一、中考数学压轴题
1.已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C (点A 在点C 左侧),交y 轴于点B .
(1)求A ,B ,C 三点坐标;
(2)如图1,点D 为AC 中点,点E 在线段BD 上,且BE=2DE ,连接CE 并延长交抛物线于点M ,求点M 坐标;
(3)如图2,将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ,连接CG ,点P 为△ACG 内一点,连接PA 、PC 、PG ,分别以AP 、AG 为边,在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ,求PA+PC+PG 的最小值,并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标(直接写出结果即可).
2.已知:如图①,在等腰直角ABC ?中,斜边2AC =.
(1)请你在图①的AC 边上求作一点P ,使得90APB ∠=?;
(2)如图②,在(1)问的条件下,将AC 边沿BC 方向平移,使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ,连接AQ ,BQ .若平移的距离为1,求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积;
(3)将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ,是否存在这样的m ,使得在直线DE 上有一点M ,满足30AMB ∠=?,且此时四边形ABDE 的面积最大?若存在,求出四边形
ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值;若不存在,请说明理由.
3.已知:如图,AB 为O 的直径,弦CD AB ⊥垂足为E ,点H 为弧AC 上一点.连接
DH 交AB 于点F ,连接HA 、BD ,点G 为DH 上一点,连接AG ,HAG BDC ∠=∠. (1)如图1,求证:AG HD ⊥;
(2)如图2,连接HC ,若HC HF =,求证:HC HA =;
(3)如图3,连接HO 交AG 于点K ,若点F 为DG 的中点,HC 2HG =,求
KG
AK
的值.
4.如图,在平面直角坐标系中,直线6y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,点C 在x 轴正半轴上,2ABC ACB ∠=∠.
(1)求直线BC 的解析式;
(2)点D 是射线BC 上一点,连接AD ,设点D 的横坐标为t ,ACD ?的面积为
S ()0S ≠,求S 与t 的函数解析式,并直接写出自变量t 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,AD 与y 轴交于点E ,连接CE ,过点B 作AD 的垂线,垂足为
点H ,直线BH 交x 轴于点F ,交线段CE 于点M ,直线DM 交x 轴于点N ,当
:7:12NF FC =时,求直线DM 的解析式.
5.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根,且其中一个根为
另一个根的一半,则称这样的方程为“半等分根方程”.
(1)①方程2280x x --= 半等分根方程(填“是”或“不是”);
②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程,则代数式2
25
2
m mn n +
+= ; (2)若点(,)p q 在反比例函数8
x y =的图象上,则关于x 的方程2
60px x q -+=是半等分根方程吗?并说明理由;
(3)如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程,且相异两点(1,)M t s +,(4,)N t s -都在抛物线2
y ax bx c =++上,试说明方程20ax bx c ++=的一个根为
53
. 6.如图,90EOF ∠=?,矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上,4AB =,
3BC =,矩形ABCD 沿射线OD 方向,以每秒1个单位长度的速度运动.同时点P 从点
A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动,当点P 到达点C 时,矩形ABCD 也停止运动,设点P 的运动时间为()t s ,PDO △的面积为S .
(1)分别写出点B 到OF 、OE 的距离(用含t 的代数式表示); (2)当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时,求S 与t 之间的函数关系式;
(3)设点P 到BD 的距离为h ,当1
5
h OD =
时,求t 的值; (4)若在点P 出发的同时,点Q 从点B 以每秒4
3
个单位长度的速度向终点A 运动,当点
Q 停止运动时,点P 与矩形ABCD 也停止运动,设点A 关于PQ 的对称点为E ,当
PQE 的一边与CDB △的一边平行时,直接写出线段OD 的长.
7.问题提出
(1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.
问题探究
(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且
2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.
问题解决
(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.
8.问题背景:如图(1),ABC 内接于O ,过点A 作O 的切线l ,在l 上任取一个
不同于点A 的点P ,连接PB PC 、,比较BPC ∠与BAC ∠的大小,并说明理由.
问题解决:如图(2),A (0,2)、B (0,4),在x 轴正半轴上是否存在一点P ,使得
cos APB ∠最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
拓展应用:如图(3),四边形ABCD 中,//AB CD ,AD CD ⊥于D ,E 是AB 上一点,AE AD =,P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点,若8AB =,11CD =,
tan 2C =,9DEP
S
=,求sin APB ∠的最大值.
9.问题背景:如图,四边形ABCD 中,AD BC ∥,8BC =,17AD =+32AB =45ABC ∠=?,P 为边AD 上一动点,连接BP 、CP .
问题探究
(1)如图1,若30PBC ∠=?,则AP 的长为__________. (2)如图2,请求出BPC △周长的最小值;
(3)如图3,过点P 作PE BC ⊥于点E ,过点E 分别作EM PB ⊥于M ,EN PC ⊥于点N ,连接MN
①是否存在点P ,使得PMN 的面积最大?若存在,求出PMN 面积的最大值,若不存在,请说明理由;
②请直接写出PMN 面积的最小值.
10.在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点
A C 、(点A 在点C 的左侧),与y 轴正半轴交于点
B ,24O
C OB ==. (1)如图1,求a m 、的值;
(2)如图2,抛物线的顶点坐标是M ,点D 是第一象限抛物线上的一点,连接AD 交抛物线的对称轴于点N ,设点D 的横坐标是t ,线段MN 的长为d ,求d 与t 的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,当15
4
d =
时,过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ,点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点,连接PE 交x 轴于点F ,直线2
11
y x b =
+经过点D 交EF 于点G ,连接CG ,过点E 作EH
CG 交DG 于点H ,若3CFG EGH S S =△△,求点
P 的坐标.
11.已知:如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(6,0),2,点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动,点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度,点 D 是线段 OA 的中点.
(1)求点 B 的坐标;
(2)设点 P 的运动时间为点 t 秒,△BDP 的面积为 S ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)当点 P 与点 D 重合时,连接 BP ,点 E 在线段 AB 上,连接 PE ,当∠BPE =2∠OBP 时, 求点 E 的坐标.
12.如图1,已知抛物线218
33
y x x c =-
-+与x 轴相交于A 、B 两点(B 点在A 点的左侧),与y 轴相交于C 点,且10AB =.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图2,D 点在x 轴上,且在A 点的右侧,E 点为抛物线上第二象限内的点,连接
ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ,点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为3:1,已知4
tan 3
BDE ∠=,求点E 的坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,点G 由B 出发,沿x 轴负方向运动,连接EG ,点H 在
线段EG 上,连接DH ,EDH EGB ∠=∠,过点E 作EK DH ⊥,与抛物线相交于点
K ,若EK EG =,求点K 的坐标.
13.在菱形ABCD 中,P 为直线DA 上的点,Q 为直线CD 上的点,分别连接PC ,
PQ ,且PC PQ =.
(1)若60B ∠=?,点P 在线段DA 上,点Q 在线段CD 的延长线上,如图①,易证:
DQ PD AB +=(不需证明);
(2)如图②,若∠B =120°,点P 在线段DA 上,点Q 在线段CD 的延长线上,如图③,猜想线段DQ ,PD 和AB 之间有怎样的数量关系?请直接写出对图②,图③的猜想,并选择其中一种情况给予证明.
14.(1)探究发现
数学活动课上,小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位,你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗?”
经过一番讨论,小组成员展示了他们的解答过程:
在直线21y x =-上任取点()01A -,, 向左平移3个单位得到点()31,
'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+.
因为2y x n =+过点()31,
'--A , 所以61n -+=-, 所以5n =,
填空:所以平移后所得直线所对应函数表达式为 (2)类比运用
已知直线21y x =-,求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式; (3)拓展运用
将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°,请直接写出:旋转后所得直线所对应的函数表达式 .
15.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点,A D 在坐标轴上,两点的坐标分别是点()0,,A m 点(),0,D m 且m 322m m -62=AB 与x 轴交于点,E 点
F 是边AD 上一动点,连接FB ,分别与x 轴,y 轴交于点,P 点,H 且FD BE =.
(1)求m 的值;
(2)若45,APF ∠=?求证:AHF HFA ∠=∠;
(3)若点F 的纵坐标为,n 则线段HF 的长为 .(用含n 的代数式表示)
16.在Rt ABC ?中,6AB =,90B ∠=?,8BC =,点P 从A 出发沿AC 方向在运动速度为3个单位/秒,点Q 从C 出发向点B 运动,速度为1个单位/秒,P 、Q 同时出发,点Q 到点B 时两点同时停止运动.
(1)点P 在线段AC 上运动,过P 作DP PQ ⊥交边AB 于D ,2t =时,求PD
PQ
的值; (2)运动t 秒后,90BPQ ∠=?,求此时t 的值; (3)t =________时,AQ QP =.
17.如图,平面直角坐标系中,抛物线2
28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点(点B 在
点C 右侧),与y 轴交于点A ,连接AB ,25AB =.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P 在第二象限的抛物线上,连接PB 交y 轴于D ,取PB 的中点E ,过点E 作
EH x ⊥轴于点H ,连接DH ,设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);
(3)在(2)的条件下,作PF y ⊥轴于F ,连接CP 、CD ,CP CD =,点S 为PF 上一点,连接BS 交y 轴于点T ,连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=?,在
射线CS 上取点Q.连接QF ,QF RF =,求直线TQ 的解析式.
18.定义:将函数l 的图象绕点P (m ,0)旋转180°,得到新的函数l '的图象,我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数.
例如:当m =1时,函数y =(x +1)2+5关于点P (1,0)的相关函数为y =﹣(x ﹣3)2﹣5.
(1)当m =0时
①一次函数y =x ﹣1关于点P 的相关函数为 ; ②点(
1
2,﹣98
)在二次函数y =﹣ax 2﹣ax +1(a ≠0)关于点P 的相关函数的图象上,求a 的值.
(2)函数y =(x ﹣1)2+2关于点P 的相关函数y =﹣(x +3)2﹣2,则m = ; (3)当m ﹣1≤x ≤m +2时,函数y =x 2﹣mx ﹣12
m 2
关于点P (m ,0)的相关函数的最大值为6,求m 的值.
19.如图,在⊙O 中,直径AB =10,tanA =3. (1)求弦AC 的长;
(2)D 是AB 延长线上一点,且AB =kBD ,连接CD ,若CD 与⊙O 相切,求k 的值; (3)若动点P 以3cm/s 的速度从A 点出发,沿AB 方向运动,同时动点Q 以3
2
cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动,设运动时间为t (0<t <10
3
),连结PQ .当t 为何值时,△BPQ 为Rt △?
20.如图所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A=90°,AB=12,BC=21,AD=16.动点P 从点B 出发,沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 同时从点A 出发,在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t (秒). (1)设△DPQ 的面积为S ,求S 与t 之间的关系式; (2)当t 为何值时,四边形PCDQ 是平行四边形?
(3)分别求出当t 为何值时,①PD=PQ ;②DQ=PQ .
21.如图1,在ABC 中,BD 平分ABC ∠,CD 平分ACB ∠. (1)若80A ∠=?,则BDC ∠的度数为______; (2)若A α∠=,直线MN 经过点D .
①如图2,若//MN AB ,求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示); ②如图3,若MN 绕点D 旋转,分别交线段,BC AC 于点,M N ,试问在旋转过程中
NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变,求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示),若改变,请说明理由:
③如图4,继续旋转直线MN ,与线段AC 交于点N ,与CB 的延长线交于点M ,请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示).
22.问题提出
(1)如图1,已知三角形ABC ,请在BC 边上确定一点D ,使得AD 的值最小. 问题探究
(2)如图2,在等腰ABC 中,AB AC =,点P 是AC 边上一动点,分别过点A ,点
C 作线段BP 所在直线的垂线,垂足为点,
D
E ,若5,6AB BC ==,求线段BP 的取值范围,并求AD CE +的最大值.
问题解决
(3)如图3,正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地,边长为3千米,四个顶点处都建有一个蔬菜采购点,根据运输需要,经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点
P 建设一条向外运输的快速通道,其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨
道,分别为BB '、CC '、DD '.若你是此次项目设计的负责人,要使三条运输轨道的距离之和(
)
BB CC DD '''
++最小,你能不能按照要求进行规划,请通过计算说明.
23.在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 为反比例函数()4
x 0x
y =>的图像上两点,A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1,将()4
x 0x
y =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°,A 点的对应点为A’,B 点的对应点为B’.
(1)点A’的坐标是 ,点B’的坐标是 ;
(2)在x 轴上取一点P ,使得PA+PB 的值最小,直接写出点P 的坐标. 此时在反比例函数()4
x 0x
y =
>的图像上是否存在一点Q ,使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等,若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AB’,动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动;动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动.当其中一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t 秒,试探究:是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值.若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.
24.(1)(发现)如图1,在ABC 中,//DE BC 分别交AB 于D ,交AC 于E .已知
CD BE ⊥,3CD =,5BE =,求BC DE +的值.
思考发现,过点E 作//EF DC ,交BC 延长线于点F ,构造BEF ,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
请回答:BC DE +的值为______.
(2)(应用)如图3,在四边形ABCD 中,//AB CD ,AD 与BC 不平行且
AD BC =,对角线AC BD ⊥,垂足为O .若3CD =,5AB =,DAB CBA ∠=∠,
求AC 的长.
(3)(拓展)如图4,已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ,AC 与DF 交于点G ,
FD FB =,且30BFD ∠=?,60EBF ∠=?,判断AC 与DF 的数量关系并证明.
25.在平面直角坐标系中,直线4
(0)3
y x b b =-
+>交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,10AB =.
(1)如图1,求b 的值;
(2)如图2,经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ,与
x 轴交于点R ,//CD OA ,交AB 于点D ,设线段CD 长为d ,求d 与n 的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F 在第四象限,CF 交OA 于点E ,45AEF ∠=?,点
P 在第一象限,PH OA ⊥,点N 在x 轴上,点M 在PH 上,MN 交PE 于点G ,
PH EN =,过点E 作EQ CF ⊥,交PH 于点Q , 32==EQ EF PM ,
∠=∠OBR HNM ,BC CR =,点G 的坐标为1927,55??
???
,连接FN ,求EFN 的面
积.
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一、中考数学压轴题
1.A
解析:(1)A (﹣3,0),C (1,0),B (0,3);(2)M (﹣125,5125
);(3)
(﹣919
,19
). 【解析】 【分析】
(1)抛物线223y x x =--+中,令2230y x x =--+=,可得A ,C 坐标;当x=0时,可得B 的坐标;
(2)首先利用A 、C 坐标,求出D 的坐标,根据BE=2ED ,求出点E 坐标,求出直线CE ,利用方程组求交点坐标M 即可;
(3)先证明△QAR ≌△GAP 即可得出QR=PG ,进而得到PA+PC+PG=PR+PC+QR ,可得当Q ,R ,P ,C 共线时,PA+PC+PG 的值最小,即为线段QC 的长,作QN ⊥OA 于N ,AM ⊥QC 于M ,PK ⊥OA 于K ,利用勾股定理求得QC 的长,再求出AM ,CM ,利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ,由此即可解决问题. 【详解】
解:(1)抛物线y=﹣x 2﹣2x+3中,令y=﹣x 2﹣2x+3=0,可得x 1=1,x 2=﹣3, ∴A (﹣3,0),C (1,0), 当x=0时,y=3, ∴B (0,3);
(2)∵点D 为AC 中点,A (﹣3,0),C (1,0), ∴D (﹣1,0), ∵BE=2DE ,B (0,3), ∴E (﹣
2
3
,1), 设直线CE 为y=kx+b ,把C (1,0),E (﹣
2
3
,1)代入,可得 2130k b k b ?-+=??
?+=?,解得35
35k b ?=-????=??
, ∴直线CE 为y=﹣
35x+35
, 解方程组23355
23y x y x x ?
=+???=--+?,可得10x y =??=?或125
5125x y ?
=-????=??
, ∵M 在第二象限,
525
(3)∵△APR 和△AGQ 是等边三角形, ∴AP=AR=PR ,AQ=AG ,∠QAG=∠RAP=60°, ∴∠QAR=∠GAP , 在△QAR 和△GAP 中,
AQ AG
QAR GAP AR AP =??
∠=∠??=?
, ∴△QAR ≌△GAP (SAS ), ∴QR=PG ,
∴PA+PC+PG=PR+PC+QR ,
∴当Q ,R ,P ,C 共线时,PA+PC+PG 的值最小,即为线段QC 的长, 如图3,作QN ⊥OA 于N ,作AM ⊥CQ 于M ,作PK ⊥CN 于K , 依题意得∠GAO=45°+15°=60°,AO=3, ∴AG=GQ=QA=6,∠AGO=30°,
∵∠AGQ=60°, ∴∠QGO=90°, ∴Q (﹣6,
在Rt △QNC 中,
CN=6+1=7,
∴
PA+PC+PG 的最小值为
∴sin ∠ACM=AM AC = QN
QC
, ∴AM=AC QN QC ?
∵△APR 是等边三角形, ∴∠APM=60°,
,
∴PC=CM ﹣
, ∵sin ∠PCN=PK PC = QN QC ,cos ∠PCN=CK CP = CN
CQ
, ∴
PK=
19
,CK=2819,
∴OK=
9
19
,
1919
【点睛】
本题属于二次函数综合题,主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识的综合应用,解题的关键是理解Q 、R 、P 、C 共线时,PA+PG+PC 最小,学会添加常用辅助线,构造直角三角形,利用勾股定理计算求解.
2.A
解析:(1)详见解析;(2)45AQB ∠=?,21ABDE S =
四边形;(3)存在,当
642
m +-=
时,四边形ABDE 322+【解析】 【分析】
(1)利用等腰三角形“三线合一”的性质,取AC 中点为点P 即可.
(2)延长AP 、CD 相交于点M ,取AB 的中点F ,连接PF .证明△APE ≌△MPD ,得到AP=MP ,从而可得PF 是△ABM 的中位线.进而得到PF 是AB 的垂直平分线,这样可以得出∠APB=2∠M=2∠EAP .由AE=PE 可得∠M=∠MPD=∠EPA=∠EAP ,所以可得∠PDB=2∠M ,由AC ∥ED 可得∠PDB=∠ACB=45°,所以∠APB=45°.
(3)如图,以AB 为边长,在直线AB 的右侧作等边三角形ABO ,在以O 为圆心、OA 长为半径作⊙O .过点O 作OM ⊥AC ,交⊙O 于点M ,点M 在AC 的右上方.过点M 作AC 的平行线DE ,AE ∥BC ,BC 的延长线交DE 于点D .则此时满足∠AMB=30°,此时四边形ABDE 的面积最大. 【详解】
解:(1)利用等腰三角形的“三线合一”性质,取AC 的中点P ,连接BP 即可,如下图所示:
(2)如下图所示:
延长AQ 、CD 相交于点M ,取AB 的中点F ,连接PF . 由平移的性质可得,DE=AC=2,AE=CD=1,AC ∥DE ,AE ∥CD 设∠EAQ=x
∵点Q 是DE 的中点∴QE=QD=1
2
DE=1 ∴QE=AE
∴∠AQE=∠EAQ=x ,∴∠MQD=∠AQE=x ∵AE ∥CD ∴∠M=∠EAQ=x 在△AQE 和△MQD 中
∠=∠??
∠=∠??=?
EAQ M AQE MQD QE QD ,∴△AQE ≌△MQD(AAS) ∴AQ=MQ
∵点F 是AB 的中点 ∴QF 是△ABM 的中位线 ∵由题知,∠ABC=90° ∴∠AFQ=90°
∴PF ⊥AB ,点F 是AB 的中点
∴BQ=AQ=MQ ∴∠QBM=∠M=x ∴∠AQB=∠QBM+∠M=2x 由题知∠ACB=45°且AC ∥DE ∴∠QDB=∠ACB=45° ∵∠QDB=∠MQD+∠M=2x ∴2x=45°即∠AQB=45°
在等腰直角△ABC 中,斜边AC=2,则AB=BC=2 ∴BD=BC+CD=2+1 ∴四边形ABDE 的面积为:
11
()(121)22 1.22
+?=++?=+AE BD AB 故答案为:45AQB ∠=?,21ABDE S =+四边形.
(3) 存在.
如下图,以AB 为边长,在直线AB 的右侧作等边三角形ABO ,在以O 为圆心、OA 长为半径作⊙O .过点O 作OM ⊥MD ,交⊙O 于点M ,点M 在AC 的右上方.
过点M 作AC 的平行线DE ,AE ∥BC ,BC 的延长线交DE 于点D ,AE 交⊙O 于点H .
则此时满足∠AMB=30°,此时四边形ABDE 的面积最大. 作OF ⊥AE 于F ,OM 与AE 相交于点N . ∵AE ∥CD ,DE ∥AC
∴四边形ACDE 是平行四边形 ∴AE=CD ,DE=AC=2 ∴∠EDC=∠ACB=45° ∴∠AEM=∠EDC=45°
∵OM ⊥AC ∴OM ⊥DE ∴∠NME=90°
∴MN ,∠MNH=45°
由(2)知,
∴⊙O .
连接BH ,∵AE ∥BC ,∠ABC=90° ∴∠BAH=180°-∠ABC=90° ∵∠AMB=30°,=AB AB ∴∠AHB=∠AMB=30°
∴=
AH ∵OF ⊥AH ,点O 是圆心
∴1=
=
22
AF AH
根据勾股定理得2
OF ∵∠FNO=∠MNH=45°
∴=1=,ON FN OF
∴1=-=
MN OM ON
∴2=NE
∴CD=AE=AF+FN+NE=2
∴11=()(222222四边形最大面积+?=-+++ABDE S AE BD AB
=
故答案为:当42
m =时,四边形ABDE 【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平移的性质、平行四边形的判定及其性质以及圆的性质.本题综合性强,难度大,在第三问中,根据定弦定圆周角找到辅助圆解决问题,这是近年来中考的一个热点
3.A
解析:(1)详见解析;(2)详见解析;(3)1
5
KG AK = 【解析】 【分析】
(1)根据同弧所对的圆周角相等,进行角度计算,得90AHG HAG ∠+∠=?,进而得到
90AGH ∠=?,即可证明AG HD ⊥;
(2)连接AC 、AD 、CF ,根据同弧所对的圆周角相等,进行角度计算,得
HFA HAF ∠=∠,进而得到HF HA =,再根据已知HC HF =,得到HC HA =; (3)在DH 上截取DT HC =,过点C 作CM HD ⊥于点M ,通过证明
AHC ≌ATD 得到AH AT =,进而得到HG CH GD +=,再根据F 为DG 中点,得到GF DF =,通过勾股定理逆用,证明90HCF ∠=?,再通过解ACE △得
1
tan 3CAB ∠=
,解△CDH 得1tan 2
CDF ∠=,求得OF 、OH ,逆用勾股定理证明90HOF ∠=?,易求1
tan 2
KHG ∠=,1tan 3
HAG ∠=,最后求得
KG
AK
的值. 【详解】
(1)证明:如图,设HAG ∠为α,
∵HAG BDC ∠=∠, ∴HAG BDC α∠=∠=, ∵CD AB ⊥,
∴90BDC DBE ∠+∠=? ∴90DBE α∠=?-,
∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角, ∴90AHG ABD α∠=∠=?-, ∴90AHG HAG ∠+∠=?,
∴18090AGH AHG HAG ∠=?-∠-∠=? ∴AG HD ⊥
(2)如图,连接AC 、AD 、CF ,
∴CE DE =, ∴AB 垂直平分CD , ∴AC AD =,FC FD =,
∴ACD ADC ∠=∠,FCD FDC ∠=∠,
∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠,即ACF ADF ∠=∠, 设FCD FDC α∠=∠=,ACF ADF β∠=∠=, ∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角, ∴ADH ACH β∠=∠=, ∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=, ∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠, ∴2HFC α∠=, ∵HC HF =, ∴HCF HFC ∠=∠, ∴22αβ=, ∴αβ=, ∵AB 为直径, ∴90ADB ∠=?, ∴90HDB β∠=?-,
∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角, ∴90HAB HDB β∠=∠=?-, ∵AB CD ⊥,
∴9090BFD αβ∠=?-=?-, ∵9090HFA BFD αβ∠=∠=?-=?-, ∴HFA HAF ∠=∠, ∴HF HA =, ∴HC HA =;
(3)如图,在DH 上截取DT HC =,
∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角, ∴ADH ACH ∠=∠,
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
一、中考数学压轴题 1.已知:在平面直角坐标系中,抛物线2 23y ax ax a =--与x 轴交于点A ,B (点B 在 点A 的右侧),点C 为抛物线的顶点,点C 的纵坐标为-2. (1)如图1,求此抛物线的解析式; (2)如图2,点P 是第一象限抛物线上一点,连接AP ,过点C 作//CD y 轴交AP 于点 D ,设点P 的横坐标为t ,CD 的长为m ,求m 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围); (3)如图3,在(2)的条件下,点E 在DP 上,且ED AD =,点F 的横坐标大于3,连接EF ,BF ,PF ,且EP EF BF ==,过点C 作//CG PF 交DP 于点G ,若 72 8 CG AG = ,求点P 的坐标. 2.“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础,重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口,着力提升学生的核心素养.”全校师生积极响应和配合,开展各种活动丰富其课余生活.在数学兴趣小组中,同学们从书上认识了很多有趣的数.其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣.描述如下:一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x ,十位上和个位上的数字之和为y ,如果x y =,那么称这个四位数为“和平数”. 例如:1423,14x =+,23y =+,因为x y =,所以1423是“和平数”. (1)直接写出:最小的“和平数”是________,最大的“和平数”是__________; (2)求同时满足下列条件的所有“和平数”: ①个位上的数字是千位上的数字的两倍; ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数; (3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置,同时,将百位上与千位上的数字交换位置,称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”. 例如:1423于4132为“相关和平数” 求证:任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数. 3.定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3:5,那么称这个三角形为“准黄金”三角形,这条边就叫做这个三角形的“金底”. (概念感知) (1)如图1,在ABC 中,12AC =,10BC =,30ACB ∠=?,试判断ABC 是否是“准黄金”三角形,请说明理由.
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
一、中考数学压轴题 1.如图,在等边△ABC 中,AB =BC =AC =6cm ,点P 从点B 出发,沿B →C 方向以1.5cm/s 的速度运动到点C 停止,同时点Q 从点A 出发,沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动,当点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动,连接PQ ,过点P 作BC 的垂线,过点Q 作BC 的平行线,两直线相交于点M .设点P 的运动时间为x (s ),△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y (cm 2)(规定:线段是面积为0的图形). (1)当x = (s )时,PQ ⊥BC ; (2)当点M 落在AC 边上时,x = (s ); (3)求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围. 2.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与y 轴交于点C 0,3(). (1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时, PDE ABMC 1 S S 9 =四边形. 3.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且2n -2n -,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标; (2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、 Q ∠的数量关系并说明理由; (3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线
数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图
6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c ==
中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀(一) 数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 (一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有:①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线; ③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。 (二)几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。