一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．
（1）点C的坐标________；
（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；
（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，
使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．
【答案】（1）（3，0）
（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，
∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），
设直线AC的解析式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．
∵点E（2，m）在直线AC上，
∴m=﹣ ×2+ = ，
∴点E（2，）．
∵反比例函数y= 的图象经过点E，
∴k=2× =3，
∴反比例函数的解析式为y=
（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．
在y= 中，当x=3时，y=1，
∴F（3，1）．
过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．
设直线EF的解析式为y=a'x+b'，
∴，解得，
∴y=﹣ x+ ．
设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，
代入M（3，﹣0.5），得：c=1，
∴y=﹣ x+1．
当x=1时，y=0.5，
∴点P（1，0.5）．
同理可得点P（1，3.5）．
∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．
【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），
∴OC=3，
∴C（3，0）．
故答案为（3，0）；
【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解
析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接
EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．
2．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数
y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．
【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，
∴2×3n=（5n+2）×1=m，
∴n=2，m=12，
∴A（2，6），B（12，1），
∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，
∴，
解得，
∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．
（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，
由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，
由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，
解得a=7±2 ．
（3）（0，6）或（0，8）
【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），
由题意，PE=|m﹣7|．
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，
∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．
∴|m﹣7|=1．
∴m1=6，m2=8．
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
故答案为（0，6）或（0，8）．
【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.
3．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）
（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．
【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，
∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；
（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；
（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，
∴OE= OA= ，点D（，2），
∴点B（3，4），
又∵点F在正比例函数y= x图象上，
∴F（，），
∴DF= 、BC=3、EA= ，
∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.
4．如图1，经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y= 相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（﹣1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负
半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．
所以双曲线的解析式为y=﹣．
设点B的坐标为（m，﹣m）．
∵点B在双曲线上，
∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．
∵点B在第四象限，
∴m=2．
∴B（2，﹣2）．
将点A、B、C的坐标代入得：，
解得：．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x．
（2）解：如图1，连接AC、BC．
令y=0，则x2﹣3x=0，
∴x=0或x=3，
∴C（3，0），
∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
∵点D是直线AB与x轴的交点，
∴D（1，0），
∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；
（3）解：存在，理由：如图2，
由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，
∴原抛物线的顶点坐标为（，﹣），
∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，
而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），
∴平移后点A（﹣，），B（，），
∴点A关于y轴的对称点A'（，），
连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，
由对称性知，∠APE=∠BPE，
∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，
∵B（，），A'（，），
∴直线A'B的解析式为y=3x﹣，
∴P（0，﹣）．
【解析】【分析】（1）首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，最后，将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式，求得a、b、c的值即可；
（2）由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式，然后将y=0可求得点D的横坐标，最后用三角形的面积和求解即可；
（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.
5．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比
例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，
）．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．
【答案】（1）解：∵反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3，），
∴k=3× =2，
∴反比例函数的表达式为y= ．
又∵点D（m，2）在反比例函数y= 的图象上，
∴2m=2，解得：m=1
（2）解：设OG=x，则CG=OC﹣OG=2﹣x，∵点D（1，2），
∴CD=1．
在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，
∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，
解得：x= ，
∴点G（0，）．
过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．
由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．
∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，
∴∠CGD=∠HDF，
∵∠DCG=∠FHD=90°，
∴△GCD∽△DHF，
∴=2，
∴DF=2GD= ，
∴点F的坐标为（，0）．
设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，
∴有，解得：．
∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+
【解析】【分析】（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．
6．如图、在矩形OABC中，，双曲线与矩形两边BC，AB 分别交于E，F两点.
（1）如图一，若E是BC中点，求点F的坐标；
（2）如图二，若将沿直线EF对折，点B恰好落在x轴上的点D处，求k的值. 【答案】（1）解：矩形OABC中，，，E是BC中点，
点 .
点E在双曲线上，
.
.
点F的横坐标为4，且在双曲线上，
，即点；
（2）解：过点E做轴于H点，
点点
， .
， .
，
，
，
∽ .
，，
.
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据E点坐标求出k的值，而后把F点的横坐标代入反比例函数解析式求出纵坐标；（2）过点E做轴于H点，根据∽，分别用k 表示出DF、AF、AD长度，根据勾股定理构造出关于k的方程.
7．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【答案】（1）①当x=4时，
∴点B的坐标是（4，1）
当y=2时，由得得x=2
∴点A的坐标是（2，2）
设直线AB的函数表达式为
∴解得
∴直线AB的函数表达式为
②四边形ABCD为菱形，理由如下：如图，
由①得点B（4，1），点D（4，5）
∵点P为线段BD的中点
∴点P的坐标为（4，3）
当y=3时，由得，由得，
∴PA= ，PC=
∴PA=PC
而PB=PD
∴四边形ABCD为平行四边形
又∵BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形
（2）四边形ABCD能成为正方形
当四边形ABCD时正方形时，PA=PB=PC=PD（设为t，t≠0），
当x=4时，
∴点B的坐标是（4，）
则点A的坐标是（4-t，）
∴，化简得t=
∴点D的纵坐标为
则点D的坐标为（4，）
所以，整理得m+n=32
【解析】【分析】（1）①分别求出点A，B的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的表达示；
②由特殊的四边形可知，对角线互相垂直的是菱形和正方形，则可猜测这个四边形是菱形或是正方形，先证明其为菱形先，则需要证明四边形ABCD是平行四边形，运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等，若不相等则不是正方形；（2）要使m，n有具体联系，根据A,B，C，D分别在两个函数图象，且
由正方形的性质，可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ，即可得到只关于m和n的等式．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= 相交于点A（m，
3），B（﹣6，n），与x轴交于点C．
（1）求直线y=kx+b（k≠0）的解析式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP= S△BOC，求点P的坐标（直接写出结果）．
【答案】（1）解：）∵点A（m，3），B（﹣6，n）在双曲线y= 上，∴m=2，n=﹣1，
∴A（2，3），B（﹣6，﹣1）．
将（2，3），B（﹣6，﹣1）带入y=kx+b，
得：，
解得．
∴直线的解析式为y= x+2
（2）解：
当y= x+2=0时，x=﹣4，
∴点C（﹣4，0）．
设点P的坐标为（x，0），
∵S△ACP= S△BOC， A（2，3），B（﹣6，﹣1），
∴×3|x﹣（﹣4）|= × ×|0﹣（﹣4）|×|﹣1|，即|x+4|=2，
解得：x1=﹣6，x2=﹣2．
∴点P的坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．
【解析】【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出
点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP= S△BOC，即可得出|x+4|=2，解之即可得出结论．
9．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y= 的图象经过D点．
（1）证明四边形ABCD为菱形；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）已知在y= 的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．
【答案】（1）解：∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），
∴OA=4，OB=3，OC=2，
∴AB= =5，BC=5，
∴AB=BC，
∵D为B点关于AC的对称点，
∴AB=AD，CB=CD，
∴AB=AD=CD=CB，
∴四边形ABCD为菱形
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y= 的图象经过D点，
∴4= ，
∴k=20，
∴反比例函数的解析式为：y=
（3）解：∵四边形ABMN是平行四边形，
∴AN∥BM，AN=BM，
∴AN是BM经过平移得到的，
∴首先BM向右平移了3个单位长度，
∴N点的横坐标为3，
代入y= ，
得y= ，
∴M点的纵坐标为：﹣4= ，
∴M点的坐标为：（0，）
【解析】【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接
OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵tan∠ABO= ，
∴ = ，且OB=4，
∴OA=2，
∵CE⊥x轴，即CE∥AO，
∴△AOB∽△CEB，
∴ = ，即 = ，解得CE=3，
∴C（﹣2，3），
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣
（2）解：设D（x，﹣），
∵D在第四象限，
∴DF=x，OF= ，
∴S△DFO= DF?OF= x× =3，
由（1）可知OA=2，
∴AF=x+ ，
∴S△BAF= AF?OB= （x+ ）×4=2（x+ ），
∵S△BAF=4S△DFO，
∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣，
当x=3+ 时，﹣的值为3﹣，
当x=3﹣时，﹣的值为3+ ，
∵D在第四象限，
∴x=3﹣不合题意，舍去，
∴D（3+ ，3﹣）
（3）解：∵D在第四象限，
∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，
设直线AB解析式为y=kx+b，
由题意可得，解得，
∴直线AB解析式为y=﹣ x+2，
联立直线AB和反比例函数解析式可得，解得或
（舍去），
∴D（6，﹣1），
即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，﹣1）
【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣C B≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标．
11．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.
（1）请直接写出二次函数的解析式.
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),
∴
解得
∴抛物线表达式：
（2）解：△ABC是直角三角形.
令y=0,则
解得x1=8,x2=-2,
∴点B的坐标为(-2,0),
由已知可得,
在Rt△ABO中
AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中
AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∴BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中
AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵A(0,4),C(8,0),
AC= =4 ,
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)
③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标
12．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．
（1）写出反比例函数y＝图象上的一个“和谐点对”；
（2）已知二次函数y＝x2+mx+n，
①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；
②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．
【答案】（1）解：∵y＝，
∴可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；
（2）解：①∵A（2，4）且A和B为和谐点对，
∴B点坐标为（﹣2，﹣4），
将A和B两点坐标代入y＝x2+mx+n，可得，
∴；
②如图：
（ⅰ） M点在x轴上方时，
若∠AMB 为直角（M点在x轴上），则△ABC为直角三角形，
∵A（2，4）且A和B为和谐点对，B点坐标为（﹣2，﹣4），
∴原点O在AB线段上且O为AB中点，
∴AB＝2OA，
∵A（2，4），
∴OA＝，
∴AB＝，
在Rt△ABC中，
∵O为AB中点
∴MO＝OA＝，
若∠AMB 为锐角，则；
（ⅱ） M点在x轴下方时，同理可得，，
综上所述，b的取值范围为：或．
【解析】【分析】（1）由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；（2）①由A、B为和谐点对可求得点B的坐标，则可得到关于m、n的方程组，可求得其值；②当M在x轴上方时，可先求得∠AMB为直角时对应的M点的坐标，当点M向上运动时满足∠AMB为锐角；当点M在x轴下方时，同理可求得b的取值范围．
13．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，
（1）当t=2时，求△PBQ的面积；
（2）当t= 时，试说明△DPQ是直角三角形；
（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4，
∴BP=AB-AP=4，
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中考之反比例函数填空选择压轴题
1、（2011?宁波）正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y= 2 （x＞0）的图象上，顶 x
点 A1、B1 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶点 P3 在反比例函
数 y= 2 （x＞0）的图象上，顶点 A2 在 x 轴的正半轴上，则 P2 点的坐标为___________，则 x
点 P3 的坐标为__________。 2、已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 的两个实数根的倒数和等于 3，且关于 x 的方程（k-1）
x2+3x-2a=0
有实根，且
k
为正整数，正方形
ABP1P2
的顶点
P1、P2
在反比例函数
y=
k
? 1（x x
＞0）图象上，顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，求点 P2 的坐标．
3、如图，正方形 OABC 和正方形 AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形
OABC 的边长为 2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点 D 的坐标．
4、两个反比例函数
y=
3 x
，y=
6 x
在第一象限内的图象如图所示，点
P1、P2
在反比例函数图象
上，过点 P1 作 x 轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，若点 N（m，n）恰好在
y=
3 x
的图象上，则
NP1
与
NP2
的乘积是______。
4、两个反比例函数
y=
3 x
，y=
6 x
在第一象限内的图象如图所示，点
P1、P2
在反比例函数图
象上，过点 P1 作 x 轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，若点 N（m，n）恰好
在
y=
3 x
的图象上，则
NP1
与
NP2
的乘积是______。
5、2007?泰安）已知三点
P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，-2）都在反比例函数
y=
k x
的
图象上，若 x1＜0，x2＞0，则下列式子正确的是（ ）
A．y1＜y2＜0
B．y1＜0＜y2
C．y1＞y2＞0
D．y1＞0＞y2
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2018年反比例函数综合训练题 一．选择题（共13小题） 1．在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与y=（m≠0）的图象可能是（） A．B．C．D． 2．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y=在第一象限的图象与△ABC有交点，则k的取值围是（） A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（） A．6B．10 C．2D．2 4．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）
A．2 B．2C．4 D．4 5．如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（） A．B．3C．D． 6．如图，矩形OABC中，A（1，0），C（0，2），双曲线y=（0＜k＜2）的图象分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S△OEF=2S△BEF，则k值为（） A．B．1 C．D． 7．如图，双曲线y=﹣（x＜0）经过?ABCO的对角线交点D，已知边OC 在y轴上，且AC⊥OC于点C，则?OABC的面积是（） A．B．C．3 D．6 8．如图，P为反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，
一、中考数学压轴题 1．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2 23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在 点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2． （1）如图1，求此抛物线的解析式； （2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点 D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若 72 8 CG AG = ，求点P 的坐标． 2．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数； （3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数” 求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数． 3．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （概念感知） （1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=?，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案 一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤???? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
反比例函数 经典结论： 如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1 2 AOB AOC S S k ??== ； (II ) OBAC S k =矩形。 下面两个结论是上述结论的拓展. (1) 如图①， OPA OCD S S ??=，OPC PADC S S ?=梯形。 (2)如图②， O A P B O B C S S =梯形梯形，BPE ACE S S ??=。 1.如图，已知双曲线(0)k y x x = >经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ； 2.如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线 1 (0)y x x =>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -= . 3.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6 =的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么 ))((1212y y x x --值为 .
4. 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x m y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ． (1) 求反比例函数x m y = 和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． 5.如图，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)k y k x = >上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x =>于P Q ，两点（P 点在第一象限）， 若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
反比例函数题型专项（一） 专题一、反比例函数的图像 1．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（）A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥2 2．在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y﹦（k≠0）的图象大致是（） A．B．C．D． 3．若ab＞0，则函数y=ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C．D． 4．若方程=x+1的解x0满足1＜x0＜2，则k可能是（） A．1 B．2 C．3 D．6 5．在同一平面直角坐标系中，画正比例函数y=kx和反比例函数y=（k＜0）的图象，大致是（） A．B．C．D． 6．函数y=，当y=a时，对应的x有两个不相等的值，则a的取值范围（）A．a≥1 B．a＞0 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2 7．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（）
A．B．C．D． 8．函数y=与y=kx﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（） A． B． C． D． 9．在同一坐标系中，表示函数y=ax+b和y=（a≠0，b≠0）图象正确的是（） A．B．C． D． 10．函数y=的图象在（） A．第一，三象限 B．第一，二象限 C．第二，四象限 D．第三，四象限 11．如果k＜0，那么函数y1=kx﹣k，的图象可能是（） A．B．C．D． 12．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（） A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜0，或x＞2 D．x＜﹣1，或0＜x＜2 12题图 13题图
一、中考数学压轴题 1．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）． （1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ； （2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且2n -2n -，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标； （2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、 Q ∠的数量关系并说明理由； （3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线
初二数学练习 班级 姓名 一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过 象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围 。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的 取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是 （ ） (A) 1+x 是x 的函数 （B ）速度一定，路程是时间的函数 （C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数 （D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数
反比例函数压轴题类型 一、反比例函数与几何图形的综合 1、反比例函数与求四边形面积、存在性问题（正方形） 26. (历下区一模、本题满分9分) 如图，正比例函数y ＝ax 与反比例函数＞0)的图象交于点M （6，6）． (1)求这两个函数的表达式；(2)如图1，若∠AMB ＝90°，且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点A 、B ．求四边形OAMB 的面积．(3)如图2，点P 是反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，PF 交直线OM 于点H ，过作x 轴的垂线，垂足为G ．设点P 的横坐标为m ，当m ＞6时，是否存在点P ，使得四边形PEGH 为正方形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．解：（1）将点 分 解得：a ＝1 ，k ＝6 2分 ∴这两个函数的表达式分别为：y ＝x 3分（2）过点M 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D . 则∠MCA ＝∠MDB ＝90°，∠AMC ＝∠BMD ＝90°－∠AMD ，MC ＝MD ＝6， ∴△AMC ≌△BMD ，…5分∴S 四边形OCMD ＝S 四边形OAMB ＝6，…6分 ∵∠MOE ＝45°，∴OG ＝GH ， ∴OE ＝ OG ＋GH ∴2x 8分 P 3）. …9分 2、反比例函数与判断平行四边形、存在性问题（矩形） 26. (市中区一模、本题满分9分)如图1，已知双曲线y ＝k x （k ＞0）与直线y ＝k ′x 交于A 、B 两点，点A 在第一象限，试回答下列问题：（1）若点A 的坐标为（3，1），则点B 的坐标
反比例函数专项提高练习 1.下列函数中：① x y 2 =，②1 1 + = x y，③ 2 x y=④ x y 2 3 - =⑤ 1 1 + = x y⑥xy=5 ⑦ x k y=⑧y=4x-1其中是y关于x的反比例函数有：；（填写序号） 2. 某反比例函数图象经过点(-1,6),则下列各点中此函数图象也经过的点是（） A．(-3,2) B．(3,2) C．(2,3) D．(6,1) 3.反比例函数 x y 6 - =图象上有三个点) (1 1 y x，，) (2 2 y x，，) (3 3 y x，，其中3 2 1 0x x x< < <，则y1,y2,y3的大小关系是． 4. 已知点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数的图像上. 则y1,y2,y3的大小关系是． 5.反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大则m的值是。 6.下列函数中，y值随x值的增大而增大的是（） A、y=2x+3 B、1 y x =-+C、 1 y x =D、 1 y x =- 7.如图是三个反比例函数 x k y1 =， x k y2 =， x k y3 =在x轴上的图像，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为_____ 8.在同一直角坐标系中，函数y=kx+k，与 x k y - =y=（k0 ≠）的图像大致为（） 7题 8题 9.若点 A(m, -2)在反比例函数 x y 4 =的图像上，则当函数值y﹥-2时，自变量x的取值范围是___________. 10.若一次函数y=kx+1的图像与反比例函数 x y 1 =的图像没有公共点，则实数k的取值范围是 11.已知反比例函数 x y 8 - =与一次函数y=-x+2的图象交于Ａ、Ｂ两点。 (1)求Ａ，Ｂ两点的坐标； (2)求△ＡＯＢ的面积。 (3)并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 12.如图，一次函数b kx y+ =的图象与反比例函数 x m y=的图象交于点A﹙-2，-5﹚， C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D． (1) 求反比例函数 x m y=和一次函数b kx y+ =的表达式； (2) 连接OA，OC．求△AOC的面积． (3)并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． 13.如图，直线b kx y+ =与反比例函数 x k y ' =（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C ，且 x k y 1 2- - =
一、中考数学压轴题 1．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ， 连接CD 交AB 于E ， （1）如图(1)求证：90AEC ∠=?； （2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接 MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠ （3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8，求线段MN 的长度 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点
M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y） （1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D， OA＝2，OC＝1． ①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C． ②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为． ③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为． （2）若ω＝120°，O为坐标原点． ①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝23，求圆M的半径及圆心M的斜坐标． ②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（23，23），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是． 4．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题． (1)（课本习题）如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．求证：DB=DE (2)（尝试变式）如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD． 求证：DB=DE． (3)（拓展延伸）如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论．
初中数学反比例函数经典测试题及答案 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB
垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1 =1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象 上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（ ） A ．-3 B ．3 C ． 1 3 D ．- 13 【答案】A 【解析】 【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值． 【详解】 如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a. ∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90° 在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ） 同理可得 点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴ 213333k a k a ==-. 故选A. 【点睛】
中考数学函数之一次函数和反比例函数综 合问题压轴题专题Revised on November 25, 2020
《中考压轴题全揭秘》三年经典中考压轴题 函数之一次函数和反比例函数综合问题 1.（2014年福建泉州14分）如图，直线y =﹣x +3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数的图象交于点P （2，1）． （1）求该反比例函数的关系式； （2）设PC ⊥y 轴于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′； ①求△A ′BC 的周长和sin ∠BA ′C 的值； ②对大于1的常数m ，求x 轴上的点M 的坐标，使得sin ∠BMC = 1m ． 2.（2014年黑龙江牡丹江10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2﹣18x +72=0的两根（OA ＞OC ），BE =5，tan ∠ABO =4 3． （1）求点A ，C 的坐标； （2）若反比例函数y = k x 的图象经过点E ，求k 的值； （3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2014年江苏淮安12分）如图，点A （1，6）和点M （m ，n ）都在反比例函数k y x =（x ＞0）的图象上， （1）k 的值为 ； （2）当m =3，求直线AM 的解析式； （3）当m ＞1时，过点M 作MP ⊥x 轴，垂足为P ，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，试判断直线BP 与直线AM 的位置关系，并说明理由． 4.（2014年山东枣庄10分）如图，一次函数y =ax +b 与反比例函数k y x =的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为（m ，2），点B 坐标为（﹣4，n ），OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为1 3 ，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴 的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、B D ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求四边形OCBD 的面积． 5. （2014年四川巴中10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数1 k y x = （x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为2y k x b =+．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式； （2）求△OEF 的面积； （3）请结合图象直接写出不等式1 2k k x b >0x +- 的解集．
反比例函数专题训练（含答案） 一、填空题 1.图象经过点（-2，5）的反比例函数的解析式是 . 2.已知函数3 22 )2(---=m m x m y 是反比例函数，且图象在第一、三象限，则=m . 3.反比例函数)0(≠= k x k y 的图象叫做 .当k >0时，图象分居第 象限，在每个象限y 随x 的增大而 ；当k <0时，图象分居第 象限，在每个象限y 随x 的增大而 . 4.反比例函数x y 5 = ，图象在第 象限，函数值都是随x 的增大而 . 5.若变量y 与x 成反比例，且x=2时，y=-3，则y 与x 之间的函数关系式是 ，在每个象限函数值y 随x 的增大而 . 6.已知函数x m y = ，当2 1 -=x 时，6=y ，则函数的解析式是 . 7.在函数x k y 22--=（k 为常数）的图象上有三个点（-2，y 1），(-1，y 2)，（2 1 ，y 3）， 函数值y 1，y 2，y 3的大小为 . 8．如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数x k y =的图象上，另三点在坐标轴上，则k= . 9.反比例函数x k y = 与一次函数y=kx+m 的图象有一个交点是（-2，1），则它们的另一个交点的坐标是 . 10.已知反比例函数x k y 2= 的图象位于第二、四象限，且经过点（k-1,k+2），则k= . 二、选择题 11.平行四边形的面积不变，那么它的底与高的函数关系是（ ） A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 12.下列函数中，反比例函数是（ ） A.2x y - = B.x y 2-=
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2． （1）求双曲线的解析式； （2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________； （3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值． （4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得， 所以双曲线的解析式为y= ； （2）2 （3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2）， 抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9， 把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ， 即a的值为6± ； （4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9， 把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ； 把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2 ； ∵G1与G2有两个交点， ∴3+ ≤a≤12﹣2 ， 设直线DE的解析式为y=px+q，
把D（3，4），E（12，1）代入得，解得， ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5， ∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点， ∴M（a，﹣ a+5），N（a，）， ∵MN＜， ∴﹣ a+5﹣＜， 整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0， ∴a＜4或a＞9， ∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ． 【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4）， 所以BE= =2 ． 故答案为2 ； 【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的 解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围． 2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．
一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）
人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位
置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数） （1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式．
1. 如图已知一次函数Y ＝kX ＋b 的函数图象与反比例函数Y ＝－ 8 x 的图象相交于A ，B 两点，其中A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为2。①求一次函数的解析式；②求三角形△AOB 的面积；③在y 轴上是否存在点P 使△OAP 为等腰三角形，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 2.如图，直线y ＝kx +2k (k ≠0)与x 轴交于点B ，与双曲线y ＝(m +5)x 2m +1交于点A 、C ，其中点A 在第一象限，点C 在第三象限.（1）求双曲线的解析式；（2）求B 点的坐标；（3）若S △AOB ＝2，求A 点的坐标；（4）在（3）的条件下，在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 3. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，过A 作AD ⊥x 轴于D ，若OA ＝ 5，AD ＝21OD ，点B 的横坐标为2 1 （1）求A 点的坐标及反比例函数 的解析式：（2）求一次函数的解析式及△AOB 的面积（3）在反比例函数的图象上是否存在 点P 使△OAP 为等腰三角形，若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 4. 如图，正比例函数 x y 21= 与反比例函数x k y =的图象相交于A 、B 两点，过B 作x BC ⊥轴，垂足为C ，且△BOC 的面积等于4.（1）求k 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）在x 轴的正半轴上是否存在一点P ，使得△POA 为直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 642 -2-4 -5 5 B A O Y X f x () = -8x x A y O D C B
反比例函数经典测试题含解析 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y= (0)k k x <的大致图象是
A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：k<0时，y= (0)k k x <的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限， 观察可知B 选项符合题意， 故选B. 3．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m > C ．32 m >- D ．32 m <- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】 ∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x +=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32 m <- ， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝8 x 上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( )
2009-2013年中考反比例函数 经典结论： 如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1 2 AOB AOC S S k ??== ； (II ) OBAC S k =矩形。 下面两个结论是上述结论的拓展. (1) 如图①， OPA OCD S S ??=，OPC PADC S S ?=梯形。 (2)如图②， O A P B O B C S S =梯形梯形，BPE ACE S S ??=。 经典例题 例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k y x x = >经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ； (2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行 线交双曲线1(0)y x x =>于C D 、两点，若2BD AC =，则22 4OC OD - 例2．(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6 =),( ),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 . 解析：因为A ，B 在反比例函数x y 6 = 上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此 ),(),,(2211y x B y x A 中有 1 212,y y x x -=-=，所以 24644))(())((1111111212=?==----=--y x y y x x y y x x 例3．(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x m y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．