72
x =
B(0,4)
A(6,0)
E
F
x
y
O
二次函数与四边形
一．二次函数与四边形的形状
例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A
点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中 C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ， 使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线7
2
x =的抛物线经过点A （6，0）和 B （ 0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？
②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，
和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．
A
（1）求抛物线2l 的函数关系式；
（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30o 的直角三角形？若存，求
出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点
M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形
MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，
并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，
并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
二．二次函数与四边形的面积
例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在
x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC x … -3 -2 1 2 …
y
…
-5
2
-4
-52
0 …
5-
4- 3- 2- 1- 1
2 3 4 5
5
4
3
2
1 A
E
B
C '
1- O 2l 1l
x
y
(1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，
求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延
长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的
取值范围.
练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG 的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A B C
→→方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A D
→方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2
cm
y．（1）当01
x
≤≤时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
图10
（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运
动停止时POQ ∠的变化范围；
（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．
练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为
对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D . (1) 求l 2的解析式；
(2) 求证：点D 一定在l 2上；
(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值
.
三．二次函数与四边形的动态探究 例1.(
荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，
3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合． (1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
B C
P
O D Q
A B
P
C
O
D
Q
A
y
3
2 1 O
1 2 x
例2.（2007年沈阳市第26题）、已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写 出自变量m 的取值范围； （4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由． 例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积， S '表示矩形NFQC 的面积． （1） S 与S '相等吗？请说明理由． （2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ?是等腰三角形． 图2 O C A B x y D P E F 图1 F E P D y x B A C O x M P H E D B A P M H E D C B A 练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点 M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点 （填M 或N ）能到达终点； （2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大； （3）是否存在点M ，使得△AQM 练习2..(江西省) 25．实验与探究 （1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的 顶点C 的坐标，它们分别是(52)， ， ， ； （2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）； x 图1 x 图2 x 图3 图12 (第25题图②) 归纳与发现 （3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）； 运用与推广 （4）在同一直角坐标系中有抛物线2 (53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ???? - ? ????? ，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并 求出所有符合条件的P 点坐标． 练习3.(武汉市) 如图①，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点C 。 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形？若存在，求点P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，E 为BC 延长线上一动点，过A 、B 、E 三点作⊙O ’，连结AE ，在⊙O ’上另有一点F ，且AF ＝AE ，AF 交BC 于点G ，＋BF 的值不变；② AG BG AF BF = 个成立， 的结论。 ) x 图4 答案： 一．二次函数与四边形的形状 例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x = ∴A （-1，0）B （3，0）； 将C 点的横坐标x=2代入2 23y x x =--得y=-3，∴C （2，-3） ∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2 (,23)x x x -- ∵P 点在E 点的上方，PE=2 2 (1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x = 时，PE 的最大值=94 （3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是7 2 x = 把A 、B 两点坐标代入上式，得 227(60,27(0 4. 2 a k a k ?-+=??? ?-+=?? 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725 (326 y x = -- ，顶点为725 (,26 - （2）∵点(,)E x y 22725 (326 y x =--， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离． ∵OA 是OEAF Y 的对角线， ∴2 1 72264(2522 OAE S S OA y y ==???=-=--+V ． 因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6． ① 根据题意，当S = 24时，即2 74(25242 x --+=． 化简，得2 71 (.2 4 x -= 解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF Y 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF Y 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF Y 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF Y 为正方形． 练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-， ． 设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--． 又Q 点(10)A ， 在抛物线2(3)4y a x =--上， 2(13)40a ∴--=，解得1a =． ∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x = --（或26y x =-（2）P Q 与P '始终关于x 轴对称， 5 -4-3-2 -1 -1 2 3 D 5 5 4 3 2 1 A C E M B C ' 1-O 2 l 1 l x y PP '∴与y 轴平行． 设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+， 4OD =Q ，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±． 当2652m m -+=时，解得36m =±． 当2652m m -+=-时，解得32m =±． ∴当点P 运动到(362)-， 或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形． （3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则 90AMB ∠=o ，30BAM ∠=o Q （或30ABM ∠=o ）， 11 4222 BM AB ∴= =?=． 过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=o ． 11 2122 EB BM ∴= =?=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-， ． 但 是，当4x =时， 2 46451624533y =-?+=-+=-≠-． ∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形． 练习3. [解] （1）点(40)A -， ，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -， ． 设抛物线2C 的解析式是 2(0)y ax bx c a =++≠， 则16404208a b c a b c c ++=?? ++=??=-? ，，． 解得168a b c =-?? =??=-? ，，． 所以所求抛物线的解析式是2 68y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ． 当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形． 所以2ADN S S =△． 所以，四边形MDNA 的面积2 (82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤． 所以，所求关系式是2 4148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781 444 S t ? ?=--+ ???，（04t <≤）． 所以74t = 时，S 有最大值814 ． 提示：也可用顶点坐标公式来求． （4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形． 所以OD ON =．所以2 2 2 2 OD ON OH NH ==+． 所以2 2 420t t +-= ．解之得1222t t ==，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时2t = ． [点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。 二．二次函数与四边形的面积 例1. 解：（1）解法一：设)0(2≠++=a c bx ax y ， 任取x,y 的三组值代入，求出解析式2 142 y x x = +-， 令y=0，求出124,2x x =-=；令x=0，得y=-4， ∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 解法二：由抛物线P 过点(1，-52 )，(-3，5 2 -)可知， 抛物线P 的对称轴方程为x=-1， 又∵ 抛物线P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . （2）由题意，AD DG AO OC = ，而AO=2，OC=4，AD=2-m ，故DG=4-2m ， 又 BE EF BO OC = ，EF=DG ，得BE=4-2m ，∴ DE=3m ， ∴DEFG s =DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m 2 (0＜m ＜2) . 注：也可通过解Rt△BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. (3)∵SDEFG=12m-6m 2 (0＜m ＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)， 设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=23 ，b=-23 ，∴2233 y x =-， 又可求得抛物线P 的解析式为：2 142 y x x =+-， 令223 3x -=2 142x x +-，可求出3 611--=x . 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ， 则N ，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有 FN HE DF DE = =233 -- 点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是 k ＞0. 说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题： (2)∵ AD DG AO OC = ，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2， 又∵FG CP AB OC = ， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3， ∴DEFG s =DG·FG=6. 练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC ． ················ 1分 ∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称， ∴A （0，4），B （6，4），C （8，0） ··················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分） （2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为， ∵抛物线过点A（0，4）， ∴．则抛物线关系式为 ．·············· 4分将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得 ···························· 5AB， 垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝分 解得 (6) 分 所求抛物线关系式为：．········ 7分 （3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．·········· 8分 ∴ OA（AB+OC）AF·AG OE·OF CE·OA （0＜＜4）········ 10分 ∵ ． ∴当 时，S 的取最小值． 又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． ······· 12分 （4）当时，GB =GF ，当 时，BE =BG ． 14分 练习3.[解] （1）当01x ≤≤时，2AP x =，AQ x =，21 2 y AQ AP x ==g ， 即2 y x =． （2）当1 2 ABCD ABPQ S S = 正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子， 22BP x =-，AQ x =，()211222222 x x -+?=?，4 3x ∴=． （3）当4 13 x ≤≤时，2AB =， 22PB x =-，AQ x =， 22 23222 AQ BP x x y AB x ++-∴= =?=-g ， 即32y x =-． 作OE AB ⊥，E 为垂足． 当 4 23 x ≤≤时，22BP x =-，AQ x =，1OE =， BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122 x x +-+=?+?3 2x =， 即32 y x =． 90180POQ o o ≤∠≤或180270POQ o o ≤∠≤ （4）如图所示： 练习4.[解] (1) 设l 2的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)， ∵l 1与x 轴的交点为A (-2，0)，C (2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l 2与l 1关于x 轴对称， ∴l 2过A (-2,0),C (2,0)，顶点坐标是(0，4)， ∴420,420,4. a b c a b c c -+=??++=?=?? ∴ a =-1,b =0,c =4，即l 2的解析式为y = -x 2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2) 设点B (m ，n )为l 1：y =x 2-4上任意一点，则n = m 2-4 (*). ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，点A 、C 关于原点O 对称， ∴ B 、D 关于原点O 对称， ∴ 点D 的坐标为D (-m ,-n ) . 由(*)式可知， -n =-(m 2-4)= -(-m )2+4， 即点D 的坐标满足y = -x 2+4， ∴ 点D 在l 2上. (3) □ABCD 能为矩形. 过点B 作BH ⊥x 轴于H ，由点B 在l 1：y =x 2-4上，可设点B 的坐标为 (x 0，x 02-4)， 则OH =| x 0|，BH =| x 02-4| . 易知，当且仅当BO = AO =2时，□ABCD 为矩形. 在Rt △OBH 中，由勾股定理得，| x 0|2+| x 02-4|2=22， (x 02-4)( x 02-3)=0，∴x 0=±2(舍去)、x 0=±3 . 所以，当点B 坐标为B ( 3 ，-1)或B ′(- 3 ，-1)时，□ABCD 为矩形，此时，点D 的坐标分别是D (- 3 ，1)、D ′( 3 ，1). 因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD 和矩形AB ′CD ′ . 设直线AB 与y 轴交于E ，显然，△AOE ∽△AHB ， ∴ EO AO = BH AH ，∴1 223 EO =+. 3 2 1 O 1 2 x y 4 3 ∴ EO =4- . 由该图形的对称性知矩形ABCD 与矩形AB ′CD ′重合部分是菱形，其面积为 S =2S ΔACE =2×12 × AC ×EO =2×1 2 ×4×(4-2 3 )=16 - 8 3 . 三．二次函数与四边形的动态探究 例1.解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ． ∴Rt △POE ∽Rt △BPA ． ∴ PO BA OE AP = ．即34x y x =-．∴y =2114 (4)333 x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x =2时，y 有最大值1 3 ． (2)由已知，△PAB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)． 设过此三点的抛物线为y =ax 2＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =?? ++=??++=?∴1,23,21. a b c ?=?? ?=-?? =??? y = 213 122 x x -+． (3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件． 直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)， ∴该直线为y =x ＋1． 由21, 13 1,22y x y x x =+?? ?=-+?? 得5,6.x y =??=?∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件． 例2.解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8 ……………………1分 ∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） …………………4分 （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得 中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)及答案 一、平行四边形 1．问题发现： （1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长． 问题探究： （2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形 ABCD 截得线段的长度． 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点 (1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，353）(0,0)E ，(5,5)F ． 【解析】 试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分． （2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分． （3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长． 试题解析：（1）作图如下： 四边形面积最值 除了关于三角形的各种面积问题之外，四边形问题也是中考题中常见的一种问法，鉴于四边形一般是普普通通的四边形，因此问题一般也是普普通通的问题，本文分享一点关于四边形面积的题目． 思考：如何求一个普通的四边形的面积？ 解法也很普通，连对角线分割为两个三角形即可求得面积，至于三角形面积参考铅垂法． 就是这么的简单粗暴，甚至还有一点无聊~ 搞定了四边形的面积，就可以看看四边形面积的最值了，还是来看点例子吧： 已知抛物线24y ax bx =+-经过点(2,0)A 、(4,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标． 【分析】 （1）2 142 y x x = +-； （2）此处四边形ABPC 并非特殊四边形，所以可以考虑连接对角线将四边形拆为两个三角 形求面积． 若连接AP ，则△ABP 和△APC 均为动三角形，非最佳选择； 若连接BC ，可得定△ABC 和动△BPC ，只要△BPC 面积最大，四边形ABPC 的面积便最大． 考虑A （2,0）、B （-4,0）、C （0，-4），故1 64122 ABC S =??=， 接下来求△BPC 的面积，设P 点坐标为21,42m m m ?? +- ??? ， 连接BC ，则直线BC 的解析式为：y =-x -4 过点P 作PQ ⊥x 轴交BC 于点Q ，则Q 点坐标为（m ，-m -4）， 故221144222PQ m m m m m ?? =---+-=-- ??? ， 当m =-2时，PQ 取到最大值2，此时△BPC 面积最大，四边形ABPC 面积最大． 此时P 点坐标为（-2，-4）． 2019中考数学压轴题 1.(眉山)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣9 4x 2 +bx+c 经过点A （﹣5，0）和点B （1，0）. （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PG ⊥y 轴，交抛物线于点G.过点G 作GF ⊥x 轴于点F.当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标； （3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作∠DMN ＝∠DBA , MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由. O 2.(甘肃)如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴 交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标． 3.(广安)如图，抛物线与x轴交于A、B两点在B的左侧，与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，，P点为抛物线上一动点不与A、D重合．求抛物线和直线l的解析式； 当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l 于点F，求的最大值； 设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案 一、平行四边形 1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F． 探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数． 归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论； 猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论． 【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG 度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设 ∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可． 试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下： 精选四边形（菱形、矩形、正方形）压轴题及答案 1．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． （1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值； （3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值． 【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，求出DE=CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE=DF，∠DAE=∠FDC 即可； （2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求 出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求 出AC=AE=a，根据正方形的性质∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可； （3）根据（1）（2）知：点P在运动中保持∠APD=90°，得出点P的路径是以AD 为直径的圆，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，求出QC即可． 【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF， 理由是：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°， ∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE=CF， 在△ADE和△DCF中 ， ∴△ADE≌△DCF， ∴AE=DF，∠DAE=∠FDC， ∵∠ADE=90°， ∴∠ADP+○CDF=90°， ∴∠ADP+∠DAE=90°， ∴∠APD=180°﹣90°=90°， ∴AE⊥DF； （2） （1）中的结论还成立，CE：CD=或2， 理由是：有两种情况： ①如图1，当AC=CE时， 设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE==a， 则CE：CD=a：a=； ②如图2，当AE=AC时， 四边形综合题集 评卷人得分 一．选择题（共9小题） 1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论： ①△AED≌△DFB；②S 四边形BCDG =CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD 一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值． 其中正确的结论个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF， ⑤S △CEF =2S △ABE ，其中结论正确的个数为（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论： ①FH=2BH；②AC⊥FH；③S △ACF =1；④CE=AF；⑤EG2=FG?D G， 其中正确结论的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ） ①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=；④S 四边形ECFG =2S △BGE ． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．如图，在矩形ABCD 中，BC= AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题： （1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2 EH （3）OH=AE （4）BC ﹣BF= EH 其中正确命题的序号（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（2）（3）（4） C ．（2）（4） D ．（1）（3） 6．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），过点P 作PM ∥CD 交BC 中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答： 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4． 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)， 在ABC △的外部作等腰Rt CED △，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ． ()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系； ()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断 线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论； ②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过 程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②42或22. 【解析】 【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明 EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可； ②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可. 【详解】 ()1如图①中，结论：AF 2AE = ． 理由：四边形ABFD 是平行四边形， AB DF ∴=， AB AC =， AC DF ∴=， DE EC =， AE EF ∴=， DEC AEF 90∠∠==， AEF ∴是等腰直角三角形， AF 2AE ∴=． 故答案为AF 2AE = ． ()2①如图②中，结论：AF 2AE = ． 理由：连接EF ，DF 交BC 于K ． 四边形ABFD 是平行四边形， AB//DF ∴， DKE ABC 45∠∠∴==， EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =， ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=， EKF ADE ∠∠∴=， DKC C ∠∠=， DK DC ∴=， DF AB AC ==， KF AD ∴=， 在EKF 和EDA 中， EK ED EKF ADE KF AD =?? ∠=∠??=? ， EKF ∴≌EDA ， EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=， FEA BED 90∠∠∴==， 二次函数与几何综合 2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合 1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G． （1）求证：DG＝BC； （2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由． （3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由． （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE， ∵E是DC的中点，即DE＝CE， ∴△DEG≌△CEB（AAS）， ∴DG＝BC． （2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG． 理由：由（1）知DG＝BC， ∵AB＝AD+BC，AF＝AD， ∴BF＝BC＝DG， ∴AB＝AG， ∵∠BAG＝90°， ∴∠AFD＝∠ABG＝45°， ∴FD∥BG． （3）解：结论：FH＝HD． 理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG， ∵FD∥BG， ∴AE⊥FD， ∵△AFD为等腰直角三角形， ∴FH＝HD． 2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？ （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DFO＝∠BEO， ∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴DF＝BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． （2）解：∵DM＝AM，DO＝OB， ∴OM∥AB，AB＝2OM＝8， 人教版中考数学压轴题24道：二次函数专题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位 置时，PC+PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由． 4．已知函数y ＝（n 为常数） （1）当n ＝5， ①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4，求n 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y ＝x 2 ﹣2x ，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ． ①试求抛物线y ＝x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y ＝x 2﹣2x ，使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴 与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式． 一．解答题（共5小题） 例1．（2013?河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE⊥x轴于点E，交CD于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由． （3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标． 例2．（2012?惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0， ﹣3）两点，与x轴交于另一点B． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标． （3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2014?湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线 y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点 A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD． （1）若点A的坐标是（﹣4，4）． ①求b，c的值； ②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由； （2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由． 练习1．（2013?十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于 C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求D点的坐标； （2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数； （3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标． 中考数学压轴题强化训练：四边形综合 1、如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点 F，交AD于点E． （1）求证：AG=CG．（2）求证：AG2=GE?GF． 2、如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OE?OF． 3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分 线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接 FC．求证：四边形ADCF是菱形． 4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：B M=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 5、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． (l)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由． (2)若固定二根木条AB，BC不动，AB＝2cm，BC＝5cm，量得木条CD＝5cm， ∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取到的一个值（直接写出一个即可）． (3)若固定一根木条 AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条 CD ＝ 5cm ．如果木条 AD ， BC 的长度不变，当点 D 移到 BA 的延长线上时，点 C 也在 BA 的延长线上；当点 C 移到 AB 的延长线上时，点 A ，C ，D 能构成周长为 30cm 的三 角形，求出木条 AD ， BC 的长度． 6、如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处。 （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若 AB=6，AC=10，求四边形 AECF 的面积。 7、如图，矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，F 为 DE 的中点，且∠BFC =90°． （1）但 E 为 BC 中点时，求证：△BCF ≌△DEC ； （2）但 BE -2EC 时，求 的值； BD （3）设 CE =1，BE =n ，作点 C 关于 DE 的对称点 C ' ，连结 FC ' 若点 C ' 到 AF 的距离 CD 中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 平行四边形类 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O． （1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式； （2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质． 5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标； （2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状； 关于二次函数的压轴题 四、抛物线与四边形 例题 1. 如图，抛物线经过A （－1，0），B （5，0），C （0，－52 ）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求点P 的坐标； （3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由． ！ 2. 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线1+=x y 与二次函数的图像交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上. （1）二次函数的解析式为y = ； （2）证明点(,21)m m --不在（1）中所求的二次函数的图像上； （3）若C 为线段AB 的中点，过C 点作x CE ⊥轴于E 点，CE 与二次函数的图像交于D 点. ① y 轴上存在点K ，使以K 、A 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形，则K 点的坐标是 ； ②二次函数的图像上是否存在点P ，使得ABD POE S S ??=2若存在，求出P 点坐标；若不存在，请 说明理由. y x O " B C 练习： 1. 如图，抛物线14 17 452++- =x x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0). （1）求直线AB 的函数关系式； （2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形请说明理由. ( 2. 如图所示，在平面直角坐标系x O y 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半 轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 和D （4，2 3 -）. （1）求抛物线的表达式. （2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S=2PQ (2cm ). ①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； ！ ②当S 取5 4 时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形如 O x ， M N B P C 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动． （1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°； （2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）存在，理由见解析; （3）不成立．理由如下见解析. 【解析】 试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°； （2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意； （3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案． 试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点， ∴AB=AM=MD=DC=a， 又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， ∴∠AMB=∠DMC=45°， ∴∠BMC=90°． （2）存在， 理由：若∠BMC=90°， 则∠AMB+∠DMC=90°， 又∵∠AMB+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DMC， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△ABM∽△DMC， ∴AM AB CD DM =， 设AM=x，则x a a b x = - ， 二次函数和平行四边形 1．如图，已知抛物线y=ax 2+c 过点（﹣2，2），（4，5），过定点F （0，2）的直线l ：y=kx+2和抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ． （1）求抛物线的分析式； （2）当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 和BC 的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断； （3）P 为y 轴上一点，以B 、C 、F 、P 为顶点的四边形是菱形，设点P （0，m ），求自然数m 的值； （4）若k=1，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得△QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及△QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由． 2.如图，抛物线c bx x y ++=22 1和x 轴交于B A 、两点，和y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知6==OC OB . ⑴求抛物线的分析式及点D 的坐标； ⑵连接F BD ,为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标； ⑶平行于x 轴的直线交抛物线于N M ,两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且MN PQ 2 1=时，求菱形对角线MN 的长. 3如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为()10,0，抛物线24y ax bx =++过 ,B C 两点，且和x 轴的一个交点为()2,0D -，点P 是线段CB 上的动点，设 ()010CP t t =<<. （1）请直接写出,B C 两点的坐标及抛物线的分析式； （2）过点P 作PE BC ⊥，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，PBE OCD ∠=∠？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作//PM BQ ，交CQ 于点M ，作//PN CQ ，交BQ 于点N .当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值. 4（10分）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点B （3，0），C （0，﹣2），直线l ：y=﹣x ﹣交y 轴于点E ，且和抛物线交于A ，D 两点，P 为抛物线上一动点（不和A ，D 重合）． （1）求抛物线的分析式； （2）当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M ，PN ∥y 轴交l 于点N ，求PM+PN 的最大值． （3）设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4， 抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于 点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于x的二次函数y=x2+b x+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点 C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 3．如图，已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2） 三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 4．如图1，已知二次函数y=ax2+b x+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．中考二次函数压轴题经典题型
二次函数压轴题题型归纳
2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)及答案
二次函数压轴题四边形面积
2019中考数学压轴题精选
2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案
精选四边形压轴题及其答案
2018年中考四边形综合题集压轴题
中考数学二次函数压轴题(含答案)
中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案解析
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)
人教版中考数学压轴题型24道：二次函数专题含答案解析
二次函数压轴题——角的存在性
人教版数学中考冲刺压轴题《四边形综合》专题训练
2019年中考二次函数压轴题整理
中考数学中二次函数压轴题四边形
人教中考数学平行四边形-经典压轴题及答案
2016-2017年全国中考二次函数与平行四边形压轴题
全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案)
相关主题
文本预览