第十八讲二次函数与平行四边形综合
一、教学内容
1.二次函数的表示 , 二次函数图像与性质；
2.平行四边形的性质和判定；
3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题；
二、例题细看
【例 1】已知：如图，在平面直角坐标系
将OBA 对折，使点O的对应点xOy 中，直线 y
3
与 x 轴、y轴的交点分别为 A、B ，
x 6
4
H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点C.
（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；
（ 2）若抛物线的顶点为 D ，在直线BC上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（ 3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T ，Q 为线段BT上一点，直接写出 QA QO 的取值范围 .
【考点分析】二次函数综合题
y
B
H
1
O1 C
A x
D
T
【PEC分析】（ 1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（ 8， 0）；
点B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（ 0， 6）；
由题意得： BC是∠ ABO的角平分线，所以OC=CH， BH=OB=6
∵AB=10，∴ AH=4，设 OC=x，则 AC=8-x 由勾股定理得： x=3
∴点 C 的坐标为（ 3， 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；
（ 3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH| ．当点 Q与点 B 重合时， Q、 H、 A 三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为 AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线 BC的交点为 K，当点 Q与点 K 重合时， |QA-QO|取得最小值 0．
【跟踪练习】例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线y x22x 3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 l 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（ 1）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（ 2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；
（ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A 、C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边
形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
A
【例 2】如图，点O是坐标原点，点A(n ，0) 是 x 轴上一动点(n 0) .以 AO 为一边作矩形AOBC ，点C在第二象限，且OB 2OA ．矩形AOBC 绕点 A 逆时针旋转90 得矩形AGDE ．过点 A 的直线
y kx m ( k 0) 交y轴于点F，FB FA ．抛物线y ax 2bx c 过点E、F、G且和直线AF 交于点 H ，过点 H 作 HM x 轴，垂足为点M ．
⑴求 k 的值；
⑵点 A 位置改变时，AMH 的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．
y
C B
D
G
M
F
E A O
x
H
【 PEC分析】（ 1 ）由题意知O B=2OA=2n，在直角三角形AEO 中， OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF 的表达式，也就求出了FB 的长，由于 F 的坐标为（ 0 ， m ）据此可求出m ， n 的关系式，可用 n 替换掉一次函数中m 的值，然后将 A 点的坐标代入即可求出k 的值．
（ 2 ）思路同（ 1）一样，先用n 表示出 E、 F、 G 的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出 a ，b ， c 与n 的函数关系式，然后用n 表示出二次函数的解析式，进而可用n 表示出 H 点的坐标，然后求出△AMH
【跟踪练习】 （ 1）在图 1，2， 3 中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A ，B ，D 的坐标（如图所示），写
出图 1， 2， 3 中的顶点 C 的坐标，它们分别是 (5，2) ， ，
；
y
y
y
y
Bc(，d)
C
B (12)，
B(c ， d )
B (c ， d )
C
C
C
D( e ， f )
A(a ，b)
D( e ， b)
x
x
O
( A)
D(4，0)
O (A)
O
x
D (e ，0)
A(a ，b)
图 1
图 2
图 3
x
A ，
B ，D
O
（ 2）在图 4 中，给出平行四边形 ABCD
的顶点 的坐标（如图所示） ，求出顶点 C 图 4
的坐标（ C 点
坐标用含 a ， b ， c ， d ， e ， f 的代数式表示）；
归纳与发现
（ 3）通过对图 1， 2， 3， 4 的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形
ABCD 处于直角
坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 A(a ， b)，B(c ， d )， C (m ， n)， D (e ，f ) （如图 4）时，则四个顶
点的横坐标 a ， c ， m ， e 之间的等量关系为 ；纵坐标 b ， d ，n ，f 之间的等量关系为
运用与推广
（ 4）在同一直角坐标系中有抛物线
y x 2
1 5 1 9
(5c 3)x c 和三个点 G
c ， c ， S
2
c ， c ，
2
2
2
H (2c ，0) （其中 c 0 ）．问当 c 为何值时，该抛物线上存在点
P ，使得以 G ， S ，H ，P 为顶点的四边形
是平行四边形？并求出所有符合条件的
P 点坐标．
【例 3】如图 1，Rt ABC中，A 90，
tan B
3
，点 P 在线段 AB 上运动，点Q、 R 分别在线段BC、
4
AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP的长为 x ，矩形 APQR 的面积为y，已知y是 x 的函数，其图象是过点12，36的抛物线的一部分（如图 2 所示）．
（1）求AB的长；
（2）当AP为何值时，矩形 APQR 的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究
性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图 2 中的抛物线过点12，36 在图 1 中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点 (x, y) 是表示图 1 中AP的长与矩形 APQR 面积的对应关系，那么 12，36表示当 AP 12 时， AP 的长与矩形APQR面积的对应关系.
赵明：对，我知道纵坐标36 是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题.
【考点点评】本题结合三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键
y
C
(12,36)
Q
R
A B
O x
P
【 PEC分析】（ 1 ）由于 y 是 x 的函数且过（ 12 ， 36 ）点，即AP=12时，矩形的面积为36 ，可求出 PQ 的长，进而在直角三角形BPQ 中得出 BP 的值，根据AB=AP+BP即可求出AB 的长．
（ 2 ）与（ 1 ）类似，可先用AP 表示出 BP 的长，然后在直角三角形BPQ 中，表示出PQ 的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y， x 的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以
及此时对应的x 的值．
【跟踪练习】如图，已知与 x 轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C (3，4)，抛物线
l2与l1关于x轴对称，顶点为 C ．
（1）求抛物线l2的函数关系式；
（2）已知原点 O ，定点D (0，4)，l2上的点 P 与l1上的点 P 始终关于 x 轴对称，则当点 P 运动到何处时，以点 D， O，P，P 为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在l2上是否存在点 M ，使△ ABM 是以 AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，
求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
y
l2
5E
4
3
2
1A B
1 1
O
x
1 2345
2
3
4
C
5l1
【例 4】如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，0)、 C (0，2) ，D为OA的中点．设点P 是 AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
（ 1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD相等；
（ 2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过 O、P、D 三点的抛物线的解析式；
（ 3）设点E是（ 2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和PDE 的周长；P°
4OABC
的对称中心，是否存在点，使 CPN90 ？若存在，请直接写出（）设点 N 是矩形
点 P 的坐标．
y
C(0,2)B
P
O D A(4,0)x
【PEC分析】本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题．
（1 ）通过△POC ≌△POD 而证得 PC=PD ．
（2）首先要确定 P 点的位置，再求出 P、F 两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；
（3）此问首先利用对称性确定出 P 点位置是 EC 与∠AOC 的平分线的交点，再利用抛物线与直线 CE 的解析式求出
交点 P 的坐标．进而求的△PED 的周长；
（4）要使∠CPN=90 °，则 P 点是以 CN 的中点为圆心以 CN 为直径的圆与角平分线的交点，
由此就易于写出 P 点的坐标．
【例 5】如图，已知抛物线 l1：y x24的图象与 x 轴相交于 A、 C 两点，B是抛物线 l1上的动点 ( B不与
A、 C 重合 )，抛物线 l 2与 l1关于x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为
D．
（1）求 l2的解析式；
（2）求证：点D一定在l2上；
（3）平行四边形 ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个
矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：计算结果不取
近似值．）
y
l1： y=x 2-
4
A C
O x
l2
【 PEC分析】（ 1 ）根据 l1 的解析式可求l1 与 x 轴的交点为 A （ -2 ，0 ）， C（ 2， 0 ），顶点坐标是（ 0 ，
-4 ）， l2 与 l1关于 x 轴对称，实际上是l2 与 l1的顶点关于 x 轴对称，即l2 的顶点为（0， 4 ），设顶点
式，可求抛物线l2 的解析式；
（ 2 ）平行四边形是中心对称图形， A 、C 关于原点对称，则 B、 D 也关于原点对称，设点B（ m ， n ），
则点 D（ -m ，-n ），由于 B（ m ，n）点是 y=x2-4上任意一点，则 n=m2-4，∴-n=- （ m2-4 ）=-m2+4=-
（ -m ） 2+4 ，可知点 D （ -m ， -n ）在 l2y=-x2+4的图象上；
6
【跟踪练习】 如图，已知抛物线 C 1 与坐标轴的交点依次是 A
4 ，0 ， B 2 ，0 ，E 0，8 ．
（ 1）求抛物线 C 1 关于原点对称的抛物线 C 2 的解析式；
（ 2）设抛物线 C 1 的顶点为 M ，抛物线 C 2 与 x 轴分别交于 C ， D 两点 (点 C 在点 D 的左侧 )，顶点
为 N ，四边形 MDNA 的面积为 S ．若点 A ，点 D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别 向右、向左运动；与此同时，点 M ，点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、
向上运动， 直到点 A 与点 D 重合为止． 求出四边形 MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式，
并写出自变量 t 的取值范围；
（ 3）当 t 为何值时，四边形 MDNA 的面积 S 有最大值，并求出此最大值；
（ 4）在运动过程中，四边形
MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时
t 的值；若不能，说明理由．
y 8 E 7 6 5 4 3
2 N
A
B
1
C H D
-6 -5 -4 -3 -2 -1O
1 2 3 4 5 x
M
-1 -2
三、课堂一试
1.如图，在直角坐标系 xOy 中，点 P 为函数 y
1 x
2 在第一象限内的图象上的任一点， 点 A 的坐标为 0，1 ， 4
直线 l 过 B 0 ， 1 且与 x 轴平行，过 P 作 y 轴的平行线分别交 x 轴、直线 l 于 C 、Q ，连结 AQ 交 x 轴于 H ， 直线 PH 交 y 轴于 R ．
⑴ 求证： H 点为线段 AQ 的中点；
⑵ 求证：四边形 APQR 为菱形；
⑶ 除 P 点外，直线 PH 与抛物线 y
1 x
2 有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没
4
有，请说明理由．
y
P
A C
x
O
H
l
B Q
R
2.如图，在平面直角坐标系内，以y 轴为对称轴的抛物线经过直线y
3 x 2 与y轴的交点A和点
3
M 3
，0 ．
2
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（ 2）将（ 1）中所求抛物线沿 x 轴平移．①在题目所给的图中画出沿 x
轴平移后经过原点的抛物线大致图象；
②设沿 x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB 相交于 C 点．判断以 O 为圆心， OC 为半
径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由；
（ 3）P点是沿 x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。求P点的坐标，使得以O、A、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形．
y
A
B
MO x
3.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边 BO 在 x 轴的负半轴上，边OC 在y轴的正半轴上，且
AB 1 ，OB 3，矩形 ABOC 绕点 O 按顺时针方向旋转60后得到矩形 EFOD ．点 A 的对应点为点 E ，点 B 的对应点为点 F ，点 C 的对应点为点 D ，抛物线y ax2bx c过点A，E，D．
（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（ 3）在 x 轴的上方是否存在点P ，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形 ABOC 面积的 2 倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
y
E
A F
C D
B O
x
4. 如图 10，已知抛物线 P ：y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 与
与 y 轴交于点 C ，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x 轴交于 A 、B 两点 ( 点 A 在 x 轴的正半轴上 ) ，AB 上，顶点 F 、G 分别在线段 BC 、AC 上，抛
x ? -3 -2 1 2 ? y
?
-
5
-4
-
5
?
2
2
(1) 求 A 、B 、C 三点的坐标；
(2) 若点 D 的坐标为 (m ，0) ，矩形 DEFG 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围；
(3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF 并延长至点 M ，使FM=k ·DF ，若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围 .
图 10
5. 如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点 H 的坐标为（－ 8， 0），点 N 的坐标为（－ 6，－ 4）．
（ 1）画出直角梯形 OMNH 绕点 O 旋转 180°的图形 OABC ，并写出顶点 A ， B ， C 的坐标（点 M 的对应点为 A ， 点 N 的对应点为 B ， 点 H 的对应点为 C ）；
（ 2）求出过 A ， B ， C 三点的抛物线的表达式；
（ 3）截取 CE =OF =AG =m ，且 E ， F ， G 分别在线段 CO ， OA ，AB 上，求四边形 BEFG 的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；面积 S 是否存在最小值 ?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（ 4）在（ 3）的情况下，四边形
BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时 m 的值，
并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
6.如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知 O(0， 0)， A(4， 0)，C(0， 3)，点 P 是
OA 边上的动点 (与点 O、A 不重合 )．现将△ PAB 沿 PB 翻折，得到△ PDB ；再在 OC 边上选取适当的点 E，将△ POE 沿 PE 翻折，得到△ PFE ，并使直线 PD 、 PF 重合．
(1) 设 P(x， 0)，E(0， y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求y 的最大值；
(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、 B、 E 的抛物线的函数关系式；
(3)在 (2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△ PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，
说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
y y
C B C
D B
F
E D
E F
O PA x
O P A
x
图 1图 2
四、课后有练
1.如图，矩形 ABCD 中， AB＝ 3，BC＝ 4，将矩形 ABCD 沿对角线 A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E、
C、G 始终在同一条直线上），当点 E 与 C 重时停止移动．平移中EF 与 BC 交于点 N， GH 与 BC 的延长
线交于点 M， EH 与 DC 交于点 P， FG 与 DC 的延长线交于点 Q．设 S 表示矩形 PCMH 的面积，S表示
矩形 NFQC 的面积．
（ 1） S 与S相等吗？请说明理由．
（ 2）设 AE＝ x，写出 S 和 x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时 S 有最大值，最大值是多少？
（ 3）如图 11，连结 BE，当 AE 为何值时，ABE 是等腰三角形．
A D
A D
P
E H
x
E P H
B
N C M
M
B
C
N
F Q G
F
G
Q
图图
2.如图 12，四边形OABC 为直角梯形， A（ 4，0）， B（ 3， 4）， C（ 0， 4）．点 M 从O出发以每秒2个单位长度的速度向 A 运动；点N从 B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向 C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作 NP 垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ ．
（ 1）点（填 M 或 N）能到达终点；
（ 2）求△ AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时， S 的值最大；
（ 3）是否存在点 M，使得△ AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．
C y
N B
Q
O M P A x
图 12
3..已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点C
在y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（ OB 直线 x＝－ 2． （1）求 A、 B、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （ 3）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点A、点 B 不重合），过点 E 作 EF ∥ AC 交BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m，△ CEF 的面积为S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （ 4）在（ 3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请 求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时△ BCE 的形状；若 不存在，请说明理由． 老师 姓名 学生姓名学管师 学科 名称 年级上课时间月日_ _ :00-- __ :00 课题 名称 二次函数与平行四边形的存在问题 教学 重点 教学过程【知识梳理】 1、平行四边形的性质是什么？ 2、在坐标系中，平行四边形又有哪些性质？ 3、解决问题的策略： ①根据要求画出满足要求的图形，然后根据几何性质计算未知量 ②分类讨论，根据对角线“共中点”的性质直接计算。 1.（2011?盘锦）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A（1，﹣1）、B（4，0）两点． （1）求这个二次函数解析式； （2）点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 2.（2010?陕西）在平面直角坐标系中，抛物线A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标． 3.（2011?阜新）如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P． （1）求点A、B的坐标； （2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 4.（2007?玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x＋m与该二次函数的 图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，4），点B在y轴上。 （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P点作x轴的垂线交二次函数图象于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。 二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、（2013河南）如图，抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点，其 中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE x ⊥轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解答】（1）∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C，D 7 (3,) 2 ∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时，2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=，解得：121,2m m == 即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ，解得：123322 m m += =（舍去） 即当132 m += 时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）， 与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标； 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题 【学习目标】 这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨 论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性. 【教学过程】解题思路：等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．② 代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用. 一、考点突破 12 例1、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，若 4 已知 A 点的坐标为（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式； 2）连接AC、BC，求线段BC 所在直线的解析式； P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的（3）在抛物线的对称轴上是否存在 点P 点坐标；若不存在，请说明理 【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC，BC． （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点Q 从点 B 出发，沿BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数（平行四边形） 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？ （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ 解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1， 把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， ∴=，即：=， ∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m2+m+4， ∴y=﹣?++4， ∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4， ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF， （Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4， 把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： ﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： m+4=﹣m2+m+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8． 72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合压轴题专题汇编 一．二次函数与四边形的形状 例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A 练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为 (34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '． （1）求抛物线2l 的函数关系式； （2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30 的直角三角形？若存， 求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -， ，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1 C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于 C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的 面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写 出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． 5- 4- 3- 2- 1- 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C ' 1- O 2l 1l x y 二次函数综合提升卷 【类型一】二次函数之面积最值 求与函数图像相关的三角形的面积： （1）结合方程组用待定系数法求函数的解析式； （2）根据坐标求出三角形面积； ①公式法：三角形一边与坐标轴平行或重合时可以直接根据三角形面积公式求解； ②割补法：公式法无法使用是，把三角形补成矩形或梯形或直角三角形，然后根据矩形或梯形或直角三角形的面积公式解决； ③等积转化法； ④铅锤法；利用S=铅垂高?水平宽÷2,可以避免求一些比较复杂的点的坐标； ⑤特殊情况下可以利用反比例函数的几何意义进行解答。 *遇到动点最值问题时，需要利用未知数将实际问题中的情形代数化，利用二次函数性质解答 1.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从 这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为（） A.x=10，y=14 B.x=14，y=10 C.x=12 ，y=15 D.x=15 ，y=12 （第1题）（第2题） 2.如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M ，使以O 、A 、B 、M 为顶点的四边形面积最大，求点M 的坐标． （3）作直线x=m 交抛物线于点P ，交线段OB 于点Q ，当△PQB 为等腰三角形时，求m 的值． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线 经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点 （点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标． 【类型二】二次函数与全等三角形 在实际考试中会出现全等三角形点的存在性问题，解题的关键在于全等三角形对应边相等或对应角相等，利用某一个特殊角度角展开分类讨论，将所有的情形都讨论到位. 4. ★如图,在第一象限内作射线OC,与x 轴的夹角为?30,在射线OC 上取一点A,过点A 作AH ⊥ x 轴于点H.在抛物线2x y =)0(>x 上取点P,在y 轴上取点Q,使得以P,O,Q 为顶点的三角形与?AOH 全等,则符合条件的点A 的坐标是_____． 5. (1)求b 、c 的值; (2)过C 作CE x //轴交抛物线于点E,直线DE 交x 轴于点F,且F )0,4(,求抛物线的解析式; (3)在(2)条件下,抛物线上是否存在点M,使得?CDM ??CEA 若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 6. 如图,抛物线)0(2≠+=a c ax y 与y 轴交于点A,与x 轴交于B,C 两点(点C 在x 轴正半轴上), ?ABC 为等腰直角三角形,且面积为4,现将抛物线沿BA 方向平移,平移后的抛物线过点C 时,与x 轴的另一点为E,其顶点为F,对称轴与x 轴的交点为H. 【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3 64 y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、， 将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ， 为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围. 【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90?得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值； ⑵ 点A 位置改变时，AMH ?的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由． 【例3】 如图1，Rt ABC ?中，90A ∠=?，3 tan 4 B = ，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图 象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长； （2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． R Q B C A 二次函数与平行四边形综合 二次函数综合（动点与三角形）问题 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。 （1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形； （3）抛物线上的点能否构成相似三角形； 解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】 例一．（2013?地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式； （2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算； （3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论， ①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案． 解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴可得A（1，0），B（0，﹣3）， 把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：， 解得：． ∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3． （2）令y=0得：0=x2+2x﹣3， 解得：x1=1，x2=﹣3， 则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4， 故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6． （3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意： 讨论： ①当MA=AB时，， 解得：， ∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）； ②当MB=BA时，， 解得：M3=0，M4=﹣6， ∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）， ③当MB=MA时，， 解得：m=﹣1， ∴M5（﹣1，﹣1）， 答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形． 点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解． ㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】 例二．（2013）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． 二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点 分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合， 琢玉教育个性化辅导讲义 教师学科上课时间年月日学生年级讲义序号 课题名称 教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度； 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式； 3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题； 教学重点 难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法； 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。 课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________ 教学容知识结构： 一.二次函数知识点梳理：下图中0 a≠二.特殊的二次函数：下图中0 a≠ 3 4 y x =与BC边交于D点． （1）求D点的坐标； （2）若抛物线2 y ax bx =+经过A、D两点，求此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P． 方法总结： 1.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数c bx x y+ + - =2 3 1 的图像经过点 A（－1，1）和点B（2，2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略： 1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度； 2.待定系数法求解相关函数的解析式； 3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）； 4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解； 5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想； 6.注意利用好二次函数的对称性； 7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。 二次函数与特殊四边形判定 ★1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ， D 是抛物线W 的顶点. (1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线 W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标； (2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. ★2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(－1，0)、B(0，1)，且与x轴有唯一交点. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式； (2)若将(1)中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D(点C在点D的左边)，当∠CBD＝90°时，求m的值； (3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E，使以C、D、B、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. ★3.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′. (1)求抛物线的表达式； (2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积； (3)是否存在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点在过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由. ★4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABE的边AB在x轴上，A(－1，0)，OB＝4OA，OE＝2，抛物线C经过△ABE的三个顶点． (1)求抛物线C的表达式； (2)将抛物线C向下平移m个单位得到抛物线C′，使抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M，试求点M的坐标及m的值； (3)若点P是抛物线C′上一点，Q是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第4题图 ●探究 （1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F。 ①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________； ②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________； （2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程； ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=___________；（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A，B。 ①求出交点A，B的坐标； ②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。 图 2 图 3 图1 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点 数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1,y 1)，点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(221x x +,2 21y y +). 证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ，得x P = 2 21x x +，同理y P =221y y +，所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +). 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D )，则：x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 证明： 如图2，连接AC 、BD ，相交于点E ． ∵点E 为AC 的中点， ∴E 点坐标为(2C A x x +,2 C A y y +). 又∵点E 为B D 的中点， ∴ E 点坐标为( 2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 2 一个基本事实，解题的预备知识 如图3，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB 为对角线的□ACBD 1，以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ． 第十八讲二次函数与平行四边形综合 一、教学内容 1.二次函数的表示 , 二次函数图像与性质； 2.平行四边形的性质和判定； 3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题； 二、例题细看 【例 1】已知：如图，在平面直角坐标系 将OBA 对折，使点O的对应点xOy 中，直线 y 3 与 x 轴、y轴的交点分别为 A、B ， x 6 4 H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点C. （ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式； （ 2）若抛物线的顶点为 D ，在直线BC上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （ 3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T ，Q 为线段BT上一点，直接写出 QA QO 的取值范围 . 【考点分析】二次函数综合题 y B H 1 O1 C A x D T 【PEC分析】（ 1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（ 8， 0）； 点B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（ 0， 6）； 由题意得： BC是∠ ABO的角平分线，所以OC=CH， BH=OB=6 ∵AB=10，∴ AH=4，设 OC=x，则 AC=8-x 由勾股定理得： x=3 ∴点 C 的坐标为（ 3， 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得； （ 3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH| ．当点 Q与点 B 重合时， Q、 H、 A 三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为 AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线 BC的交点为 K，当点 Q与点 K 重合时， |QA-QO|取得最小值 0． 【跟踪练习】例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线y x22x 3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 l 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （ 1）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （ 2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A 、C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由． A 【例 2】如图，点O是坐标原点，点A(n ，0) 是 x 轴上一动点(n 0) .以 AO 为一边作矩形AOBC ，点C在第二象限，且OB 2OA ．矩形AOBC 绕点 A 逆时针旋转90 得矩形AGDE ．过点 A 的直线 y kx m ( k 0) 交y轴于点F，FB FA ．抛物线y ax 2bx c 过点E、F、G且和直线AF 交于点 H ，过点 H 作 HM x 轴，垂足为点M ． ⑴求 k 的值； ⑵点 A 位置改变时，AMH 的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由． y C B D G M F E A O x H 【 PEC分析】（ 1 ）由题意知O B=2OA=2n，在直角三角形AEO 中， OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF 的表达式，也就求出了FB 的长，由于 F 的坐标为（ 0 ， m ）据此可求出m ， n 的关系式，可用 n 替换掉一次函数中m 的值，然后将 A 点的坐标代入即可求出k 的值． （ 2 ）思路同（ 1）一样，先用n 表示出 E、 F、 G 的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出 a ，b ， c 与n 的函数关系式，然后用n 表示出二次函数的解析式，进而可用n 表示出 H 点的坐标，然后求出△AMH 72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合专题 一．二次函数与四边形的形状 例1. 如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入2 23y x x =-- 得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为： P （x ，-x-1），E （2(,23)x x x -- ∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=9 4 （3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习1.如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A 学习好资料欢迎下载 二次函数与平行四边形2，3），与y轴交于点C（0，﹣）【例1】（2011湛江）如图，抛物线y=x+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4 ．B，两点（点A在点B的左侧）与x轴交于A ）求抛物线的解析式；（1 AD，试证明△ACD为直角三角形；，（2）连接ACCD，为顶点的的四边形FE，A3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以，B，（F的坐标；若不存在，请说明理由．为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 17521xx???y?与【例y轴交于A点，过点2011】2（广东）如图，抛物线A的直线与抛物线 44． 学习好资料欢迎下载 交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t 的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时， . 请说明理由值，平行四边形BCMN是否菱形？四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t yy xx轴C中，正方形OCBA的顶点A、分别在【例3】（2010茂名）如图，在直角坐标系O 轴、2c??bxaxy?1?3ab??，坐标为（上，点B66BA经过点），抛物线、两点，且．cab的值；，，）求1（． 学习好资料欢迎下载 （2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个?EBFt的面、F随之停止运动．设运动时间为秒，E单位长度，当点到达终点B时，点E积 为S． t之间的函数关系式，并求出S的最大值；S与①试求出②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理 二次函数与三角形 抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段； （2）抛物线上的点能否构成特殊的角； （3）抛物线上的点能否构成特殊三角形； （4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形； 这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。 1、如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t 为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值． 2、如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接 BD． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标； （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值． 3、已知函数2 3 2 2 y kx x =-+（k是常数） 关于二次函数的压轴题 四、抛物线与四边形 例题 1. 如图，抛物线经过A （－1，0），B （5，0），C （0，－52 ）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求点P 的坐标； （3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线1+=x y 与二次函数的图像交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上. （1）二次函数的解析式为y = ； （2）证明点(,21)m m --不在（1）中所求的二次函数的图像上； （3）若C 为线段AB 的中点，过C 点作x CE ⊥轴于E 点，CE 与二次函数的图像交于D 点. ① y 轴上存在点K ，使以K 、A 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形，则K 点的坐标是 ； ②二次函数的图像上是否存在点P ，使得ABD POE S S ??=2？若存在，求出P 点坐标；若不存在， 请说明理由. O A B C 练习： 1. 如图，抛物线14 17452++- =x x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0). （1）求直线AB 的函数关系式； （2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接C M ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由. 2. 如图所示，在平面直角坐标系x O y 半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 和D （4，2 3 -）. （1）求抛物线的表达式. （2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=2PQ (2cm ). ①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； ②当S 取5 4 时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？ 如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标. 二次函数与四边形 一.二次函数与四边形的形状 例1.(浙江义乌市)如图，抛物线y x2 2x 3与x轴交A B两点(A点在B点左侧)，直线I与抛物线交于A、 C两点，其中C点的横坐标为2. (1)求A B两点的坐标及直线AC的函数表达式； (2) P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A C F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由. 练习1.(河南省实验区)23 ?如图，对称轴为直线x 7的抛物线经过点 2 A (6, 0)和 B ( 0, 4). (1) 求抛物线解析式及顶点坐标； x (2) 设点E ( x , y )是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以 OA为对角线的平行四边形?求平行四边形系式，并写出自变量x的取值范 围； ①当平行四边形OEAF勺面积为24时，请判 断平行四边形OEAF是否为菱 形？ ②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方 形？若存在，求出点 E O 的坐标；若不存在，请说明理由. B(0,4) A(6,0) OEAF OEAF的面积S与x之间的函数关 练习2.(四川省德阳市) 25.如图，已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线11的顶点为 C(3,4)，抛物线12与l i关于x轴对称，顶点为C . (1) 求抛物线12的函数关系式; (2)已知原点0,定点D(0,4), 12上的点P与l i上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到 何处时，以点D, 0, P, P为顶点的四边形是平行四边形? (3) 在12上是否存在点M，使△ ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存, 求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 练习3.(山西卷)如图，已知抛物线C i与坐标轴的交点依次是A( 4,0) , B( 2,0) , E(0,8). (1)求抛物线G关于原点对称的抛物线C2的解析式； (2)设抛物线G的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于 C, D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S .若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位 的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为 止?求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值； (4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由. 二.二次函数与四边形的面积 2 例1.（资阳市）25.如图10,已知抛物线P: y=ax+bx+c（a丰0）与x轴交于A B两点（点A在x 轴的正半轴上），与y轴交于点C,矩形DEFG勺一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC AC上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：二次函数与平行四边形存在性问题
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