一、中考数学压轴题
1.AB 是O 直径,,C D 分别是上下半圆上一点,且弧BC =弧BD ,连接,AC BC ,
连接CD 交AB 于E ,
(1)如图(1)求证:90AEC ∠=?;
(2)如图(2)F 是弧AD 一点,点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点,连接FD ,连接
MN 分别交AC ,FD 于,P Q 两点,求证:MPC NQD ∠=∠
(3)如图(3)在(2)问条件下,MN 交AB 于G ,交BF 于L ,过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ,连接BH ,若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8,求线段MN 的长度
2.注意:为了使同学们更好地解答本题的第(Ⅱ)问,我们提供了一种分析问题的方法,你可以依照这个方法按要求完成本题的解答,也可以选用其他方法,按照解答题的一般要求进行解答即可.
如图,将一个矩形纸片ABCD ,放置在平面直角坐标系中,()0,0A ,()4,0B ,
()0,3D ,M 是边CD 上一点,将ADM 沿直线AM 折叠,得到ANM .
(Ⅰ)当AN 平分MAB ∠时,求DAM ∠的度数和点M 的坐标; (Ⅱ)连接BN ,当1DM =时,求
ABN 的面积;
(Ⅲ)当射线BN 交线段CD 于点F 时,求DF 的最大值.(直接写出答案) 在研究第(Ⅱ)问时,师生有如下对话:
师:我们可以尝试通过加辅助线,构造出直角三角形,寻找方程的思路来解决问题. 小明:我是这样想的,延长MN 与x 轴交于P 点,于是出现了Rt NAP △. 小雨:我和你想的不一样,我过点N 作y 轴的平行线,出现了两个Rt NAP △.
3.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且2n -2n -,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6
(1)求点A 的坐标;
(2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、
Q ∠的数量关系并说明理由;
(3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线于,若设ADO α∠=,F β∠=,试求2αβ+的值.
4.综合与实践
4A 纸是我们学习工作最常用的纸张之一, 其长宽之比是2:1,我们定义:长宽之比是
2:1的矩形纸片称为“标准纸”.
操作判断:
()1如图1所示,矩形纸片2()ABCD AD AB =
是一张“标准纸”,将纸片折叠一次,使点
B 与D 重合,再展开,折痕EF 交AD 边于点,E 交B
C 边于点F ,若1,AB =求CF 的
长,
()2如图2,在()1的基础上,连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ,连接,BE 判断四边形
BFDE 的形状,并说明理由.
探究发现:
()3如图3所示,在(1)和(2)的基础上,展开纸片后,将纸片再折叠一次,使点A 与点C 重
合,再展开,痕MN 交AD 边于点M ,BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形
ENFM 剪下,探究纸片ENFM 是否为“标准纸”,说明理由.
5.如图,90EOF ∠=?,矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上,4AB =,
3BC =,矩形ABCD 沿射线OD 方向,以每秒1个单位长度的速度运动.同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动,当点P 到达点C 时,
矩形ABCD 也停止运动,设点P 的运动时间为()t s ,PDO △的面积为S . (1)分别写出点B 到OF 、OE 的距离(用含t 的代数式表示); (2)当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时,求S 与t 之间的函数关系式;
(3)设点P 到BD 的距离为h ,当1
5
h OD =
时,求t 的值; (4)若在点P 出发的同时,点Q 从点B 以每秒4
3
个单位长度的速度向终点A 运动,当点
Q 停止运动时,点P 与矩形ABCD 也停止运动,设点A 关于PQ 的对称点为E ,当
PQE 的一边与CDB △的一边平行时,直接写出线段OD 的长.
6.在平面直角坐标系xOy 中,对于点A 和图形M ,若图形M 上存在两点P ,Q ,使得
3AP AQ =,则称点A 是图形M 的“倍增点”.
(1)若图形M 为线段BC ,其中点()2,0B
-,点()2,0C ,则下列三个点()1,2D -,
()1,1E -,()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________;
(2)若O 的半径为4,直线l :2y x =-+,求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范
围;
(3)设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ,H ,OT 的半径为4,圆心T 是x 轴上的动点,若线段GH 上存在T 的倍增点,直接写出圆心T 的横坐标的取值范围.
7.对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2.给出如下定义:在图形W 1上存在两点A ,B (点A ,B 可以重合),在图形W 2上存在两点M ,N ,(点M 于点N 可以重合)使得AM=2BN ,则称图形W 1和图形W 2满足限距关系
(1)如图1,点C(1,0),D(-1,0),E(03,点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ,E 重合),连接OP ,CP .
①线段OP 的最小值为_______,最大值为_______;线段CP 的取值范直范围是_____; ②在点O ,点C 中,点____________与线段DE 满足限距关系;
(2)如图2,⊙O 的半径为1,直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ,G .若线段
FG 与⊙O 满足限距关系,求b 的取值范围;
(3)⊙O 的半径为r(r>0),点H ,K 是⊙O 上的两个点,分别以H ,K 为圆心,1为半径作圆得到⊙H 和 K ,若对于任意点H ,K ,⊙H 和⊙K 都满足限距关系,直接写出r 的取值范围.
8.问题背景:如图(1),ABC 内接于
O ,过点A 作O 的切线l ,在l 上任取一个
不同于点A 的点P ,连接PB PC 、,比较BPC ∠与BAC ∠的大小,并说明理由.
问题解决:如图(2),A (0,2)、B (0,4),在x 轴正半轴上是否存在一点P ,使得
cos APB ∠最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
拓展应用:如图(3),四边形ABCD 中,//AB CD ,AD CD ⊥于D ,E 是AB 上一点,AE AD =,P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点,若8AB =,11CD =,
tan 2C =,9DEP
S
=,求sin APB ∠的最大值.
9.定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”.如图,在ABC ?与AED ?中,,BA BC EA ED == ,且
,ABC
AED ??所以称ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为α,连接
,EB DC ,则称
DC
EB
会为“关联比". 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题: [特例感知]
()1当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且90α?
=时,
①在图1中,若点E 落在AB 上,则“关联比”
DC
EB
=
②在图2中,探究ABE ?与ACD ?的关系,并求出“关联比”
DC
EB
的值.
[类比探究]
()2如图3,
①当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且120a ?=时,“关联比”
DC
EB
= ②猜想:当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且n α=?时,“关联比”
DC
EB
= (直接
写出结果,用含n 的式子表示) [迁移运用]
()3如图4, ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”.若90,4,ABC AED AC ?∠=∠==点
P 为AC 边上一点,且1PA =,点E 为PB 上一动点,求点E 自点B 运动至点P 时,点
D 所经过的路径长.
10.(1)如图①,在Rt ABC 中,90C ∠=?,13AB =,5BC =,则tan A 的值是_______.
(2)如图②,在正方形ABCD 中,5AB =,点E 是平面上一动点,且2BE =,连接
CE ,在CE 上方作正方形EFGC ,求线段CF 的最大值.
问题解决:(3)如图③,O 半径为6,在Rt ABC 中,90B ∠=?,点, A B 在O
上,点C 在
O 内,且3tan 4
A =.当点A 在圆上运动时,求线段OC 的最小值.
11.在平行四边形ABCD 中,60B ∠=?,点E ,F 分别在边AB ,AD 上,且
60ECF ∠=?.
(1)如图1,若AB BC =,求证:AE AF BC +=;
(2)如图2,若4AB BC ==,且点E 为AB 的中点,连接BF 交CE 于点M ,求
FM ;
(3)如图3,若AB kBC =,探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系,说明理由. 12.已知:如图①,在等腰直角ABC ?中,斜边2AC =.
(1)请你在图①的AC 边上求作一点P ,使得90APB ∠=?;
(2)如图②,在(1)问的条件下,将AC 边沿BC 方向平移,使得点A 、P 、C 对应点分别为E 、Q 、D ,连接AQ ,BQ .若平移的距离为1,求AQB ∠的大小及此时四边形ABDE 的面积;
(3)将AC 边沿BC 方向平移m 个单位至ED ,是否存在这样的m ,使得在直线DE 上有一点M ,满足30AMB ∠=?,且此时四边形ABDE 的面积最大?若存在,求出四边形
ABDE 面积的最大值及平移距离m 的值;若不存在,请说明理由.
13.如图,等腰△ABC ,AB =CB ,边AC 落在x 轴上,点B 落在y 轴上,将△ABC 沿y 轴翻折,得到△ADC
(1)直接写出四边形ABCD 的形状:______;
(2)在x 轴上取一点E ,使OE =OB ,连结BE ,作AF ⊥BC 交BE 于点F .
①直接写出AF 与AD 的关系:____(如果后面的问题需要,可以直接使用,不需要再证明);
②取BF 的中点G ,连接OG ,判断OG 与AD 的数量关系,并说明理由; (3)若四边形ABCD 的周长为8,直接写出GE 2+GF 2=____.
14.如图①,在ABC ?中,90C ∠=?,10,8AB BC ==.点,D E 分别是边,AC BC 上的动点,连接DE .设CD x =(0x >),BE y =,y 与x 之间的函数关系如图②所示.
(1)求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式; (2)将DCE 沿DE 翻折,得DME .
①点M 是否可以落在ABC ?的某条角平分线上?如果可以,求出相应x 的值;如果不可以,说明理由;
②直接写出....DME 与ABC ?重叠部分面积的最大值及相应x 的值.
15.在菱形ABCD 中,P 为直线DA 上的点,Q 为直线CD 上的点,分别连接PC ,
PQ ,且PC PQ =.
(1)若60B ∠=?,点P 在线段DA 上,点Q 在线段CD 的延长线上,如图①,易证:
DQ PD AB +=(不需证明);
(2)如图②,若∠B =120°,点P 在线段DA 上,点Q 在线段CD 的延长线上,如图③,猜想线段DQ ,PD 和AB 之间有怎样的数量关系?请直接写出对图②,图③的猜想,并选择其中一种情况给予证明.
16. 在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线y =﹣x+4与x 轴交于点A ,过点A 的抛物线y =ax 2+bx 与直线y =﹣x+4交于另一点B ,且点B 的横坐标为1.
(1)该抛物线的解析式为;
(2)如图1,Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点(不与B 、A 重合),过Q 作QP ⊥x 轴,交x 轴于P ,连接AQ ,M 为AQ 中点,连接PM ,过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ,若点P 的横坐标为t ,点N 的横坐标为n ,求n 与t 的函数关系式;在此条件下,如图2,连接QN 并延长,交y 轴于E ,连接AE ,求t 为何值时,MN ∥AE .
(3)如图3,将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ,点T 为线段OA 上的一动点(不与O 、A 重合),以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ,以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ,连接DF .在点T 运动的过程中,四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值?请求出该值.
17.如图,抛物线2
5y ax bx =+-交x 轴于点A 、B (A 在B 的左侧),交y 轴于点
C ,且OB OC =,()2,0A -.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P 为第四象限抛物线上一点,过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ,设P 点横坐标为t ,线段PD 的长度为d ,求d 与t 的函数关系式.(不要求写出t 的取值范围) (3)在(2)的条件下,F 为BP 延长线上一点,且45PFC ∠=?,连接OF 、CP 、
PB ,FOB ?的面积为
3600
169
,求PBC ?的面积. 18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ,斜边AB 在
x 轴上,且点A 的坐标为()9,0-,点D 是AC 的中点,点E 是BC 边上的一个动点,抛
物线2
12y ax bx =++过D ,C ,E 三点.
(1)当//DE AB 时, ①求抛物线的解析式;
②平行于对称轴的直线x m =与x 轴,DE ,BC 分别交于点F ,H ,G ,若以点D ,
H ,F 为顶点的三角形与GHE △相似,求点m 的值.
(2)以E 为等腰三角形顶角顶点,ED 为腰构造等腰EDG △,且G 点落在x 轴上.若在
x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时,请直接写出....
点E 的坐标. 19.如图1,在ABC 中,BD 平分ABC ∠,CD 平分ACB ∠. (1)若80A ∠=?,则BDC ∠的度数为______; (2)若A α∠=,直线MN 经过点D .
①如图2,若//MN AB ,求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示); ②如图3,若MN 绕点D 旋转,分别交线段,BC AC 于点,M N ,试问在旋转过程中
NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变,求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示),若改变,请说明理由:
③如图4,继续旋转直线MN ,与线段AC 交于点N ,与CB 的延长线交于点M ,请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示).
20.问题探究
(1)如图1.在ABC 中,8BC =,D 为BC 上一点,6AD =.则ABC 面积的最大
值是_______.
(2)如图2,在ABC 中,60BAC ∠=?,AG 为BC 边上的高,O 为ABC 的外接
圆,若3AG =,试判断BC 是否存在最小值?若存在,请求出最小值:若不存在,请说明
理由.
问题解决:
如图3,王老先生有一块矩形地ABCD ,6212AB =+,626BC =+,现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ,且满足点E 在CD 上,AD DE =,点F 在BC 上,且6CF =,点M 在AE 上,点N 在AB 上,90MFN ∠=?,这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值;若不存在,请说明理由. 21.在△ABC 中,∠BAC =90°,点D 是BC 上一点,将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ,边AE 交BC 于点F .
(1)如图①,当AE ⊥BC 时,写出图中所有与∠B 相等的角: ;所有与∠C 相等的角: .
(2)若∠C -∠B =50°,∠BAD =x °(0<x ≤45) . ① 求∠B 的度数;
②是否存在这样的x 的值,使得△DEF 中有两个角相等.若存在,并求x 的值;若不存在,请说明理由.
22.在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上,使直尺与三角板的边分别交于点P 、M 、N 、Q ,
(1)如图①所示.当∠CNG =42°,求∠HMC 的度数.(写出证明过程)
(2)将直尺向下平移至图 2 位置,使直尺的边缘通过点 C ,交 AB 于点 P ,直尺另一侧与三角形交于 N 、Q 两点。请直接写出∠PQF 、∠A 、∠ACE 之间的关系.
23.问题一:如图①,已知AC =160km ,甲,乙两人分别从相距30km 的A ,B 两地同时出发到C 地.若甲的速度为80km /h ,乙的速度为60km /h ,设乙行驶时间为x (h ),两车之间距离为y (km ).
(1)当甲追上乙时,x = . (2)请用x 的代数式表示y .
问题二:如图②,若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分,线段AB 正好对应钟表上的弧AB (1小时的间隔),易知∠AOB =30°.
(3)分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ,时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °;
(4)若从2:00起计时,求几分钟后分针与时针第一次重合?
24.综合与探究:
如图1,抛物线24832
999
y x x =-
++与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),顶点为D ,P 为对称轴右侧抛物线的一个动点,直线AD 与y 轴于点C ,过点P 作
//PF AD ,交x 轴于点F .
(1)求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标;
(2)如图2,当//PC x 轴时,将AOC ?以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移,当点C 与点P 重合时停止平移.设平移t 秒时,在平移过程中AOC ?与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; (3)如图3,过点P 作x 轴的平行线,交直线AD 于点E ,直线DF 与PE 交于点M ,设点P 的横坐标为m .
①当3DM MF =时,求m 的值;
②试探究点P 在运动过程中,是否存在值m ,使四边形AFPE 是菱形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
25.如图1,已知点B (0,9),点C 为x 轴上一动点,连接BC ,△ODC 和△EBC 都是等边三角形.
(1)求证:DE =BO ;
(2)如图2,当点D 恰好落在BC 上时. ①求点E 的坐标;
②在x 轴上是否存在点P ,使△PEC 为等腰三角形?若存在,写出点P 的坐标;若不存在,说明理由;
③如图3,点M 是线段BC 上的动点(点B ,点C 除外),过点M 作MG ⊥BE 于点G ,MH ⊥CE 于点H ,当点M 运动时,MH +MG 的值是否发生变化?若不会变化,直接写出MH +MG 的值;若会变化,简要说明理由.
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一、中考数学压轴题 1.C
解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2410
MN = 【解析】 【分析】
(1)由垂径定理即可证明;
(2)利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论;
(3)由∠MPC=∠NQD 可得:∠BGL=∠BLG ,BL=BG ,作BR ⊥MN ,GT ⊥AF ,HK ⊥AB ,证明:GH 平分∠AGT ,利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系,再求出HK 与GH ,OS ⊥MN ,再利用相似三角形性质求出OS ,利用勾股定理求MN 即可. 【详解】
解:()1证明:∵BC BD =,AB 为直径, ∴AB ⊥CD ∴∠AEC=90°;
()2连接,OM ON ,
∵点M 是弧AC 的中点,点N 是弧DF 的中点, ∴AM CM =,FN DN =, ∴,OM AC ON FD ⊥⊥, ∵OM=ON , ∴M N ∠=∠,
∵90M MPC N NQB ∠+∠=∠+∠=?,
MPC NQD ∴∠=∠;
()3如图3,过G 作GT ⊥AF 于T ,过H 作HK ⊥AB 于K ,过B 作BR ⊥MN 于R ,过O 作
OS ⊥MN 于S ,连接OM ,设BG=m ,
∵△ABH 的面积等于8,AG=6 ∴HK=
16
6
m +, ∵BC BD =,
∴∠BAC=∠BFD ,由(2)得∠MPC=∠NQD ∴∠AGM=∠FLN ∴∠BGL=∠BLG ∴BL=BG , ∵BR ⊥MN ∴∠ABR=∠FBR ∵GH ⊥MN ∴GH ∥BR ∴∠AGH=∠ABR ∵AB 是直径,GT ⊥AF ∴∠AFB=∠ATG=90° ∴GT ∥BF , 又∵GH ∥BR ∴∠TGH=∠FBR ∴∠AGH=∠TGH , 又∵HK ⊥AG ,HT ⊥GT , ∴HT=HK=
16
6
m +, ∵FH=BG=m , ∴FT=16(8)(2)
66
m m m m m +--
=++, ∵GT ∥BF , ∴
AT AG FT BG
=, ∴6(8)(2)(6)m m AT m m +-=
+,616
m AH m
-=,48(6)(38)m KG TG m m ==+-,
∵222AT TG AG +=, 代入解得:m=4; ∴AB=10,OM=5,GK=24
5,HK=85
,OG=1
∴, ∵OS ⊥MN
∴∠OSG=∠GKH=90°,GH ∥OS ∴∠HGK=∠GOS ∴△HGK ∽△GOS , ∴
OS GK
OG GH
=,
∴OS =
∴222410
MG OM OG =-=, ∴2410
5
MN =; 【点睛】
本题考查了圆的性质,圆周角定理,垂径定理,相似三角形判定和性质,勾股定理等,综合性较强,尤其是第(3)问难度很大,计算量大,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确作出辅助线,运用数形结合的思想进行解题.
2.A
解析:(I )30DAM ∠=?,(
)
3,3M ;(II )
24
5
;(III )DF 的最大值为47-. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由折叠的性质得:△ANM ≌△ADM ,由角平分线结合得:
∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°,由特殊角的三角函数可求DM 的长,写出M 的坐标; (Ⅱ)如图2,作辅助线,构建直角三角形,设NQ=x ,则AQ=MQ=1+x ,在Rt △ANQ 中,由勾股定理列等式可得关于x 的方程:(x+1)2=32+x 2,求出x ,得出AB 是AQ 的4
5
,即可得出△NAQ 和△NAB 的关系,得出结论;
(III )如图3,过A 作AH ⊥BF 于H ,证明△ABH ∽△BFC ,得
BH CF
AH BC
=,Rt △AHN 中,AH ≤AN=3,AB=4,可知:当点N 、H 重合(即AH=AN )时,AH 最大,BH 最小,CF 最小,DF 最大,此时点M 、F 重合,B 、N 、M 三点共线,如图4所示,求此时DF 的长即可. 【详解】 (I )如图
()0,0A ,()4,0B ,()0,3D , 3AD ∴=,4AB =, 由折叠得:ANM ADM ≌△△, MAN DAM ∴∠=∠, AN 平分MAB ∠, MAN NAB ∴∠=∠,
BAM MAN NAB ∴∠=∠=∠,
四边形ABCD 是矩形,
90DAB ∴∠=?, 30DAM ∴∠=?,
3
tan 3tan 3033DM AD DAM ∴=?∠=??=?
=, 30DAM ∴∠=?,(
)
3,3M
;
(II )延长MN 交AB 的延长线于点Q ,
四边形ABCD 是矩形,
AB CD ∴∥,
DMA MAQ ∴∠=∠,
由折叠得:ANM ADM ≌△△,
DMA AMQ ∴∠=∠,3AN AD ==,1MN MD ==,
MAQ AMQ ∴∠=∠, MQ AQ ∴=,
设NQ x =,则1AQ MQ x ==+,
90ANM ∠=?, 90ANQ ∴∠=?,
在Rt ANQ △中,由勾股定理得:2
2
2
AQ AN NQ =+,
()2
2213x x ∴+=+,
解得:4x =,
4NQ ∴=,5AQ =,
4AB =,5AQ =,
441412434552525
NAB NAQ S S AN NQ ∴=
=??=???=△△; (III )如图3,过A 作AH BF ⊥于H ,
四边形ABCD 是矩形,
AB CD ∴∥,
90AHB BCF ∴∠=∠=?, ABH BFC ∴∽△△, BH
CF AH BC
∴=, Rt AHN 中,3AH AN =≤,4AB =,
∴当点N 、H 重合(即AH AN =)时,AH 最大,BH 最小,CF 最小,DF 最大,此时点M 、F 重合,B 、N 、M 三点共线,如图4所示,
由折叠得:AD AH =,
AD BC =, AH BC ∴=,
在ABH 和BFC △中, HBA BFC ANB BCF AH BC ∠=∠??
∠=∠??=?
, ABH BFC AAS ∴≌()△△, CF BH ∴=,
由勾股定理得:2222437BH AB AH =-=-=
7CF ∴=,
DF ∴的最大值为47DC CF -=
【点睛】
本题是四边形的综合题,考查了三角形全等和相似的性质和判定、折叠的性质、勾股定理、图形与坐标特点、特殊的三角函数值,熟练掌握折叠的性质是关键,注意图形与坐标
特点,第II问构建直角三角形,利用勾股定理列方程是关键.
3.A
解析:(1)A(0,1)
(2)结论:∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.
(3)α+2β=45°.
【解析】
【分析】
(1)利用二次根式的性质求出m、n的值,求出B、C两点坐标,由S四边形AOBC=
S△OBC+S△AOC,推出
1
2
×2×4+
1
2
×OA×4=6,求出OA即可;
(2)如图2中,结论:∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.根据三角形内角和定理,三角形的外角的性质即可解决问题;
(3)由AD∥BC,推出∠ADC=∠DCB=α,由BE平分∠CBx,推出∠CBE=∠EBx,由
∠CBE=∠F+∠OCB=α+β,推出∠OBF=∠EBx=α+β,由OC平分∠AOB,可得∠COB=45°=∠F+∠OBF=α+(α+β),由此即可解决问题;
【详解】
解:(1)由题意
20
20
n
n
-≥
?
?
-≥
?
,
,得
,
解得n=2,
∴m=4,B(2,0),C(4,4).如图:
∵S四边形AOBC=S△OBC+S△AOC,
∴1
2
×2×4+
1
2
×OA×4=6,
∴OA=1,
∴A(0,1).
(2)结论:∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.如图:
理由如下:
∵OC∥PQ,
∴∠Q=∠OCB,
∵∠ABQ=∠1+∠OCB=∠1+∠Q,∠1=180°﹣∠OAB﹣∠AOC=180°﹣∠OAB﹣45°=135°﹣∠OAB,
∴∠ABQ=∠Q+135°﹣∠OAB,
∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.
(3)如图:
∵AD∥BC,
∴∠ADC=∠DCB=α,
∵BE平分∠CBx,
∴∠CBE=∠EBx,
∵∠CBE=∠F+∠OCB=α+β,
∴∠OBF=∠EBx=α+β,
∵C(4,4),
∴OC平分∠AOB,
∴∠COB=45°=∠F+∠OBF=α+(α+β),
∴α+2β=45°.
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
四年级数学上册易错题汇总答案 填空题。(分)011、与最小的八位数相邻的两个数是(9999999)和(10000001)。【最小的八位数是:10000000,相邻的两个数分别是10000000-1=9999999,10000000+1=10000001。】 2、10个鸟蛋重50克,100万个鸟蛋约重(5)吨。 【100万=1000000,1000000÷10×50=5000000克=5000千克=5吨】 3、用两根一样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形,(正方形)的面积大。 4、100张纸厚1厘米,1亿张纸厚约(10)千米。 【1亿=100000000,100000000÷100×1=1000000厘米=10000米=10千米】 5、用万作单位写出下面各数的近似数: 945000≈(95)万305100≈(31)万996043≈(100)万【小数向左移动四位,再四舍五入保留整数。】 6、用亿作单位写出下面各数的近似数。 420000000≈(4)亿650000000≈(7)亿6990000000≈(70)亿 【小数向左移动八位,再四舍五入保留整数。】 7、写出□里的数。 □□□÷26=7......6 298÷□□=9 (1) 1 ……=933÷298 6 ……26=7÷188.
9、□里最大能填几(填整数)? □÷35<8 □÷27<5 279÷35<8 134÷27<5 【35×8-1=279,27×5-1=134】 10、填上合适的运算符号。 4○5○6 =26 4○5○6=14 4○5○6=34 4×5+6 =26 4×5-6=14 4+5×6=34 11、从1写到50,数字0一共写了(5)个,数字2一共写了(14)个。 12、一个数省略亿位后面的尾数的近似数是8亿,这个数最大是(849999999),最小是(750000000),它们相差(99999999)。 13、找规律填数 (1)30600、32600、34600、(36600)、(38600)。 (2)100000、99900、99800、(99700)、(99600)。 14、把两个边长都是5厘米的正方形,拼成一个长方形,拼成的长方形的周长是(30)厘米,面积是(50)平方厘米。 【拼成长方形后,长方形的长为10厘米,宽为5厘米,则周长=(10+5)×2=30厘米,面积=10×5=50平方厘米。】 15、有一个数,它的百万位的左边、右边的数以及百位左边的数都是?,其余各个数位上都是ぜ,那么这个数(八)位数,写作(80808000),读作(八千零八十万八千),这个数四舍五入到万位,得(8081万)。 ←左边右边→
六年级数学总复习易错题
一、填空题 1. A=2 x 3X a, B=3X a x 7,已知A与B的最大公约数是15,那么 a=(),A与B的最小公倍数是()。 2. 有一个放大镜,在这个放大镜下,一条线段其长度是原来的3倍,在这个放大镜下,正方形面积是原来的()倍,正方体的体积是原来的()倍。 3. 小红1/5小时行3/8千米,她每小时行()千米,行1千米用()小时。 4. 一台榨油机6小时榨油300千克。照这样计算,1小时榨油 ()千克,榨1千克油需()小时。 5. 把3米长的绳子平均分成4段,每段长()米,每段占3米的()。 6. 一个长方体的长、宽、高的比是3:2: 1,已知长方体的棱长 总和是144厘米,它的体积是()立方厘米。 7. 甲数是乙数的60%甲数比乙数少()%乙数比甲数多() 8. 甲班人数比乙班多1/4,则乙班人数比甲班少()。9.水结成冰后,体积比原来增加1/11,冰化成水后,体积减少()。 10. 一项工程投资20万元,比计划节约5万元。节约() %。 11. 男生人数的3/4与女生人数的4/5 一样多,男女生人数的比是 。 12. 一个长方形的周长36分米,宽是长的4/5,长方形的面积是 平方分米。 13. 在一个减法算式里,被减数、减数与差的和是180,减数与差的比是4: 5,被减数是(),差是()。 14. 一本书若定价每本10元,获得的纯利润是25%如果想使获得的纯利润是40%则每本书应定价()元。 15. 一个两位数,十位上的数字是m个位上的数字是n,用含有 字母的式子表示是()。 16. —个两位小数,它的近似值是4.0,这个数最大是(), 最小是()。 二、判断题 1. 大于90°的角都是钝角。() 2. 只要能被2除尽的数就是偶数。() 3.12/15不能化成有限小数。( 4. 能被3整除的数一定能被9整除。 5. 两个锐角之和一定是钝角。( 6. 在比例中,如果两个内项互为倒数, () 7. x+y=ky (k 一定)则x、y不成比例。( 8. 正方形、长方形、平行四边形、圆都是轴对称图形。( ) 9. 比例尺就是前项是1的比。() 10.1千克的金属比1千克的棉花重。( 11.1/100和1%TE是分母为100的分数,它们表示的意义相同。 () 12. 圆锥的体积比圆柱体积小2/3。( ) () ) 那么两个外项也互为倒数18. 比例尺大的,实际距离也大。(
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
[易错题1] 王叔叔家养了350只鸡,每个笼子里装30只,需要准备多少个这样的笼子? 【错误解答】350÷30=11(个)……20(只) 答:需要准备11个这样的笼子。 【“病因”分析】这里出错的原因是把余下的20只鸡忽略了,余下的20只鸡需要再装一个笼子,这里应该准备12个笼子。 【正确解答】350÷30=11(个)……20(只) 11+1=12(个) 答:需要准备12个这样的笼子。 [易错题2] 小红、小林和小刚,一个星期一共练了630个大字,平均每人每天练多少个大字? 【错误解答】630÷3=210(个) 答:平均每人每天练210个大字。 【“病因”分析】这里出错是把一个星期是7天这个隐含的条件忽略了。 【正确解答】630÷3÷7=210÷7=30(个) 答:平均每人每天练30个大字。 [易错题3] 计算(842+421+421)×25,下面最简便的方法是()。 A.421×(4×25 ) B.842×(2×25 ) C.842×25+421×25+421×25 【错因分析】首先要明白(842+421+421)×25有多种简便计算方法,一个可以把421合并成842,另一个也可以把842拆分成421,而此题要求是最简便的方法,那么有的同学只想到简便没看清“最”简便就想当然选择B了。 【思路点睛】正确答案选择A,因为此题要求最简便。通过把842拆分成2个421,和题中已有的2个421合并成4个421,再根据乘法结合律把4和25先乘起来得100,这样就是最简便的方法了。B比起原题死算确实简便,但比起A来没有A更好算最简便。 [易错题4]
简便计算(100+2) ×45。 【错因分析】典型错误(100+2) ×45 =100×45+2 =4500+2 =4502 × 出现这种错误是由于学生对什么是乘法分配律本质内涵认识和理解不够。什么是乘法分配律?书上结论是这样陈述的:两个数的和与其中一个数相乘,可以先把这两个数分别与这个数相乘,再相加。也就是说不能只乘其中一个加数。上述案例中就只乘其中100这个加数,而另一个加数2就漏乘45了,导致出错。 【思路点睛】我们依据乘法分配律,把100和2这两个加数分别与45相乘,最后再把两个乘得的数相加。正确过程如下: (100+2) ×45 =100×45+45×2 =4500+90 =4590 [易错题5] 简便计算68×99。 【错因分析】 68×99 =68×(100+1) =68×100+68 =6800+68 =6868 × 该同学看到99想到100,把99先看作最接近的100这很好,但是忽略了简便计算的前提是等量代换,一个量须用与它相等的量去代替,才可以依次继续递等下去。把99替换成(100+1)这本身就建立在不公平基础上,所以不能向下递等,结果也不对等。 【思路点睛】两个数相乘,如果有一个数接近整百数,可以先将这个数转化成整百数加或减一个数的形式,再应用乘法分配律进行计算。正确过程如下: 68×99 =68×(100-1) =68×100-68 =6800-68 =6732
小学六年级数学易错题(选择题)_题型归纳 二、选择题: 1、自然数a除以自然数b,商是10,那么a和b的最大公约数是( )。 A、a B、b C、10 2、一个三角形,经过它的一个顶点画一条线段把它分成两个三角形,其中一个三角形的内角和是( )。 A、180 B、90 C、不确定 3、从甲地开往乙地,客车要10小时,货车要15小时,客车与货车的速度比是( )。 A、2:3 B、3:2 C、2:5 4、用3根都是12分米长的铁丝围成长方形、正方形和圆形,则围成的( )面积最大。 A、长方形 B、正方形 C、圆形 5、在除法算式mn=ab中,(n0),下面式子正确的是( )。 A、a>n B、n>a C、n>b 6、过平行四边形的一个顶点向对边可以作( )条高。 A、1 B、2 C、无数 7、用三根同样长的铅丝分别围成圆、正方形和长方形,( )的面积最小。 A、圆 B、正方形 C、长方形 8、甲数与乙数的比值为0.4,乙数与甲数的比值为( ) A.0.4 B.2.5 C. 2/5 9、加工一批零件,经检验有100个合格,不合格的有25个,这批零件的合格率是( ) A、75% B、80% C、100% 10、小数点右边第三位的计数单位是( )
A、百分位 B、千分位 C、0.01 D、0.001 11、等底等高的圆柱体比圆锥体体积( ) A、大 B、大2倍 C、小 12、如果4X=3Y,那么X与Y( ) A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 13、0.70.3如果商是2那么余数是( ) A、1 B、0.1 C、0.01 D、10 14、做一批零件,如果每人的工效一定,那么工人的人数和用的时间( ) A。成正比例B。成反比例C。不成比例 15、两根同样长的绳子,一根剪去3/7,另一根剪去3/7米,第( )根剪去的长一些。 A、第一根长 B、第二根长 C、一样长 D、无法判断 16、一根绳子,剪成两段,第一段长3/7米,第二段占全长的3/7,第( )段长一些。 A、第一段长 B、第二段长 C、一样长 D、无法判断