例题4 解方程()21122
+-=+-x x . 分析 若用传统方法将方程化为010********=+-++x x x x ,解这个高次方程将
十分困难.此时,我们发现令()()()2122≥+-=x x x f ,则()x f 的反函数为
()()1211≥+-=-x x x f ,上述方程就是求这两个函数图像的交点横坐标,由于两
函数为增函数,则可化为()x x =+-122,解这个方程得2
552,1±=x ,因为2≥x ,故2
55+=x 即是原方程()21122+-=+-x x 的解. 例题5 求()3x x f -=与其反函数的交点坐标.
解 首先,()x f 在其定义域上为减函数,故不能用结论1.根据反函数的定义1反解出()31x x f -=-,联立方程33x x -=-,解得1,0±=x ,交点坐标为（0,0）,（1,-1）,（-1,1）.
1.2.3反函数的连续性与可微性
性质]3[5 连续函数的反函数也是连续函数.
性质]3[6 如果函数)(x f y =在某区间x I 上连续、可导且()0'≠x f ,并且存在反函数,那么它的反函数()y x ?=在对应的区间y I 内也可导,且有()()
x f y '1'=
?,即反函数的导数等于原函数导数的倒数.
证明详细参见参考文献[3]. 2 反函数存在性的判定
2.1 反函数存在性判定（一）
并非所有函数都有反函数,对于函数的反函数的存在性的判定,有以下结论: 定理]12[1 严格单调函数必存在反函数.
证明 设)(x f y =在数集D 上有定义,值域为M ,且)(x f y =为D 上的严格增（减）函数,由函数的定义得:D x M y ∈?∈?,使得)(x f y =成立.取D x x ∈?21,且21x x >,因为)(x f y =为D 上的严格增（减）函数,所以 ()()()()()2121 x f x f x f x f <> 即当21x x ≠时,有()()21x f x f ≠,这就证明了严格单 调函数必存在反函数.
注4 这条定理是充分不必要的,即存在反函数的函数不一定是严格单调的,非
严格单调的函数也可能存在反函数,例如()()0 ≠=k x
k x f 在整个定义域上不是严格单调的,但它有反函数,且它为自反函数.
推论1 当)(x f y =连续时,严格单调是函数存在反函数的充要条件.
例题6 证明函数()()22
13>-+=x x x x f 存在反函数. 证明 取任意221>>x x 则()()()()()2272132132121221121----=-+--+=
-x x x x x x x x x f x f 因为221>>x x 故021>-x x ,02,0221>->-x x ,()()021<-x f x f 即)(x f y =为严格减函数,根据定理1得,()()22
13>-+=x x x x f 存在反函数. 2.1 反函数存在性判定（二）
当)(x f y =的单调性利用单调性的定义不容易确定时,这条定理就无能为力
了,例如判断()x x x f cos 3
12+=是否存在反函数,根据定理1,取任意R x x ∈>21,则()()()()2121221121cos cos 312cos 312cos 312x x x x x x x x x f x f -+-=??
? ??+-+=-虽然021>-x x ,但21cos cos x x -的符号很难判断,也就无法判断)(x f y =的单调性, 下面我们给出判定反函数存在的其他方法.
定理]11[2（反函数存在性定理）若)(x f y =在0x 的某邻域内有连续的导函数且()0'0≠x f ,则)(x f y =一定能在0x 的某邻域内存在反函数.
证明 )(x f y =在0x 的某邻域内有连续的导函数,则)(x f y =在0x 的这个邻域内是连续函数,又()0'0≠x f 即()()0'0'00<>x f x f 或则)(x f y =在0x 的某个邻域内是严格增（减）函数,根据定理1,可得)(x f y =定能在0x 的某个邻域内存在反函数.
由定理2再判断()x x x f cos 312+=是否存在反函数,()x x f sin 3
12'-=,因为[]1,1sin -∈x ,所以()0'>x f ,根据定理2 ()上在R x f 存在反函数.
定理3 函数)(x f y =存在反函数的充要条件是函数f 的映射是一一映射.
这条定理可直接由反函数的定义2得出,这种一一映射的关系可以在函数图像上反映出来.
推论2 函数)(x f y =存在反函数的充要条件是直线()为常数C C y =与函数)(x f y =的图像最多有一个交点.
注5 对于推论的理解,可以设)(x f y =的值域为M ,则当M C ∈时,C y =（C 为常数）与)(x f y =有且仅有一个交点；当M C ?时,()为常数C C y =与)(x f y =没有交点.这条推论的应用可实现数形结合,大量减少代数运算.
例题7 判断双曲余弦函数2x x e e ch -+=和双曲余切函数x x x
x e
e e e cth ---+=在其定义 域上是否存在反函数.
解 双曲余弦函数和双曲余切函数都是初等函数,画出它们的图像分别为:
当1>C 时,直线C y =与chx y =有两个交点,根据定理3推论双曲余弦函数在定义域R 上不存在反函数.对于cthx y =,当[]1,1-∈C 时,C y =与cthx y =没有交点,当()(),11,C ∈-∞-+∞U 时,C y =与cthx y =有且仅有一个交点,根据定理3推论,双曲余切函数在定义域()(),11,-∞-+∞U 上存在反函数.
3 反函数的求法
3.1 反函数的一般求法
函数的反函数的一般求法为根据反函数的定义1,由原函数的解析式反解出 反函数.当函数)(x f y =的反函数存在时,求反函数的具体步骤归纳如下:
（1）定值域 求出)(x f y =的值域,即反函数的定义域.之所以把这一步骤放在第一位,是防止解出反函数的解析式之后,忘记求它的定义域.
（2）反解 根据反函数的定义1,将)(x f y =看做x 的方程,直接解出)(1y f x -=的表达式.
（3）对调 将)(1y f x -=中的x 和y 直接对调,得到)(1x f y -=.再根据步骤
(1)的求解,注明其定义域即可.
以上步骤对于求解一次函数、特殊定义域上的二次函数、指数型函数、对数
型函数及简单的无理函数、分数函数等的反函数都行之有效,便于掌握,是很基础也很重要的方法.
例题8 求下列函数的反函数.
（1）121+-=x
y ; （2）()6 123≥+=x y x ; （3）()()3 122≥--=x x y . 解（1）容易得到此函数的值域为{}1|≠y y ,因为121+-=x
y ,所以121-=-y x ,y x -=112,即()
y x -=121,将x 和y 直接对调得121+-=x y 的反函数为()()
()1 1211≠-=-x x x f . （2）因为6≥x ,得到此函数的值域为{}5|≥y y ,因为123+=x
y ,所以
123-=y x ,()31log 2x y =
-,即()1log 32-=y x ,将x 和y 直接对调得()6 123≥+=x y x
的反函数为()()()5 1log 321≥-=-x x x f .
（3）因为3≥x ,得到此函数的值域为{}0|≥y y ,因为()122
--=x y ,所以()122+=-y x ,由于3≥x ,故02≤-x ,所以上式开平方得12+-=-y x ,即
12++=y x ,将x 和y 直接对调得()()3 122≥--=x x y 的反函数为
()()0 121≥++=-x x x f .
3.2 几类特殊函数的反函数的求解
3.2.1周期函数的反函数
一般来说,根据函数的反函数存在性判定定理3,由于周期函数的映射不是一一映射,所以在整个定义域上,周期函数是不存在反函数的,但是,将周期函数限定在定义域的某个子集上,就可能存在反函数,又由于其周期性,在相关定义域的子集上,其反函数是有一定规律的.
定理]6[4 若函数()D x x f y ∈= )(的周期为T ,且)(x f y =在[][]()D b a b a ?, ,上存在反函数)(1x f y -=,则其在[][]()D kT b kT a Z k kT b kT a ?++∈++, ,且上的反函数为()kT x f y +=-1.
证明 若[]kT b kT a x ++∈,,则有[]b a kT x ,∈-,因为()x f 为周期函数,故()()kT x f x f -=,由反函数的定义1,()[]x f f kT x 1-=-,即()kT y f x +=-1,将x 和y 对调得)(x f 在[]kT b kT a ++,上的反函数为()kT x f y +=-1.
三角函数作为周期函数的一个特例,在数学中的学习中占据极其重要的地位,下面具体介绍三角函数的反函数.
和一般的周期函数一样,三角函数在整个定义域上不存在反函数,为了研究它们的反函数,我们做出这样的规定,如果存在以原点为中心的严格单调区间,就 在这个严格单调区间上定义反三角函数的主值,例如正弦函数x y sin =和正切函
数x y tan =在区间??
? ??-2,2ππ上都是严格增函数,根据反函数存在性判定定理1,它们都存在严格增加的反函数,分别为()x x f arcsin 1=-和()x x f tan arc 1=-.如果不 存在以原点为中心的严格单调区间,我们在原点右侧的严格单调区间（原点是这 个区间的左端点）定义反三角函数的主值,例如余弦函数x y cos =和余切函数 x y cot =在区间[]π,0上都是严格减函数,根据反函数的存在性判定定理1,它们都存在严格减少的反函数,分别为()x x f arccos 1=-和()x x f arccot 1=-.
除此之外,根据定理4,我们可以得出三角函数在其他的严格单调区间上反
函数.例如x y s i n =在()...2,1,0 22,22±±=??
????++-k k k ππππ上的反函数为()x k x f arcsin 21+=-π,在区间()...2,1,0 223,22±±=??
????++k k k ππππ上的反函数为()x k x f arcsin 21-=-π,将上面两个区间的反函数合并,得到x y sin =在区间
()...2,1,0 2,2±±=??
????++-k k k ππππ上的反函数为()()x k x f k arcsin 121-+=-π. 例题9 求下列函数的反函数.
（1）31arcsin -=x y ; （2）??
????∈??? ??-=43,4,4cos 2πππx x y . 解 （1）因为31arcsin -=x y ,所以y x sin 3
1=-,即y x sin 31+=,将x 和y 直接对调
得31arcsin -=x y 的反函数为x y sin 31+=,??
????-∈2,2ππx . （2）因为??????∈43,4ππx ,所以??????∈-2,04ππx ,函数??? ?
?-=4cos 2πx y 在此区间上为单调减函数,故存在反函数,24cos y x =??? ?
?-π,2arccos 4y x =-π,2arccos 4y x +=π,将x 和y 直接对调得??
????∈??? ??-=43,4,4cos 2πππx x y 的反函数为2
arccos 4x y +=π,[]2,0∈x . 例题10 求下列式子的值.
（1）()x arcsin tan ; （2）()x arctan cos . 解 （1）令a x =arcsin ,根据三角函数的反函数求解,x a =sin ,??
? ??-∈2,2ππx ,则()x arcsin tan a tan =a a cos sin =,有a a 2sin 1cos -±=,因为??
? ??-∈2,2ππx ,0cos >a ,所以a a 2sin 1cos -=,原式221sin 1sin x x a a
-=-=.
（2）令b x =arct an ,根据三角函数的反函数求解,x b =tan ,??
? ??-∈2,2ππx ,则()x arctan cos b cos =b
b tan sin =,有b b 2cos 1sin -±=,代入后两边平方得:222cos cos 1x b b =-,解得1
1cos 2+±=x b ,因为??? ??-∈2,2ππx ,0cos >b ,所以原式11
cos 2+==x b .
3.2.2分段函数的反函数
定义]1[3 已知函数定义域被分成有限个区间,若在各个区间上对应法则一样,但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上对应法则不完全一样,则称这样的函数为分段函数.
分段函数的反函数也是一个分段函数,在求分段函数的反函数时,先求不同
对应法则下的独立的反函数,并标注下每一段反函数的定义域,再合并成一个分段函数.
例题11 已知函数()???>+-≤-=3
,563,72x x x x x x f 的反函数()x y ?=,求()0?的值. 解 第一段函数()3,7≤-=x x y 的值域为(]4,-∞-,反解出x 得7+=y x ,故其反函数为()4,7-≤+=x x y ；第二段函数()3,562>+-=x x x y 的值域为()+∞-,4,反解出x 得y x ++=43,故其反函数为()4,43->++=x x y ；综上可得函数
()???->++-≤+=4
,434,7x x x x x ?,当0=x 时,()50430=++=?. 3.2.3复合函数的反函数
定理]10[5 设函数()();,D f y ∈=μμ()()()φμ≠∈∈=A D A x g B x x g ,,,,若()μf y =与()x g =μ都存在反函数,分别为()μ1-=f y 与()x g 1-=μ,那么复合函数()[]x g f y =存在反函数且反函数为()[]
x f g y 11--=. 证明 设复合函数()[]x g f y =的定义域为P ,则(){}D A x g B x x P ∈∈=,|,B P ?.因为φ≠D A ,所以φ≠P ,取任意P x x ∈21,,因为()x g =μ存在反函数,根据反函数的定义2有,()()D u u x g x g ∈=≠=212211,,μμ.同理可得()()21μμf f ≠,即()[]1x g f =()[]2x g f ,根据反函数的定义2得,()[]x g f y =存在反函数.
把()x g 看做对应法则f 下y 的自变量,求()x g 反函数得()()y f x g 1-=,再把y 看做对应法则1-f 下()x g 的自变量,求y 的反函数得()[]
y f g x 11--=,将x 和y 对调得函数()[]x g f y =的反函数为()[]
x f g y 11--=.
注6 （1）当a x +=μ时()a x f y +=的反函数为()a x f y -=-1.同理,()a x f y +=-1的反函数为()a x f y -=.从图像角度讲,即原函数向左平移a 个单位时,它的反函数向下平移a 个单位.
（2）()[]x g f 的反函数不能写做()[]x g f 1-,对于函数()[]x g f 1-是先求()μ1-f 后,再与函数()x g =μ直接合并即可；而函数()[]x g f 的反函数,则是要依据定理5的
求法来求出其反函数.
例题 12 已知()1212+-=x x x f ,()1
32-=x x g ,试求()[]x g f y =和()[]x f g y =的反函数.
解 由求反函数的一般方法,得=-)(1x f ()1,1, 11log 2
-∈-+x x x ,()()0, 321≠-=-x x x x g ,由定理5得()[]x g f y =的反函数为()[]
()0 , 11log 311log 22211≠-+-+-=--x x x x x x f g ,()[]x f g y =的反函数为()[]
1
21log 211--=--x x x g f . 例题 13 已知函数()x x x f +-=11,若函数()x g y =的图像与函数()21-=-x f y 的图像关于直线x y =对称,求()5g 的值.
解 已知函数()x g y =的图像与函数()21-=-x f y 的图像关于直线x y =对称,由反函数的判定定理3的推论得,函数()x g y =与函数()21-=-x f y 互为反函数.根据注6(1),()21-=-x f y 的反函数为()2+=x f y .所以()()2+=x f x g ,故
()()3
8255=+=f g . 利用数学归纳法,对定理5进行推广.
推论3 将n 个存在反函数的函数()()n i x f i ......3,2,1 , =进行复合,若可以得到一个有定义的复合函数()()()()()()()......1221x f f f f f x F n n n --=,则这个复合函数存在反函数,且其反函数为()()()()()()() (111121211)
1x f f f f f x F n n n --------=. 例题 14 求函数()323ln 3ln 3ln x x x e
x F +-=的反函数. 解 函数()323ln 3ln 3ln x x x e x F +-=是由x f ln 1=,12131233f f f f +-=,323f f =,34f e f = 复合而成,复合顺序为()()()()1234f f f f x F =,分别求各个分函数的反函数为x e f =-11,113112+-=-f f ,3213f f =-,314ln f f =-则根据定理5的推论得()()()()1234f f f f x F =的反函数为()()()()11ln 1
4131211133+------==x e f f f f x F .
反函数的一般求法对于以上的特殊函数同样适用,只不过有些函数解析式比
较复杂,或者解析式并未具体给出,导致反解时有一定困难.通过特殊函数的反函数求解方法可以大大减少计算量,使问题简单化.
对于一些函数图像容易给出的函数,我们也可以利用反函数的性质4绘出其反函数的图像,以便求解函数的反函数.
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致谢
本论文是在我的指导老师武秀美女士的悉心指导下完成的,从选课题到资料的收集整理,再到论文的撰写与修改,到最后成稿,武老师无不给予我最热忱,最有力的帮助和支持,武老师精益求精的工作精神,公正严明的治学态度和细心负责的教学作风使我深受感动,而这些也将成为我在以后人生道路上的标榜,在论
文即将完成之际,谨此向武秀美老师致以衷心的感谢和崇高的敬意.
时光荏苒,岁月如梭,在菏泽学院的两年时光白驹过隙般的飞逝,这两年,学院的老师和领导们给与我良好的学习环境,优越的专业指导,使我不论是在专业上、思想上,还是人生态度和意志品质上,都有了极大的提高.
真诚感谢我的辅导员王庆林王老师,他不仅在学习上给我帮助,在生活上也对我予以照顾,我从他身上学到很多.
由衷感谢我的同学曹影和孙丹丹,在与她们的无数争论和探讨中,我的论文工作有了长足发展.
最后,感谢曾经教育和帮助过我的所有老师,衷心感谢为评论本论文而付出宝贵时间和辛勤劳动的专家和教授们,谢谢您们！
反函数定义
反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数；
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
反函数例题讲解
反函数例题讲解
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ?
反函数例题讲解 例 1.下列函数中,没有反函数的是 （ ) （A) ｙ = ｘ2－1(ｘ<2 1 - ）?(Ｂ) y = ｘ3＋１（ｘ∈R ） ?（C) 1 -= x x y （ｘ∈R ，x ≠１） (Ｄ) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析:一个函数是否具有反函数,完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手,可试解以ｙ表示x 的式子;从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析.作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D). 因为若ｙ ＝ 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x ＝ －1． ∴ (D ）中函数没有反函数． 如果作出 ?? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像(如图）,依图更易判断它没有反函数． 例2.求函数 211x y --=（－1≤ｘ≤0）的反函数． 解:由 211x y --=,得：y x -=-112 . ∴ 1－x 2 ＝ (１-y )2， x 2 = １－(1－y )2 ＝ 2y －ｙ2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=. 又 当 －1≤x ≤0 时, ０≤1－x 2≤１, ∴ 0≤21x -≤1,0≤1－21x -≤1,
即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=(0≤x ≤１）. 由此可见,对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数,求出x = φ （ y )． ② 求给出函数的值域,并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯,把自变量以x 表示，因变量为y 表示,改换ｘ = φ （ ｙ ）为y = φ ( x ). 例３.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2(x <-1）,那么 f -1 （２ )的值为＿_＿_______＿_＿_____. 分析:依据f -1 （2 )这一符号的意义,本题可由f ( x )先求得f -1 ( x ）, 再求f -1 (２ ）的值(略). 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( ｍ ） = 2.据此求f -１ (2 ）的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得:x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 ｘ =-2 . 又ｘ<－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f -1 （2 ) = -2 ． 例 4.已知函数 241)(x x f +=(x ≤0）,那么 f （ x ）的反函数ｆ －1 ( ｘ ）的图像是 ( ) y （A y x 0 1 （D y x 1 y （B x －（C x －
反函数与函数的单调性
2005－2006学年度上学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性 说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．函数)5(51 -≠+=x x y 的反函数是 （ ） A ．)0(51 ≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51 ≠+=x x y D ．)(5R x x y ∈-= 2．已知函数)(x f y =有反函数，且)1(+=x f y 的图象经过点)2,0(，则下列函数中可能 是)(x f y =的反函数的一个函数是 （ ） A ．)20(42 ≤≤-= x x y B ．)20(412≤≤-+=x x y C ．)20(422 ≤≤--=x x y D ．)22(412 ≤≤---=x x y 3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+= 则=)5(f （ ）A ．0 B ．1 C ．2 5 D ．5 4．函数f x x ax ()=--2 23在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ） A ．a ∈-∞(,]1 B ．a ∈+∞[,)2 C ．a ∈[,]12 D ．a ∈-∞?+∞(,][,)12 5．若f(x)=-x 2+2ax 与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ） A ．)1,0()0,1(?- B ．]1,0()0,1(?- C ．（0，1） D ．]1,0( 6．函数),1(,1 1 ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ）
高一数学反函数的概念
4.5反函数的概念 一、教学内容分析 “反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计 （1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数； （2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； （3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、 独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点： 反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念 引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选 用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号 )(1 x f y ；了解)(1 x f 表示反函数的符号，1 f 表示对应法则. 2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 例1（1）2 x y （R x ）的反函数是 （2）2 x y （0 x ）的反函数是 （3）2 x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数： （1）24 x y （2）13 x y （3）)0(12 x x y （4）)2 1 ,(2413 x R x x x y [说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1 y f x ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1 x f y ； （3）写出定义域:注明反函数的定义域. ③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.
反函数与函数的图像变换
反函数与函数的图像变换 一、反函数 当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。 设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ?=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ?=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ?=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。 1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。 1f -表示的对应是f 的逆对应，11()() f x f x -≠。 ()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。 只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。 特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=， 一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。 例1 求下列函数的反函数： （1）21x y -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-?+=?>--+?。 二、互为反函数的两个函数的性质： 指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。 根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。 指数函数2x y =与对数函数2log y x =都是增函数，一般的， ()y f x =与1()y f x -=的单调性一致。 例2 函数()y f x =反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。 思考：若函数()y f x =是奇函数，且有反函数，那么1()y f x -=是奇函数吗？ 奇函数一定有反函数吗？ 偶函数呢？
反函数教学的思考与实践解读
反函数教学的思考与实践 浙江省杭州市余杭区教育局教研室陈朝阳（311100） 内容提要：反函数作为中学数学的难点之一，如何教学才能使学生全面、完整、正确地理解，并能熟练地运用反函数的有关性质解题，本文提出一些建设性的意见，同时又指出现行教材中范图范例可能使学生产生错误的几个问题，提出矫正的方案。 关键词：反函数、教学、图例、矫正 反函数教学是中学数学的难点之一。如何使学生透彻地理解反函数的概念，能熟练地运用反函数的性质解题？作为教师在教学中要注意什么？怎样才能突破反函数的概念这一重要内容的教学，对学好“函数”这一单元至关重要。本文围绕反函数概念的教学和利用反函数的性质解题提出一些建设性的意见，同时指出现行教材中范图范例可能使学生产生错误的几个问题，不当之处请批评指正。 一、反函数概念的教学 概念教学的过程，应该包括三个基本步骤：①概念的建立；②概念的认识；③概念的应用。这三个步骤，无论是对概念的理解，还是对形成数学能力都十分必要，不可缺少。 1.1 关于概念的建立 新课伊始，开宗明义：前面学习了映射与函数，认识到它们之间有非常密切的关系，函数是映射，对非空数集上的映射能确定函数，如果该映射存在逆映射，那么这个逆映射能否也确定一个新的函数。即 存在 映射逆映射 （确定）（确定） 函数①函数② [图一] 这里的函数②与函数①有怎样的关系？这个问题的提出，从理论体系的发展上展示了反函数概念产生的理论背景，整体性强，能从理论体系的全局上打开学生的视野，而且明确的课题立刻抓住了学生的注意力。 当然，这样的教学又涉及到映射，一一映射，逆映射等有关概念。在教学实践中，笔者以为还是采用83年版高级中学课本（甲种本）中反函数的定义为妥。因为采用现行高中《数学》（第一册（上））中的定义，当进一步学习反三角函数概念时常常使学生迷惑
反函数的八个性质及应用
反函数的八个性质及应用 浙江周宇美 反函数是函数一章中的重要内容，在历年的高考数学试题和各地的模拟试题中与反函数有关的问题频频出现，且大多是小巧灵活的客观性试题．许多学生在解答这些问题时小题大作，耗时费力，隐含潜在失分的危险．为便于同学们复习、巩固、解决好这类问题，下面给出由反函数的概念得到的几个性质，再举例分类解析，供参考． 一、反函数的八个性质 ⑴原象与象的唯一互对性 设函数f(x)存在反函数1 f-(x)，若函数f(x)将定义域A中的元素a映射成值域为C中的元素b，则它的反函数f－1(x)恰好将值域C中的元素b 唯一还原成A中的元素a，即f(a)＝b?1 f-(b)＝a． ⑵定义域与值域的互换性 若函数f(x)的定义域为A，值域为C，则它的反函数1 f-(x)的定义域为C，值域为A，即反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域 ⑶图象的对称性 在同一直角坐标系中，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x 对称，反之亦然． ⑷奇偶性 奇函数y＝f(x)(x∈A)若存在反函数，则它的反函数y＝1 f-(x)(x∈C)也是奇函数．定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数． ⑸单调性
若函数y ＝f (x )(x ∈A )是单调函数，则它的反函数y ＝1f -(x )(x ∈C )也是单调函数，且它们的单调性相同． ⑹ 对应法则互逆性 即有①1f -[f (x )]＝x ，x ∈A ，A 是f (x )的定义域； ②f [1f -(x )]＝x ，x ∈C ，C 是f (x )的值域． ⑺ 交点性质 函数y ＝f (x )与其反函数y ＝1f -(x )的图象交点，或者在直线y ＝x 上；或者关于直线y ＝x 对称． 当函数y ＝f (x )是单调增函数，则函数y ＝f (x )与它的反函数y ＝1f -(x )的图象的交点必定在直线y ＝x 上． ⑻ 自反函数性质 ①函数y ＝f (x )为自反函数的充要条件是f [f (x )]＝x ． ②函数y ＝f (x )为自反函数的充要条件是它自身的图象关于直线y ＝x 对称． 二、性质的应用举例 例1 函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数（ ） (A) ),0(,1 1+∞∈+-=x e e y x x (B) ),0(,11+∞∈-+=x e e y x x (C) )0,(,11-∞∈+-=x e e y x x (D) )0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 解析：本题无需利用求反函数的三步曲：反解——互换——表定义域，只要利用互为反函数的定义域和值域互换性即可．由x ∈(1，＋∞)，得y ＝ln 11x x +-＝ln(1＋21 x -)≥0，得反函数的定义域为(0，＋∞)，排除(C)、(D)，且反函数的值域为(1，＋∞)，故选(B)． 例2 若f (x )与其反函数1f -(x )是同一个一次函数y ＝ax ＋b ，求a 和b
反函数例题讲解
反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像（如图），依图 更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．
由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) （A （（B （C
谈提高对数学教学的认识
谈提高对数学教学的认识 最近（时间）在南京师大附中有一个全国性高中新课程教学的观摩活动，我应邀对两节数学课的教学进行了点评。本文是根据点评整理修改而成。 我坚持认为，教学中的关键问题还是“怎么认识教学”。现在搞新课改，要求用所谓新的理念来教学，我不赞成这个说法。一是不应是根据“新理念”来教学，而是应该根据“正确的科学理念”教学，不正确不科学的理念，即使新也不能用，而老理念只要正确、科学也可以用。二是教过去的教材，就不要用或不能用正确的科学理念来教了吗？所以本质的问题不是教材问题，过去的教材依然应该而且可以用正确的科学理念去教。如果说有了新课程，而没有正确的科学理念，那有什么用，还不是用那一套不正确、不科学的模式去教吗？所以每位教师对教学如何认识是最为根本的文题。 关于正确的、科学的数学教学理念，我提出以下几个方面仅供讨论。 1. “教什么”是指“教学生学什么”和“教学生怎么学” 数学教学首要的问题是“教什么”。如果把党中央提出的科学发展观迁移到数学教学中来，那么应该把“教什么”的含义发展一下，发展为“教学生学什么”和“教学生怎么学”。 过去讲“教什么”是把教和学混在了一起，现在看来，应该是“教学生学什么”，教——学什么！如果说教师教什么，学生就得听什么，那么教师的主导与学生主体关系就不明确，很容易变成以教师为主宰。你把“学生学什么”作为教的内容，那关系就比较明确了，你要教学生的是“学什么”，就是引导学生去质疑，去发现，去探究，去归纳，去判断，去概括，……去把本来你要教的东西变为学生自己去探索他所应该学的东西。于是，原来你要他学的东西成了他自己要学的东西，学生的主体性、主动性就自然出来了，教师的主导作用也就充分发挥了。 教的另一个重要内容应该是“教学生怎么学”。既然教学中要教学生学什么，当然就要教他怎么学。这就联系到这两节课的教学了。这两节课，教师开始提出的问题都很好。“指、对函数的关系”这节课，意在指导学生初步获得反函数的概念。教师先与学生共同复习指、对数函数的概念、性质，然后以“我们要养成学习了一些知识以后就把它们进行横向联系”的方法论意义的指导，向学生提出这节课的问题：“它们之间有什么关系呢？你打算怎样去思考呢？”这就属于“教学生怎么学”了。 这个问题提得比较开放，发散范围比较大，可供学生发挥想象力的空间比较大。什么样的关系不知道，怎么去研究它们的关系也不知道，问题里面所包含的方法性的选择很多（？）。教师并不是直接问学生：“这两个函数的定义域、值域、图象之间有什么关系呀？”这是不在一个层次上的两种问题。提的问题具有开放性，那么，学生要回答这个问题，他首先就会想：我要找它们有什么关系，那我怎么去寻找呢？这不，方法论的思想出来了。接着，要寻找它们的关系，该从哪几个方面去寻找呢？噢，它们不都是函数吗，研究函数一般都是从定义域、值域、图像、单调性、奇偶性这些方面去进行的。这个是涉及方法论的问题，而不是直接问上面所说的那种后一个问题，那都是直白的问题。这就在涉及“教——学什么和怎么学”。 上面的两种问题，前者开放性大的问题，可以称为“元认知问题”[1]，后面这种知识性强的问题，就称为“认知性问题”。认知性问题与要解决的问题更接近一些，如果是“1+1等于几”那就一点启发价值都没有。还有，“你打算怎么去研究，你想从哪些方面入手？”这不也是教他学什么和怎么学了吗？学什么，学研究的方法；怎么学，寻找适当的方法去探究发现知识。假如遇到一个问题，从来没见过面，怎么去研究？用南京师范大学附中特级教师陶维林老师的话说，“老虎吃天，从何下口”？这又是方法论问题，即从哪些角度，从哪些方面去研究这个问题，那么，这就是教怎么学了。所以，每一节课知识固然重要，但最终
反函数典型例题
反函数求值 例1、设有反函数，且函数与 互为反函数，求的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设，则点在函数的图象上，从而点 在函数的图象上，即．由反函数定义有，这样即有，从而． 小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数,确定两函数的解析式 例2 若函数与函数互为反函数，求 的值. 分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何 布列如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，有如下解法： 解：∵ g(x)的定义域为且，的值域为 . 又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴. ∵g(x) 的值域为 , 由条件可知的定义域是 , , ∴. ∴.
令, 则即点(3,1) 在的图象上. 又∵与g(x) 互为反函数, ∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上. ∴ 3=1+ , . 故 . 判断是否存在反函数 例3、给出下列函数: (1)； (2)； (3)； (4)； (5) . 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数. 解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且 . 对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 . 故(3),(4),(5)均不存在反函数. 小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可. 求复合函数的反函数
反函数
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f （x）^-1。 存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 【反函数的性质】 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y 轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2) [编辑本段]⒈反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式. ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数. ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）： 函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x) 定义域A C 值域C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
高一数学函数的单调性和反函数人教版知识精讲
高一数学函数的单调性和反函数人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数的单调性和反函数 二. 学习目标： 1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。 2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。 3. 理解反函数的概念。 4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。 5. 能熟练地求一些函数的反函数。 【例题讲解】 [例1] 证明函数x x x f 1)(2 -=在（0，∞+）上是增函数。 证明：设1x 、2x 是（0，∞+）上任意两个值，且21x x < )1(1)()(12122212x x x x x f x f ---=-2 1212211)(x x x x -+-= 2112 1212))((x x x x x x x x -++-=)1)((2 11212x x x x x x ++-= 由12x x >，012 112>++x x x x ，则0)()(12>-x f x f ，即)()(12x f x f > 故x x x f 1)(2-=在区间（0，∞+）上是增函数。 [例2] 讨论函数1 )(2-=x ax x f 的单调性，并加以证明，其中0>a 。 解：11)()(21122212---=-x ax x ax x f x f ) 1)(1()1)((21222121--+-=x x x x x x a （1）当121-<，即21u u >，且m u u n ≥>≥21 又由)(u f 在],[n m 上为增函数，故有)()(21u f u f > 即)]([)]([21x g f x g f >，所以函数)]([x g f 在],[b a 上为减函数 说明：已知)(u f 和)(x g u =，则)]([x g f 称为复合函数，复合函数单调性规律是： （1）)(u f 为增函数，)(x g 为增函数，则)]([x g f 为增函数。 （2）)(u f 为增函数，)(x g 为减函数，则)]([x g f 为减函数。
反函数的概念
反函数的概念 基础知识熟记 1：有关概念 1.映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对A中任一元素， 在B中都有唯一的元素和它对应，叫A到B的映射，记f:A→B。 2.以x为自变量的函数y=f(x)实际上是集合A到B的映射，其中A，B是非空数集， 自变量x的取值集合A是函数的定义域，和x对应的y值叫函数值，它的范围C叫值 域，显然CíB。（定义域，值域和对应法则是函数的三要素） 3.反函数：设函数y=f(x)的定义域为A, 值域为C，从式子y=f(x)中解出x=F（y）, 若对y在C中的任一值，通过式子x=F（y）,x在A中都有唯一确定的值和它对应，则 x=F（y）表示x是自变量y的函数，交换x,y后得y=F（x）,记y=f-1(x),定义域,值域 分别为原函数的值域，定义域。 注：(1)不是每一函数都有反函数,只有A与C之间具有一一对应关系的函数才有反函 数. (2)y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称 4.求反函数的步骤:(1)由y=f(x)得x=f-1(y) (2)交换x,y得y=f-1(x) (3)指出y=f-1(x)的定义域. 反函数的性质： （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；若点M（a，b）在y= f(x)上，则N(b,a)在y=f-1(x)的图像上。 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则f[f-1(x)]=x,此时x属于A。若f-1 [f(x)]=x,此时x属于D。 （6)如果函数y=f(x)的图像关于y=x对称，那么它存在反函数，并且反函数就是它本身。 例题讲解 1
第一册反函数
第一册反函数 教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况） 师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y=f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y 是函数值；后者y是自变量，x是函数值。） 在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y 是后者中的x。） 由此，请同学们谈一下，函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？ 生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的’值域、定义域。 师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为： （1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出； （2）将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。 （3）指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1 （II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 （III）课时小结 本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。 （IV）课后作业 一、课本P69习题2.41、2。 二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。 板书设计
反函数专题复习(2013版)
反函数专题复习 知识点： 1、反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把 x 表示出来，得到x =?（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?（y ），x 在A 中 都有唯一的值和它对应，那么，x =?（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =?（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1 （y ）. 在函数x =f －1 （y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量， y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）. 2、互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1 （x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称. 3、若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与 y =f （x ）一致. 4、若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）无反函数。 5、求反函数的步骤： （1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1 （y ）. （2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1 （x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. 双基练习： 1、函数y =－ 11 +x （x ≠－1）的反函数是（ A ） A.y =－x 1－1（x ≠0） B.y =－x 1 +1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ） D.y =－x －1（x ∈R ） 2、函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为（ A ） A.y =2x － 1－1（x ＞1） B.y =2x － 1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0） 3、函数f （x ）=－12+x （x ≥－ 2 1 ）的反函数（ D ） A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－2 1 ，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数 D.在（－∞，0］上为减函数 4、函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f － 1（x ）=______________. 答案：－x -（x ≤－4）
反函数的存在性及求法
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1反函数的定义及其性质 (1) 1.1反函数的定义 (1) 1.2反函数的性质 (2) 1.2.1反函数的简单性质 (2) 1.2.2关于反函数图像的性质 (3) 1.2.3反函数的连续性与可微性 (5) 2反函数存在性的判定 (6) 2.1反函数存在性判定（一） (6) 2.1反函数存在性判定（二） (6) 3反函数的求法 (8) 3.1反函数的一般求法 (8) 3.2几类特殊函数的反函数的求解 (9) 3.2.1周期函数的反函数 (9) 3.2.2分段函数的反函数 (11) 3.2.3复合函数的反函数 (12) 参考文献 (14) 致谢 (14)
函数的反函数的存在性及其求法 数学与应用数学专业薛云 指导老师武秀美 摘要反函数是数学中的一个重要概念,文章分三部分阐述了反函数的概念、存在条件及其求法.首先,文章从不同角度给出了反函数的定义；其次,文章详细阐述了反函数的存在条件,从图像、定义及单调性等多方面加以论述；最后,文章给出了反函数的求法一般的步骤,并在此基础上介绍了一些特殊函数的反函数的求法. 关键词反函数周期函数反函数存在性定理 The Existence and Solution of Inverse Function of Functions Student majoring in Mathematics and applied mathematics Xue Yun Tutor Wu Xiumei Abstract The inverse function is an important concept in mathematics. This article has three parts about the concept of inverse function, the condition of existence of inverse function and the solution of inverse function. First, it gives the definition of inverse function, secondly, it gives the conditions of existence of inverse function and descries this aspects from image, definition and monotonicity. Finally, it gives the method of solution of inverse function and introduces the solution of the inverse function of some special functions. Key words Inverse function Periodic function Existence theorem of inverse function 引言函数是数学中的一个基本概念,对函数的性质、图像及其相关问题的研究自然地引发了对函数的反函数的探讨；同时在生活中,函数的反函数也占有较为重要的地位,但是反函数的定义很抽象,难于理解,中学数学中有一些基本的反函数的知识,在现有的数学分析和高等数学教科书中,也都有对反函数的简要介绍,但都不做重点讲述,这使对反函数的系统理解和应用更加不利.这篇文章在总结前例的基础上,对反函数的定义、性质、图像、存在性、求法等进行了详细地讨论. 1 反函数的定义及其性质 1.1 反函数的定义 定义]1[1一般地,式子) y=表示y是自变量x的函数,设它的定义域为A,值 (x f 域为C.从式子) (x =.如果对于y在C中的任何 (y x? f y=中解出x,得到式子) 一个值,通过式子) =,x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x? (y
反函数基础练习含答案
反函数基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞， 1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ] A y y x B y y 2．＝和＝．＝和＝ x x x 11
C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数 C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数 D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是 y ＝－，那么另一个函数是x -1 [ ] A ．y ＝x 2＋1(x ≤0) B ．y ＝x 2＋1(x ≥1) C ．y ＝x 2－1(x ≤0) D ．y ＝x 2－1(x ≥1) 7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点 [ ] A ．(a ，f -1(a)) B ．(f -1(b)，b) C ．(f -1(a)，a) D ．(b ， f -1(b))
