 的线速度是木块N 线速度的3倍，选项C 正确． 4．如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、
r 2、r 3．若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A ．
r 1ω1
r 3 B ．
r 3ω1
r 1 C ．r 3ω1
r 2
D ．
r 1ω1
r 2
解析：选A ．靠摩擦传动的轮子边缘的线速度大小相等，故v 1＝v 2＝v 3，而v 1＝ω1r 1，
v 3＝ω3r 3，所以ω3＝ω1r 1
r 3
，A 正确．
5．某一型号的电动滚轮铭牌上标有“120 r/min ”等额定参数，由此可知( ) A ．滚轮正常转动时的转速为2 r/s B ．滚轮正常转动的周期为2 s C ．滚轮正常转动的频率为120 Hz D ．以上说法都对
解析：选A ．铭牌上所标注的参数即为正常转动的转速n ．单位换算n ＝120 r/min ＝2 r/s ，选项A 正确；由转速n 可知滚轮每秒转动2圈，则周期T ＝1
2 s ＝0．5 s ，选项B 错误；而
转动频率f ＝1T ＝1
0.5
Hz ＝2 Hz ，选项C 错误．
6．甲、乙两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A ．它们的半径之比为2∶9
B ．它们的半径之比为1∶2
C ．它们的周期之比为2∶3
D ．它们的周期之比为3∶1
解析：选A ．由题意可得：v ＝rω，所以r ＝v
ω，r 甲∶r 乙＝v 甲ω甲∶v 乙
ω乙
＝2∶9，A 对，B 错；T ＝2πω，所以T 甲∶T 乙＝1ω甲∶1
ω乙
＝1∶3，C 、D 错．
二、多项选择题
7．图示为自行车的传动装置示意图，A 、B 、C 分别为大齿轮、小齿轮、后轮边缘上的一点，则在此传动装置中( )
A ．
B 、
C 两点的线速度相同 B ．A 、B 两点的线速度相同
C ．A 、B 两点的角速度与对应的半径成正比
D ．B 、C 两点的线速度与对应的半径成正比
解析：选BD ．大齿轮与小齿轮间是皮带传动，A 、B 两点的线速度相同，角速度与对应的半径成反比，B 正确，C 错误．小齿轮与后轮是同轴转动，B 、C 两点的角速度相同，线速度与对应的半径成正比，A 错误，D 正确．
8．一小球沿半径为2 m 的轨道做匀速圆周运动，若周期为π s，则( ) A ．小球的线速度是4 m/s
B ．经过π
4 s ，小球的位移大小是π m
C ．经过π4 s ，小球转过的圆心角为π
2 rad
D ．以上说法均不正确
解析：选AC ．由ω＝2πT 得ω＝2π
π rad/s ＝2 rad/s ，则v ＝rω＝2×2 m/s ＝4 m/s ．经
过t ＝π4 s ，小球转过的角度φ＝ωt ＝2×π4 rad ＝π
2 rad ，则位移大小为2r ＝2 2 m ，
故选项A 、C 正确．
9．如图所示，直径为d 的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴O 匀速转动，把枪口垂直圆筒轴线发射子弹，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度可能是( )
A ．
dω
π
B ．dω2π
C ．dω
3π
D ．dω
4π
解析：选AC ．由题意知圆筒上只有一个弹孔，证明子弹穿过圆筒时，圆筒转过的角度应满足θ＝π＋2k π＝(2k ＋1)π(k ＝0，1，2，…)，子弹穿过圆孔所用时间t ＝d v ＝θω
，所以有v ＝dω
（2k ＋1）π
(k ＝0，1，2，…)，故可能的选项为A 、C ．
三、非选择题 10．
半径为R 的水平圆盘绕过圆心O 的竖直轴匀速转动，A 为圆盘边缘上一点，在O 的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v 水平抛出时，半径OA 方向恰好与v 的方向相同，如图所示．若小球与圆盘只碰一次，且落在A 点，重力加速度为g ，则小球抛出时距O 的高度
h ＝ ，圆盘转动的角速度大小ω＝ ．
解析：小球做平抛运动，在竖直方向h ＝12gt 2
① 在水平方向R ＝vt
② 由①②两式可得h ＝gR 2
2v
2
③
小球落在A 点的过程中，OA 转过的角度
θ＝2n π＝ωt (n ＝1，2，3，…)
④
由②④两式得ω＝2n πv
R
(n ＝1，2，3，…)．
答案：gR 22v 2 2n πv R
(n ＝1，2，3，…)
11．
一物体沿半径为40 m 的圆形轨道在水平面内做匀速圆周运动，速度为10 m/s ，在A 点运动方向为正北，经1
4
周期运动至B 点，在B 点运动方向为正东，如图所示，求：
(1)物体从A 到B 的过程中路程和位移的大小； (2)物体运动的周期和角速度的大小．
解析：(1)路程l ＝1
4×2πr ＝20π m ≈62．8 m ，
位移大小s ＝2r ＝40 2 m ≈56．6 m ． (2)周期T ＝2πr v ＝2π×40
10
s ≈25．1 s ，
角速度ω＝v r ＝10
40
rad/s ＝0．25 rad/s ．
答案：(1)62．8 m 56．6 m (2)25．1 s 0．25 rad/s
12．如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30 r/min ，女运动员触地冰鞋的线速度为4．7 m/s ，求：
(1)女运动员做圆周运动的角速度； (2)女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径． 解析：(1)女运动员做圆周运动的角速度
ω＝
2πT ＝2n π≈2×30
60
×3．14 rad/s ＝3．14 rad/s ． (2)由v ＝rω，得女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径r ＝v ω＝4.73.14
m ≈1．5 m ．
答案：(1)3．14 rad/s (2)1．5 m
第五章曲线运动 第四节圆周运动 编制审核编号 0 [学习目标] 1.知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动． 2.知道线速度、角速度的物理意义、定义式及单位．(重点) 3.掌握线速度、角速度、周期、转速之间的关系．(重点、难点) 4.理解匀速圆周运动的多解问题．(难点) 基础知识 [先填空] 1．圆周运动 物体沿着圆周的运动，它的运动轨迹为圆，圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动． 2．描述圆周运动的物理量比较 ． [后判断] 1．做圆周运动的物体，其速度一定是变化的．(√) 2．角速度是标量，它没有方向．(×) 3．圆周运动线速度公式v＝Δs Δt中的Δs表示位移．(×)
[先填空] 1．定义：线速度大小处处相等的圆周运动． 2．特点 (1)线速度大小不变，方向不断变化，是一种变速运动． (2)角速度不变．(填“变”或“不变”) (3)转速、周期不变．(填“变”或“不变”) [后判断] 1．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等．(√) 2．做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同．(×) 3．匀速圆周运动是一种匀速运动．(×) 能力提升 描述圆周运动的物理量间的关系 第1步探究——分层设问，破解疑难 1．公式v ＝ωr 仅适用于匀速圆周运动吗？为什么？ 【提示】 不是．角速度ω、线速度v 、半径r 之间的关系是瞬时对应关系，不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动． 2．公式T ∝1 n 仅适用于匀速圆周运动吗？为什么？ 【提示】 不是．公式T ∝1 n 适用于包括匀速圆周运动在内的一切周期性运动． 第2步结论——自我总结，素能培养 1．意义的区别 (1)线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同．线速度v 描述质点运动的快慢，而角速度ω、周期T 、转速n 描述质点转动的快慢． (2)要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，既需要一个描述运动快慢的物理量，又需要一个描述转动快慢的物理量． 2．各物理量之间的关系
怎样描述圆周运动 1．知道什么是匀速圆周运动． 2．理解什么是线速度、角速度和周期．(重点) 3．理解线速度、角速度和周期之间的关系．(重点) 一、用你熟悉的物理量描述 1．线速度 (1)定义：物体经过的圆弧的长度s 跟通过这段圆弧所用时间t 的比值，叫做圆周运动的线速度； (2)公式：v ＝s t ；国际单位：米/秒(m/s)； (3)方向：沿切线方向； (4)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢． 2．匀速圆周运动 物体做圆周运动时，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动． 1．匀速圆周运动是匀速运动吗？ 提示：不是．速度方向沿切线时刻变化． 二、用角度来描述 1．角速度 (1)定义：物体做圆周运动时，连接它与圆心的半径转过的角度Δθ跟所用时间t 的比值叫做角速度； (2)公式：ω＝Δθt ；国际单位：弧度/秒(rad/s)； (3)物理意义：描述质点转过圆心角的快慢． 2．周期与转速 (1)周期：物体沿圆周运动一周的时间叫做圆周运动的周期；国际单位：秒(s)． (2)转速：物体在单位时间内完成圆周运动的圈数叫做转速；国际单位：转/秒(r/s)． 2．
若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？ 提示：秒针的周期T 秒＝1 min ＝60 s ， 分针的周期T 分＝1 h ＝3 600 s ． 由ω＝Δθt ＝2πT 得ω秒ω分＝T 分T 秒＝60 1． 3．角速度与线速度的关系 (1)物体经过的弧长s 与转过的角度Δθ之间的关系：s ＝R Δθ． (2)角速度与线速度的关系：v ＝ωR ． (1)由公式ω＝v r 可知，做圆周运动半径大的物体，角速度一定小．( ) (2)飞轮转动的角速度越大，轮上同一点的线速度也越大．( ) (3)由公式r ＝v ω 可知，物体转动的半径与它的线速度大小成正比．( ) 提示：(1)× (2)√ (3)× 匀速圆周运动各物理量的比较 1．匀速圆周运动的认识 (1)匀速的含义 ①速度的大小不变，即速率不变． ②转动快慢不变，即角速度不变．由ω＝θt ＝2π T ＝2πf ，故周期或频率都不变． (2)运动性质 ①速度的方向时刻改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动． ②速度的大小即速率不变，所以匀速圆周运动是匀速率运动． 2．描述圆周运动的各物理量间的关系
第二章 匀速圆周运动 第1节 圆周运动 [导学目标] 1.理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算.2.知道线速度与角速度的关系，知道线速度与周期、角速度与周期的关系.3.理解匀速圆周运动的概念和特点． 1．直线运动的速度等于________________________________的比值，公式v ＝Δx Δt . 2．在定义直线运动的瞬时速度时引入了________的思想，当Δt →0时，Δt 时间内的________速度即可近似看作Δt 时间内某时刻的________速度． 3．物体做曲线运动的条件：_________________________________________ ________________________________________________________________________. 曲线是变速运动，有加速度． 4．在数学中，可用弧度来表示角的大小，它等于____________的比值．公式：θ＝________. 一、线速度 [问题情境] 研究物体的运动时，我们往往关心的是物体运动的快慢．对于直线运动我们用单位时间内的位移大小比较物体运动的快慢．与此相似，对于圆周运动我们能否通过单位时间内圆周运动中的哪些量来比较圆周运动的快慢呢？ [要点提炼] 1．线速度定义：做圆周运动的质点通过的弧长Δs 与通过这段弧长所用时间Δt 的比值叫做圆周运动的线速度，用公式表示为：v ＝Δs Δt . 2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动． 3．对线速度的理解
6.1 圆周运动》学案 【学习目标】 1.认识圆周运动。 2.理解线速度、角速度和周期的概念，会用它们的公式进行计算。 3.理解线速度、角速度、周期之间的关系 4.理解匀速圆周运动是变速运动。 【课堂合作探究】 变速自行车高速时，使用大齿轮和小齿轮怎样连接？ 请观看视频，为什么杯子口部比底部跑得快？ 观看视频，你是否在游乐园玩过，你在上面的运动轨迹是什么？ 一、线速度 1、圆周运动的概念： 举举你所知道的圆周运动？ 自行车的大齿轮、小齿轮、后轮中的质点都在做圆周运动。那些点运动的更快些？我们怎样描述物体运动的快慢呢？
任务一：请同学们阅读课本23-24页线速度部分，回答一下问题：（1）线速度的物理意义？ （2）什么是线速度？ （3）线速度的大小计算公式？ （4）线速度的单位是什么？ （5）线速度的方向如何？ （6）什么是匀速圆周运动？ 匀速圆周运动中的“匀速”指速度不变吗？ 二、角速度 任务二：请同学们阅读课本24-25页角速度部分，回答一下问题：（1）角速度的物理意义？ （2）什么是角速度？ （3）角速度速度的大小计算公式？ （4）角速度的单位是什么？ （5）什么是圆周运动的转速？
（6）什么圆周运动的周期？ 三、周期其他描述圆周运动的物理量 1. 周期 T ： 2. 频率 f ： 3. 转速 n ： 四、描述圆周运动的各个物理量的关系 思考：一物体做半径为r 的匀速圆周运动，它在周期T 内转过的弧长为 多少？ 思考：由此可知它的线速度为多少；物体的角速度为多少？ 1.圆周运动运动快慢的描述物理量的关系: ====∆∆= n f T πππ θω222t nr fr T r r s v πππω222t ====∆∆= 匀速圆周运动除了线速度大小不变，还有哪些物理量不变 2. 两个重要推论 （1）传动问题 同一传动带各轮边缘 （2）同轴问题
第一节匀速圆周运动 1．匀速圆周运动的特点：任意相等时间内通过的 弧长(或角度)相等；线速度方向沿圆周的切线方向。 2．描述匀速圆周运动的物理量有线速度、角速度、 周期(或频率)、转速，其关系式是v ＝2πr T 、 ω＝ 2π T 、v ＝ωr 。 3．同轴转动的物体上各点的角速度相同；皮带传 动或齿轮传动的情况下各轮边缘的线速度相等。 一、认识圆周运动 1．定义 如果质点的运动轨迹是圆，那么这一质点的运动叫做圆周运动。 2．匀速圆周运动 在任意相等时间内通过的圆弧长度都相等的圆周运动。 3．性质 匀速圆周运动的速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动，也是最简单的一种圆周运动。 二、如何描述匀速圆周运动的快慢 1．线速度 (1)定义：做匀速圆周运动的物体通过的弧长l 与所用时间t 的比值。 (2)大小：v ＝l t ，单位m/s 。
(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。 (4)线速度的方向：沿圆周的切线方向。 2．角速度 (1)定义：在匀速圆周运动中，质点所在半径转过的角度φ与所用时间t 的比值。用符号ω来表示。 (2)大小：ω＝φ t ，单位：rad/s 。 (3)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。 3．周期和转速 (1)周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间。用符号T 表示，单位是秒(s)。 (2)转速：做匀速圆周运动的物体在单位时间内转过的圈数。用符号n 表示，单位是转每秒(r/s)或转每分(r/min)。 三、线速度、角速度、周期间的关系 (1)线速度与周期之间的关系为v ＝2πr T 。 (2)角速度与周期之间的关系为ω＝2π T 。 (3)线速度与角速度的关系为v ＝ωr 。 (4)周期与转速的关系：T ＝1 n (n 的单位取r/s)。 1．自主思考——判一判 (1)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。(√) (2)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。(×) (3)匀速圆周运动是一种匀速运动。(×) (4)做匀速圆周运动的物体，其合外力不为零。(√) (5)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。(×) (6)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变。(√) 2．合作探究——议一议 (1)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技，如图211所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
第8课圆周运动的应用 1、竖直平面内的圆周运动 2、水平面内的圆周运动 知识点01 竖直平面内的圆周运动 1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．2．绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型杆模型 常见 类型 均是没有支撑的小 球 均是有支撑的小球 过最高 点的临由mg＝m v2 r得v临＝ 由小球恰能做圆周运动得v临＝0 目标导航知识精讲
界条件gr 讨论分析(1)过最高点时， v≥gr，F N＋mg＝ m v2 r，绳、圆轨道对 球产生弹力F N (2)不能过最高点时， v
C．小明的速度为零，所受合力为零 D．小明的加速度为零，所受合力为零 【典例2】 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是（） A．小球通过最高点时的最小速度 B．小球通过b点时的速度不可能为0 C．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力【即学即练1】 伦敦眼是一个摩天轮，是英国伦敦标志性建筑。直径约为136米，共有32个乘坐舱，每个乘坐舱可载客约16名，转动一圈大概需要30分钟。坐在其中的游客随乘坐舱的转动可视为匀速圆周运动，对此有以下说法，其中正确的是（）
沪科版高中物理高一物理必修二《怎样描述圆周运动》教案及教学反思 一、教案设计 1.1 教学目标 1.了解圆周运动的基本定义和本质特征。 2.理解角度的定义、测量和应用。 3.掌握角速度和线速度的概念及其计算方法。 4.掌握圆周运动的公式。 1.2 教学重难点 1.圆周运动的定义和本质特征。 2.角度的定义、测量和应用。 1.3 教学内容 第一节怎样描述圆周运动 1.圆周运动的基本概念。 2.圆周运动的性质：周期、频率、角速度、线速度。 3.圆周运动的公式：v = rω，vf = vi + at，s = vit + (1/2)at²，s = (vi +vf)/2t，s = rt，ω = Δθ/Δt。 1.4 教学方法 1.探究式教学法。 2.案例教学法。
1.5 教学工具 1.计算器。 2.动画演示。 1.6 教学过程 第一节怎样描述圆周运动 1.引入 教师通过展示磁铁绕线圈运动的示例引导学生观察，让学 生感受和思考绕线圈运动的本质特征。 2.感性认识圆周运动 学生根据观察和思考得出结论，即绕线圈的运动是圆周运动，并总结圆周运动的定义和本质特征。 3.角度的定义、测量和应用 （1）角的定义：通过用圆分成的等份（弧度）来定义角，给出弧度制和角度制的定义，分别写出它们之间的换算公式。 （2）角的测量和应用：学生学会如何使用角度的测量工具，如量角器和卷尺等进行角度测量，以及角的应用举例讲解。 4.角速度和线速度的概念及其计算方法 （1）角速度的定义和计算方法：通过角速度与角度的关系，引出角速度的概念和计算公式。 （2）线速度的定义和计算方法：通过线速度与角速度和 半径的关系，引出线速度的概念和计算公式。 5.圆周运动的公式 通过绕线圈示例建立、展示和应用圆周运动公式，包括圆 周运动基本公式、匀加速直线运动公式和运动学定律等公式。
圆周运动（一） 【学习目标】 1.理解圆周运动、匀速圆周运动的概率 2.掌握线速度/角速度/周期的关系，掌握向心加速度 3.了解离心运动及其条件 1．如图所示，在倾角为45°的斜面底端正上方高H=6.4m处，将一小球以不同初速度水平拋出，若小球到达斜面时位移最小，重力加速度g=10m/s2，求： （1）小球平抛的处速度； （2）小球落到斜面时的速度． 2．小明将铅球以初速度v0水平抛出，铅球落地时的速度方向与水平方向成θ角，如图所示．不计空气阻力，重力加速度为g．求： （1）铅球的抛出点离地面的高度； （2）铅球的水平位移．
1．[匀速圆周运动的条件和性质]质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是 ( ) A ．速度的大小和方向都改变 B ．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C ．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动 D ．向心加速度大小不变，方向时刻改变 2．[线速度和角速度的关系]甲沿着半径为R 的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R 的圆周跑道匀速跑 步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v 1、v 2，则 ( ) A ．ω1>ω2，v 1>v 2 B ．ω1<ω2，v 1 最新沪科版必修2《怎样描述圆周运动》学案课 题】 2. 1 圆周运动的描述 【学习目标】 1、理解线速度、角速度、周期、频率、转速几个物理量的含义 2、应用相关数学概念,理解并熟悉物理量及它们之间的关系 3、正确分析常见的传动装置中相关物理量之间的关联关系 【重点难点】 准确理解线速度、角速度、周期、频率、转速几个物理量及其换算关系。描述圆周运动的物理量是本节重点,匀速圆周运动特点和线速度概念是本节的难点。 【要点导学】 1、本节主要学习圆周运动、匀速圆周运动的概念,以及描述圆周运动快慢的物理量。物理量主要包括线速度、角速度、转速、周期等。 2、质点的运动轨迹是 的运动叫做圆周运动。 3、圆周运动的快慢可以用物体通过的 与所用 的比值来量度,我们把此比值称为线速度,用v 表示。线速度是 ,其方向沿 方向。 4、物体沿着圆周运动,并且线速度的大小 的运动叫做匀速圆周运动。注意,由于匀速圆周运动的线速度的 是不断变化的,因此匀速圆周运动是一种 运动,这里的“匀速”是指 不变。 5、物体做圆周运动的快慢还可以用它与圆心连线扫过角度的快慢来描述,我们把比值t θ ∆∆称为 ,用ω表示。角速度的单位是 ,符号是 或 。 6、圆周运动的快慢还常用转速n 、周期T 等物理量来描述。转速指 ；周期是指做匀速圆周运动的物体 。 7、线速度与角速度的关系：在圆周运动中,线速度的大小等于半径与角速度大小的乘积,即 。 【典例精析】 例1．如图所示的皮带传动装置中,右边两轮是在一起同轴转 动,图中A 、B 、C 三轮的半径关系为R A ＝R C ＝2R B ,设皮带不打滑, 则三轮边缘上的一点线速度之比v A ∶v B ∶v C ＝ ,角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ＝ 。 解析：本题考查的是线速度、角速度和半径之间的关系,A 和B 是由皮带带动一起运动,皮带不打滑,故A 、B 两轮边缘上各点的线速度相等。B 、C 在同一轮轴上,同轴转动,角速度相等,但是由于离转轴的距离不同,由公式v ＝ωR 可知,B 与C 两轮边缘上各点的线速度不相等,且C 轮边缘上各点的线速度是B 轮上各点线速度的两倍。A 轮和B 轮边缘上各点的线速度相等,由公式v ＝ωR 可知,它们的角速度与它们的半径成反比,即ωA ∶ωB ＝R B ∶R A ＝1∶2。 由上述分析可知：v A ∶v B ∶v C ＝1∶1∶2,ωA ∶ωB ∶ωC ＝1∶2∶2。 拓展：在分析传动装置的各物理量之间的关系时,要首先明确什么量是相等的,什么量是不相等的。在通常情况下,同轴的各点角速度ω、转速n 和周期T 相等,线速度v ＝ωr,即与半径成正比。在认为皮带不打滑的情况下,传动皮带和与皮带接触处以及与皮带连接的轮边缘上各点的线速度大小相等,由ω＝v/r 可知,角速度与半径成反比。 高中阶段所接触的传动主要有：⑴皮带传动（线速度大小相等）；⑵同轴传动（角速度相等）；⑶齿轮传动（线速度大小相等）；⑷摩擦传动（线速度大小相等）。 例2．雨伞边缘半径为r ,且高出水平地面为h ,如图所示,若雨伞以角速度ω匀速旋转,使雨滴自雨伞边缘水平飞出后在地面上形成一个大圆圈,则此圆圈的半径R 为多大？ 解析：作出雨滴飞出后的三维示意图,如右图示。 雨滴飞出的速度大小为v ＝ωr 在竖直方向上有：h ＝1 2 gt 2 在水平方向上有：s ＝vt 又由几何关系可得：R ＝r 2 +s 2 联立以上各式可解得：R ＝r g g 2+2gω2 h , 拓展：⑴因为雨滴是由于雨伞的旋转而飞出,所以雨滴的沿圆周切线方向飞出而做平抛运动,但常有同学把它混同于雨滴自然沿伞面滑落的运动（当然,雨滴的运动并非平抛运动,而是斜下抛运动）,而误认为雨滴的速度方向沿雨伞的半径方向,如图 6.6－5所示作出雨滴自雨伞边缘飞出后的示意图,由此得到错误的解答R ＝r （1＋ω 2h g ）。 ⑵由本例分析解答可知,变换角度巧作图可以启发自己的思维,培养和增强自己的作图能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。 2.2 研究匀速圆周运动的规律 素有关，掌握向心力的公式及其变形 一、向心加速度 1．定义 做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度，叫向心加速度。 2．方向 时刻与物体的速度方向垂直且指向圆心。 3．大小 a ＝错误!＝ω2R (1)a ＝错误!，当线速度v 不变时，a 与R 成反比; （2）a ＝ω2R ，当角速度ω不变时，a 与R 成正比。 4．意义 描述线速度方向改变快慢的物理量。 预习交流1 地球上的物体随地球做匀速圆周运动的向心加速度是指向地心吗？ 答案：不一定.只有赤道平面内的物体随地球自转的向心加速度的方向指向地心，其他纬度平面内的物体的向心加速度各自指向本纬度平面与地轴的交点,这个交点是本纬度平面内所有物体做圆周运动的圆心。应垂直于地轴指向地轴. 二、向心力 1．定义 在匀速圆周运动中，产生向心加速度的力叫做向心力. 2． 来源 向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。向心力可能是重力、弹力、摩擦力或是它们的合力,也可能是某个力的分力。 3．方向 始终指向圆心，总与线速度方向垂直。 4．大小 F ＝m 错误!＝mω2R 5．意义 只改变匀速圆周运动的线速度方向,不改变线速度大小。 预习交流2 地球绕太阳做（近似的）匀速圆周运动，地球受到的太阳的作用力沿什么方向?光滑水平桌面上一个小球由于细线的牵引，小球绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，小球受到的合力沿什么方向？ 答案：地球受到的太阳的引力沿地球公转轨道的半径指向太阳；小球竖直方向受重力、支持力作用，这两个力 是平衡力,水平方向受绳子的拉力，这个拉力等于小球所受外力的合力,它是小球做匀速圆周运动的向心力。 1．圆周运动 学 习 目 标 知 识 脉 络(教师用书独具) 1.理解匀速圆周运动的概念和特点．(重点) 2．理解线速度、角速度、周期、频率等概念，会对它们进行定量计算．(重点) 3．知道线速度与角速度的定义，知道线速度与周期、角速度与周期的关系．(重点、难点) 一、形形色色的圆周运动 1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动． 2．匀速圆周运动：在相等时间内通过的圆弧长度相等的圆周运动． 二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期 1．线速度 (1)大小：线速度是描述做圆周运动的质点运动快慢的物理量．线速度的大小等于质点通过的弧长跟所用时间的比值，即v ＝Δs Δt . (2)方向：线速度不仅有大小，而且有方向．物体在某一时刻或通过某一位置的线速度方向就是圆周上该点的切线方向． 2．角速度 (1)定义：角速度是描述圆周运动的特有概念．连接运动质点和圆心的半径转过的角度和所用时间的比值，叫做匀速圆周运动的角速度． (2)公式：ω＝Δφ Δt . (3)单位：角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s. 3．周期 做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期，用T 表示，其国际制单位为秒(s)． 三、线速度、角速度和周期间的关系 1．r 、T 、v 、ω之间的关系 质点沿半径为r 的圆周做匀速圆周运动，周期是T ，则 (1)线速度v ＝2πr T . (2)角速度ω＝2πT . (3)线速度与角速度的关系为v ＝r ω. 2．转速 (1)转速是指转动物体在单位时间内转过的圈数，常用符号n 表示． (2)单位：转/秒(r/s)或转/分(r/min)． (3)角速度与转速的关系是ω＝2πn . 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等．( ) (2)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同．( ) (3)匀速圆周运动是一种匀速运动． ( ) (4)匀速圆周运动的周期相同时，角速度及转速都相同．( ) (5)匀速圆周运动的物体周期越长，转动越快． ( ) (6)做匀速圆周运动的物体在角速度不变情况下，线速度与半径成正比． ( ) 【提示】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√ 2．(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A ．匀速圆周运动是匀速运动 B ．匀速圆周运动是变速运动 C ．匀速圆周运动是线速度不变的运动 D ．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动 BD [这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动，故B 、D 正确．] 3．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( ) A ．它们的半径之比为2∶9 B ．它们的半径之比为1∶2 2。3 圆周运动的案例分析 直平面内的圆周运动。 一、分析游乐场中的圆周运动 1．受力分析 （1)过山车在轨道顶部时要受到重力和轨道对车的弹力作用,这两个力的合力提供过山车做圆周运动的向心力。 （2）当过山车恰好经过轨道顶部时，弹力为零,此时重力提供向心力。 2．临界速度 （1）过山车恰好通过轨道顶部时的速度称为临界速度,记作v 临界，v 临界＝错误!。 （2）当过山车通过轨道最高点的速度v ≥错误!时，过山车就不会脱离轨道;当v ＞错误!时,过山车对轨道还会产生压力作用。 （3）当过山车通过轨道最高点的速度v ＜错误 !时，过山车就会脱离轨道，不能完成圆周运动. 预习交流1 “水流星" 是我国传统的杂技节目，演员们把盛有水的容器用绳子拉住在空中如流星般快速舞动，同时表演高难度的动作，容器中的水居然一滴也不掉下来。 “水流星"的运动快慢与绳上的拉力的大小有什么关系？如果绳上的 拉力渐渐减小，将会发生什么现象？ 答案：“水流星”转得越快，绳上的拉力就越大。若绳上的拉力减小，有可能使水流出来。 二、研究运动物体转弯时的向心力 1．自行车转弯时要向转弯处的内侧倾斜,由地面对车的作用力与重力的合力作为转弯所需要的向心力。 2．汽车在水平路面上转弯时由地面的摩擦力提供向心力。 3．火车转弯时的向心力由重力和铁轨对火车的支持力的合力提供,其向心力方向沿水平方向。 预习交流2 飞行中的鸟和飞机要改变方向转弯时，鸟的身体或飞机的机身要倾斜，如图所示,这是为什么？ 答案:鸟或飞机转弯时需要向心力，只有当鸟身或飞机的机身倾斜时,它们所受空气对它们的作用力和重力的合力才能提供它们转弯需要的向心力。 一、竖直面内的圆周运动实例分析 1．汽车过拱形桥桥顶时，可认为是圆周运动模型，那么汽车过拱形桥顶时动力学特点有哪些？ 第三单元 圆周运动（2课时） 一.考纲要求 二、大体概念 一、概念：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。 二、分类： ⑴匀速圆周运动： 质点沿圆周运动，若是在任意相等的时刻里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运 动。（试探：若是在任意相等的时刻里通过的角度相等，是不是是匀速圆周运动？） 物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。 注意：这里的合力能够是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在滑腻水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等． ⑵变速圆周运动：若是物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速度不断转变——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速度圆周运动．合力的方向并非总跟速度方向垂直． 3、描述匀速圆周运动的物理量 （1）轨道半径（r ）：对于一般曲线运动，能够理解为曲率半径。 （2）线速度（v ）： ①概念：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S 和所历时刻t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。 ②概念式：t s v = ③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称呼，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速度。 （3）角速度（ω，又称为圆频率）： ①概念：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所历时刻的比值叫做匀速圆周运动的角速度。 ②大小：T t πϕ ω2= = (φ是t 时刻内半径转过的圆心角) ③单位：弧度每秒（rad/s ） ④物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢 （4）周期（T ）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时刻叫做周期。 （5）频率（f ，或转速n ）：物体在单位时刻内完成的圆周运动的次数。 各物理量之间的关系： r t r v f T t rf T r t s v ωθππθωππ==⇒⎪⎪ ⎭⎪⎪ ⎬ ⎫ ====== 2222 注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。 （6）圆周运动的向心加速度 ①概念：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。 ②大小：r r v a n 22ω==（还有其它的表示形式，如：()r f r T v a n 22 22ππω=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛==） ③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。 对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度τa ，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言， τa =0） （7）圆周运动的向心力 匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源能够是任何性质的力，常见 的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力n F 提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力τF 提供切向加速度。 向心力的大小为：r m r v m ma F n n 22 ω===（还有其它的表示形式，如： ()r f m r T m mv F n 2 2 22ππω=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛==） ；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。 实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。 【练习1】做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是（ ） A ．速度 B ．速度 C ．角速度 D ．加速度 【练习2】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．匀速圆周运动是匀速运动 B ．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C ．物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动 D ．做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态 5.3 圆周运动（解析版）（备作业） 姓名：___________班级：___________错题号：___________ 一、单选题 1．如图所示为旋转脱水拖把，拖把杆内有一段长度为25cm的螺杆通过拖把杆下段与拖把头接在一起，螺杆的螺距（相邻螺纹之间的距离）d=5cm，拖把头的半径为10cm，拖把杆上段相对螺杆向下运动时拖把头就会旋转，把拖把头上的水甩出去。某次脱水时，拖把杆上段1s内匀速下压了25cm，该过程中拖把头匀速转动，则（） A．拖把杆向下运动的速度为0. 1πm/s B．拖把头边缘的线速度为πm/s C．拖把头转动的角速度为5π ra d/s D．拖把头的转速为1r/s 【答案】B 【详解】 A．拖把杆向下运动的速度 故A错误； BCD．拖把杆上段1s内匀速下压了25cm，则转动5圈，即拖把头的转速为 n=5r/s 则拖把头转动的角速度 拖把头边缘的线速度 故B正确，CD错误； 故选B。 2．如图所示，自行车大齿轮、小齿轮、后轮半径不相同，关于它们边缘上的三个点A、B、C的描述，以下说法正确的是（） A．A点和C点的线速度大小相等B．A点和B点的角速度相等 C．A点和B点的线速度大小相等D．B点和C点的线速度大小相等 【答案】C 【详解】 ACD．大齿轮、小齿轮通过链条传动，A、B两点是大、小齿轮的边缘点，所以A、B两点的线速度大小相等；小齿轮和后轮同轴转动，B、C两点分别在小齿轮和后轮边缘，故角速度相等，根据 v=ωr 可知B点的线速度小于C点的线速度，所以A点的线速度小于C点的线速度，故A、D错误，C正确。B．A、B两点的线速度大小相等，A的半径大于B的半径，根据 ω=v r 2.2 研究匀速圆周运动的规律 [学习目标] 1.知道向心加速度，掌握向心加速度的公式.2.通过实例认识向心力及其方向，理解向心力的作用.3.通过实验探究向心力的大小与哪些因素有关，掌握向心力的公式，能运用向心力的公式进行计算.4.能运用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力和向心加速度. 一、向心加速度 1.定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度. 2.大小：a ＝v 2R ＝ω2R ＝4π2T 2R ＝4π2n 2R ＝ωv . 3.方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心. 4.作用 向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小. 5.物理意义：描述线速度方向变化的快慢. 6.匀速圆周运动的性质 向心加速度的方向始终指向圆心，方向时刻改变，是一个变加速度，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是非匀变速运动. 二、向心力及其方向 1.定义：做圆周运动的物体，产生向心加速度的力. 2.方向：始终指向圆心，总是与运动方向垂直. 3.作用效果：向心力只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心 力不做功. 4.来源：可能是重力、弹力、摩擦力或是它们的合力.做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体受到的合外力，做非匀速圆周运动的物体，向心力不是物体所受到的合外力. 5.向心力大小实验验证： 6.公式：F ＝mRω2或F ＝mv R . [即学即用] 1.判断下列说法的正误. (1)向心加速度方向时刻指向圆心，方向不变.(×) (2)匀速圆周运动的向心加速度大小是不变的.(√) (3)匀速圆周运动的线速度大小不变，加速度为零.(×) (4)匀速圆周运动的向心力是恒力.(×) (5)物体由于做匀速圆周运动而产生了一个向心力.(×) (6)做匀速圆周运动的物体所受的合外力提供了向心力.(√) 2.在长0.2 m 的细绳的一端系一小球，质量为0.5 kg ，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6 m/s 的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为________，向心加速度为________，所需要的向心力为________. 答案 3 rad/s 1.8 m/s 2 0.9 N 第3节圆周运动的实例分析 1.汽车通过拱形桥的运动 可看做竖直平面内的圆周 运动，在拱形桥的最高点， 汽车对桥的压力小于汽车 的重力。 2．旋转秋千、火车转弯、鸟或飞机 盘旋均可看做在水平面上的匀速圆 周运动，其竖直方向合力为零，水平 方向合力提供向心力。 3．当合外力提供的向心力消失或不 足时，物体将沿圆周运动的切线方向 飞出或远离圆心而去的运动叫做离 心运动。 一、汽车过拱形桥 汽车过凸桥汽车过凹桥 受力 分析 牛顿第 二定律mg－N＝m v2 R N－mg＝m v2 R 牛顿第 三定律F压＝N＝mg－m v2 R F压＝N＝mg＋m v2 R 讨论v增大，F 压减小；当 v增大到gR时，v增大，F压增大 “旋转秋千”运动可简化为圆锥摆模型，如图231所示。 图231 1．向心力来源 物体做匀速圆周运动的向心力由物体所受的重力和悬线对它的拉力的合力提供。 2．动力学关系 mg tan_α＝mω2r，又r＝l sin_α，则ω＝ g l cos α ，周期 T＝2π l cos α g ，所以cos α＝ g ω2l ，由此可知，α角度与角 速度ω和绳长l有关，在绳长l确定的情况下，角速度ω越大，α越大。 三、火车转弯 1．运动特点 火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力。 2．向心力来源 在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供。如图232所示。 图232 四、离心运动 1．定义 物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动。 2．原因 合外力提供的向心力消失或不足。 3．应用 (1)离心机械：利用离心运动的机械。 (2)应用：洗衣机的脱水筒；科研生产中的离心机。 1．自主思考——判一判 (1)汽车行驶至凸形桥顶时，对桥面的压力等于车的重力。(×) (2)汽车过凹形桥底部时，对桥面的压力一定大于车的重力。(√) (3)汽车过凸形桥或凹形桥时，向心加速度的方向都是向上的。(×) (4)“旋转秋千”的缆绳与中心轴的夹角与所乘坐人的体重无关。(√) (5)做离心运动的物体一定不受外力作用。(×) (6)做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动。(×) 2．合作探究——议一议 (1)如果汽车过凸形桥桥顶的速度v＝gR，此后汽车做什么运 1.圆周运动 课标要求 1.知道什么是圆周运动，知道什么是匀速圆周运动，理解匀速圆周运动的特点． 2．理解线速度、角速度、周期、频率等概念，会对它们进行定量计算． 3．掌握线速度与周期、角速度与周期的关系． 4．掌握常见传动装置的特点． 思维导图 必备知识·自主学习——突出基础性素养夯基 一、圆周运动和匀速圆周运动 1．圆周运动：物体的运动轨迹是________的运动． 2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等时间内通过的________都相等，这种运动叫作匀速圆周运动． [提醒] 弧长不是位移． [提醒] 匀速圆周运动只是速率不变，速度方向时刻变化，匀速圆周运动是匀速率的圆周运动． 二、描述匀速圆周运动的物理量 1．线速度 (1)大小：做圆周运动的物体通过的________与________的比，表达式：v＝________． (2)方向：________________________． (3)物理意义：描述质点沿圆周运动的________． 注意：线速度是质点做圆周运动的瞬时速度，是矢量．不仅有大小而且有方向，且方向时刻改变，所以圆周运动是________曲线运动． 2．角速度 (1)定义：对于做匀速圆周运动的质点，连接质点和圆心的半径所转过的________跟 ________的比，叫作匀速圆周运动的角速度，表达式：ω＝________．(2)物理意义：描述质点绕圆心转动的________． (3)单位：________，符号是________． (4)匀速圆周运动是角速度不变的运动． 三、周期T和转速n： 1．周期：指做匀速圆周运动的物体，________所用的时间．单位：________． 转速是指物体转过的________与________之比．单位：________或________．均用来描述物体绕轴转动的________． 2．转速与周期的关系：T＝________． 四、线速度、角速度、周期的关系 1．线速度与周期的关系v＝________． 2．角速度与周期的关系ω＝________． 3．线速度与角速度的关系v＝rω. [举例] (1)地球在自转，地球上不同纬度处的点，线速度大小不相等，但角速度相同． (2)钟表上的时针和分针绕轴转动的角速度、周期、转速不同，时针和分针末端的线速度大小也不同． [导学] (1)同轴转动的物体各点角速度相同，半径越大的点线速度越大． (2)皮带(链条)传动、齿轮传动边缘线速度大小相等，两轮角速度与轮半径成反比． 关键能力·合作探究——突出综合性素养形成 探究点一描述圆周运动的物理量 导学探究 如图所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动．秒针针尖做圆周运动的半径为r，在很短时间Δt内转过的圆心角为Δθ，对应弧长AB为Δs. (1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？谁转得最快？ (2)秒针的周期是多大？秒针针尖的线速度v是多大？秒针的角速度ω是多大？ (3)圆心角Δθ与弧长Δs及半径r之间有什么数学关系？线速度v与角速度ω及半径r 之间有什么关系？ 2.1 怎样描述圆周运动 [学习目标] 1.知道什么是匀速圆周运动，知道它是变速运动.2.记住线速度的定义式，理解线速度的大小、方向的特点.3.记住角速度的定义式，知道周期、转速的概念.4.理解并掌握v ＝ωr 和ω＝2πn 等公式． 一、线速度 1．定义：物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值，v ＝s t . 2．意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢． 3．方向：线速度是矢量，方向沿着圆周的切线方向． 4．匀速圆周运动：沿着圆周运动，且在相等的时间里通过的圆弧长度相等的运动． 二、角速度 1．定义：物体做圆周运动时，连接它与圆心的半径转过的角度Δθ跟所用时间t 的比值.ω＝Δθ t . 2．意义：描述物体做圆周运动的快慢． 3．单位：弧度每秒，符号是rad/s. 三、周期和转速 1．周期T ：物体沿圆周运动一周的时间，单位为秒(s)． 周期与角速度的关系：ω＝ 2πT . 2．转速n ：物体在单位时间内完成圆周运动的圈数，单位为每秒(s － 1)或转每分(r/min)． 四、角速度与线速度的关系 v ＝ωR . [即学即用] 1．判断下列说法的正误． (1)匀速圆周运动是一种匀速运动．(×) (2)做匀速圆周运动的物体，相同时间内的位移相同．(×) (3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变．(×) (4)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变．(√) (5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小．(√) 2．A 、B 两个质点，分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长之比s A ∶s B ＝2∶3，转过的圆心角之比θA ∶θB ＝3∶2，那么它们的线速度大小之比v A ∶v B ＝________，角速度大小之比ωA ∶ωB ＝________. 答案 2∶3 3∶2 解析 由v ＝s t 知v A v B ＝23；由ω＝Δθt 知ωA ωB ＝3 2 . 一、线速度和匀速圆周运动 [导学探究] 如图1所示为自行车的车轮，A 、B 为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题： 图1 (1)A 、B 两点的速度各沿什么方向？ (2)如果B 点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B 点做匀速运动吗？ (3)匀速圆周运动的线速度是不变的吗？匀速圆周运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗？ (4)A 、B 两点哪个运动得快？ 答案 (1)两点的速度均沿各自圆周的切线方向． (2)B 运动的方向时刻变化，故B 做非匀速运动． (3)质点做匀速圆周运动时，线速度的大小不变，方向时刻在变化，因此，匀速圆周运动只是速率不变，是变速曲线运动．而“匀速直线运动”中的“匀速”指的是速度不变，是大小、方向都不变，二者并不相同． (4)B 运动得快． [知识深化] 1．对线速度的理解 (1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快．最新沪科版必修2《怎样描述圆周运动》学案
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