一、中考数学压轴题
1.在平行四边形ABCD 中,60B ∠=?,点E ,F 分别在边AB ,AD 上,且
60ECF ∠=?.
(1)如图1,若AB BC =,求证:AE AF BC +=;
(2)如图2,若4AB BC ==,且点E 为AB 的中点,连接BF 交CE 于点M ,求
FM ;
(3)如图3,若AB kBC =,探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系,说明理由. 2.在平面直角坐标系中,抛物线2
4y mx mx n =-+(m >0)与x 轴交于A ,B 两点,点B 在点A 的右侧,顶点为C ,抛物线与y 轴交于点D ,直线CA 交y 轴于E ,且
:3:4??=ABC BCE S S .
(1)求点A ,点B 的坐标;
(2)将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后,点B 与点A 重合,点O 恰好落在y 轴上, ①求直线CE 的解析式; ②求抛物线的解析式.
3.已知:如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,()2,0C .直线26y x =+与x 轴交于点A ,交y 轴于点B .过C 点作直线AB 的垂线,垂足为E ,交y 轴于点D . (1)求直线CD 的解析式;
(2)点G 为y 轴负半轴上一点,连接EG ,过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H .设点G 的坐标为()0,t ,线段AH 的长为d .求d 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)
(3)过点C 作x 轴的垂线,过点G 作y 轴的垂线,两线交于点M ,过点H 作HN GM ⊥于点N ,交直线CD 于点K ,连接MK ,若MK 平分NMB ∠,求t 的值.
4.如图1,正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转,连接AF ,点M 是AF 中点. (1)当点G 在BC 上时,如图2,连接BM 、MG ,求证:BM =MG ;
(2)在旋转过程中,当点B 、G 、F 三点在同一直线上,若AB =5,CE =3,则MF = ;
(3)在旋转过程中,当点G 在对角线AC 上时,连接DG 、MG ,请你画出图形,探究DG 、MG 的数量关系,并说明理由.
5.如图1,已知,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB=AC=10,BC=12,连接AO 并延长交BC 于点H .
(1)求外接圆⊙O 的半径;
(2)如图2,点D 是AH 上(不与点A ,H 重合)的动点,以CD ,CB 为边,作平行四边形CDEB ,DE 分别交⊙O 于点N ,交AB 边于点M . ①连接BN ,当BN ⊥DE 时,求AM 的值;
②如图3,延长ED 交AC 于点F ,求证:NM ·NF=AM ·MB ; ③设AM=x ,要使2ND -22DM <0成立,求x 的取值范围.
6.综合与实践
4A 纸是我们学习工作最常用的纸张之一, 2,我们定义:长宽之比是
2的矩形纸片称为“标准纸”.
操作判断:
()1如图1所示,矩形纸片2()ABCD AD AB =
是一张“标准纸”,将纸片折叠一次,使点
B 与D 重合,再展开,折痕EF 交AD 边于点,E 交B
C 边于点F ,若1,AB =求CF 的
长,
()2如图2,在()1的基础上,连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ,连接,BE 判断四边形
BFDE 的形状,并说明理由.
探究发现:
()3如图3所示,在(1)和(2)的基础上,展开纸片后,将纸片再折叠一次,使点A 与点C 重
合,再展开,痕MN 交AD 边于点M ,BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形
ENFM 剪下,探究纸片ENFM 是否为“标准纸”,说明理由.
7.如图,在等边ABC ?中,延长AB 至点D ,延长AC 交BD 的中垂线于点E ,连接
BE ,DE .
(1)如图1,若310DE =,23BC =CE 的长;
(2)如图2,连接CD 交BE 于点M ,在CE 上取一点F ,连接DF 交BE 于点N ,且
DF CD =,求证:12
AB EF =;
(3)在(2)的条件下,若45AED ∠=?直接写出线段BD ,EF ,ED 的等量关系
8.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A (﹣3,0)、B (2,0)两点,与y 轴交于点C (0,3). (1)求抛物线的解析式;
(2)点E (m ,2)是直线AC 上方的抛物线上一点,连接EA 、EB 、EC ,EB 与y 轴交于D .
①点F 是x 轴上一动点,连接EF ,当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时,求出线段EF 的长;
②点G 为y 轴左侧抛物线上一点,过点G 作直线CE 的垂线,垂足为H ,若∠GCH =∠EBA ,请直接写出点H 的坐标.
9.如图一,矩形ABCD 中,AB=m ,BC=n ,将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ(0°<θ<90°)得到矩形A 1BC 1D 1,点A 1在边CD 上.
(1)若m=2,n=1,求在旋转过程中,点D 到点D 1所经过路径的长度;
(2)将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2,点D 2在BC 的延长线上,设边A 2B 与CD 交于点E ,若
161A E EC
=,求n
m 的值.
(3)如图二,在(2)的条件下,直线AB 上有一点P ,BP=2,点E 是直线DC 上一动点,在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持
BE n
BG m
=,设AB=33E 移动过程中,PF 是否存在最小值,若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
10.问题背景:如图,四边形ABCD 中,AD BC ∥,8BC =,17AD =+,
32AB =,45ABC ∠=?,P 为边AD 上一动点,连接BP 、CP .
问题探究
(1)如图1,若30PBC ∠=?,则AP 的长为__________. (2)如图2,请求出BPC △周长的最小值;
(3)如图3,过点P 作PE BC ⊥于点E ,过点E 分别作EM PB ⊥于M ,EN PC ⊥于点N ,连接MN
①是否存在点P ,使得PMN 的面积最大?若存在,求出PMN 面积的最大值,若不存在,请说明理由;
②请直接写出PMN 面积的最小值.
11.附加题:在平面直角坐标系中,抛物线2
1y ax a
=-与y
轴交于点A ,点A 关于x 轴的对称点为点B , (1)求抛物线的对称轴;
(2)求点B 坐标(用含a 的式子表示); (3)已知点11,
P a ??
???
,(3,0)Q ,若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,结合函数图像,求a 的取值范围.
12.如图1,已知抛物线218
33
y x x c =-
-+与x 轴相交于A 、B 两点(B 点在A 点的左侧),与y 轴相交于C 点,且10AB =.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图2,D 点在x 轴上,且在A 点的右侧,E 点为抛物线上第二象限内的点,连接
ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ,点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为
3:1,已知4
tan 3
BDE ∠=,求点E 的坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,点G 由B 出发,沿x 轴负方向运动,连接EG ,点H 在
线段EG 上,连接DH ,EDH
EGB ∠=∠,过点E 作EK DH ⊥,与抛物线相交于点
K ,若EK EG =,求点K 的坐标.
13.如图,在等边△ABC 中,AB =BC =AC =6cm ,点P 从点B 出发,沿B →C 方向以1.5cm/s 的速度运动到点C 停止,同时点Q 从点A 出发,沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动,当点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动,连接PQ ,过点P 作BC 的垂线,过点Q 作BC 的平行线,两直线相交于点M .设点P 的运动时间为x (s ),△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y (cm 2)(规定:线段是面积为0的图形). (1)当x = (s )时,PQ ⊥BC ;
(2)当点M 落在AC 边上时,x = (s );
(3)求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围.
14.在平面直角坐标系xOy 中,点A 为x 轴上的动点,点B 为x 轴上方的动点,连接
OA ,OB ,AB .
(1)如图1,当点B 在y 轴上,且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点
P ,请直接写出P ∠的度数;
(2)如图2,当点B 在y 轴上,OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ,点C 在BP 的延长线上,且满足45AOC ∠=?,求
OAB
OCB
∠∠;
(3)如图3,当点B 在第一象限内,点P 是AOB ?内一点,点M ,N 分别是线段OA ,
OB 上一点,满足:1902
APB AOB ∠=?+∠,PM PN =,180ONP OMP ∠+∠=?.
以下结论:①OM ON =;②AP 平分OAB ∠;③BP 平分OBA ∠;④AM BN AB +=.
正确的是:________.(请填写正确结论序号,并选择一个正确的结论证明,简写证明过
程).
15.在平面直角坐标系中,直线4
(0)3
y x b b =-
+>交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,10AB =.
(1)如图1,求b 的值;
(2)如图2,经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ,与
x 轴交于点R ,//CD OA ,交AB 于点D ,设线段CD 长为d ,求d 与n 的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F 在第四象限,CF 交OA 于点E ,45AEF ∠=?,点
P 在第一象限,PH OA ⊥,点N 在x 轴上,点M 在PH 上,MN 交PE 于点G ,
PH EN =,过点E 作EQ CF ⊥,交PH 于点Q , 32==EQ EF PM ,
∠=∠OBR HNM ,BC CR =,点G 的坐标为1927,55??
???
,连接FN ,求EFN 的面
积.
16.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8AD cm =,连接BD ,将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△(B ′与B 重合),且点D '刚好落在BC 的延长上,A D ''与
CD 相交于点E .
(1)求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分(如图1中阴影部分A B CE '')的面积; (2)将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接
写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;
(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得AA B ''△成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.
17. 在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线y =﹣x+4与x 轴交于点A ,过点A 的抛物线y =ax 2+bx 与直线y =﹣x+4交于另一点B ,且点B 的横坐标为1.
(1)该抛物线的解析式为;
(2)如图1,Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点(不与B 、A 重合),过Q 作QP ⊥x 轴,交x 轴于P ,连接AQ ,M 为AQ 中点,连接PM ,过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ,若点P 的横坐标为t ,点N 的横坐标为n ,求n 与t 的函数关系式;在此条件下,如图2,连接QN 并延长,交y 轴于E ,连接AE ,求t 为何值时,MN ∥AE .
(3)如图3,将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ,点T 为线段OA 上的一动点(不与O 、A 重合),以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ,以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ,连接DF .在点T 运动的过程中,四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值?请求出该值.
18.如图,平面直角坐标系中,抛物线2
28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点(点B 在
点C 右侧),与y 轴交于点A ,连接AB ,25AB =.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P 在第二象限的抛物线上,连接PB 交y 轴于D ,取PB 的中点E ,过点E 作
EH x ⊥轴于点H ,连接DH ,设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);
(3)在(2)的条件下,作PF y ⊥轴于F ,连接CP 、CD ,CP CD =,点S 为PF 上一点,连接BS 交y 轴于点T ,连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=?,在
射线CS 上取点Q.连接QF ,QF RF =,求直线TQ 的解析式. 19.已知抛物线2
y ax bx c =++过点(6,0)A -,(2,0)B ,(0,3)C -. (1)求此抛物线的解析式;
(2)若点H 是该抛物线第三象限的任意一点,求四边形OCHA 的最大面积; (3)若点Q 在y 轴上,点G 为该抛物线的顶点,且45GQA ∠=?,求点Q 的坐标. 20.已知菱形ABCD 中,∠ABC=60°,AB=4,点M 在BC 边上,过点M 作PM ∥AB 交对角线BD 于点P ,连接PC .
(1)如图1,当BM=1时,求PC 的长;
(2)如图2,设AM 与BD 交于点E ,当∠PCM=45°时,求证:BE DE =33
+; (3)如图3,取PC 的中点Q ,连接MQ ,AQ . ①请探究AQ 和MQ 之间的数量关系,并写出探究过程;
②△AMQ 的面积有最小值吗?如果有,请直接写出这个最小值;如果没有,请说明理由.
21.阅读材料:等腰三角形具有性质“等边对等角”.事实上,不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”:如图1.在△ABC 中,如果AB >AC ,那么∠ACB >∠ABC .证明如下:将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折(如图2),因为AB >AC ,所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处.于是,由∠ACB >∠B ',∠ABC =∠B ',可得∠ACB >∠ABC .
(1)灵活运用:从上面的证法可以看出,折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法.由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”:如图3.在△ABC 中,如果∠ACB >∠ABC ,那么AB >AC .小明的思路是:沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程.
(2)拓展延伸:请运用上述方法或结论解决如下问题:
如图4,已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点(不含端点),连接AM 并延长,交BC 的延长线于点N .求证:AM +AN >2BD .
22.如图,平行四边形ABCD 中,AB ⊥AC ,AB =2,AC =4.对角线AC 、BD 相交于点O ,将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°(0°<α<180°),分别交直线BC 、AD 于点E 、F .
(1)当α=_____°时,四边形ABEF 是平行四边形;
(2)在旋转的过程中,从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形, ①当α=_______°时,构造的四边形是菱形; ②若构造的四边形是矩形,求该矩形的两边长. 23.综合与探究:
如图1,抛物线24832
999
y x x =-
++与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),顶点为D ,P 为对称轴右侧抛物线的一个动点,直线AD 与y 轴于点C ,过点P 作
//PF AD ,交x 轴于点F .
(1)求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标;
(2)如图2,当//PC x 轴时,将AOC ?以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移,当点C 与点P 重合时停止平移.设平移t 秒时,在平移过程中AOC ?与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; (3)如图3,过点P 作x 轴的平行线,交直线AD 于点E ,直线DF 与PE 交于点M ,设点P 的横坐标为m .
①当3DM MF =时,求m 的值;
②试探究点P 在运动过程中,是否存在值m ,使四边形AFPE 是菱形?若存在,请直接
写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
24.如图①,在ABC ?中,90C ∠=?,10,8AB BC ==.点,D E 分别是边,AC BC 上的动点,连接DE .设CD x =(0x >),BE y =,y 与x 之间的函数关系如图②所示.
(1)求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式; (2)将DCE 沿DE 翻折,得DME .
①点M 是否可以落在ABC ?的某条角平分线上?如果可以,求出相应x 的值;如果不可以,说明理由;
②直接写出....DME 与ABC ?重叠部分面积的最大值及相应x 的值.
25.对于平面内的点M 和点N ,给出如下定义:点P 为平面内的一点,若点P 使得
PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形,则称点P 是点M 关于点N 的锐
角等腰点P .如图,点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点.在平面直角坐标系xOy 中,点
O 是坐标原点.
(1)已知点(2,0)A ,在点123(0,2),(13),(13)P P P -,4(2,2)P -中,是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________.
(2)已知点(3,0)A ,点C 在直线2y x b =+上,若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点,求实数b 的取值范围.
(3)点D 是x 轴上的动点,(,0),(2,0)D t E t -,点(,)F m n 是以D 为圆心,2为半径的圆上一个动点,且满足0n ≥.直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ,,若线段
HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点,请直接写出t 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、中考数学压轴题
1.A
解析:(1)证明见解析;(2)67
5
FM =;(3)kBC DF kBE =+. 【解析】 【分析】
(1)连接AC ,根据题意判定平行四边形ABCD 为菱形,△ABC 为等边三角形,然后利用AAS 定理判定△BCE ≌△ACF ,从而得出BE=AF ,使问题得解;
(2)连接AC ,过点M 作MN ⊥CF ,由含30°直角三角形的性质求得1
22
BE BC =
=,323CE CF BE ===,设CN=x ,则3MN x =,然后利用平行判定
△FMN ∽△FBC ,根据相似三角形的性质求得1263
5MN FN ==
,,然后利用勾股定理求解即可;
(3)连接AC ,过点A 作AK ⊥BC ,在DA 上截取DH=CD ,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定△HCD 是等边三角形,然后根据AA 定理判定△BCE ∽△FCH ,根据相似三角形的性质求得HF CM CD AB
k BE BC BC BC
====,即HF=kBE ,从而使问题得解. 【详解】 解:(1)连接AC
因为在平行四边形ABCD 中,60B ∠=?,AB BC = ∴平行四边形ABCD 为菱形,△ABC 为等边三角形 ∴AC=BC ,∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACB=60°, 又∵60ECF ∠=? ∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACF ∴∠BCE=∠ACF ∴△BCE ≌△ACF ∴BE=AF
∴AB=AE+BE=AE AF BC +=
(2)连接AC ,过点M 作MN ⊥CF
由(1)已证,△ABC 为等边三角形,△BCE ≌△ACF ∵E 为AB 的中点
∴CE ⊥AB
∴在Rt △BCE 中,∠BCE=30°
∴1
22
BE BC =
=,323CE CF BE === 由题意60ECF ∠=?,∴∠BCF=90° 在Rt △AMCN 中,∠CMN=30°
设CN=x ,则3MN x = ∵MN ⊥CF ∴MN ∥BC ∴△FMN ∽△FBC ∴
MN FN BC FC =,323423
x x
-= 解得:43
x = ∴1263
5MN FN =
=
, 在Rt △FMN 中,22126367()()55FM =
+=
(3)由题意可知,在平行四边形ABCD 中,∠B=∠D=60°,AB CD kBC == 连接AC ,过点A 作AK ⊥BC ,在DA 上截取DH=CD ∵DH=CD ,∠B=∠D=60° ∴△HCD 是等边三角形 ∴∠HCD=60° 又∵∠ECF=60°
∴∠BCE+∠ECH=∠FCH+∠ECH ∴∠BCE =∠FCH ∴△BCE ∽△FCH ∴
HF CM CD AB
k BE BC BC BC
====,即HF=kBE ∴CD=DF+HF=DF+ kBE 又∵AB CD kBC == ∴kBC DF kBE =+
【点睛】
本题考查平行四边形的性质,菱形的判定与性质,等边三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质,有一定综合性,正确添加辅助线是解题关键.
2.A
解析:(1) A (
12,0) B (72,0);(2) ①23333
y x =-+,②24316373
999
y x x =
-+
. 【解析】 【分析】
(1)根据抛物线的解析式可得对称轴为x =2,利用:3:4??=ABC BCE S S 得出CA :CE =3:4,由△AOE ∽△AGC 可得
1
3
=AO AG ,进而求得OA 、OB 的长,即可求得点A 、点B 的坐标; (2)根据旋转的性质求出C 点坐标,利用C 点坐标和△AOE ∽△AGC 可求得E 点坐标,,分别利用待定系数法即可求得直线CE 和抛物线的解析式. 【详解】
解:(1)∵抛物线的解析式为2
4(0)=-+>y mx mx n m ,
∴对称轴为直线422-=-
=m
x m
, 如图,设对称轴与x 轴交于G ,则//CG y 轴,2OG =,
∴△AOE ∽△AGC , ∴
=AO AE
AG AC
,
∵:3:4ABC
BCE
S
S
=, ∴CA :CE =3:4 ,则3
1
AE AC =, ∴
1
3
==AO AE AG AC , ∴1142=
=OA OG ,3342
==AG OG , 则23==AB AG ,7
2
=+=OB OA AB , ∴A (
12,0), B (7
2
,0); (2)如图,设O 旋转后落在点Q 处,过点C 作CP y ⊥轴于点P ,
由旋转的性质得:△BCO ≌△ACQ , ∴BO =AQ =7
2
,CO =CQ , ∴OQ =222271
()()2322=
-=-=AQ AO
∵CP y ⊥轴, ∴1
32
=
=OP OQ ∴点C 的坐标为(2,3)-,则3CG =由(1)得△AOE ∽△AGC ,1
3
==OE AE CG AC , ∴3OE =
E 的坐标为3,
①设CE 的解析式为y kx b =+,分别代入
C (2,,
E (0,
3
得:
23k b b ?+=??=
??
,解得:k b ?=?
???=??
, ∴CE
的解析式为y =; ②将A (
1
2
,0),
C (2,分别代入24y mx mx n =-+得:
1204
48m m n m m n ?-+=???-+=?
,解得:m n ?=?
???=??
,
∴抛物线解析式为2999
y x x =-+
. 【点睛】
本题考查了二次函数的综合、旋转的性质、相似三角形的性质和求一次函数的解析式,正确的理解题意,熟练运算“数形结合思想”是解题的关键.
3.C
解析:(1)112y x =-+;(2)1d t =-+;(3
)65
t -= 【解析】 【分析】
(1)根据互相垂直两直线斜率积为-1,设出直线CE 的解析式,再将点C 坐标代入即可求解;
(2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,通过解直角三角形可证
EDM ≌EAN ,ENH ≌EMG ,得到AN =DM ,HN =GM ,进而得到AH DG =,再
根据CE 解析式求出D 点坐标,即可找出d 与t 之间的函数关系式;
(3)过点B 作BT CM ⊥于点T ,在直线BT 上截取TL NK =,证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形,得MN MT =,再进一步证明ENH ≌EMG ,利用全等三角形的性质通过角度计算,得出△BML 为等腰三角形且BM BL =,再用含有t 的代数式表示BM ,最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式,求出t 的值. 【详解】
解:(1)∵CE ⊥AB , ∴设直线CE 的解析式为:1
2
y x c =-
+, 把点C (2,0)代入上述解析式,得1c =,
∴直线CD的解析式为:
1
1 2
y x
=-+;
(2)过点E作EM⊥y轴于点M,过点E作EN x
⊥轴于点N,令
26
1
1
2
y x
y x
=+
?
?
?
=-+
??
,
解得
2
2
x
y
=-
?
?
=
?
,
∴()
2,2
E-,
易证EDM≌EAN,ENH≌EMG,
∴AN=DM,HN=GM,
∴AH DG
=,
由直线CE的解析式
1
1
2
y x
=-+,可求点D(0,1)
∴DG=1—t,
∴1
d t
=-+;
(3)过点B作BT CM
⊥于点T,在直线BT上截取TL NK
=,
易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形,
由(2)问可知1t
AH GD
==-,则6t
HC=-
∴6t
BG MT
==-,
∴MN MT
=,
∵90
KNM LTM
∠=∠=?,
∴ENH ≌EMG , ∴L NKM ∠=∠,
设KMN α∠=,则KMB KMN α∠=∠=, ∴90NKM α∠=?-, ∴90NKM L α∠=∠=?-, ∵//BL MN ,
∴2MBL BMN α∠=∠=,
∴18090BML MBL L α∠=?-∠-∠=?-, ∴BM BL =, ∵1tan 2
KCH ∠=, ∴11
322
KH CH t =
=-, ∴13
3322
KN KH HN t t t TL =+=--=-=, ∴3
52
BL BT TL t BM =+=-=, 在Rt BMG △中,
222BM BG GM =+,
解得65t +=(不合题意舍去)或65t -=
故,65
t -=
. 【点睛】
本题一次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,一次函数的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理等,利用已知条件求相等交,相等线段是解决本题的关键.
4.D
解析:(1)证明见解析;(23)DG MG ,理由见解析. 【解析】 【分析】
(1)连接MG 并延长交AB 于N 点,证明△ANM ≌△FGM 后得到MG=MN ,AN=CG ,进而得到BN=BG ,得到△ANG 为等腰直角三角形,即可证明MG=MB. (2)分两种情况画出图形再利用(1)中的思路结合勾股定理即可求解.
(3)先画出图形,然后证明△ADG ≌△ABG ,得到DG=BG ,又△BMG 为等腰直角三角形,故
而得到MG. 【详解】
解:(1) 连接MG 并延长交AB 于N 点,如下图所示:
∵GF ∥AN , ∴∠NAM=∠GFM 在△ANM 和△FGM 中
∠∠=??
=??∠=∠?
BAM GFM AM FM
NMA GMF ,∴△ANM ≌△FGM(ASA) ∴MG=MN ,CG=GF=AN ∴AB-AN=BC-CG ∴NB=GB
∴△NBG 为等腰直角三角形 又M 是NG 的中点
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知: 故有:MG=MB. (2)分类讨论:
情况一:当B 、G 、F 三点在正方形ABCD 外同一直线上时
延长MG 到N 点,并使得MG=MN ,连接AN ,BN
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 六年级数学总复习易错题 一、填空题 1. A=2 x 3X a, B=3X a x 7,已知A与B的最大公约数是15,那么 a=(),A与B的最小公倍数是()。 2. 有一个放大镜,在这个放大镜下,一条线段其长度是原来的3倍,在这个放大镜下,正方形面积是原来的()倍,正方体的体积是原来的()倍。 3. 小红1/5小时行3/8千米,她每小时行()千米,行1千米用()小时。 4. 一台榨油机6小时榨油300千克。照这样计算,1小时榨油 ()千克,榨1千克油需()小时。 5. 把3米长的绳子平均分成4段,每段长()米,每段占3米的()。 6. 一个长方体的长、宽、高的比是3:2: 1,已知长方体的棱长 总和是144厘米,它的体积是()立方厘米。 7. 甲数是乙数的60%甲数比乙数少()%乙数比甲数多() 8. 甲班人数比乙班多1/4,则乙班人数比甲班少()。9.水结成冰后,体积比原来增加1/11,冰化成水后,体积减少()。 10. 一项工程投资20万元,比计划节约5万元。节约() %。 11. 男生人数的3/4与女生人数的4/5 一样多,男女生人数的比是 。 12. 一个长方形的周长36分米,宽是长的4/5,长方形的面积是 平方分米。 13. 在一个减法算式里,被减数、减数与差的和是180,减数与差的比是4: 5,被减数是(),差是()。 14. 一本书若定价每本10元,获得的纯利润是25%如果想使获得的纯利润是40%则每本书应定价()元。 15. 一个两位数,十位上的数字是m个位上的数字是n,用含有 字母的式子表示是()。 16. —个两位小数,它的近似值是4.0,这个数最大是(), 最小是()。 二、判断题 1. 大于90°的角都是钝角。() 2. 只要能被2除尽的数就是偶数。() 3.12/15不能化成有限小数。( 4. 能被3整除的数一定能被9整除。 5. 两个锐角之和一定是钝角。( 6. 在比例中,如果两个内项互为倒数, () 7. x+y=ky (k 一定)则x、y不成比例。( 8. 正方形、长方形、平行四边形、圆都是轴对称图形。( ) 9. 比例尺就是前项是1的比。() 10.1千克的金属比1千克的棉花重。( 11.1/100和1%TE是分母为100的分数,它们表示的意义相同。 () 12. 圆锥的体积比圆柱体积小2/3。( ) () ) 那么两个外项也互为倒数18. 比例尺大的,实际距离也大。( 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 小学六年级数学易错题(选择题)_题型归纳 二、选择题: 1、自然数a除以自然数b,商是10,那么a和b的最大公约数是( )。 A、a B、b C、10 2、一个三角形,经过它的一个顶点画一条线段把它分成两个三角形,其中一个三角形的内角和是( )。 A、180 B、90 C、不确定 3、从甲地开往乙地,客车要10小时,货车要15小时,客车与货车的速度比是( )。 A、2:3 B、3:2 C、2:5 4、用3根都是12分米长的铁丝围成长方形、正方形和圆形,则围成的( )面积最大。 A、长方形 B、正方形 C、圆形 5、在除法算式mn=ab中,(n0),下面式子正确的是( )。 A、a>n B、n>a C、n>b 6、过平行四边形的一个顶点向对边可以作( )条高。 A、1 B、2 C、无数 7、用三根同样长的铅丝分别围成圆、正方形和长方形,( )的面积最小。 A、圆 B、正方形 C、长方形 8、甲数与乙数的比值为0.4,乙数与甲数的比值为( ) A.0.4 B.2.5 C. 2/5 9、加工一批零件,经检验有100个合格,不合格的有25个,这批零件的合格率是( ) A、75% B、80% C、100% 10、小数点右边第三位的计数单位是( ) A、百分位 B、千分位 C、0.01 D、0.001 11、等底等高的圆柱体比圆锥体体积( ) A、大 B、大2倍 C、小 12、如果4X=3Y,那么X与Y( ) A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 13、0.70.3如果商是2那么余数是( ) A、1 B、0.1 C、0.01 D、10 14、做一批零件,如果每人的工效一定,那么工人的人数和用的时间( ) A。成正比例B。成反比例C。不成比例 15、两根同样长的绳子,一根剪去3/7,另一根剪去3/7米,第( )根剪去的长一些。 A、第一根长 B、第二根长 C、一样长 D、无法判断 16、一根绳子,剪成两段,第一段长3/7米,第二段占全长的3/7,第( )段长一些。 A、第一段长 B、第二段长 C、一样长 D、无法判断六年级数学总复习易错题整理
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
中考数学易错题分析总结
历年中考数学易错题汇编-旋转练习题及答案
小学六年级数学易错题(选择题)_题型归纳
中考数学易错题汇编及答案