72
x = B(0,4)
A(6,0)
E
F
x
y
O
二次函数与四边形综合专题
一．二次函数与四边形的形状
例1. 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =-- 得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：
P （x ，-x-1），E （2(,23)x x x --
∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++
∴当12x =时，PE 的最大值=9
4
（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-，
练习1.如图，对称轴为直线7
2
x =
的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？
②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
A
7
2
x =
B(0,4
A(6,
E
F
x
y
O
练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为2
7()2
y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得
227(6)0,27(0) 4.2
a k a k ?-+=????-+=?? 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()3
2
6
y x =--，顶点为725(,).2
6
-
（2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
22725()326
y x =
--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离． ∵OA 是OEAF 的对角线，
∴2172264()252
2
OAE S S OA y y ==???=-=--+ ．
因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的取值范围是1＜x ＜6． ①根据题意，当S = 24时，即274()25242
x --+=．化简，得271().2
4
x -= 解之，得123, 4.x x ==故所
求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）．
点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形；
点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形．
② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，－3）．而坐标为 （3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使OEAF 为正方形．
练习2.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，
和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．
（1）求抛物线2l 的函数关系式；
（2）已知原点O ，定点(04)D ，
，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30
的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
5-
4- 3- 2- 1- 1
2 3
4 5 5
4
3
2 1 A E
B
C '
1- O 2l
l
x
y
4-
3-
2-
1- 1 2 3 4 5 5
4
3
2
1 A
E
B
C '
1- O 2l
x
y
练习3. 如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，
． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；
（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；
与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
二．二次函数与四边形的面积
例1.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2
+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x … -3 -2 1 2 … y
…
-52
-4
-52
…
(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；
(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；
(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.
图10
练习1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
练习2.如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，
到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2
cm y ．
（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；
（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；
（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．
B C P
O D Q
A B
P
C
O
D
Q A
y
3
2
1
O
1
2 x
练习3. 如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D . (1) 求l 2的解析式；
(2) 求证：点D 一定在l 2上；
(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值 .
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．
(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
例2. 已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，
图2
O
C
A B
x
y D
P
E F 图
1
F
E P
D y x
B
A C O
点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由． 例3. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积． （1） S 与S '相等吗？请说明理由． （2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ?是等腰三角形． 练习1.如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每 x N M Q P H G F E D C B A 图11 Q P N M H G F E D C B A 图10 秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点 （填M 或N ）能到达终点； （2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大； （3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由． 练习2. 实验与探究 （1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3 中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)， ， ， ； （2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）； 归纳与发现 （3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶 点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 y C ()A (40)D ， (12)B ， O x 图1 y C ()A (0)D e ， ()B c d ， O x 图2 y C ()A a b ， ()D e b ， ()B c d ， O x 图3 y C ()A a b ， ()D e f ， ()B c d ， O x 图4 图12 y x P Q B C N M O A 7 2 x = B(0,4 A(6, E F x y O （不必证明）； 运用与推广 （4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ????- ? ????? ，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标． 参考答案： 一．二次函数与四边形的形状 例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）； 将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x = 时，PE 的最大值=94 （3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为2 7()2 y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得 227(6)0,27(0) 4.2 a k a k ? -+=????-+=?? 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725 ()326y x = --，顶点为725(,).26 - （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 22725 ()326 y x = --， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴217 2264()2522 OAE S S OA y y ==? ??=-=--+ ． 因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的取值范围是1＜x ＜6． 5 -4 -3 -2 -1-1 2 3 D 5 5 4 3 2 1 A C E M B C ' 1-O 2 l 1 l x y ① 根据题意，当S = 24时，即274()25242 x --+=．化简，得271 ().24x -= 解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 ③ 坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形． 练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-， ．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--． 又 点(1 0)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =． ∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）． （2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行． 设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD = ，22654m m ∴-+=， 即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形． （3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则 90AMB ∠= ，30BAM ∠= （或30ABM ∠= ）， 11 4222 BM AB ∴==?=． 过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠= ． 11 2122 EB BM ∴==?=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，． 但是，当4x =时，2 46451624533y =-?+=-+=-≠-． ∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形． 练习 3. 解（1）点(40)A -， ，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点5- 4- 3- 2- 1- 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C ' 1- O 2l 1l x y 分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是 2 (0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=??++=??=-?，，．解得1 68a b c =-??=??=-? ，， ． 所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ． 当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题 意可知04t <≤．所以，所求关系式是2 4148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781 444 S t ??=-- + ?? ?，（04t <≤）．所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求． （4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以 2222OD ON OH NH ==+． 所以22420t t +-=．解之得126262t t =-=--，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =-． [点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较 高。 二．二次函数与四边形的面积 例1. 解：（1）解法一：设)0(2 ≠++=a c bx ax y ，任取x,y 的三组值代入，求出解析式2 142 y x x = +-， 令y=0，求出124,2x x =-=；令x=0，得y=-4，∴ A 、B 、C 三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) ··································· 解法二：由抛物线P 过点(1，-52)，(-3，5 2 -)可知， 抛物线P 的对称轴方程为x=-1， 又∵ 抛物线P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . （2）由题意，AD DG AO OC = ，而AO=2，OC=4，AD=2-m ，故DG=4-2m ， ······ 又 BE EF BO OC = ，EF=DG ，得BE=4-2m ，∴ DE=3m ， ∴DEFG s =DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m 2 (0＜m ＜2) . 注：也可通过解Rt△BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. (3)∵SDEFG=12m-6m 2 (0＜m ＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)， 设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=23，b=-23，∴22 33y x =-， 又可求得抛物线P 的解析式为：21 42 y x x =+-， 令2233x -=21 42x x +-，可求出3 611--=x . 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ， 则N 的横坐标为161 3 --，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有 FN HE DF DE = =161 233---- =5619-+， 点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是 k≠5619 -+且k ＞0. 说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题： (2)∵AD DG AO OC =，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，又∵FG CP AB OC = ， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3， ∴DEFG s =DG·FG=6. 练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC ． ················· 1分 ∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称， ∴A （0，4），B （6，4），C （8，0） ··················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分） （2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为 ，∵抛物线过点A （0，4）， ∴．则抛物线关系式为． ·············· 4分 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得 ··············· 5AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝ 分 解得····················· 6分 所求抛物线关系式为：．········ 7分 （3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m ，OE=8－m ． ·········· 8分 ∴ OA （AB+OC ） AF ·AG OE ·OF CE ·OA （ 0＜ ＜4） ········ 10分 ∵． ∴当时，S 的取最小值． 又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． ······· 12分 （4）当时，GB=GF ，当 时，BE=BG ． 14分 练习2.[解] （1）当01x ≤≤时，2AP x =，AQ x =，21 2 y AQ AP x == ，即2y x =． （2）当1 2 A B C D ABPQ S S = 正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，22BP x =-，AQ x =，()21122222 2 x x -+?=?， 4 3 x ∴= ． （3）当413x ≤≤时，2AB =，22PB x =-，AQ x =，2223222 AQ BP x x y AB x ++-∴==?=- ， 即32y x =-． 作OE AB ⊥，E 为垂足． 当 4 23 x ≤≤时，22BP x =-，AQ x =，1OE =， BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122 x x +-+=?+?3 2x =， 即3 2 y x =．90180POQ ≤∠≤或180270POQ ≤∠≤ （4）如图所示： 练习3. 解](1) 设l 2的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)， ∵l 1与x 轴的交点为A (-2，0)，C (2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l 2与l 1关于x 轴对称， ∴l 2过A (-2,0),C (2,0)，顶点坐标是(0，4)， ∴420,420,4. a b c a b c c -+=??++=?=?? ∴ a =-1,b =0,c =4，即l 2的解析式为y = -x 2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) 3 2 1 O 1 2 x y 4 3 (2) 设点B (m ，n )为l 1：y =x 2-4上任意一点，则n = m 2-4 (*). ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，点A 、C 关于原点O 对称，∴ B 、D 关于原点O 对称， ∴ 点D 的坐标为D (-m ,-n ) . 由(*)式可知， -n =-(m 2-4)= -(-m )2+4，即点D 的坐标满足y = -x 2+4，∴ 点D 在l 2上. (3) □ABCD 能为矩形. 过点B 作BH ⊥x 轴于H ，由点B 在l 1：y =x 2-4上，可设点B 的坐标为 (x 0，x 02-4)，则OH =| x 0|，BH =| x 02-4| . 易知，当且仅当BO = AO =2时，□ABCD 为矩形. 在Rt △OBH 中，由勾股定理得，| x 0|2+| x 02-4|2=22，(x 02-4)( x 02-3)=0，∴x 0=±2(舍去)、x 0=±3 . 所以，当点B 坐标为B ( 3 ，-1)或B ′(- 3 ，-1)时，□ABCD 为矩形， 此时，点D 的坐标分别是D (- 3 ，1)、D ′( 3 ，1). 因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD 和矩形AB ′CD ′ . 设直线AB 与y 轴交于E ，显然，△AOE ∽△AHB ， ∴ EO AO = BH AH ，∴1 223EO =+. ∴ EO =4-23 . 由该图形的对称性知矩形ABCD 与矩形AB ′CD ′重合部分是菱形， 其面积为S =2S ΔACE =2×12 × AC ×EO =2×1 2 ×4×(4-2 3 )=16 - 8 3 . 三．二次函数与四边形的动态探究 例1.解： (1) 由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°． 又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ． ∴Rt △POE ∽Rt △BPA ．∴ PO BA OE AP = ．即34x y x =-．∴y =2114 (4)333 x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x =2时，y 有最大值13 ． (2)由已知，△PAB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)． 设过此三点的抛物线为y =ax 2＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =??++=??++=? ∴1,23, 21.a b c ? =???=-??=??? y = 213 122 x x -+． (3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件．直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)， ∴该直线为y =x ＋1． 由21, 1 31,22y x y x x =+???=-+?? 得5,6.x y =?? =?∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件． 例2.解： （1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8 ……………………1分 ∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） …………………4分 （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上，∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达 式，得 解得 ∴所求抛物线的表达式为y ＝x 2 x ＋8 ………………………7分 （3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ，∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴ 即 ，∴EF ＝ ∴＝ ∴FG ＝·＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝（8－m ）×8－（8－m ）（8－m ） ＝（8－m ）（8－8＋m ）＝（8－m ）m ＝－m 2＋4m …………10分 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 …………………………11分 （4）存在．理由：∵S ＝－m 2＋4m ＝－（m －4）2＋8 且－＜0， ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ………………………12分 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形． …………………………14分 （以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） 例3解: （1）相等。理由是：因为四边形ABCD 、EFGH 是矩形， 所以,,EGH EGF ECN ECP CGQ CGM S S S S S S ??????=== 所以,EGH ECP CGM EGF ECN CGQ S S S S S S ??????--=-- 即：S S '= （2）AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，设AE ＝x ，则EC ＝5－x ，34(5),,5 5 PC x MC x =-= 所以12(5)25 S PC MC x x ==- ，即21212(05)25 5 S x x x =-+≤≤ 配方得：2125()3252S x =- -+，所以当5 2 x =时，S 有最大值3 （3）当AE ＝AB ＝3或AE ＝BE ＝5 2或AE ＝3.6时，ABE ?是等腰三角形 练习1． 解： （1）点 M 1分 （2）经过t 秒时，NB t =，2OM t = 则3CN t =-，42AM t =-∵BCA ∠=MAQ ∠=45 ∴ 3QN CN t ==- ∴ 1 PQ t =+ ∴11(42)(1) 22AMQ S AM PQ t t ==-+ △22t t =-++ ∴2219224 S t t t ??=-++=--+ ??? ∵02t ≤≤∴当1 2 t = 时，S 的值最大． （3）存在．设经过t 秒时，NB =t ，OM=2t 则3CN t =-，42AM t =-∴BCA ∠=MAQ ∠=45 ①若90AQM ∠= ，则PQ 是等腰Rt △MQA 底边MA 上的高∴PQ 是底边MA 的中线 ∴ 12PQ AP MA == ∴11(42)2t t +=- ∴12t = ∴点M 的坐标为（1，0） ②若90QMA ∠= ，此时QM 与QP 重合∴QM QP MA ==∴142t t +=-∴1t = ∴点M 的坐标为（2，0） 练习2.解： （1）()e c d +，，()c e a d +-，． （2）分别过点A B C D ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1 111A B C D ，，，，分别过A D ，作1AE BB ⊥于E ，1DF CC ⊥于点F ． 在平行四边形ABCD 中，CD BA =，又11BB CC ∥， 180EBA ABC BCF ABC BCF FCD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠= ． EBA FCD ∴∠=∠． 又90BEA CFD ∠=∠= ， BEA CFD ∴△≌△． AF DF a c ∴==-，BE CF d b ==-． 设()C x y ，．由e x a c -=-，得x e c a =+-． 由y f d b -=-，得y f d b =+-．()C e c a f d b ∴+-+-，． y C ()A a b ， ()D e f ， ()B c d ， E F 1B 1A 1C 1D O x （3）m c e a =+-，n d f b =+-．或m a c e +=+，n b d f +=+． （4）若GS 为平行四边形的对角线，由（3）可得1(27)P c c -，．要使1P 在抛物线上， 则有274(53)(2)c c c c c =--?--，即2 0c c -=． 10c ∴=（舍去），21c =．此时1(27)P -， ． 若SH 为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32)P c c ，，同理可得1c =，此时2(32)P ，． 若GH 为平行四边形的对角线，由（3）可得(2)c c -，，同理可得1c =，此时3(12)P -，． 综上所述，当1c =时，抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形． 符合条件的点有1(27)P -， ，2(32)P ，，3(12)P -，． 练习3.解：⑴由Rt △AOB ≌Rt △CDA 得OD=2+1=3,CD=1 ∴C 点坐标为(－3,1), ∵抛物线经过点C, ∴1= (－3)2 a ＋(－3)ａ－2，∴2 1 = a 。 ∴抛物线的解析式为22 1 212-+= x x y . ⑵在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。 以AB 边在AB 右侧作正方形ABPQ 。过P 作PE ⊥OB 于E ，QG ⊥x 轴于G ，可证△PBE ≌△AQG ≌△BAO ， ∴PE ＝AG ＝BO ＝2，BE ＝QG ＝AO ＝1，∴P 点坐标为（2,1），Q 点坐标为（1,－1）。 由（1）抛物线22 1 212-+= x x y 。当x ＝2时，y ＝1，当x ＝,1时，y ＝－1。∴P 、Q 在抛物线上。 故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2,1）、Q （1,－1），使四边形ABPQ 是正方形。 ⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。 延长CA 交抛物线于Q ，过B 作BP ∥CA 交抛物线于P ，连PQ ，设直线CA 、BP 的解析式分别为y=k 1x+b 1, y=k 2x+b 2, ∵A （－1,0），C （－3,1），∴CA 的解析式2121-- =x y ，同理BP 的解析式为2 1 21+-=x y ， 解方程组??? ??? ? -+=--=2212121212x x y x y 得Q 点坐标为（1,－1），同理得P 点坐标为（2,1）。 由勾股定理得AQ ＝BP ＝AB ＝5，而∠BAQ ＝90°， ∴四边形ABPQ 是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P （2,1）、Q （1,－1），使四边形ABPQ 是正方形。 ⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ，使四边形ABPQ 是正方形。如图，将线段CA 沿CA 方向平移至AQ ， ∵C （－3,1）的对应点是A （－1,0），∴A （－1,0）的对应点是Q （1,－1），再将线段AQ 沿AB 方向平移至BP ，同理可得P （2,1） ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ∴四边形ABPQ 是正方形。经验证P （2,1）、Q （1,－1）两点均在抛物线221212-+=x x y 上。 ⑶结论②AG BG AF BF =成立， 证明如下：连EF ，过F 作FM ∥BG 交AB 的延长线于M ，则△AMF ∽△ABG ， ∴AG BG AF MF =。由⑴知△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠1＝∠2＝45°。∵AF ＝AE ，∴∠AEF ＝∠1＝45°。∴∠EAF ＝90°，EF 是⊙O ′的直径。 ∴∠EBF ＝90°。∵FM ∥BG ，∴∠MFB ＝∠EBF ＝90°，∠M ＝∠2＝45°，∴BF ＝MF ，∴AG BG AF BF = 二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练 一、知识准备： 抛物线与直线形的结合表形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的基本形式 （1）抛物线上的点能否构成平行四边形 （2）抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形 特殊四边形的性质与是解决这类问题的基础，而待定系数法，数形结合，分类讨论是解决这类问题的关键。 二、例题精析 ㈠【抛物线上的点能否构成平行四边形】 例一、（2013河南）如图，抛物线2 y x bx c =-++与直线 1 2 2 y x =+交于,C D两点，其 中点C在y轴上，点D的坐标为 7 (3,) 2 。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作 PE x ⊥轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,, O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。 【解答】（1）∵直线 1 2 2 y x =+经过点C,∴(0,2) C ∵抛物线2 y x bx c =-++经过点(0,2) C，D 7 (3,) 2 ∴22727 332 2c b b c c =?? =? ?∴??=-++??=?? ∴抛物线的解析式为2 7 22 y x x =-++ （2）∵点P 的横坐标为m 且在抛物线上 ∴2 71 (,2),(,2)22 P m m m F m m -+ ++ ∵PF ∥CO ，∴当PF CO =时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当03m <<时，2 271 2(2)322 PF m m m m m =-+ +-+=-+ ∴2 32m m -+=，解得：121,2m m == 即当1m =或2时，四边形OCPF 是平行四边形 ② 当3m ≥时，2 217 (2)(2)32 2 PF m m m m m =+--+ +=- 232m m -= ，解得：123322 m m += =（舍去） 即当132 m += 时，四边形OCFP 是平行四边形 练习1：（2013?盘锦）如图，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）， 与y 轴相交于点C ，点P 为线段OB 上的动点（不与O 、B 重合），过点P 垂直于x 轴的直线与抛物线及线段BC 分别交于点E 、F ，点D 在y 轴正半轴上，OD=2，连接DE 、OF ． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标； 二次函数（平行四边形） 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？ （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ 解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1， 把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， ∴=，即：=， ∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m2+m+4， ∴y=﹣?++4， ∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4， ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF， （Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4， 把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： ﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： m+4=﹣m2+m+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8． 中考：四边形精华试题附参考答案 一、选择题 1.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）下列命题，真命题是 ( ) A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 答案：B 2.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）如图2，M 是ABCD 的AB 边中点，CM 交BD 于点E ， 则图中阴影部分的 面积ABCD 的面积的比是 ( ） A. 1:3 B.1:4 C. 1:6 D.5:12 答案：A 3.（嘉兴市秀洲区模拟）把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若115AEF ∠=?， 则∠1= （ ） A.50° B.55° C.60° D.65° 答案 A 4.（2010学年度武汉市九年级复习备考数学测试试卷16）如图， 直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABE ADC S S ??=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（ ） A ．①②④ B. ②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 答：D 5.（2010年武汉市中考模拟数学试题（26））已知如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE ∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ；④S △BFG= 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ G F E D C B A 答：D 6.（2010年武汉市中考模拟数学试题（27））如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直 Ａ Ｂ Ｅ Ｏ Ｄ Ｃ 第4题图 （第3题图） 1 A B D C E F 14 ABCD S 备战2020年中考数学压轴题之二次函数 专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定 【方法综述】 知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下：平行四边形的判定方法: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 矩形判的定方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 菱形判定方法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边相等的四边形是矩形 正方形的判定方法 平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性 解答时常用的技巧： （1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法： 已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。 如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得 a+m=c+e，n+b=d+f 则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。 （2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。 （3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。 【典例示范】 类型一平行四边形的存在性探究 例1：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标． 【答案】（1）y＝1 2 x2＋x－4；（2）当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（3）满足题意的Q点的坐标有三 个，分别是（－2＋2－，（－2－2＋，（－4，4）. 【思路引导】 （1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可； 72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合压轴题专题汇编 一．二次函数与四边形的形状 例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A 练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为 (34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '． （1）求抛物线2l 的函数关系式； （2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30 的直角三角形？若存， 求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -， ，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1 C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于 C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的 面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写 出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． 5- 4- 3- 2- 1- 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C ' 1- O 2l 1l x y 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数； （2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明； （3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值． 【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1． 【解析】 【分析】 （1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝1 2 ∠ADC＝45°； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积． 【详解】 （1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE， 在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴AD＝C'D， ∵F是AC'的中点， ∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF， ∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝1 2 ∠ADC＝45°； （2）结论：BP+DP2AP， 理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'， ∴∠PAP'＝90°， 在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP， 由（1）可知：∠FDP＝45° ∵∠DFP＝90° ∴∠APD＝45°， ∴∠P'＝45°， ∴AP＝AP'， 在△BAP和△DAP'中， ∵ BA DA BAP DAP AP AP ' = ? ? ∠=∠ ? =' ? ? ， ∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'， ∴DP+BP＝PP'＝2AP； （3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝1 2 AC?C'G， Rt△ABC中，AB＝BC2， ∴AC22 (2)(2)2 +=，即AC为定值， 当C'G最大值，△AC'C的面积最大， 连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合， 【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3 64 y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、， 将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ， 为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围. 【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90?得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值； ⑵ 点A 位置改变时，AMH ?的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由． 【例3】 如图1，Rt ABC ?中，90A ∠=?，3 tan 4 B = ，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图 象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长； （2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． R Q B C A 二次函数与平行四边形综合 二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点 分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合， 第一讲：矩形、菱形训练学习（1）—2014年中考数学四边形专题 一、矩形的学习 例题1（2013浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠， 使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为. 例题2.（2013安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4②S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）. 相应练习一 1.（2013年吉林省，第22题、7分．）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC △ECD； （2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形． 2.(2013贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F . （1）求证：△ABE ≌△FCE . （2）连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形. 3.（2013湖南湘潭，19，6分）如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知m BC 2=, m CD 4.5=,?=∠30DCF ,请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米？ 二、菱 形 的 学 习 例题3（2013深圳市 20 ，8分）如图7，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ， （1）求证：四边形AFCE 为菱形； （2）设,,,AE a ED b DC c ===请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式 'A 二次函数与特殊四边形判定 ★1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线W 的表达式为y ＝14x 2－x ， D 是抛物线W 的顶点. (1)将抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线 W ′，求抛物线W ′的表达式及其顶点F 的坐标； (2)若点M 是x 轴上的一点，点N 是抛物线W ′上的一点，则是否存在这样的点M 和点N ，使得以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. ★2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(－1，0)、B(0，1)，且与x轴有唯一交点. (1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式； (2)若将(1)中的抛物线沿y轴向下平移m个单位后与x轴的两个交点分别为C、D(点C在点D的左边)，当∠CBD＝90°时，求m的值； (3)在(2)中平移后的抛物线上是否存在一点E，使以C、D、B、E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. ★3.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′. (1)求抛物线的表达式； (2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积； (3)是否存在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点在过A(－1，0)，B(3，0)两点，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由. ★4.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABE的边AB在x轴上，A(－1，0)，OB＝4OA，OE＝2，抛物线C经过△ABE的三个顶点． (1)求抛物线C的表达式； (2)将抛物线C向下平移m个单位得到抛物线C′，使抛物线C′与直线BE有且只有一个公共点M，试求点M的坐标及m的值； (3)若点P是抛物线C′上一点，Q是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得以点A、P、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第4题图 中考数学四边形选择题 （08黑龙江哈尔滨）10．如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中 点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ A ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm （08辽宁沈阳）8．如图所示，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连接AE ， 交对角线BD 于点F ，连接CF ，则图中全等三角形共有（ C ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 （08辽宁十二市）5．下列命题中正确的是（ A ） A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B ．两条对角线相等的四边形是矩形 C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D ．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 （08山东滨州）10、如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所 示，则△ABC 的面积是（ A ） 9 4x y O P D A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 （08山东济宁）4．若梯形的面积为2 8cm ，高为2cm ，则此梯形的中位线长是（ B ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm （08山东聊城）9．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ C ） A ．六边形 B ．八边形 C ．十二边形 D ．十六边形 A D C E F B 第8题图 第9题图 （08山东临沂）11．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ B ） A ． 32 B ． 33 C ． 34 D ． 3 （08山东泰安）4．如图，下列条件之一能使 ABCD 是菱形的为（ A ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①②③ （08山东威海）10．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为 D A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 （08山东潍坊）3．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，BC BD =，100A =∠，则C =∠（ ） A ．80 B ．70 C ．75 D ．60 （08山东潍坊）11．在平行四边形ABCD 中，点1A ，2A ，3A ，4A 和1C ，2C ，3C ，4C 分别是AB 和CD 的五等分点，点1B ，2B 和1D ，2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积为（ ） A ．2 B ．3 5 C ． 53 D ．15 （08年江苏常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( B ) A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 （08年江苏连云港）7．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（ D ） A ． B ． C ． D ． （08年江苏南京）6．如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形， 这个新的图形可以是下列图形中的（ B ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．正方形 A B C D （第4题） A E A B D A B 1 2 3 4 B A C 1 2 B A D C B A C 1 2 D 1 2 B A D C （第6题） 《二次函数专题提优》：特殊四边形存在性问题 （一）、平行四边形存在性原理： 1、实验与探究： （1）、在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(52) ， ，，； （ 2）、在图4 中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含 a b c d e f ，，，，，的代数式表示）； 归纳与发现: （3）、通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 ()()()() A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为（不必证明）； 运用与推广： （4）、在同一直角坐标系中有抛物线 2(53) y x c x c =---和三个点 1519 2222 G c c S c c ???? - ? ? ???? ，，， ， (20) H c，（其 中0 c>）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 并求出所有符合条件的P点坐标． 图1图2图3 图4 （二）、平行四边形的存在性问题： 2、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线 c bx ax y + + =2的对称轴是x=1,并且经过(?2,?5)和(5,?12)两点。 (1)、求此抛物线的解析式； (2)、设此抛物线与x轴交于A. B 两点(点A 在点B的左侧),与y轴交于C 点,D是线段BC上一点(不与点B. C 重合)，若以B. O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标； (3)、点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A. B为顶点的四边形是平行四边形， 请你直接写出点M的坐标 3、如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3,0），点B（1,0），交y轴于点E（0，-3），点C是点A关于点B 的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D. （1）、求抛物线的函数表达式； （2）、点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值； （3）、在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标. A x B C D H E F G K O x y l A B C D H E F G K O y l 备用图 图① ●探究 （1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F。 ①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________； ②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________； （2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程； ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=___________；（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A，B。 ①求出交点A，B的坐标； ②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。 图 2 图 3 图1 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点 数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1,y 1)，点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(221x x +,2 21y y +). 证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ，得x P = 2 21x x +，同理y P =221y y +，所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +). 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D )，则：x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 证明： 如图2，连接AC 、BD ，相交于点E ． ∵点E 为AC 的中点， ∴E 点坐标为(2C A x x +,2 C A y y +). 又∵点E 为B D 的中点， ∴ E 点坐标为( 2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 2 一个基本事实，解题的预备知识 如图3，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB 为对角线的□ACBD 1，以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ． 2021模拟年中考数学复习专题练：《四边形综合》 1．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示． ①线段DG与BE之间的数量关系是； ②直线DG与直线BE之间的位置关系是； （2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由． （3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）． 2．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE， （1）求证：△DHC≌△CEB； （2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH 的长； （3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，的值为． 3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）． （I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标； （Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG． （1）求证：GD＝EG． （2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积． （3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长． 5．（1）【探索发现】 如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为． 第十八讲二次函数与平行四边形综合 一、教学内容 1.二次函数的表示 , 二次函数图像与性质； 2.平行四边形的性质和判定； 3.函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题； 二、例题细看 【例 1】已知：如图，在平面直角坐标系 将OBA 对折，使点O的对应点xOy 中，直线 y 3 与 x 轴、y轴的交点分别为 A、B ， x 6 4 H 落在直线 AB 上，折痕交x 轴于点C. （ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过A、B、C 三点的抛物线的解析式； （ 2）若抛物线的顶点为 D ，在直线BC上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （ 3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为 T ，Q 为线段BT上一点，直接写出 QA QO 的取值范围 . 【考点分析】二次函数综合题 y B H 1 O1 C A x D T 【PEC分析】（ 1）点 A 的坐标是纵坐标为 0，得横坐标为 8，所以点 A 的坐标为（ 8， 0）； 点B 的坐标是横坐标为 0，解得纵坐标为 6，所以点 B 的坐标为（ 0， 6）； 由题意得： BC是∠ ABO的角平分线，所以OC=CH， BH=OB=6 ∵AB=10，∴ AH=4，设 OC=x，则 AC=8-x 由勾股定理得： x=3 ∴点 C 的坐标为（ 3， 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得； （ 3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA-QO|=|QA-QH| ．当点 Q与点 B 重合时， Q、 H、 A 三点共线，|QA-QO|取得最大值4（即为 AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线 BC的交点为 K，当点 Q与点 K 重合时， |QA-QO|取得最小值 0． 【跟踪练习】例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线y x22x 3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 l 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （ 1）求 A 、 B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （ 2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （ 3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A 、C、 F、 G 这样的四个点为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由． A 【例 2】如图，点O是坐标原点，点A(n ，0) 是 x 轴上一动点(n 0) .以 AO 为一边作矩形AOBC ，点C在第二象限，且OB 2OA ．矩形AOBC 绕点 A 逆时针旋转90 得矩形AGDE ．过点 A 的直线 y kx m ( k 0) 交y轴于点F，FB FA ．抛物线y ax 2bx c 过点E、F、G且和直线AF 交于点 H ，过点 H 作 HM x 轴，垂足为点M ． ⑴求 k 的值； ⑵点 A 位置改变时，AMH 的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由． y C B D G M F E A O x H 【 PEC分析】（ 1 ）由题意知O B=2OA=2n，在直角三角形AEO 中， OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF 的表达式，也就求出了FB 的长，由于 F 的坐标为（ 0 ， m ）据此可求出m ， n 的关系式，可用 n 替换掉一次函数中m 的值，然后将 A 点的坐标代入即可求出k 的值． （ 2 ）思路同（ 1）一样，先用n 表示出 E、 F、 G 的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出 a ，b ， c 与n 的函数关系式，然后用n 表示出二次函数的解析式，进而可用n 表示出 H 点的坐标，然后求出△AMH 72 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形综合专题 一．二次函数与四边形的形状 例1. 如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入2 23y x x =-- 得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为： P （x ，-x-1），E （2(,23)x x x -- ∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=9 4 （3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-， 练习1.如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A 2020年中考数学试题分类 四边形 一、选择题 10．（2020广州）如图5，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE EF +的值为（ * ）． （A ） 485 （B ）325 （C ）24 5 （D ） 12 5 【答案】C 8．（2020陕西）如图，在?ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是?ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2 【解答】解：∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°， ∴Rt △BCF 中，EF ＝BC ＝4， ∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点， ∴F 是AG 的中点， ∴EF 是梯形ABCG 的中位线， ∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3， 又∵CD ＝AB ＝5， ∴DG ＝5﹣3＝2， 故选：D ． 图5 O F E D C B A 5.（2020乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=?，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥ 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ） A. 9+ B. 9+ C. 7+ D. 8 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，O 是对角线BD 的中点， ∵AO∵BD ， AD=AB=4，AB∵DC ∵∵BAD=120o， ∵∵ABD=∵ADB=∵CDB=30o， ∵OE∵DC ， ∵在RtΔAOD 中，AD=4 ， AO=1 2 AD =2 ，= 在RtΔDEO 中，OE= 1 2 OD =，3=， ∵四边形AOED 的周长为 故选：B. 7.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【详解】解：如图所示，根据题意得AO ＝1842 ?=，BO ＝1 632?=， ∵四边形ABCD 是菱形， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC∵BD ， ∵∵AOB 是直角三角形， ∵AB 5=， ∵此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B ．二次函数与特殊四边形综合问题专题训练(有答案)
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