高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．函数)5(51
-≠+=x x y 的反函数是 （ ） A ．)0(51
≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+=
C ．)0(51
≠+=x x
y D ．)(5R x x y ∈-=
2．已知函数)(x f y =有反函数，且)1(+=x f y 的图象经过点)2,0(，则下列函数中可能 是)(x f y =的反函数的一个函数是 （ ）
A ．)20(42
≤≤-=
x x y
B ．)20(412≤≤-+=x x y
C ．)20(422
≤≤--=x x y
D ．)22(412
≤≤---=x x y
3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2
1
)1(f x f x f f +=+=
则=)5(f （ ）A ．0
B ．1
C ．2
5 D ．5
4．函数f x x ax ()=--2
23在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ）
A ．a ∈-∞(,]1
B ．a ∈+∞[,)2
C ．a ∈[,]12
D ．a ∈-∞?+∞(,][,)12
5．若f(x)=-x 2+2ax 与1
)(+=x a
x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ）
A ．)1,0()0,1(?-
B ．]1,0()0,1(?-
C ．（0，1）
D ．]1,0(
6．函数),1(,11
ln
+∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ）
A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y x x
B ．),0(,11
+∞∈-+=x e e y x
x C ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x D ．)0,(,1
1
-∞∈-+=x e e y x
x 7．已知函数()1
3
ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为
（ ）
A ．3-
B ．1
C ．3
D ．1-
8．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系 是
（ ）
A. f(π)>f(-3)>f(-2)
B. f(π)>f(-2)>f(-3)
C. f(π) D. f(π) 9． 函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ） A ．有且只有一个实数根 B ．至少有一个实数根 C ．至多有一个实数根 D ．没有实数根 10．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的 是 （ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b ) B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b ) D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 11．点(2，1)既在函数f (x )= a b x a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a ，b )有 （ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 12．设)(1 x f -是函数f(x)=x 的反函数，则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．12)(1 -≤-x x f B ．12)(1 +≤-x x f C ．12)(1 -≥-x x f D ．12)(1 +≥-x x f 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． 13．已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时, 13)(+=x x f ，设)(x f 的反函数是y=g(x)， 则g(-8)=__ . 14．函数f (x) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 15．已知f (x) = 4x －2x ＋ 1 ，求f － 1(0)的值___________________. 16．若f(x)=-x 2+2ax 与1 )(+= x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是________. 三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．用定义证明：函数1 ()f x x x =+ 在[)1,x ∈+∞上是增函数. (12分) 18．设f(x)是R 上的奇函数 ，且当x ∈[0,+ ∞)时，f(x)=x(1+3x ),求f(x)在(- ∞,0)上 的表达式和在R 上的表达式．(12分) 19. 讨论函数f(x)=)0(1 2 ≠-a x ax ,在-1 20．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数且f(x)+g(x)=1 1 -x ，求f(x),g(x). (12分) 21．定义在（-1，1）上的奇函数f(x)是减函数且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求实数a 的取值围. (12分) 22．已知函数f (x )=x a x x ++22，x ∈［1，＋∞) (14分) （1）当a = 2 1 时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意x ∈1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性答案 一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．C 10．B 11.A 12.C 二、填空题 13. 3- 14. 1,2?? -∞- ??? 15. 1. 16. ]1,0(. 三、解答题 17．任给[)1,21,x x ∈+∞且12x x <, 则1111()f x x x =+ 222 1()f x x x =+ 12()()f x f x -=1212 11 x x x x + -- 22122121 12 x x x x x x x x +--= = 121212 ()(1) x x x x x x --. [)1,21,x x ∈+∞ 且12x x <，1121212,1,0,0x x x x x x ≥∴>>-<. 121,x x ∴>即有1210x x ->, ∴ 121212 ()(1) x x x x x x --0<, 12()()f x f x ∴<， 即1 ()f x x x =+ 在[)1,x ∈+∞上是增函数. 18．设x ∈(-∞,0),则-x ∈(0,+ ∞),∴f(-x)=-x(1-3x )。 f(x)是R 上的奇函数， ∴ f(x)=x(1-3x )(x ∈(- ∞,0)),f(x)在R 上的表达式是f(x)=x(1+3x )． 19．设-1 ,) 1)(1()1)((2 22 12121--+-x x x x x x a ∴当a>0时，f(x)在（-1，1）上为减函数；当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数． 20． f(x)+g(x)= 11-x , ∴∴f(-x)+g(-x)= 11--x 即f(x)-g(x)=- 1 1-x ,将 ??? ??? ? -- =--=+11)()(1 1)()(x x g x f x x g x f 联立解得f(x)=1)(,1122-=-x x x g x . 21． f(x)在(-1,1)上为奇函数且为减函数， ∴?? ???->-<-<-<-<-111111 1122 a a a a ，则a ∈(0,1). 22．(1)当a = 21时，f (x )=x ＋x 21＋2，x ∈[1，＋∞). 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2 121 x x ) . ∵x 2＞x 1≥1， ∴x 2－x 1＞0，1－ 2 121 x x ＞0， 则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数． ∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=2 7 ． (2)在区间［1，＋∞)上， f (x )=x a x x ++22＞0恒成立?x 2＋2x ＋a ＞0恒成立 设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3． 幂函数、指数函数和对数函数·反函数 教学目标 1．使学生正确理解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法． 2．培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象概括的能力． 3．使学生思维的深刻性进一步完善． 教学重点与难点 教学重点是求反函数的技能训练． 教学难点是反函数概念的理解． 教学过程设计 一、揭示课题 师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数． （板书：反函数 1．反函数的概念） 二、讲解新课 师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数y=2x+1中，如果把x当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？ 生：可以构成一个函数． 师：为什么是个函数呢？ 一的x与之相对应． 师：根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数y=2x+1是存在反函数的．这个反函数的解析式是怎样的呢？ 师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x 表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以 是不是同一函数呢？ 生：是． 师：能具体解释一下吗？ 和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数． 生：有．就是y=2x+1． 那么，是不是所有函数都会有反函数呢？ 生：不是所有函数都有反函数． 师：能举个例子说明吗？ 生：如函数y=x2，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1，则对应x=±1，因此不能构成函数，说明它没有反函数． 师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1，从图中可看出给出一个y能对应两个x． 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因 是不符合对数函数解析式的特点． 【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质 (1)图象与性质 谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上 反函数例题讲解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 反函数例题讲解 例 1.下列函数中,没有反函数的是 （ ) （A) ｙ = ｘ2－1(ｘ<2 1 - ）?(Ｂ) y = ｘ3＋１（ｘ∈R ） ?（C) 1 -= x x y （ｘ∈R ，x ≠１） (Ｄ) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析:一个函数是否具有反函数,完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手,可试解以ｙ表示x 的式子;从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析.作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D). 因为若ｙ ＝ 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x ＝ －1． ∴ (D ）中函数没有反函数． 如果作出 ?? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像(如图）,依图更易判断它没有反函数． 例2.求函数 211x y --=（－1≤ｘ≤0）的反函数． 解:由 211x y --=,得：y x -=-112 . ∴ 1－x 2 ＝ (１-y )2， x 2 = １－(1－y )2 ＝ 2y －ｙ2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=. 又 当 －1≤x ≤0 时, ０≤1－x 2≤１, ∴ 0≤21x -≤1,0≤1－21x -≤1, 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=(0≤x ≤１）. 由此可见,对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数,求出x = φ （ y )． ② 求给出函数的值域,并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯,把自变量以x 表示，因变量为y 表示,改换ｘ = φ （ ｙ ）为y = φ ( x ). 例３.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2(x <-1）,那么 f -1 （２ )的值为＿_＿_______＿_＿_____. 分析:依据f -1 （2 )这一符号的意义,本题可由f ( x )先求得f -1 ( x ）, 再求f -1 (２ ）的值(略). 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( ｍ ） = 2.据此求f -１ (2 ）的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得:x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 ｘ =-2 . 又ｘ<－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f -1 （2 ) = -2 ． 例 4.已知函数 241)(x x f +=(x ≤0）,那么 f （ x ）的反函数ｆ －1 ( ｘ ）的图像是 ( ) y （A y x 0 1 （D y x 1 y （B x －（C x － 2005－2006学年度上学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性 说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．函数)5(51 -≠+=x x y 的反函数是 （ ） A ．)0(51 ≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51 ≠+=x x y D ．)(5R x x y ∈-= 2．已知函数)(x f y =有反函数，且)1(+=x f y 的图象经过点)2,0(，则下列函数中可能 是)(x f y =的反函数的一个函数是 （ ） A ．)20(42 ≤≤-= x x y B ．)20(412≤≤-+=x x y C ．)20(422 ≤≤--=x x y D ．)22(412 ≤≤---=x x y 3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+= 则=)5(f （ ）A ．0 B ．1 C ．2 5 D ．5 4．函数f x x ax ()=--2 23在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ） A ．a ∈-∞(,]1 B ．a ∈+∞[,)2 C ．a ∈[,]12 D ．a ∈-∞?+∞(,][,)12 5．若f(x)=-x 2+2ax 与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ） A ．)1,0()0,1(?- B ．]1,0()0,1(?- C ．（0，1） D ．]1,0( 6．函数),1(,1 1 ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ） 函数凹凸性的应用 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性. 如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而 2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或 更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方. 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数 ()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意 1x , 2x I ∈（ 12 x x <）. 曲线 ()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意 12(,)x x x ∈,() f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程 211121 ()() ()() f x f x y x x f x x x -= -+-. 对任意 12(,) x x x ∈有,整理得 21 122121 ()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤ +--. 令 221()x x t x x -= -,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1 21 1x x t x x -=--,上式可写成 1212[(1)]()(1)() f tx t x tf x t f x +-≤+- 1.1凸凹函数的定义 凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下 反函数与函数的图像变换 一、反函数 当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。 设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ?=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ?=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ?=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。 1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。 1f -表示的对应是f 的逆对应，11()() f x f x -≠。 ()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。 只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。 特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=， 一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。 例1 求下列函数的反函数： （1）21x y -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-?+=?>--+?。 二、互为反函数的两个函数的性质： 指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。 根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。 指数函数2x y =与对数函数2log y x =都是增函数，一般的， ()y f x =与1()y f x -=的单调性一致。 例2 函数()y f x =反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。 思考：若函数()y f x =是奇函数，且有反函数，那么1()y f x -=是奇函数吗？ 奇函数一定有反函数吗？ 偶函数呢？ 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． (图象关． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α= （其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若 p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数 ,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方． 反函数 反函数的基本知识点 一．定义：设式子)(x f y = 表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ，得到式子)(y x ?=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ?=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数 ，记作)(1y f x -=，即()y f y x 1)(-==?，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。 （1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； （2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域， ()图象在点图象上）在（点几何语言： )(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b f b a f --='?==?= （3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称． 二．求反函数的一般步骤 （1） 确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 （2） 由)(x f y =的解析式求出)(y x ?= （3） 将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的定义 域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得） 分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。 三．掌握下列一些结论 反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像（如图），依图 更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）． 由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) （A （（B （C 反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。幂函数指数函数和对数函数·反函数
对数函数性质及练习(有答案)
反函数例题讲解
反函数与函数的单调性
(整理)函数凹凸性的应用
反函数与函数的图像变换
幂函数 反函数 反比例
反函数例题讲解
反函数定义
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结