高一数学函数的单调性和反函数人教版知识精讲

高一数学函数的单调性和反函数人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

函数的单调性和反函数

二. 学习目标：

1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。

2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。

3. 理解反函数的概念。

4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。

5. 能熟练地求一些函数的反函数。

【例题讲解】

[例1] 证明函数x

x x f 1)(2

-=在（0，∞+）上是增函数。 证明：设1x 、2x 是（0，∞+）上任意两个值，且21x x < )1(1)()(12122212x x x x x f x f ---=-2

1212211)(x x x x -+-= 2112

1212))((x x x x x x x x -++-=)1)((2

11212x x x x x x ++-= 由12x x >，012

112>++x x x x ，则0)()(12>-x f x f ，即)()(12x f x f > 故x

x x f 1)(2-=在区间（0，∞+）上是增函数。 [例2] 讨论函数1

)(2-=x ax x f 的单调性，并加以证明，其中0>a 。 解：11)()(21122212---=-x ax x ax x f x f )

1)(1()1)((21222121--+-=x x x x x x a （1）当121-<

（2）当1121<<<-x x 时，)()(12x f x f <

（3）当211x x <<时，)()(12x f x f <

故函数)(x f 分别在（∞-，1-），（1-，1），（1，∞+）为减函数。

[例3] 已知函数)(u f ，当n u m ≤≤时是增函数，)(x g u =，当b x a ≤≤时，

n x g m ≤≤)(且为减函数，判断函数)]([x g f 在],[b a 的单调性。

解：任取1x ，2x 且b x x a ≤<≤21，则)(11x g u =，)(22x g u =

由)(x g 为减函数，则有)()(21x g x g >，即21u u >，且m u u n ≥>≥21 又由)(u f 在],[n m 上为增函数，故有)()(21u f u f >

即)]([)]([21x g f x g f >，所以函数)]([x g f 在],[b a 上为减函数

说明：已知)(u f 和)(x g u =，则)]([x g f 称为复合函数，复合函数单调性规律是：

（1）)(u f 为增函数，)(x g 为增函数，则)]([x g f 为增函数。

（2）)(u f 为增函数，)(x g 为减函数，则)]([x g f 为减函数。

（3）)(u f 为减函数，)(x g 为增函数，则)]([x g f 为减函数。

（4）)(u f 为减函数，)(x g 为减函数，则)]([x g f 为增函数。

[例4] 已知228)(x x x f -+=，)2()(2

x f x g -=，求)(x g 的单调区间。

解：令22x u -=，228)(u u u f -+=，则)]([)(x u f x g =，由22x u -=，知该函数在（∞-，0）上是增函数，在（0，∞+）上是减函数。

由9)1(28)(22+--=-+=u u u u f ，则)(u f 在（∞-，1）上是增函数，在（1，∞+）上是减函数，而11212-x ，111<<-?>x u

∞+）

[例5] 已知2)1

1()(+-=x x x f （1≥x ） （1）求)(x f 的反函数)(1x f -，并求出反函数的定义域。

（2）判断并证明)(1x f

-的单调性。

解： （1）由2)11(+-=x x y 得：11+-=x x y y

y x -+=11 故x x

x f -+=-11)(1，由1≥x ，则10<≤y ，)(x f 值域即)(1x f -的定义域为

)1,0[

（2）设1021<<≤x x ，则1021<<≤x x ，则=---)()(2111x f x f

0)

1)(1()

(22121<---x x x x ，即)()(2111x f x f --<，故)(1x f -在)1,0[上为单调递增函数。

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 若函数b x k y ++=)12(在（∞-，∞+）上是减函数，则（ ）

A. 21>k

B. 21

C. 21->k

D. 2

1-

1-）上是（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 有时增有时减 D. 无法判定

3. 函数?

??<-≥+=)1(4)1(12)(x x x x x f 是减函数的区间是（ ） A. ),1[∞+ B.（∞-，1） C.（0，∞+） D. φ

4. 设2)(+=ax x f ，若2)1(1=--f ，则=a （ ）

A. 0

B. 2

3- C. 23 D. 1-

二. 解答题： 5. 证明函数2

)2(4)(-+

=x x x f 在（∞-，2）上是增函数。 6. 已知x x x f 32)3(+=，求)3(1x f -。

试题答案

一.

1. D

2. A

3. B

4. B

二.

5. 略

6. 63)3(1-=-x x f

（6≠x ）