北京大学数学学院期末试题
2011－2012学年第一学期
考试科目 高等代数I 考试时间 2012年1月3日 姓 名 学 号
一. （10分）已知n 阶方阵A =?????
????
???11
1
01100
1
, B =????
???
?
???
?????n 3213321
22211111 .
求矩阵X , 使得 A X = B . 解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换
???????
????
??
???-→????????????????1n 2101
1100221011
0111000101111000
1n 3211111
0332111122210
01111110001
???
?
???
?????????→????????????????-→10001
00
00110010011100
010*******
12n 1001
100011001001110001011110001
故 X =?????
????
???10
110111
.
二.（15分）设 A : X A X 是R 3
上的线性变换, 其中A = ????
??????200211011.
(1) 求线性变换 A 像空间的维数和一组基; (2) 求矩阵A 的特征值与特征向量; (3) 判断矩阵A 能否对角化并说明理由.
解: (1) 在标准基下, A 像空间就是矩阵A 的列空间, 它的一组基
为 ???
?
?
???????????????220011,, 维数是2 .
(2)
A 的特征值为λ = 2 (代数二重), 0 .
对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :
????
?
?????-→??????????--000100011000211011 通解为x 1 = x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式
???
?
??????=??
????????=??????????0110222321x x x x x x α1 = [ 1 1 0 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基.
2
2)2λ(λ)λ2λ()2λ(1
λ11
1λ)
2λ(2
λ0021λ1
11λλ-=--=-----=------=-|A I |
对λ = 0解齐次方程组 A X = 0 :
????
??????→??????????000100011200211011 通解为x 1 = - x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式
???
?
??????-=??????????-=??????????0110222321x x x x x x
α1 = [ -1 1 0 ] T 构成λ = 0特征子空间的一组基.
(3) 由于特征值 λ = 2特征子空间的维数1小于其代数重数2,
A 不能否对角化. 三．（35分）填空题 (多选) .
1．已知3阶矩阵A 的特征值为 1, 1/2 , 0 , 相应的特征向量为
[ 1 0 1 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 1 2 0 ] T , 则 2 A 3
– 3 A 2 = .
????
?
?????-=????
????????????????--??????????-10112101010012101010000210001
0012101011
//
2. 设A = . 当t 取 不等于1的值 时, 存在矩阵B ,
使得 AB = I . 当t 取 1 时, 存在非零矩阵C , 使得 C A = 0 . 3. 当 -4/5 < t < 0 时, 三元二次型
x 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 t x y – 2 x z + 4 y z 正定.
4. 设α是n 维欧氏空间里的单位列向量 , 则 | I – 5 α αT | = - 4 . 注: 可计算行列式或利用 | I m –A B | = | I n –B A | .
5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {A,B,D},{C},
??
?
???+42
1211
t t
相似分类是 {A,D},{B},{C} , 合同分类是 {A},{B},{C},{D}.
????
?
?????=??????????=??????????=??????????=000010212D 103010001C 010131010B 101010101A ,,,
6. 以下说法正确的有 (a)(b)(c)(d) (多选). a) 如果两个实对称矩阵相似, 它们也一定合同;
b) 实方阵都能写成P Q 的形式, 其中P 是实对称矩阵, Q 是正交矩阵 c) 每个矩阵都能写成P J 的形式, P 是可逆矩阵, J 是行简化阶梯矩阵 d) 实方阵都能写成Q R 的形式, Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵 四.（12分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例. 1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中, 若任意n - 1 个向量都线性 无关, 则整个向量组也线性无关.
解: 此命题错误. 例如, 考察向量组 ??
?
????
?
????0201,, 其中由任意一个 向量构成的部分组都线性无关, 但整个向量组线性相关.
2) 设A 是m ? n 矩阵. 若存在矩阵B 与C, 使得 BA = I n , AC = I m , 则必有m = n , 且 B = C .
解: 此命题正确. 由矩阵乘法的结合律, 有
C = ( BA ) C = B ( AC ) = B , 于是 m = n. 五.（20分）设 f = 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 是三元二次型. (1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量; (2) 求正交矩阵P 及对角矩阵D, 使得A = P
D P T ;
(3) 求二次齐次函数 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在单位球面 x 12
+ x 22
+ x 32
= 1
上的最大、最小值, 并确定在何处取到.
解: (1) []????
?
???????????????==32132
1T
AX X f x x x x x x 011101110
A 的特征值为λ = - 1 (代数二重), 2 .
对λ = - 1解齐次方程组 ( A + I ) X = 0 :
????
??????→??????????000000111111111111 通解为x 1 = - x 2 - x 3 , x 2 、x 3为自由变量. 写成向量形式
????
?
?????-+??????????-=??????????--=??????????101011323232321x x x x x x x x x α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 构成λ = -1特征子空间的一组基. 对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :
????
??????--→??????????--→??????????---00011010100011212121112111
2 通解为 x 1 = x
3 , x 2 = x 3 , x 3为自由变量. 向量形式:
)2λ()1λ()2λλ()1λ(1
λ0011λ11
2λ1λλ101λ111λλ111λ111λλ22-+=--+=+-----=+------=------=-|A I |
???
?
??????=??
????????=??????????1113333321x x x x x x x 于是α3 = [ 1 1 1 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基. (2) 将α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 正交化: 令β1 = α1 ,
????
??????--=??????????--??????????-=-=2112
101121101β)β,β()β,α(αβ1111222 再单位化:
?????
??
???--==??????????-==21161β||β||1γ,01121β||β||1γ222111 将α3 = [ 1 1 1 ] T 也单位化: .????
?
?????=11131γ3 γ1 , γ2 , γ3 构成R 3 的标准正交基, P = [ γ1 γ2 γ3 ] 为正交矩阵, 且
.????
?
???????????????--==T 3T 2T 1321γγγ211]γγγ[T
P D P A
(3) 做正交替换X = P Y ,
f = X T A X = Y T P T A P Y = Y T D Y = - y 12
- y 22
+ 2 y 32
. 由于P 正交, x 12
+ x 22
+ x 32
= 1 当且仅当 y 12
+ y 22
+ y 32
= 1.
当 y 12 + y 22 + y 32
= 1时,
f = - y 12
- y 22
+ 2 y 3
2
≤ 2( y 12 + y 22 + y 32
) = 2,
等号成立当且仅当 y 3 = ±1, y 1 = y 2= 0, 即X 取λ = 2特征子空间中的单位向量 ± γ3时成立.
类似地, 当 y 12 + y 22 + y 32
= 1时,
f = - y 12
- y 22
+ 2 y 3
2
≥ - ( y 12 + y 22 + y 32
) = -1,
等号成立当且仅当X 取λ = -1特征子空间中的单位向量时成立.
六.（8分）设 A 是一个n 阶正定矩阵, 其 ( i , j ) 元记为a i j .
证明:
a
11 a 22 . . . a nn ≥ | A | .
证法1. 对 n 应用数学归纳法. 当 n = 1 时, A = a 11 = | A | , 命题成立.
以下设命题对n -1成立, 考察A 是n 阶矩阵的情况.
记A =??
?
???-nn αT
α
α1
n A , 其中A n-1是n - 1阶正定矩阵, α是 n - 1 维列向量. 对 A 做成对的行,列分块运算, 得
???
??
?-=??????-???????????
?
-----αααααα1
-1-n 1n 1-1-n 1n 1n 1
-1-n 1
n A 00A 1A 0I A 1A 0I T T T T nn T
nn αα
于是 | A | = | A n-1 | ( a nn - αT
A n-1-1
α ) .
由归纳假设, | A n-1 | ≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 . 又由A n-1
正定知A n-1 的特征值都 > 0, 于是实对称矩阵A n-1-1
的特征值也都大于0, 故A n-1-1
也正定. 特别地, 有αT
A n-1-1 α ≥ 0 . 综上所述, | A | = | A n-1 | ( a nn - αT
A n-1-1
α )
≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 a nn .
故命题对所有n ≥成立.
证法2. 利用Cholesky 分解: 每个正定矩阵A都可写成
A = L T L,其中L是对角元都> 0的实上三角矩阵.
设L 的( i , j ) 元为b i j , 则有
a j j = b1 j2+ b2 j2 + … +
b j j2 ≥b j j2 .
故 a 11 a22 . . . a nn ≥b112 b222. . . b nn2 = | L T L | =| A |.
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生命科学学院生理学招生目录 系所名称生命科学学院 招生总数35人。 系所说明其中拟接收推荐免试生比例约为85%。本院只招收五年制硕博连读生，中间不授硕士学位。不提供往年试题。 招生专业及人数 071001 植物学 4 071002 动物学 1 071003 生理学 2 071005 微生物学 1 071007 遗传学 2 071009 细胞生物 学8 071010 生物化学 与分子生 物学 8 071011 生物物理 学1 071012 生态学 1 071020 生物学（生 物信息学）3 071021 生物学（生 物技术）4 生命科学学院生理学考试科目 系所名称生命科学学院招生总数35人。 系所说明其中拟接收推荐免试生比例约为85%。本院只招收五年制硕博连读生，中间不授硕士学位。不提供往年试题。 招生专业：生理学 (071003) 人数:2 研究方向01.痛觉、成瘾的神经机制
02.细胞钙信号转导 03.脑疾病的神经生物学 04.心脏疾病的细胞分子机制 05.发育神经生物学 06.冬眠与低温低氧适应机制 07.基因与行为的神经生物学 考试科目医学专业考生可选考北京大学医学部基础医学院生理学专业考试科目。 1 101思想政治理论 2 201英语一 3 706生物化学 4 814生理学 生命科学学院生理学专业简介 北京大学生物系已有80多年历史，1992年成为现在的生命科学学院。老一辈科学家为本学科打下了坚实的研究基础，创造了优良的学术氛围。植物学、生物化学等二级学科是国务院学位办首批批准的博士点。1999年，我院生物学学科成为全国首批一级学科。我院生物学学科的二级学科方向齐全，历史悠久而又勇于探索和创新，师资队伍强，人才培养经验丰富，使本学科在国内外享有很高的声誉。 我院植物生理学等四个博士点在1988年被当时的国家教委评为高等学校重点学科。在2002年全国重点学科评审中，北大生命科学院植物学，动物学，生物化学，生理学和细胞生物学博士点被评为全国重点学科。自1996年以来，得到了国家教育部“211工程”，北京大学“创一流大学985工程”等重大项目支持，获得这些项目支持经费超过8000万元，极大改善和装备了科研和教学基础设备和设施，优化了科学研究条件，创造了更为有利的科研和教学氛围，进一步提高了办学水平。同本学科直接挂钩的的国家重点实验室有“蛋白质工程与植物基因工程国家重点实验室”和“生物膜及膜工程国家重点实验室”。目前，本学科拥有一支结构合理，凝聚力强，努力向上，年龄结构合理，具有较高学术水平和教学水平的师资队伍。博士生导师52名，教授41名，其中中科院院士3人，长江特聘教授10人，获杰出青年基金者16人，获博士学位者68人。根据本学科发展的趋势与规律和我国的特点与需求，结合我校的条件以及长期的积累，本学科已形成了下列几个方向并各具自己的特色：生物化学及分子生物学，细胞生物学，生理学，植物分子生物学及发育生物学，保护生物学，生物物理学，生物信息学和生物技术及工程。目前，我院承担国家科研项目多项，科研经费每年4000余万元，其中包括科技部“转基因专项”，国家重大基础研究发展规划（973）主持项目和子项目若干项，国际合作项目4项。近3年来，本学科共发表SCI级刊物上的论文数百篇。近年来还在国际上有重要影响的刊物（如Nature, Nature Cell Biol., PNAS, Plant Cell, JBC等）发表论文，受到国内外学术界的关注和好评。我院一贯重视人才培养，从多方面创造条件，培养有创新能力的研究生，获得了很好的成绩。近两年来，我院三次获得全国优秀博士论文奖。不少获得了博士学位的毕业生在世界一流学术刊物（如Cell, Nature,Science等）上发表学术论文，获得国际国内同行的高度赞扬。 我院重视培养和吸引优秀研究人才和师资，加强基础研究，重视学科交叉，注意进一步加强研究生创新能力的培养。加强国际合作和增进学术交流是我院总体建设中的一个重要环节。目前，我院同多个世界著名大学和研究所保持着紧密的学术关系，并且有多名联合培养的研究生毕业或在读，为提高我院的学术水平和人才培养起到了积极推动作用。 生命科学学院部分有特色的研究方向和领域：
基础和专业基础必修课1301301数学分析(Ⅰ) 1301301 数学分析1301301 数学分析(Ⅲ) 1301302 高等代数(Ⅰ) 1301302 高等代数1301303 解析几何1301304 常微分方程1301305 近世代数1301306 复变函数1301307 微分几何1301308 拓扑学1301309 实变函数1301310 概率统计1301311 数学模型1301312 泛函分析1301313 偏微分方程 专业限定选修课1301401 整体微分几何1301402 计算方法1301403 运筹学1301404 组合学1301405 初等数学教学研究1301406 微分流形1301407 计算机应用(Ⅰ) 1301408 多复变变函数引论 专业任意选修课1301501图论1301502 模糊数学1301503 中学数学竞赛1301504 数学史1301505 数学软件1301506 计算代数1301507 初等数论1301508 交换代数1301509 偏微分方程数值计算1301510 数学方法论1301511 数学学习论1301512 模糊控制与模糊决策
1301513 矩阵论 1301514 微分方程定性及分岔理论基 础 1301515 代数几何 1301516 李群与李代数 1301517 控制论 另外一个版本： 北大数学科学学院本科生课程 课程号 00130011 课程名数学分析(一) 课程号 00130012 课程名数学分析(二) 课程号 00130013 课程名数学分析(三) 课程号 00130031 课程名高等代数(上) 课程号 00130032 课程名高等代数(下) 课程号 00130051 课程名解析几何 课程号 00130061 课程名解析几何习题课 课程号 00130072 课程名初等数论 课程号 00130081 课程名常微分方程 课程号 00130091 课程名计算机原理与算法语言 课程号 0013010. 课程名计算机实习 课程号 00130110 课程名复变函数 课程号 00130120 课程名微分几何学 课程号 00130130 课程名抽象代数(A) 课程号 00130140 课程名实变函数论 课程号 00130150 课程名偏微分方程 课程号 00130161 课程名拓朴学(一) 课程号 00130162 课程名拓朴学(二) 课程号 00130170 课程名泛函分析
第六章线性空间 . 设 M N , 证 明： M N M , M N N 。 1 证任 取M , 由 M N , 得 N , 所 以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式，任 取 M 或N , 但 M N , 因此无论 哪一种情形，都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。 证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形，于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若 x (M N ) ( M L) ，则 x M N或 x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而 x M , x L, x N L ，得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。 若 x M （ N L），则 x M ， x N L 。 在前一情形 X x M N ，且 X M L，因而 x （ M N） （ M L）。 在后一情形， x N ,x 因而 x M N , 且 X M ，即 X （ M N）（M L）所以L, L （M N）（M L） M （N L） 故 M （ N L） =（）（M L） M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： （ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2） （kk 1） 2
北京大学2020年生命科学学院拟录取推荐免试博士研究生公示名单拟录取专业姓名复试成绩推荐学校本科专业备注 植物学李月93.7四川大学生物科学 李欢93.7四川大学生物科学 王子朝92.6北京林业大学生物科学 李展90.5南京农业大学植物生产类 张思煜90深圳大学生物技术 张羽飞89.8中国农业大学设施农业科学与工程邓文辉89.5华中农业大学植物保护 勾润宇89.2南京农业大学生物技术 徐昇89南京农业大学园艺 张萃雯86.2东北农业大学农学 动物学倪嘉欣96中国科学院大学生物科学 阿卜杜赛麦 提·买尔迪亚 力 95南京大学生物科学类王一丹92东北林业大学生物科学睢峥岩90兰州大学生物科学王昊然85北京大学生物科学 生理学徐爽95武汉大学生态学 姚浩煊94北京大学生物科学 宋珂鑫94郑州大学生物技术 徐泽88中南民族大学生物制药 张园园86山东农业大学生物技术 刘家琪85.8北京大学生物科学 陈雨85北京大学生物科学 兰广毅85华中科技大学生物技术 陈琦84西北大学生物学基地班汪瀚83南京大学生物科学 马思行83北京大学生物科学 余思涵82.2北京大学生物科学 魏昌盛82西北农林科技大学动物科学 陈聪81西北农林科技大学生物科学 细胞生物学潘明慧99中山大学生物技术 钟博元95北京大学生物科学 吴顺康94.8四川大学生物科学 武振鹏94中南大学生物信息学 周阳92华南理工大学生物技术 林沁华90中山大学生物技术 郝静90东北林业大学 生物科学（国家理科基础 与教学人才培养基地）杨琪90兰州大学生物科学类 孔凌云90华中科技大学生物技术 申钰荧90华中师范大学化学生物学 王济安90兰州大学生物科学类 祁淑悦89南开大学生物科学
考试科目编号： 01 数学分析02 高等代数 03 解析几何04 实变函数 05 复变函数06 泛函分析 07 常微分方程08 偏微分方程 09 微分几何10 抽象代数 11 拓扑学12 概率论 13 数理统计14 数值分析 15 数值代数16 信号处理 17 离散数学18 数据结构与算法 01 数学分析（150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社，2003年。 04 实变函数（50 分） 考试参考书： 1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年。 05 复变函数（50 分）
考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声, 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。 11 拓扑学（50 分） 考试参考书： 1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997年（考该书第１-３章）。 12 概率论（50 分） 考试参考书： 1. 何书元，概率论北京大学出版社, 2006年。 2. 汪仁官，概率论引论北京大学出版社, 1994年。
第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10， 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。 定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：
北京大学数学学院期中试题 考试科目 高等代数I 考试时间 2012年11月8日 姓 名 学 号 一．（30分）填空题. 1．设 当λ = 时, α1 , α2 , α3不能表出β ; 当λ = 时, 表出方式不唯一. 2. 设α1 , α2是矩阵A = 的行向量, 则 α1 α1T + α2 α2 T = __ , α1T α1 + α2T α2 = ___ ; A T A =__ , A T A 的秩 =__ , A A T = __ . 3．设 若矩阵 能写成 k 1 α1 α1T + k 2 α1 α2T + k 3 α2 α1T + k 4 α2 α2T , 则 [ k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ] =__. 4. 已知 B 是3?4矩阵, [ 2 0 1 3 ] T 是齐次线性方程组B X = 0 的一个解. 设A 是将行向量 [ 2 0 1 3 ] 添加到B 下面 得到的方阵. 若A 的 (4,1) 元的余子式为6, 则 | A | =___. 5. 对矩阵做初等行变换, 矩阵的_____ 不变(多选). A 秩 B 行空间 C 列空间 D 解空间 6. 设α = [ 1 1 2 ] T 与 β = [ 3 0 2 ] T 是3维几何空间里的向量. 则 α , β之间夹角的余弦值是__, α , β张成的三角形的面积是__, 与α , β都正交的单位向量是___. 二．（12分）已知 .11α,11α21??????-=??????=?? ????31021121.,,2320202 1211010===b b a a t b b a a b b a a ?? ????d c b a ,???? ??????-=??????????+--=??????????-+=??????????-+=1λ21β,5λ42α,45λ2α,222λα321
2019年北大数学科学学院考研复试时间复试内容复试流程复试 资料及经验 随着考研大军不断壮大，每年毕业的研究生也越来越多，竞争也越来越大。对于准备复试的同学来说，其实还有很多小问题并不了解，例如复试考什么？复试怎么考？复试考察的是什么？复试什么时间？复试如何准备等等。今天启道小编给大家整理了复试相关内容，让大家了解复试，减少一点对于复试的未知感以及恐惧感。准备复试的小伙伴们一定要认真阅读，对你的复试很有帮助啊！ 院系简介 北京大学数学科学学院1995年在北大数学系与概率统计系的基础上成立，下设五个系：数学系、概率统计系、科学与工程计算系、信息科学系和金融数学系，拥有三个本科生专业：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业以及统计学专业。学科门类齐全，教学与科研并重，理论与应用并举，是具有重要国际影响的数学科学研究和人才培养基地。 复试时间 应用统计专业： 时间：3月20日下午（请同学们12点半到场签到填表）， 地点：北京大学理科一号楼1418 面试内容：英文及其专业知识的口试问答. 总成绩=[初试各门总成绩/5×50%＋复试成绩（换算成百分制）×50%＋外语听力成绩（总分3分）]。 金融学专业： 时间：3月19日（星期六）上午8：30-12：00和下午2：00-6：00。请所有学生在下午1：00-1：30参加英语听力考试。 地点：北京大学理科1号楼1560教室。 面试内容：每位同学面试时间不少于20分种，考察英语口语、综合能力和所具有的知识结构及相关的知识的掌握程度。 总成绩=[初试各门总成绩/5×70%＋复试成绩（换算成百分制）×30%＋外语听力成绩（总分3分）]。 计算数学专业：
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
北京大学数学科学学院研究生培养方案 二〇一八年九月
北京大学数学科学学院 研究生培养方案 2018.9 （适用于数学学院2018年入学的研究生） 目录 硕士研究生培养方案 一硕士研究生培养目标 二关于硕士研究生的学制、选课、教学实习、参加学术报告会等规定 三数学学院各系对硕士研究生选课的具体要求 四硕士研究生学位论文及其评议 博士研究生培养方案 五博士研究生培养目标 六博士生学制及学分的要求 七博士生资格考试 八博士生综合考试 九博士生的培养计划 十博士毕业生发表论文的要求 十一博士生预答辩 十二博士论文的评议和答辩 十三博士研究生学业奖学金评定暂行办法 十四硕士研究生学业奖学金评定暂行办法 十五参考文件
一硕士研究生培养目标 培养热爱祖国、遵纪守法、学风严谨、品行端正的专业人才，使之有较强的事业心和献身科学的精神，并具有较坚实宽广的数学理论基础，及在基础数学、概率统计、大规模工程与科学计算、信息科学和金融数学等学科的某个方向上掌握较系统的专门理论知识、技术与方法，能够运用所掌握的基础理论与专门知识解决科学研究或实际工作中的问题,掌握一门外国语。 二数学科学学院关于硕士研究生的学制、选课、教学实习、参加学术报告会等规定（不含金融数学与精算学方向金融硕士和应用统计专业硕士） 1 学制3年 2 硕士生修课学分要求：总学分32学分, 其中 政治 3 学分 英语 2 学分 （英文项目的留学生选修《基础汉语》） 专业必修课9 学分 专业选修课18 学分 注：政治包括 中国特色社会主义理论与实践研究2学分 马克思主义与社会科学方法论和 自然辩证法概论二选一1学分 留学生（研究生）和港澳台学生： 《中国概况》（61410008）2学分 另外1学分可选修专业选修课、或马克思主义与社会科学 方法论或自然辩证法概论来替代。 3本院的所有研究生课程都可供本科生选修。硕士研究生（仅针对本院学生）在入学前的两年内选修的数学学院研究生课
北京大学生命科学学院研究生导师
育明教育 【喜报】38人考研状元集训营，20人考上北大、人大、清华、复旦。【喜报】36人考研冲刺集训营，16人考上北大、清华。 【喜报】“三跨”学员隋JiaLun（378分）36天考上北京师范大学。【喜报】2013年，育明教育包揽北京大学国际关系（378分）、城环（409分）、政管（402分）共11个专业状元。 【喜报】2013年，育明教育包揽北外汉教、翻硕、法语等6个专业状元。 【喜报】2013年，育明教育共有126人考上北大、人大、中财、贸大、五道口经济金融类研究生，众多学员成绩400+，最高分464分。 【喜报】2013年，育明教育包揽北大（402分）、人大（396分）、北师大（378分）等6大名校行政管理状元。 【喜报】“三跨”学员马Lin（402分）以第一名考上对外经贸大学翻译硕士国际会议传译。
【育明小陈提醒大家】 专业课复习一定要赶早，不要在起跑线上就输给对手。复习要有针对性，在备考复习过程中，考研信息的收集很重要，信息是第一位的：你信息收集的越多，越充分，你的认识就会越全面、正确。要尽全力收集到目标院校专业课的笔记、课件、讲义、历年真题等资料。特别是历年真题要认真研究几遍，因为历年真题考查的重合率是很高的。往往一道题目三四年前考过，现在又会以其它形式变相的来考查！将历年真题与笔记、课件、讲义等结合学习，这样才能够做到更有重点的复习。最后，要有一个详细的复习计划，时间安排计划。机会永远是为有准备的人而留的！ 育明教育：考研专业课答题攻略 （一）名词解释 1．育明考研名师解析 名词解释一般都比较简单，是送分的题目。在复习的时候要把重点名词夯实。育明考研专业课每个科目都有总结的重要名词，不妨作为复习的参考。 很多高校考研名词解释会重复，这就要考生在复习的同时要具备一套权威的、完整的近5年的真题，有近10年的最好。 2．育明考研答题攻略：名词解释三段论答题法 定义——》背景、特征、概念类比、案例——》总结/评价 第一，回答出名词本身的含义。一般都可以在书本找到。 第二，从名词的提出的背景、它的特征、相似概念比较等方面进行简述。 第三，总结，可以做一下简短的个人评价。 3．育明教育答题示范 例如：“战略人力资源管理”
该文档包括：第一部分：考研基本信息，第二部分：考研录取名单，第三部分：考研参考书，第四部分：考研经验，第五部分：考研资料。 好消息！好消息！2016年北京大学数学科学学院金融硕士录取9人，育明教育学员2人，进入复试2人，全部录取！应用统计级硕士有1名学生被录取。 一、北京大学数学科学学院专硕的学费 应用统计硕士30000元一年两年制 金融硕士50000一年两年制 奖学金：招生简章上写没有，但是这个可以有，每个人至少获得1.5W （特别是数学系的硕士生比较少，很容易申请） *：其实关于这个奖学金大家真的不用担心，北大数学是国家重点学科，拿到的经济补贴是非常多的，而且数院的老师还都是很大方的。 二、北京大学数学科学学院的师资力量 数学学院拥有一直学识渊博，治学严谨的师资队伍，包括中科院院士6名，长江学着十数名，国家杰出青年基金获得者十数名，博士生导师五十多名，国家“973”项目首席科学家和课题组成员十数人他们不仅在数学发展的前沿上硕果累累，蜚声国内外，更以培养功底扎实、献身于科教兴国事业的创新性跨世纪人才为己任。金融数学系的吴岚、杨静平统计系的房祥忠、耿直有非常多内推实习的机会。 *：而且大牛吴岚老师和耿直老师是真的可能会成为你的代课老师，这是可遇而不可求的，大家珍惜。
三、北京大学数学科学学院应用统计硕士的课程设置 学习年限为两年（四个学期），前三个学期以课堂学习为主。总学分为37学分，其中马克思注意理论课必修3学分，第一外国语必修4学分，专业基础课15学分，专业方向课12学分，案例实务课必修3学分。专业基础课程包括随机数学(Ⅰ),随机数学（Ⅱ），统计推断，现代统计计算实用回归分析，统计软件高级编程，实用多元统计，实用时间序列，实用抽样调查，实用试验设计，应用随机过程，统计咨询实践等课程。 学生在第二学期后到实际部门实习或在校承担来自实际部门的科研项目进行实践，实习实践3个月左右若学生能够提供符合要求的实习报告并经考核小组考核合格者可获得3学分案例实务必修课的成绩。 四、北京大学数学科学学院金融硕士的课程设置 必修课程除北京大学研究生院统一要求的政治外语类课程外，还包括：金融中的随机数学、金融中的统计方法、风险管理与金融监管、投资组合管理模型、衍生工具模型、风险管理的数学模型、以及证券投资、精算学、衍生工具和风险管理等方面的专题谈论班（任选一门）选修课将包含数学类课程：概率论与随机过程、数值方法与随机模拟、统计数据分析、金融时间序列分析、应用类课程：金融风险管理实践、金融经济学、实用精算方法、金融数学与精算学专题选讲、信用及利率衍生产品等。 *：你会发现北大数院开设的课程是非常实用的，大家觉得学概率论、统计什么的以后用不到，那只能说你的工作很low，但是北大数科毕
北京大学申报国家级教学成果奖 成果总结报告 成果名称：生命科学创新型基础人才的培养 与理科基地建设的实践 成果完成人：许崇任、郝福英、柴真、苏都莫日根、赵进东成果完成单位：北京大学
生命科学创新型基础人才的培养 与理科基地建设的实践 北京大学生命科学学院 许崇任、郝福英、柴真、苏都莫日根、赵进东 1993年8月，经国家教委批准我院作为第一期理科基础科学研究和教学人才培养基地，于1994年正式启动。经过第一期的建设，教育部和国家自然科学基金委于1998年6月在厦门大学召开“国家基础科技人才与培养基金生物学及心理学学科评审会”，我基地被评为“A”类基地。2001年被教育部和国家自然科学基金委评为“优秀生物学基础科研与教学人才培养基地”。2000年实施的第二期理科生物学基础人才培养基地建设以来，在一期建设的基础上，我们大幅度改革了人才培养体系，进一步挖掘学生潜质，鼓励学生发展自己特长。多年来培养了一大批创新型基础研究人才，取得了显著成效。 生命科学学院现有教授41人（其中包括院士3名、长江特聘教授8人、973项目首席科学家2人、杰出青年基金获得者13人、教育部跨世纪人才基金获得者5人，以及博士生导师37人）、副教授23人。具有博士授予权的学科8个，硕士授予权的学科12个，同时是全国首批生物科学一级学科博士学位授予单位。历年来，报考我院的都是各省市考生的佼佼者，获得中学生国际生物奥赛金银牌的选手也绝多数进入我院。我院现有在校本科生636名，硕士和博士研究生399名。因为招收的都是全国高考中顶尖的学生（1994年-2004年共有51位各省市自治区的高考“状元”和22位国际奥林匹克竞赛金牌、8名银牌、2名铜牌获得者），根据我院人才培养的实际情况，我们的全体学生均是基地学生。多年来，我们始终把国家理科基地建设和创建世界一流学科紧密地结合起来，充分发挥基地学科门类齐全、师资力量雄厚的综合优势，在转变办学指导思想和人才培养模式方面，在课程体系、教学内容、教材建设和教学方法与手段等方面进行了全面改革，在
A Brief Protocol for Gene Targeting by Cas9 in Zebrafish （2013-02-16 v1.1） 一、Cas9靶位点的选择 1.Cas9靶位点（靶点）包含20个碱基，其中5’端应为GG▲；紧邻靶点3’端的3个碱基构 成PAM区，要求序列为NGG（N为任意碱基）（图1）。可在正义链或反义链上选择靶位点。可参考如下的Cas9靶位点预测网站： https://www.doczj.com/doc/4313496512.html,/ZiFiT/CSquare9Nuclease.aspx ▲注意：5’端选择GG并非Cas9靶点本身的要求，而是由于本实验所用的gRNA（guide RNA）体外转录载体采用了T7启动子。T7启动子要求转录起始位点的前两位 为GG，并且第三位最好为G或A；如果采用其他的启动子，可以随之更改。 图1. Cas9的作用原理（引自Mali et al., 2013） 2．如果采用限制性内切酶酶切法检测靶点的突变效率，则需要在靶点序列内、PAM的5’端附近选择一个单一的限制性内切酶位点。 例：斑马鱼th基因的某个Cas9靶点（此例的靶点位于反义链上）： BxtYI 5’-TCTTGTCACCAAATATGATCCGGATCTGGATCAGGATCACCCAgtaagtgctggattat-3’ 3’-AGAACAGTGGTTTATACTAGGC CTAGACCTAGTCCTAGTG GG Tcattcacgacctaata-5’ PAM Target site 3．对于coding gene，靶位点尽量选择在基因CDS的前2/3区域并且在ATG之后，但是不要在最后一个exon上；最好能破坏重要的domain和/或所有的isoform/variant。同时还要考虑避免在第一个起始密码子的下游还存在额外的具有相同阅读框（in-frame）的起始密码子。靶点也可选择在intron和exon交界处，以破坏基因的剪接。原则上不要选择5’-UTR和3’-UTR。
北京大学数学科学学院和北京国际数学研究中心关于2019 年博士生招生的说明 北京大学数学科学学院和北京国际数学研究中心2019 年招收博士研究生以推荐免试、“申请-考核制”及硕博连读三种方式进行，其中以“申请-考核制”方式招收的博士生，申请人须按照我校博士生招生简章和学院/中心的相关要求进行报名并提交申请材料。学院和中心研究生招生工作小组将对申请人的材料审核评估后确认是否给予考核资格，并对获得考核资格的申请人进行考核，最后确定是否录取。 一、基本条件 1、拥护中国共产党的领导，具有正确的政治方向，热爱祖国，愿意为社会主义现代化建设服务，遵守法律、法规和学校的规章制度，品行端正。 2、申请者必须符合下述条件之一： （1）已获得硕士或博士学位； （2）应届硕士毕业生（在录取年9月1日前取得硕士学位）； （3）获得本科学士学位满6年（到录取年的9月1日）的人员，可按照同等 学力身份报考（以同等学力身份报名者，须在报考学科、专业或相近研究领域的全国核心期刊上已发表两篇以上学术论文（以第一或第二作者），或已获得省、部级以上与报考学科相关的科研成果奖励（排名前五名））。 3、身心健康状况符合北京大学研究生入学体检标准。 二、报名申请 1、采取网上申报。网报时间为：2018年10月15日12:00-12月10日12:00，报考程序详见博士研究生报名公告 （https://https://www.doczj.com/doc/4313496512.html,/zsxx/bszs/bssqkh/index.htm）。 2、考生在报名系统中只能提交一个报考志愿。 3、申请者于2018年12月20日17:00前，向学院研究生教务办公室寄（送）达以下申请材料： （1）通过网上报名系统打印的《北京大学2019 年攻读博士学位研究生报考登记表》，请在规定的报名时间内登录北京大学研究生招生网（网址：https://https://www.doczj.com/doc/4313496512.html,/applications/）进行网上报名，上传相关材料，并打印“北京大学2019年攻读博士学位研究生报考登记表”。
2019北京大学基础数学专业考研详情介绍、经验权威指导 院校简介 北京大学创办于1898年，初名京师大学堂，1912年更名为北京大学。1913年秋北京大学数学门的招生，开启了中国现代高等数学教育的先河。 1952年秋，全国高等学校进行了院系调整。北京大学数学系与清华大学数学系、燕京大学数学系经调整后，组建了新的北京大学数学力学系。1978年分设为数学系和力学系。1985年，概率统计专业独立成立了概率统计系。1995年，在数学系与概率统计系的基础上成立了北京大学数学科学学院。 数学科学学院下设五个系：数学系、概率统计系、科学与工程计算系、信息科学系和金融数学系，拥有四个本科生专业：数学与应用数学专业、统计学专业、信息与计算科学专业以及数据科学与大数据技术专业。北京大学数学研究所是教育部批准成立的研究单位，与数学科学学院紧密结合，形成院所结合的体制；数学科学学院还拥有“数学及其应用”教育部重点实验室等多个研究机构，教育部“高校数学研究与高等人才培养中心”也挂靠在数学科学学院。数学科学学院学科门类齐全，教学与科研并重，理论与应用并举，是具有重要国际影响的数学科学研究和人才培养基地。 北大数学学院暨北京国际数学研究中心拥有一支实力雄厚的师资队伍，现有教师119人，其中中科院院士7人，长江特聘教授11人，国家杰出青年基金获得者24人，他们不仅在数学研究的前沿领域上取得了杰出的成就，还长期坚持在教学岗位上，为国家培养了一批又一批高素质、高水平的创新型人才。1952年以来，数学科学学院先后为国家培养了一万多名毕业生，他们奋斗在国家建设的各条战线上，其中包括30余名两院院士。获得国家最高科技奖的吴文俊院士和王选院士是数学科学学院校友中的杰出代表。数学科学学院在2001年获得国家优秀教学成果特等奖；在教育部学科评估中，2002年、2007年、2012年北大数学均名列全国首位；2017年北大数学和统计学均获评A+并入选国家“一流学科”建设名单。 数学科学学院拥有最好的数学生源，来自全国各地的数学尖子和几乎所有取得国际数学奥林匹克竞赛金牌的中国学生均在这里学习和成长。数学科学学院全力为学生营造一流的学习环境，配备门类齐全的图书资料，充足的计算机数学实验室，覆盖面广的多种类型奖学金和科研资助。本着加强基础、重视应用、因材施教、分流培养的指导思想，学院实行全院统一招生。本科生前四学期修相同的基础课程；第四学期末，学生可以自主选择，进入所选专业方向的学习。80%以上的本科毕业生可通过免试推荐形式在国内外直接攻读硕士、博士学位，其中的半数选择出国留学；参与就业的毕业生主要从事计算机和金融保险工作。信息科学中的图像、信号处理、信息安全，金融领域中的金融模型、风险、定价、精算等都需要很强的数学功底，数学科学学院的毕业生在就业市场上备受青睐。 北京大学数学科学学院有着光荣的传统、雄厚的师资力量、良好的学术风气，她是醉心于数学科学的人们的一块净土，是从事数学科学和相关科学研究的一座殿堂，也是莘莘学子人生起跑线的首选地之一。 招生目录 学习方式 全日制 研究方向 01.代数
【北大考研复试辅导班】2020年北京大学数学科学学院考研复试调剂经验办法大家好，我是盛世清北胡老师。 2020年考研初试在即，各位备考北大的小伙伴在备考之余，或者初试之后，千万不要闲着，合理利用时间，掌握复试信息，准备考研复试才是成功上上策。 本文将通过分析北大院校成绩查询时间、复试分数线、复试内容、复试时间和地点、资格审查、复试体检、复试调剂、复试名单、复试经验等，帮助考生复试备考时充分掌握到目标院系复试信息，有助于考生根据复试资讯，制定复试计划，掌握复习方法，使考生及早进行有针对性的复试准备，提前熟悉复试流程、复试题型，保证在成绩公布后可以快速进入复试状态，轻松通过考研最后一关。 北大数学科学学院简介 1913年秋北京大学数学门的招生，开启了中国现代高等数学教育的先河。1952年秋，全国高等学校进行了院系调整。北京大学数学系与清华大学数学系、燕京大学数学系经调整后，组建了新的北京大学数学力学系。1978年分设为数学系和力学系。1985年，概率统计教研室独立成立了概率统计系。1995年，在数学系与概率统计系的基础上成立了北京大学数学科学学院。 数学科学学院下设四个系：数学系、概率统计系、信息与计算科学系和金融数学系，拥有四个本科生专业：数学与应用数学专业、统计学专业、信息与计算科学专业以及数据科学与大数据技术专业。北京大学数学研究所是教育部批准成立的研究单位，与数学科学学院紧密结合，形成院所结合的体制；数学科学学院还拥有“数学及其应用”教育部重点实验室等多个研究机构，教育部“高校数学研究与高等人才培养中心”也挂靠在数学科学学院。数学科学学院学科门类齐全，教学与科研并重，理论与应用并举，是具有重要国际影响的数学科学研究和人才培养基地。 北京大学往年成绩查询时间 2019年考研初试成绩查询时间：2月15日 2018年考研初试成绩查询时间：2月4日 2017年考研初试成绩查询时间：2月15日 2016年考研初试成绩查询时间：2月18日 复试分数线 理学 (07) 外语55 政治55 业务课一90 业务课二90 总分310
北京大学数学学院期末试题 2015－2016学年第二学期 考试科目 高等代数II 考试时间 2016年6月16日 姓 名 学 号 一. （14分）设V 是n 维线性空间, 设U , W 分别是V 的m 维 与r 维线性子空间, 且满足条件 U + W = V . 记 S = { A ∈ Hom( V ) | A ( U ) ? U 且 A ( W ) ? W } . 1) 证明集合S 是线性空间Hom( V )的子空间. 2) 求线性空间S 的维数 , 用n , m , r 表示. 二.（15分）设实线性空间V 上的双线性函数 f ( α , β )在 V 的基底 α 1 , α 2 , α 3 下度量矩阵为 ???? ??????531351111. 1) 证明 f ( α , β ) 构成V 上的内积 ; 2) 求内积 f 下的一组标准正交基 β1 , β2 , β3 ; 3) 问在内积 f 下, 是否存在正交变换A , 使得A α1 = α1 , 且A α2 = α3 ? 若存在, 写出A 在β1 , β2 , β3下的矩阵. 三（16分）设 V 是域K 上的n 维线性空间, 由V 的基底 α1 , … , αn 到基β1 , … , βn 的过渡矩阵为U . 1) 若线性变换A ∈ Hom( V ) 在基 α1 , … , αn 下的矩阵为A , 求基底β1 , … , βn 下A 的矩阵;
2) 若双线性函数 f 在基 α1 , … , αn 下的度量矩阵为A , 求f 在 基β1 , … , βn 下的度量矩阵; (此题要求推导过程, 每一步注明理由) 四（32分）设 A 是实线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 下的矩阵为 A = . 1) 求A 的特征多项式与最小多项式 ; 2) 求V 的根子空间分解, 确定每个根子空间W 的基底, 并 计算限制变换 A |W 在此基底下的矩阵 ; 3) 对每个根子空间 W , 求多项式 h W ( x ) , 使得 h W ( A )是 沿其余根子空间向W 所作的投影变换 ; 4) 求V 的一组基, 使得A 的矩阵为Jordan 形矩阵. 五（15分）设A : X A X 是(带标准内积的)欧氏空间R 4到R 3的 线性映射, 其中A = ???? ??????--210020101001. 求在条件 || X || = 1下, || A X || 能取到的最大与最小值, 并确定它们分别在何处取到. 六 ( 8分) 设 A 是一个n 级复矩阵, S : X A X – X A 是n 级复 矩阵空间M n (C)上的线性变换 . 证明: S 的秩至多是n 2 – n . ????????????-1122020000010012