二次函数------四边形
1、（广东）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x
轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
2、（湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（贵州遵义）如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为
Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的
右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
4.(浙江义乌市) 如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C
两点，其中C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
5.（湖北十堰）已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．
A
6、（福建莆田）已知，如图抛物线2
3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B ． (1)求抛物线的解析式；
(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：
(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（浙江义乌）如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点， 求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样 的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
8、．如图，抛物线2
23y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D .
（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？
②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式.
9. (本小题满分12分) 如图11，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，90OAB ∠= ，
点O 为坐标原点，点A 在x
AC 相交于点M ，4OA AB ==，2OA CB =．
（1）线段OB 的长为 ，点C （2）求△OCM 的面积；
（3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式； （4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F 抛物线上的点，且以A ，O ，F ，E 为平行四边形，求点F 的坐标．
10．（辽宁抚顺）已知：如图所示，关于x 的抛物线y =与x 轴交于点(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 的坐标，并求出直线AD 的解析式；
（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M 、平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 明理由．
（第8题）
1、考点：二次函数综合题。 分析：（1）由题意易求得A 与B 的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB 的函数关系式； （2）由s=MN=NP ﹣MP ，即可得s=﹣t 2+
t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；
（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ，即可得方程：﹣t 2+t=，解方程即可求得t 的值，再分
别分析t 取何值时四边形BCMN 为菱形即可．
解答：解：（1）∵当x=0时，y=1，∴A （0，1），当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5， ∴B （3，2.5），设直线AB 的解析式为y=kx+b ，则：
，解得：
，
∴直线AB 的解析式为y=x+1；（2）根据题意得：s=MN=NP ﹣MP=﹣t 2+t+1﹣（t+1）=﹣t 2+
t （0≤t≤3）；
（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ，此时，有﹣t 2+t=，解得t 1=1，t 2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN 为平行四边形．
①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP ﹣MP=，又在Rt △MPC 中，MC=
，故MN=MC ，
此时四边形BCMN 为菱形，②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP ﹣MP=， 又在Rt △MPC 中，MC=
，故MN≠MC ，此时四边形BCMN 不是菱形．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用． 2、考点：二次函数综合题。分析：（1）由定点列式计算，从而得到b ，c 的值而得解析式； （2）由解析式求解得到点A ，得到AC ，CD ，AD 的长度，而求证； （3）由（2）得到的结论，进行代入，要使以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB ∥=EF ，那么只需将M 点的坐标向左或向右平移BF 长个单位即可得出P 点的坐标，然后将得出的P 点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P 点． 解答：解：（1）由题意得
，解得：b=2，c=﹣3，则解析式为：y=x 2+2x ﹣3；
（2）由题意结合图形，则解析式为：y=x 2+2x ﹣3，解得x=1或x=﹣3， 由题意点A （﹣3，0），∴AC=
，CD=
，AD=
，
由AC 2+CD 2=AD 2，所以△ACD 为直角三角形；
（3）若AB 为一边，则EF 平行且等于AB 等于4，则E 、F 的纵坐标相等，设F(X1,Y1)，则X1=-5 Y1=12或X1=3 Y1=12，
若AB 为对角线，则EF 也为对角线，因E 在对称轴上，根据平行四边形的性质，对角线平分，所以只有顶点D 符合。
因此F 点为（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）
综上所述：抛物线x 轴下方不存在点P ，使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．
3、答案：解：（1）∵抛物线的顶点为Q （2，-1）∴设()122
--=x a y
将C （0，3）
代入上式，得
()12032
--=a 1=a ∴()122
--=x y ， 即342+-=x x y
(2）分两种情况： ①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)
令y =0, 得0342=+-x x 解之得11=x , 32=x ∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)
∴P 1(1,0)
②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC= 90, ∴∠OAD 2= 45 当∠D 2AP 2= 90时, ∠OAP 2= 45, ∴AO 平分∠D 2AP 2 又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称. 设直线AC 的函数关系式为b kx y +=
将A(3,0), C(0,3)代入上式得
?
?
?=+=b b k 330, ∴???=-=31
b k ∴3+-=x y
∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,
∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x ) ∴(3+-x )+(342+-x x )=0
0652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)
∴当x =2时, 342
+-=x x y =32422+?-=-1
∴P 2的坐标为P 2(2,-1)(即为抛物线顶点)∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,-1)
(3)解: 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形
当点P 的坐标为P 2(2,-1)(即顶点Q)时,
平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F.
当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形∵P(2,-1), ∴可令F(x ,1)
∴1342=+-x x 解之得: 221-=x , 222+=x
∴F 点有两点,即F 1(22-,1), F 2(22+,1)
4、解：（1）令y=0，解得
11
x =-或
23
x =∴A （-1，0）B （3，0）；
将C 点的横坐标x=2代入
2
23y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1
（2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），
E （
2
(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，
PE=2
2
(1)(23)2x x x x x -----=-++
∴当
12x =
时，PE 的最大值=94 （3）存在
4
个这样的点
F ，分别
是
1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F --
5、解：⑴对称轴是直线：1=x ，点B 的坐标是(3,0)． ……2分． ⑵如图，连接PC ，∵点A 、B 的坐标分别是A (-1,0)、B (3,0)，
∴AB ＝4．∴．
AB PC 242
1
21=?==
在Rt △POC 中，∵O P ＝PA －OA ＝2－1＝1，
∴．PO PC OC 3122222=-=-=
∴b ＝．3 ………………………………3分 当01=-=，y x 时，，a a 032=+--
∴．a 3
3
=
………………………………4分 ∴．x x y 33
32332++-
= ………………5分 ⑶存在．……………………………6分
理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为),(y x M ．
①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ． 由⑵知，AB ＝4，∴|x |＝4，3=
=OC y ．∴x ＝±4．∴点M 的坐标为)3,4()3,4(-或M ．…9分
②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方．过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°．
∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．
∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO ． ∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．
∴点M 的坐标为(2,M ． ……………………………12分
综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为
123((2,M M M -．
6、解：（1）∵对称轴33
22
a x a =-
=-………1分又∵OC=3OB=3，0a >，∴C （0，－3）………2分 方法一：把B(1,0)、C(0，－3)代入2
3y ax ax c =++得：
330
c a a c =-??
++=? 解得：334a c ==-， ∴239
344y x x =+-…………………4分 方法二：∵B （1，0），∴A(-4，0)
可令(4)(1)y a x x =+- 把C(0，-3)代入得：34a =
∴3
(4)(1)4
y x x =+-………………4分 239
344
x x =
+- （2）方法一：过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N 。
∵ABC ACD ABCD S S S + 四边形＝＝15115
()2222
DM AN ON DM +??+=+＝……………5分 ∵A(-4，0)，C(0，-3)
设直线AC 的解析式为y kx b =+
代入求得：3
34
y x =
-……………6分 令239(3)44D x x x +-，，3
(3)4M x x --，
223393
3(3)(2)34444
DM x x x x =---+-=-++ …………7分
当2x =-时，DM 有最大值3
此时四边形ABCD 面积有最大值27
2
。…………8分
方法二：过点D 作DQ ⊥y 轴于Q ，过点C 作1CC ∥x 轴交抛物线于1C ，从图象中可判断当嗲D 在1CC 下方的抛物线上运动时，四边形ABCD 才有最大值。
则OBC DQC ABCD AOQD S S S S + 四边形梯形＝－=
311
(4)(3)222
DQ OQ DQ OQ +?+?-??- =33222OQ DQ ++ …………5分 令239
(3)44
D x x x +-， 则22
33933272(3)(2)244222
ABCD S x x x x -+--=-++四边形＝…………7分
当2x =-时，四边形ABCD 面积有最大值27
2
。…………8分
（3）如图所示，讨论：①过点C 作1CP ∥x 轴交抛物线于点1P ，过点1P 作11PE
∥AC 交x 轴于点1E ，此时四边形11ACPE 为平行四边形，…………9分
∵C(0，-3)令
239
3344
x x +-=-得： 1203x x ==，∴13CP =。∴1(33)P
--， 7、解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =（1分）∴A （-1，0）B （3，0）；（1分） 将C 点的横坐标x=2代入2
23y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）（1分） ∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1
（2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），（1分）
E （2
(,23)x x x --（1分）∵P 点在E 点的上方，PE=2
2
(1)(23)2x x x x x -----=-++（2分） ∴当12x =
时，PE 的最大值=9
4
（1分） （3）存在4个这样的点F ，当AF 为平行四边形的边时：123(1,0),(3,0),(47),(47)F F F F -+-
当AF 为平行四边形的对角线时：1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F -+-
8．解：（1）A （-1，0），B （3，0），C （0，3）． ··································································· 2分
抛物线的对称轴是：x =1． ···························································································· 3分
（2）①设直线BC 的函数关系式为：y=kx+b ．
把B （3，0），C （0，3）分别代入得：
303k b b +=??=?，
解得：k = -1，b =3． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当x =1时，y = -1+3=2，∴E （1，2）． 当x m =时，3y m =-+，
∴P （m ，-m +3）． ······································································································ 4分
在2
23y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，．
当x m =时，2
23y m m =-++，∴()
223F m m m -++，． ··················································· 5分
∴线段DE =4-2=2，线段()2
2
2333PF m m m m m =-++--+=-+． ································ 6分
∵PF DE ∥， ∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=，解得：1221m m ==，（不合题意，舍去）．
因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形． ······························································ 7分
②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()()3000B O ，，，，可得：3OB OM MB =+=．
∵BPF CPF S S S =+△△．即1111
()2222
S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =
+=+= ． ∴()()22139
3303222
S m m m m m =?-+=-+≤≤．
························································ 9分 9.解：（1）42 ；()2,4. …………………（2分）
（2）在直角梯形OABC 中，OA =AB =4，90OAB ∠= ∵ CB ∥OA ∴ △OAM ∽△BCM ………（3分） 又 ∵ OA =2BC ∴ AM ＝2CM ，CM ＝3
1
AC ………………（4分） 所以1
118
443
323
OCM OAC S S ??=
=???= ………（5分） （注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.） （3）设抛物线的解析式为()2
0y ax bx c a =++≠ 由抛物线的图象经过点()0,0O ,()4,0A ,()2,4C .所以
??
?
??=++=++=42404160
c b a c b a c ……………………………（6分）
解这个方程组，得1a =-，4b =，0c = ………………（7分）
所以抛物线的解析式为 2
4y x x =-+ ………………（8分） （4）∵ 抛物线2
4y x x =-+的对称轴是CD ，2x =
① 当点E 在x 轴的下方时，CE 和OA 互相平分则可知四边形OEAC 为平行四边形，此时点F 和点C 重合，
点F 的坐标即为点()2,4C ； …（9分）
② 当点E 在x 轴的下方，点F 在对称轴2x =的右侧，存在平行四边形AOEF ，OA ∥EF ，且O A E F =，
此时点
F
的横坐标为
6，将6x =代入2
4y x x =-+，可得12y =-.所以
()6,12F -.
………………………………………（11分） 同理，点F 在对称轴2x =的左侧，存在平行四边形OAEF ，OA ∥FE ，且OA FE =，此时点F 的横坐标为2-，将2x =-代入2
4y x x =-+，可得12y =-.所以()2,12F --.（12分）
综上所述，点F 的坐标为()2,4，()6,12-(),2,12--. ………（12分） 10、解：（1）根据题意，得
4203660a c a c -+=??
++=?解得143
a c ?=-
???=? ························ 3分 ∴抛物线的解析式为21
34
y x x =-++ ·
·········· 4分 顶点坐标是（2，4）（2）(43)D ，……………………………………6分 设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠
直线经过点(20)A -，、
点(43)D ， 20
43
k b k b -+=?∴?+=?……………………………………7分 121
k b ?
=
?∴??=?112y x ∴=+ ·
············································································································· 9分 （3）存在．
120)Q
，
2(2)Q -，
03(6Q -
4(6Q +
二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、（2013河南）如图，抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点，其 中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE x ⊥轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解答】（1）∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C，D 7 (3,) 2
∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时，2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=，解得：121,2m m == 即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ，解得：123322 m m += =（舍去） 即当132 m += 时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）， 与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；
第24题 二次函数综合题 类型1 二次函数与特殊三角形判定 1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3a (a >0)经过点A (－1，0)、C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D . (1)求此二次函数解析式； (2)连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1题图 (1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3a 的图象经过点A (－1，0)、C (0， 3)， ∴根据题意，得?????a －b －3a ＝0－3a ＝3 ， 解得?????a ＝－1b ＝2 ， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)证明：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得，点D 的坐标为(1，4)，点B 的坐标为(3，0)， 如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ， ∵D (1，4)，B (3，0)，C (0，3)，
∴OC ＝OB ＝3，DE ＝4，BE ＝2，CF ＝DF ＝1， ∴CD 2＝CF 2＋DF 2＝2，BC 2＝OC 2＋OB 2＝18，BD 2＝DE 2＋BE 2＝20， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2， ∴△BCD 是直角三角形； 第1题解图 (3)解：存在． 抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为直线x ＝1. i )如解图，若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ， 设点P 1的坐标为(x ，y )，根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2＋(3－y )2，P 1D 2＝(x －1)2＋(4－y )2， ∴x 2＋(3－y )2＝(x －1)2＋(4－y )2， 即y ＝4－x . 又∵P 1(x ，y )在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上， ∴4－x ＝－x 2＋2x ＋3， 即x 2－3x ＋1＝0， 解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52<1(舍去)， ∴x ＝3＋52，
二次函数（平行四边形） 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？ （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ 解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1， 把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， ∴=，即：=， ∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m2+m+4， ∴y=﹣?++4， ∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4， ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4， 把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： ﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： m+4=﹣m2+m+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．
二次函数中的平行四边形存在性问题（两定两动型） 教学设计 旬阳县城关一中黄涛 目标：1、通过典型例题及其变式训练，进一步巩固二次函数中的平行四边形及特殊平行四边形存在性问题的解题思路和方法，体会数形结合和分类讨论思想的应用过程。 2、通过本节课的学习，感受一题多解的过程及方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。 重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。 难点：根据条件求平行四边形的顶点中动点坐标的求解。 过程： 一、典型例题 如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0， 5 2 ）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 问题1：如何用待定系数法确定适当的解析式形式？ ①抛物线上已知三点，可用一般式y=ax2+bx+c； ②因为在已知的三点中，A、B两点为抛物线与x轴交点，则可用交点式y=a(x-x 1)(x-x 2 )。 问题2：如何借助一定的方法通过画图的方式找到M、N点？ 先确认已知点A、C，连接AC，根据四边形顶点的无序性利用分类讨论思想分别以AC为边和以AC为对角线两种情况进行作图讨论，作图依据平行四边形对边平行且相等的性质进 行。 问题3：通过怎样的方法和手段获取点N的坐标？ 可利用以下四种方法或依据得出符合条件点N的坐标。①依据对称性求点N坐标②利用三角形全等及数形结合思想求点N坐标③依据平行四边形对边平行且相等利用平移求点N坐
标④依据抛物线解析式设点N 坐标为（m N 点与C 点纵坐标相等的原则列得绝对值方程，将所有符合条件的点N 及其坐标完全覆盖得解，注意取舍（这是本题最简方法）。 解：（1）解法1：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5) （a ≠0），将C （0，52 -）代入得： a(0+1)(0-5)=52- 解得：a=21 ∴二次函数的解析式为：y=21 (x+1)(x-5)即解法2：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a ≠0）， ∴ ， 解得 . ∴抛物线的解析式为： y= (2)解法1：存在，理由如下： ①以AC 为边时，当N 点位于x 轴下方时，若四边形ACNM 为平行四边形，则CN ∥AM ∴N 与C 纵坐标相等 ∴点N 与点C 关于抛物线对称轴直线x=2对称 ∴N （4，52-） 当点N 在x 轴上方时， 如图，过点N2作N2D ⊥x 轴于点D ， 在△AN2D 与△M2CO 中，
备战2020年中考数学压轴题之二次函数 专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定 【方法综述】 知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下：平行四边形的判定方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 矩形判的定方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 菱形判定方法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是矩形 正方形的判定方法 平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性 解答时常用的技巧： （1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法： 已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。 如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得 a+m=c+e，n+b=d+f
则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。 （2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。 （3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。 【典例示范】 类型一平行四边形的存在性探究 例1：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标． 【答案】（1）y＝1 2 x2＋x－4；（2）当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（3）满足题意的Q点的坐标有三 个，分别是（－2＋2－，（－2－2＋，（－4，4）. 【思路引导】 （1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；
72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合压轴题专题汇编 一．二次函数与四边形的形状 例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A
练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为 (34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '． （1）求抛物线2l 的函数关系式； （2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30 的直角三角形？若存， 求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -， ，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1 C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于 C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的 面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写 出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． 5- 4- 3- 2- 1- 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C ' 1- O 2l 1l x y
二次函数综合（动点与三角形）问题 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。 （1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形； （3）抛物线上的点能否构成相似三角形； 解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】 例一．（2013?地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式； （2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算； （3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论， ①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案． 解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴可得A（1，0），B（0，﹣3）， 把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，
解得：． ∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3． （2）令y=0得：0=x2+2x﹣3， 解得：x1=1，x2=﹣3， 则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4， 故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6． （3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意： 讨论： ①当MA=AB时，， 解得：， ∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）； ②当MB=BA时，， 解得：M3=0，M4=﹣6， ∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）， ③当MB=MA时，， 解得：m=﹣1， ∴M5（﹣1，﹣1）， 答：共存在五个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6），M5（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形． 点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解． ㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】 例二．（2013）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
专题：二次函数中的平行四边形存在性问题 类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标； （2）求过A、B、C 三点的圆的半径； （3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3 64 y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、， 将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ， 为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围. 【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90?得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值； ⑵ 点A 位置改变时，AMH ?的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由． 【例3】 如图1，Rt ABC ?中，90A ∠=?，3 tan 4 B = ，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图 象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长； （2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． R Q B C A 二次函数与平行四边形综合
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（ x1，y），Q（x2，y） x 1x 2 x 2 (1) 线段对称轴是直线 (2)AB 两点之间距离公式：PQ(x1x2 ) 2( y1 y2 )2 中点公式：已知两点P x 1 , y 1 x1 x 2 , y 1y2 ,Q x2 ,y 2，则线段 PQ的中点 M为22。 Q P G O 2 、两直线的解析式为y k 1 x b 1 与y k 2 x b2 如果这两天两直线互相垂直，则有k1k21 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1L2 ：y=k2x+b2 （1）当 k1=k2， b1≠b2，L1∥ L2 （2）当 k1≠ k2，，L1 与 L2 相交 （3）K1×k2= -1时，L1 与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于 45°。判定： 具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三 角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是 60°的等腰三角形是等 边三角形。 总结：（ 1）已知 A、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求 的点（不与 A、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上 （2）已知 A、B 两点，通过“两线一圆” 可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径 AB垂直的直线上。 （二）关于等腰三角形找点（作点）和求点的不同， 1、等腰三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构 成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出三点间的线段长度，然后分 顶点进行讨论， 如：已知两点 A、B，在抛物线上求一点 C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即AB=AC（2）以点B为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （ 3）以点 C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 如：已知两点 A、 B，在抛物线上求一点C，使得三角形 ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的距离公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，（1）以点 A 为顶点的两条腰相等，即 AB=AC （2）以点 B 为顶点的两条腰相等，即 BA=BC （3）以点 C 为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标 第四步，进行检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。 （三）关于直角三角形找点和求点的方法 1、直角三角形找点（作点）方法：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图 上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分 别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以已知边为直径，以已知 边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。 2、具体方法 （ 1） k1 k21； （2）三角形全等（注意寻找特殊角，如 30°、 60°、 45°、 90 °） （3）三角形相似；经常利用一线三等角模型 （4）勾股定理； 当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法三、二 次函数的应用：
二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点
分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，
A B M 1 M 3 在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两 组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形。 1、知识容： 已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图△ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对 平行四边形的存在性问题 知识结构 知识精讲 模块一：已知三点的平行四边形问题 知识概述 平行四边形的存在性问题 已知三点的平行四边形问题 存在动边的平行四边形问题
边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M点）． 2、解题思路： （1）根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2）用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3）更换顶点，求出所有可能的点； （4）根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．例题解析 【例1】如图，抛物线y＝x2＋bx－c经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC︰S△ACD＝5 ︰4的点P的坐标； （3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、 D为平行四边形的点M的坐标．
【例2】如图，已知抛物线y＝ax2＋3ax＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），点B的坐标为(1, 0)，tan∠OBC＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以 A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，若存 在，写出点P的坐标； （3）抛物线的对称轴与AC交于点Q，说明以Q为 圆心，以OQ为半径的圆与直线BC的关系．
二次函数与特殊四边形判定 ★1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ， D 是抛物线W 的顶点. (1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线 W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标； (2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
★2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(－1，0)、B(0，1)，且与x轴有唯一交点. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式； (2)若将(1)中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D(点C在点D的左边)，当∠CBD＝90°时，求m的值； (3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E，使以C、D、B、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
★3.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′. (1)求抛物线的表达式； (2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积； (3)是否存在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点在过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由.
★4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABE的边AB在x轴上，A(－1，0)，OB＝4OA，OE＝2，抛物线C经过△ABE的三个顶点． (1)求抛物线C的表达式； (2)将抛物线C向下平移m个单位得到抛物线C′，使抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M，试求点M的坐标及m的值； (3)若点P是抛物线C′上一点，Q是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第4题图
二次函数中的平行四边形存在性问题 目标：1、通过本节课的学习，提高学生分析问题，解决问题的能力。 2、能总结出解决平行四边形存在性问题的一般方法和思路。重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。 难点：根据条件求平行四边形的顶点坐标。 过程： 一、复习 1、平行四边形的性质 角： 边； 对角线： 2、二次函数的相关知识点 表达式、顶点坐标、对称轴、增减性 二、探索新知 1、単动点（知3点求1点） （1）已知平面上有不在同一条直线上的三点A、B、C，点D是平面上任一点，若此四点能构成平行四边形则符合条件的D点有几个？ （）
学生画图说明 思考：如何找第四点？找第四点的方法？ (2)类题 （1）已知抛物线与坐标轴分别交于A（-1、0）、B （3、0）、C （0、3）三点，能否在平面内在找一点D使得它们四点围成的四边形为平行四边形？ 学生分析总结规律、思路。 ①、根据平行四边形的边、对角线的性质（对边平行且相等， 对角线互相平分）我们可以选择一种情况作为画图的依据。 ②、在求点的坐标时（以边为例）我们先满足对边平行再用对 边相等求出要求的点的坐标。
2、 双动点（知2点求2点） （1） 学生再次画图说明（给出两点画出另外两点） （2）类题 如图，抛物线y= 13 x 2-mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0．-1）．且对称轴x=l ． ① 求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标； ② 点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标。
点A，点B是定点 点P，点Q是动点 分两种情况：AB为边，AB为对角线 3、小结 4、布置作业 5、
●探究 （1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F。 ①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________； ②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________； （2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程； ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=___________；（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A，B。 ①求出交点A，B的坐标； ②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。
图 2 图 3 图1 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点 数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1,y 1)，点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(221x x +,2 21y y +). 证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ，得x P = 2 21x x +，同理y P =221y y +，所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +). 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D )，则：x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 证明： 如图2，连接AC 、BD ，相交于点E ． ∵点E 为AC 的中点， ∴E 点坐标为(2C A x x +,2 C A y y +). 又∵点E 为B D 的中点， ∴ E 点坐标为( 2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 2 一个基本事实，解题的预备知识 如图3，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB 为对角线的□ACBD 1，以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ．
网课：二次函数中特殊四边形的存在性问题 学习目标： 1、通过二次函数中的特殊四边形存在性问题的探究、学习，获取解决这类问题的基本方法；经历解决二次函数中的特殊四边形存在性问题的探索过程，培养学生的理解能力，抽象能力，能正确认识问题的本质，提高知识迁移能力，积累解决问题的经验，感受数学知识对解决问题的价值； 2、通过函数中的特殊四边形存在性问题的解决，渗透“转化”、“分类”、“方程”、“数形结合”等数学思想，并在问题解决中体验成功的快乐，感受数学的魅力. 学习重点：利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”. 学习难点：从复杂的函数背景中提炼问题的本质，利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”. 背景问题： 如图，抛物线中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上， OC=3，点D是直线AC与抛物线的交点。 问题一：在平面内是否存在一点B，使得以A、B、O、D为顶点的 四边形是平行四边形? 若存在，请直接写出B点的坐标；若不存在，请说明理由。 归纳：_________________________________________________ 问题二：若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由; （备图1）（备图2） 归纳： _____________________________________________________________________________
问题三：若点E（2,3）在抛物线上，点F、P在直线AC上，当EF所在直线与x轴垂直时，平面内是否存在一点Q，使得以点E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由; （备图1）（备图2） 归纳： ______________________________________________________________________________ 问题四：点是直线AC上一点，若点N是平面内一点，M是抛物线对称轴上的一点，是否存在一点M使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由． 归纳： _______________________________________________________________________
第十八讲二次函数与平行四边形综合 一、教学内容 1.二次函数的表示 , 二次函数图像与性质； 2.平行四边形的性质和判定； 3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题； 二、例题细看 【例 1】已知：如图，在平面直角坐标系 将OBA 对折，使点O的对应点xOy 中，直线 y 3 与 x 轴、y轴的交点分别为 A、B ， x 6 4 H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点C. （ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式； （ 2）若抛物线的顶点为 D ，在直线BC上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （ 3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T ，Q 为线段BT上一点，直接写出 QA QO 的取值范围 . 【考点分析】二次函数综合题 y B H 1 O1 C A x D T 【PEC分析】（ 1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（ 8， 0）； 点B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（ 0， 6）； 由题意得： BC是∠ ABO的角平分线，所以OC=CH， BH=OB=6 ∵AB=10，∴ AH=4，设 OC=x，则 AC=8-x 由勾股定理得： x=3 ∴点 C 的坐标为（ 3， 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；
（ 3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH| ．当点 Q与点 B 重合时， Q、 H、 A 三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为 AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线 BC的交点为 K，当点 Q与点 K 重合时， |QA-QO|取得最小值 0． 【跟踪练习】例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线y x22x 3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 l 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （ 1）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （ 2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A 、C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由． A 【例 2】如图，点O是坐标原点，点A(n ，0) 是 x 轴上一动点(n 0) .以 AO 为一边作矩形AOBC ，点C在第二象限，且OB 2OA ．矩形AOBC 绕点 A 逆时针旋转90 得矩形AGDE ．过点 A 的直线 y kx m ( k 0) 交y轴于点F，FB FA ．抛物线y ax 2bx c 过点E、F、G且和直线AF 交于点 H ，过点 H 作 HM x 轴，垂足为点M ． ⑴求 k 的值； ⑵点 A 位置改变时，AMH 的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由． y C B D G M F E A O x H 【 PEC分析】（ 1 ）由题意知O B=2OA=2n，在直角三角形AEO 中， OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF 的表达式，也就求出了FB 的长，由于 F 的坐标为（ 0 ， m ）据此可求出m ， n 的关系式，可用 n 替换掉一次函数中m 的值，然后将 A 点的坐标代入即可求出k 的值． （ 2 ）思路同（ 1）一样，先用n 表示出 E、 F、 G 的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出 a ，b ， c 与n 的函数关系式，然后用n 表示出二次函数的解析式，进而可用n 表示出 H 点的坐标，然后求出△AMH