二次函数与平行四边形的综合问题
知识点 二次函数综合;平行四边形的性质及判定; 教学目标 1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题 2.灵活运用数形结合思想
教学重点 巧妙运用数形结合思想解决综合问题; 教学难点
灵活运用技巧及方法解决综合问题;
平行四边形的判定与性质
1. 定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质:①平行四边形两组对边分别平行; ②平行四边形两组对边分别相等; ③平行四边形两组对角分别相等; ④平行四边形的对角线互相平分;
3. 判定:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ④对角线互相平分的四边形是平行四边形; ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 知识讲解
考点1 二次函数的基础知识
1.一般地,如果y=ax 2
bxc (a ,b ,c 是常数且a ≠0那么y 叫做x 的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.当b=c=0时,二次函数y=ax 2是最简单的二次函数.
2.二次函数y=ax 2
bxc (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的三种表达形式分别为:一般式:y=ax 2
bxc ,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;顶点式:y=a (x -h )2
k ,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;交点式:y=a (x -x 1)(x -x 2通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2才能
求出此解析式;对于y=ax 2
bxc 而言,其顶点坐标为(-2b a
,244ac b a ).对于y=a (x -h )2
k 而言
其顶点坐标为(h ,k?由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:开口方向,对称轴,顶点.
考点2 探究平行四边形的一般思路
在探究平行四边形的存在性问题时,具体方法如下:
(1)假设结论成立;
(2)探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点,再去求另外一个顶点,具体方法有两种:
第一种是:①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形;②根据题干要求找出符合条件的平行四边形;
第二种是:①以给定的3个定点两两组合成3条线段,分别以这3条线段为对角线作出平行四边形;
②根据题干要求找出符合条件的平行四边形;
(3)建立关系式,并计算;根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后,可以利用平行四边形的性质进行计算,也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算,要具体情况具体分析,有时也可以利用直线的解析式联立方程组,由方程组的解为交点坐标的方法求解。
例题精析
例1如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△MAB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
例2如图,抛物线322
++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧与y 轴相交于点C ,顶点为D .
(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连结BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,点P 为线段BC 上的一个动点,过点P 作PF DE 交抛物线于点F ,设点P 的横坐标为m .
①用含m 的代数式表示线段PF 的长,并求出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形? ②设△BCF 的面积为S ,求S 与m 的函数关系.
例3如图,抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2.
(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式;
(2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值; (3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由.
A
例4如图,抛物线y=ax2bxc交x轴于点A(3,0点B(1,0交y轴于点E(0,3点C是点A关于点B 的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行,直线y=xm过点C,交y轴于点D. (1)求抛物线的函数表达式;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N 的坐标.
课程小结
有针对性的对平行四边形的性质及判定与二次函数的基础知识进行复习,有助于为研究二次函数与平行四边形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与平行四边形的综合问题时,抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出平行四边形,并能运用平行四边形的性质解决问题,掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。
例1规范解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A(-4,0)、C(2,0)两点,设y =a(x +4)(x -2).代入点B(0,-4),求得12
a =
. 所以抛物线的解析式为211
(4)(2)422
y x x x x =+-=+-. (2)如图2,
直线AB 的解析式为y =-x -4.过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ,那么
2211
(4)(4)222
MD m m m m m =---+-=--.
所以2142
MDA MDB S S S MD OA m m ??=+=?=--2
(2)4m =-++.因此当2m =-时,S 取得最大
值,最大值为4.
(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况讨论:
当OB 为一边时,那么PQ OB ,PQ =OB =4.设点Q 的坐标为(,)x x -,点P 的坐标为2
1(,4)2
x x x +-. ①当点P 在点Q 上方时,21(4)()42
x x x +---=.解得225x =-±.
此时点Q 的坐标为(225,225)-+-(如图3或(225,225)--+(如图4). ②当点Q 在点P 上方时,21()(4)42
x x x --+-=.
解得4x =-或0x =(与点O 重合,舍去).此时点Q 的坐标为(-4,4) (如图5).
图3 图4 图5
当OB 为对角线时,PQ 、OB 互相平分,PB OQ (如图6此时点Q 的坐标为(4,-4)
图6
总结与反思
1.求抛物线的解析式,设交点式比较简便.
2.把△MAB 分割为共底MD 的两个三角形,高的和为定值OA .
3.当PQ 与OB 平行且相等时,以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形,按照P 、Q 的上下位置关系,分两种情况列方程.
例2规范解答(1)A (-1,0B (3,0C (0,3).抛物线的对称轴是x =1. (2)①直线BC 的解析式为y =-x +3.
把x =1代入y =-x +3,得y =2.所以点E 的坐标为(1,2).
把x =1代入322
++-=x x y ,得y =4.所以点D 的坐标为(1,4).因此DE=2.
因为PF D E ,点P 的横坐标为m ,设点P 的坐标为)3,(+-m m ,点F 的坐标为
)32,0(2++-m m ,
因此m m m m m FP 3)3()32(2
2
+-=+--++-=.
当四边形PEDF 是平行四边形时,DE=FP .于是得到232=+-m m .解得21=m ,12=m (与点E 重合,舍去).
因此,当m=2时,四边形PEDF 是平行四边形时. ②设直线PF 与x 轴交于点
M ,那么OMBM=OB=3.因此
BM FP OM FP S S S S CPF BPF BCF ?+?=
+==???2
1
21 m m m m 2
9
233)3(2122+-=?+-=.m 的变化范围是0≤m ≤3.
图2 图3
总结与反思
1.数形结合,用函数的解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长. 2.当四边形PEDF 为平行四边形时,根据DE=FP 列关于m 的方程. 3.把△BCF 分割为两个共底FP 的三角形,高的和等于OB .
例3规范解答解:(1)令y=0,解得x 1=﹣1或x 2=3,∴A (﹣1,0B (3,0将C 点的横坐标x=2,
代入y=x 2
﹣2x ﹣3,得:y=﹣3,∴C (2,﹣3);∴直线AC 的函数解析式是:y=﹣x ﹣1;
(2)设P 点的横坐标为x (﹣1≤x ≤2则P 、E 的坐标分别为:P (x ,﹣x ﹣1E (x ,x 2
﹣2x ﹣3 ∵P 点在E 点的上方,PE=(﹣x ﹣1)﹣(x 2
﹣2x ﹣3)=﹣x 2
x2=﹣(x ﹣12)294,∴当x=1
2
时,PE 的最大值=
9
4
; (3)存在4个这样的点F ,分别是:F 1(1,0F 2(﹣3,0F 3(47,0F 4(4﹣7,0).
①如图1,
连接C 与抛物线和y 轴的交点,那么CG ∥x 轴,此时AF=CG=2,因此F 点的坐标是(﹣3,0);
②如图2,
AF=CG=2,A 点的坐标为(﹣1,0因此F 点的坐标为(1,0);因此F 点的坐标为(1,0);
③如图3,
此时C ,G 两点的纵坐标关于x 轴对称,因此G 点的纵坐标为3,代入抛物线中,即可得出G 点的坐标为(1±7,3
由于直线GF 的斜率与直线AC 的相同,因此可设直线GF 的解析式为:y=﹣xh ,将G 点代入后, 可得出直线的解析式为:y=﹣x7.因此直线GF 与x 轴的交点F 的坐标为:(47,0);
④如图4,
同③可求出F 的坐标为:(4﹣7,0);综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F 点. 总结与反思
1. 抛物线2
23y x x =--与x 轴的交点即为A 和B ,再将A 和C 带入求解直线方程。
2. 将点P 和点E 坐标设出后,求解最大值。
3. 将已知AC 边作为边或者对角线分类讨论求出点坐标。 例4规范解答(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x1)(x3).
∵抛物线交y 轴于点E (0,3将该点坐标代入得a=1,∴抛物线的函数表达式为y=(x1)(x3)=xx3. (2) ∵点C 是点A 关于点B 的对称点,点A 的坐标为(3,0点B 的坐标(1,0∴点C 的坐标(5,0). 将点C 的坐标代入y=xm,得m=5,∴直线CD 的函数表达式为y=x5.
设K 点的坐标为(t,0),则H 点坐标为(t,t5),点G 的坐标为(t,tt3).
∵点K 为线段AB 上一动点,∴3≤t ≤1.∴HG=(t5)(tt3)=t 2
3t8=(t 23)24
41. ∵3≤t ≤1. ∴当t=
23时,线段HG 的长度有最大值4
41. (3)∵点F 是线段BC 的中点.点B (1,)点C (5,0∴点F 的坐标为(3,0∵直线l 过点F 且与y 轴平
行,
∴直线l 的函数表达式为x=3,∵点M 在直线l 上,点N 在抛物线上,∴设点M 的坐标为(3,m ),点N 的坐标为(n,nn3).
∵点A (3,0点C (5,0). ∴AC=8. 分情况讨论:
①若线段AC 是以点A,C,M,N 为顶点的平行四边形的边,则须MN ∥AC,且MN=AC=8,当点N 在点M 的左侧时,MN=3n ,∴3n=8,解得n=5,∴点N 的坐标为(5,,1);当点N 在点M 的右侧时,MN= n3, ∴n3=8,解得n=11,∴点N 的坐标为(11,140).
②若线段AC 是以点A,C,M,N 为顶点的平行四边形的对角线,由“点C 是点A 关于点B 的对称点”知:点M 与点N 关于点B 中心对称,取点F 关于B 的对称点P ,则P 的坐标为(1,0过P 作NP ⊥x 轴,交抛物线于点N ,
将x=1代入y=xx3.得y=4,过点N ,B 作直线NB 交直线l 于点M ,
在△BPN 与△BFM 中,∠NBP=∠MBF ,BF=BP ,∠BPN=∠BFM=90°,∴△BPN ≌△BFM, ∴NB=MB. ∴四边形ANCM 为平行四边形,
∴坐标为(1,4)的点N 符合条件.
∴当N 点的坐标为(5,12(11,140(1,4)时, 以点A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形.
总结与反思
1. 用交点式表示出二次函数的表达式,再将抛物线与y轴的交点坐标代入求得a的值,得出二次函数的表达式;
2. H、G的横坐标相同,用一字母t表示出H、G两点的坐标,其长度就是两点纵坐标之差,这样得到长度关于t的二次三项式,结合t的取值范围,求的HG的最大值;
3.要分AC是对角线和边两种情况来讨论,AC为边时,点M、N的左右位置不一样,结果又不一样,考虑要周到,运算一定要仔细.
教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初中数学二次函数专题复习教案 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。 〖大纲要求〗 1.理解二次函数的概念; 2.会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象; 3.会平移二次函数y=a x2 (a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax +m)2 +k 的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想; 4.会用待定系数法求二次函数的解析式; 5.利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 (1)二次函数及其图象 如果y=ax 2+bx+c (a,b ,c 是常数,a ≠0),那么,y叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。 (2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx +c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --,对称轴是a b x 2-=,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。 抛物线y =a (x+h)2+k(a ≠0)的顶点是(-h ,k ),对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y =(m-2)x2+m 2-m-2额图像经过原点, 则m 的值是 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数y =k x+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y =kx 2+bx -1的图像大致是( ) y 0 -1 x 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 【教学重点、 对二次函数概念的理解; 1)y=2x+1 (2)y=-x-4 (3)y= s=-2t-4 与半径之间的关系式是 。 y= ( 【巩固新知】 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=x 2 (2)y=2 1x - (3)y=x (1-x ) (4)y=(x-1)2-x 2 2、下列函数关系式中一定是二次函数的是( ) A 、y=2x B 、y=mx 2 C 、21x y = D 、y=(a 2+1)x 2 -ax+a (a 是常数) 3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个. y=(3x-1)2 -9x 2 y=(x+2)2 -4x y=x 2 x 1- y=ax 2 +bx+c x x y 3 = y=65121352-+-x x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5化成一般形式写出各项系数。 1、写出下列各问题中的函数关系式并指出自变量的取值范围: (1)正方形面积y 和边长x : ; (2)边长为3的正方形,边长增加x 时面积增加y ,则y 与x 关系: ; (3)等边三角形的面积S 与半径之间的函数关系: ; (4)圆心角120°扇形面积S 与半径r 之间的关系式: 练习、篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 2、已知二次函数y=-x 2 +bx+3当x=2时y=3.求二次函数的解析式 练习:已知二次函数y=ax 2 +bx +c ,当x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a 、b 、c ,并写出函数解析式。 【拓展升华】 1. 关于x 的函数y=(m+1)m m x -2是二次函数,求m 的值. 如果它是二次函数,则m+1应该 0,m 2 -m= ,所以m= 注意:二次函数的二次项系数不能为零 2. 若函数2 31--+=m m 2)x (m y 为二次函数求m 的值。 个性化教学辅导 设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 1.抛物线y =x 2 +2x -2的顶点坐标是 ( ) A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c >0 D.ab <0,c <0 C A E F B D 第2,3题图 第4题图 3.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0,b <0,c >0 B .a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b >0,c >0 二次函数的图象与性质 (第一课时) 【教学目标】 知识与技能 通过复习,掌握二次函数 y=ax2+bx+c图象与性质;掌握二次函数解析式求解方法和思路,提高学生的思维能力。 过程与方法 通过二次函数的相关基础知识的复习,培养学生对知识的整合能力和分析问题的能力。 情感态度与价值观 通过复习,激发学生兴趣,感受数学之美。在教学中渗透美的教育,渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索与创造,体验成功的喜悦。 【教学重点】 掌握二次函数y=ax2+bx+c图象与性质。 【教学难点】 会利用二次函数的图象及性质解题,掌握数形结合的思想方法。 【教学方法】 提问法,练习法,总结法 【教学准备】多媒体课件、作图工具 【课型】复习课 【教学过程】 一、创设情境,引入新课 函数问题作为初中数学的重点和难点,在实际生活中有着广泛的应用。二次函数更是历年中考的必考题和压轴题,本节课我们就共同来复习一下二次函数的图像和性质。 二、自主探究,合作交流 第一关知识要点说一说 (一)二次函数的概念 形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。 请你写一个二次函数的解析式。 学生口述教师板书解析式。 课件展示问题: 下列函数中,哪些是二次函数? 1.y=x2 2. 3.y=x-x2 4. 5.y=x2+2x-4 学生口述,教师及时总结归纳。 二次函数的图象是一条抛物线。 利用课件展示图象草图。 1 2- + =x x y x x y 1 2- = 2当x 时,y 随x 的增大而增大, 当x 时,y 随x 的增大而减小, 当x 时,y 有最大值。 (三)用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数解析式时,如果已知抛物线上三点,用 式;如果已知抛物线的顶点坐标,用式;如果已知抛物线与x 轴的交点,用式。 利用课件展示问题。介绍求二次函数解析式的方法。 第二关 基础题目轮一轮 1.二次函数y=x 2 +2x+1写成顶点式为: 对称轴为_____,顶点为______。 2.已知二次函数y= - x 2 +ax-5的图象的顶点在y 轴上,则a=___。 第三关 典型例题显一显 例1已知二次函数y =x 2-4x +3. (1) 用配方法求其图象的顶点C 的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的变化情况; (2)求函数图象与x 轴的交点A ,B 的坐标及△AB C 的面积. 学生小组交流统一答案,学习好的帮扶学习差的,组长安排好组员代表本组进行班级展示; 解:(1)y =x 2-4x +3=x 2-4x +4-1 =(x -2)2-1, ∴其图象的顶点C 的坐标为(2,-1), ∴当x≤2时,y 随x 的增大而减小;当x>2时,y 随x 的增大而增大. (2)令y =0,则x 2-4x +3=0,解得x 1=1,x 2=3. ∴当点A 在点B 左侧时,A(1,0),B(3,0); 当点A 在点B 右侧时,A(3,0),B(1,0). ∴AB =2,过点C 作CD ⊥x 轴于点D , 则△ABC 的面积=12AB ·CD =?1 2 ×2×1=1. 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0初中数学二次函数专题复习教案
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