含参变量的积分课件

第十五章含参变量的积分

教学目的与要求

1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；

2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.

3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；

4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；

6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系；

7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。

教学重点

1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；

2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分；

3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；

4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等

6 Beta函数和Gamma函数的性质。

教学难点

1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；

2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；

3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

§1 含参变量的常义积分

教学目的

1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；

2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.

教学过程

1 含参变量的常义积分的定义 （P373）

2 含参变量的常义积分的分析性质 连续性定理P374

Theorem 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数

?=d

c

dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 .

Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和

)(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数?

=)()

(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续.

例 1 求下列极限 (1)dx y x y ?

-→+1

1

2

20lim

(2) dx n

x

n

n ?

++∞→1

)1(11lim

积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.

积分号下求导定理P375—376

Theorem 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数?

=

d

c

dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且

??=d

c d c x dy y x f dy y x f dx

d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) .

Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函

数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分

?

=)

()

(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上可微 , 且

()())()(,)()(,),()(112

2)()

(21x y x y x f x y x y x f dy y x f x G x y x y x '-'+='?

. 例2 求下列函数的导数 (1) ?>+=

1

2

2

)0()ln()(y dx y x

y F (2) ?-=2

2

)(x x

xy dx e

y F

例3 计算积分 dx x x I ?++=

1

021)

1ln(.

例 4 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数 ?---=

x n dt t f t x n x 01)()()!1(1

)(φ 的1-n 阶导数存在 , 且 )()()

(x f x n =φ.

(P376定理15.1.4) 例4 求?++=

y

b y a dx x yx

y F sin )(的导数

例5 研究函数 ?

+=1

0 2

2)

()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数。

解 令2

2)

(),(y

x x yf y x g +=

，则),(y x g 在],[]1,0[d c ?连续，其中],[0d c ?。从而)(y F 在0≠y 连续。当0=y 时，0)0(=F

当0>y 时，记 0)(min ]

1,0[>=∈x f m x ，则

?

+=1

0 22)()(dx y x x yf y F ?+≥1 0 22dx y x y m y m 1

arctan = 若)(lim 0

y F y +→存在，则 ≥+→)(lim 0

y F y y m y 1arctan

lim 0

+→)0(02

F m =>=π

故)(y F 在0=y 不连续。

或用定积分中值定理，当0>y 时， ]1,0[∈?ξ，使

?+=

1

0 22)()(dx y x x yf y F ?+=1 0 22)(dx y x y

f ξ y

f y

x

f 1

arctan )(arctan

)(1

ξξ==

若)(lim 0

y F y +→存在，则

=+→)(lim 0

y F y y f y 1arctan

)(lim 0

ξ+→02

>≥m π

故)(y F 在0=y 不连续。

问题1 上面最后一个式子能否写为

y f y 1arctan

)(lim 0

ξ→0)(2

>=ξπ

f 。 事实上，ξ是依赖于y 的，极限的存在性还难以确定。 例6 设)(x f 在],[b a 连续，求证

?-=x

c

dt t x k t f k x y )(sin )(1)( （其中 ],[,b a c a ∈）

满足微分方程 )(2

x f y k y =+''。 证 令)(sin )(),(t x k t f t x g -=，则

)(cos )(),(t x k t kf t x g x -=， )(sin )(),(2t x k t f k t x g xx --=

它们都在],[],[b a b a ?上连续，则

?

-=

'x

c

dt t x k t f x y )(cos )()(

)()(sin )()( x f dt t x k t f k

x y x

c

+--=''?

y k y 2+'')()(sin )( x f dt t x k t f k x c +?--=?-+x c dt t x k t f k )(sin )()(x f =

例7 设)(x f 为连续函数，

ξηηξd d x f x F h

h ])([)(0

0?

?++=

求)(x F ''。

解 令u x =++ηξ，则

ξηηξd d x f x F h

h ])([)(00??++=??+++

=h

x x h

du u f d ξξξ

)(0

])()([)(0

??+-++='h

h

d x f d h x f x F ξξξξ

在第一项中令u h x =++ξ，在第二项中令u x =+ξ，则

])()([

)(2??+++-='h

x x

h

x h

x du u f du u f x F

)]()(2)2([)(x f h x f h x f x F ++-+=''

问题2 是否有

ξηηξd d x f x x F h h ])([)(00??++??='ξηηξd d x f x h

h ])([0

0??++??

=

例8 利用积分号下求导法求积分

dx x

x a a I ?

=

2

/0

tan )

tan arctan()(π， 1||

解 令 x

x a a x f tan )

tan arctan(),(=

2

,

0π

=x 时，f 无定义，但a a x f x =+→),(lim 0

，0),(lim 2

=-→

a x f x π，故补充定义

a a f =),0(， 0),2

(

=a f π

则f 在],[]2,0[b b -?π连续（10<

???

?

???

<=<∈+=1|| ,2,0 ,01|| ),2,0( ,tan 11),(22a x a x x a a x f a ππ

显然)0,(x f a 在2

π

=x 点不连续，但),(a x f a 分别在)0,1(]2,0[-?π和)1,0(]2,0[?π连续，

故有

?

='2

/0

),()(πdx a x f a I a ?

+=

2

/0

22tan 11

πdx x

a ， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a

令t x =tan

?+∞++='0222

)1)(

1(1)(dt t a t a I ?+∞

++--+-=0

2222

22222)1)(1(111

dt t a t a t a t a a ?+∞

+-+-=

0222

22

])1()

1(1[11

dt t a a t a |)|1(2a +=π， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a

积分之

1)1ln(2

)(C a a I ++=

π

， )1,0(∈a

2)1ln(2

)(C a a I +--

=π

， )0,1(-∈a

因为)(a I 在)1,1(-连续，故

0)(lim )0(0

==+→a I I a )(lim 0

a I a -→=

得021==C C ，从而得 |)|1ln(sgn 2

)(a a a I +=

π

， 1||

作业：P378----379 2、3、5、6、8（2）（3）、11

§2 含参变量的反常积分

教学目的

1 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；

2 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

3 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；

教学过程

1 含参变量的反常积分的一致收敛

含参变量的反常积分有两种: 无穷区间上的含参变量的反常积分和无界函数的含参变量的反常积分.

定义P379---381 无穷积分

?

+∞

a

dx y x f ),(在区间],[d c :

一致收敛: ],[,,0,000d c y A A A ∈?>?>?>?ε有

ε

+∞

A

dx y x f ),(;

非一致收敛: ],[,,0,0000d c y A A A ∈?>?>?>?ε有00

),(ε≥?

+∞A dx y x f .

2 一致收敛性的判别法 (Cauchy 收敛原理) P381 (s Weierstras 判别法)P382 例1 证明:无穷积分

?

+∞

+1

2

2cos dx y x xy

在R 一致收敛.

(Abel 判别法和Dirichlet 判别法) P382----385

(Dini 定理)P385

3 一致收敛积分的分析性质 连续性定理

积分次序交换定理 积分号下求导定理

例 2 利用积分号下求导求积分

?+∞

++=

12)()(n n a x dx

a I ， （n 为正整数，0>a ） 解 因为

1

0212)(1

)(1+++≤+n n a x a x ， 00>≥a a

而 ?+∞++0

1

02)(n a x dx

收敛，故 ?+∞

++=0

12)()(n n a x dx

a I 在00>≥a a 一致收敛。 因为

a a x a a

x dx 2arctan 1|0

02π==+∞++∞

? 故

=+?+∞

02a x dx da

d

?+∞

+-0

22)(a x dx 2

/3)21(2--=a π =+?+∞

022

2

a x dx da d ?+∞

+032)

(2a x dx 2

/5)23)(21(2---=a π 由数学归纳法易证

=+?+∞

02a x dx da d n

n

?+∞

++-0

12)(!)1(n n

a x dx n 2

1

22

!)!12()1(2+-

--=n n

n

a n π

于是 ?+∞

++=01

2)

()(n n a x dx a I 2

1

2!)!2(!)!12(2+-

-=n a n n π

例3 证明（1）?

+∞

-1sin 2

ydx e

yx 关于),0[+∞∈y 一致收敛；

（2）?

+∞

-1

sin 2

ydy e yx 关于),0[+∞∈x 不一致收敛。

证 （1）用分段处理的方法。 1>?A ，0>y ， 令

t x y = 得

|sin |2

?+∞

-A

yx ydx e

|sin |

2

?+∞

-=A

y t dt e

y

y ?+∞

-≤0

2

|sin |

dt e y

y t

|sin |

2y

y

π=

因为 0sin lim 0

=+

→y

y y ，则 0>?ε，0>?δ，当δ<

|sin |2

?+∞

-A

yx ydx e

επ<≤

|sin |

2y

y

（1）

又 2

2

|sin |x yx e y e δ--≤， δ≥y

而

?+∞

-1

2

dx e

x δ收敛，由M 判别法，?+∞

-1

sin 2

ydx e yx 在),[+∞∈δy 一致收敛，即0>?ε，

10>?A ，0A A >?，有

ε

-|sin |2

A

yx ydx e ，δ≥?y （2）

上式对0=y 显然成立，结合（1）（2）式，有

ε

-|sin |

2

A

yx

ydx e ， ),0[+∞∈y 即?

+∞

-1

sin 2

ydx e yx 关于),0[+∞∈y 一致收敛。

（2）因为0=x 时，?

+∞1sin ydy 发散，因此?

+∞

-1

sin 2

ydy e yx 关于),0[+∞∈x 不可能一致

收敛。

例4 计算积分 ?

+∞

+

-0

)

(2

22dx e

x a x 。

解 ?

+∞

+

-0

)

(2

22dx e

x a x ?+∞

---=0

2)(2dx e

a

x

a

x ?+∞

---=0

)(22

dx e

e

x

a x a

令 t x

a x =-

?+∞

∞

--dt e

t 2

?+∞

--+=0

2)()1(2

dx x a e

x

a x ?+∞

--=0)(2dx e x

a

x ?+∞

---0

)(2x a d e x a

x

在第二项积分中令 y x

a

=-

，得

?+∞

---0)(2

x a

d e

x

a x ?+∞

--=0

)(2

dy e y a

y 故 ?

+∞

+

-0

)

(2

22dx e

x

a x ?+∞

---=0

)(22

dx e

e x

a x a a e 22

-=

π

作业：P392—393 2、4（1）（2）、5、8、10、12、15

§3 Euler 积分

教学目的

1 掌握Beta 函数和Gamma 函数的定义及其相互关系；

2 掌握Beta 函数和Gamma 函数的性质。

教学过程

1 Beta 函数(第一类Euler 积分)

定义 确定定义域 Beta 函数的性质 P394

2 Gamma 函数(第二类Euler 积分) 定义 (确定定义域) Gamma 函数的性质 P395

3 Beta 函数和Gamma 函数的关系 P397 例1 求

?

∞

++->>+0

1

)0,0()

1(q p dx x x q

p p ； 例2 证明：

（1）

?+∞

∞

--Γ=

)4

1(214

dx e x （2）?+∞-->>+Γ=0)1,0)(1(1m n n

m n dx e x n

x m

作业： P404—405 1（1）（3）（7）（8）、3、7、9、10

第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件

第十五章含参变量的积分 教学目的与要求 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。 教学重点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分； 3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等 6 Beta函数和Gamma函数的性质。 教学难点 1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题； 2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；

§1 含参变量的常义积分 教学目的 1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质； 2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题. 教学过程 1 含参变量的常义积分的定义 （P373） 2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374 T h e o r e m 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数 ?=d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 . Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和 )(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数? =)() (21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续. 例 1 求下列极限 (1)dx y x y ? -→+1 1 2 20lim (2) dx n x n n ? ++∞→1 )1(11lim 2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375. 2.3 积分号下求导定理P375—376 T h e o r e m 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数? = d c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且 ??=d c d c x dy y x f dy y x f dx d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) . Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函 数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分

第十八章 含参变量的广义积分

第十八章 含参变量的广义积分 1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+? ； (2) 20 cos() ()1xy dy x y +∞ -∞<<+∞+?； (3) 1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤?； (4) 1 cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥?； (5) 20sin (0)1p x dx p x +∞ ≥+?. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) 20 (0)x dx αα-<<+∞?； (2) 0 xy xe dy +∞-?， （i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2 ()x e dx α+∞ ---∞?， （i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞ -+<<+∞?. 3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞ ?当,a b λλ==皆收敛，且a b <。求证： 0()t f t dt λ+∞ ?关于λ在[,]a b 一致收敛. 4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 22 0()x F x dy x y +∞ =+?，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y +∞ =+?，3x >； (3) 20sin ()()x x y F x dy y y π π-=-?，(0,2)x ∈.

5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，含参变量广义积分 ()(,)c I x f x y dy +∞ =? 在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛. 6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一 趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =） ，函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞ ===∑∑? 在[,]a b 上一致收敛. 7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞ =?在[,]a b 的积分交换次序 定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）. 8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()() n n dx I a x a +∞ +=+? （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-? (0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-? （0,0a b >>）； (2) 0 sin ax bx e e mxdx x --+∞ -?（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x +∞-+=+?计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx x α+∞=+? 和 120sin 1x x L dx x α+∞=+? . 11． 2 0(0)xy e dy x +∞ -=>计算傅伦涅尔积分

含参变量反常积分的几种计算方法

含参变量反常积分的几种计算方法 摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。 关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理 在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。 一 积分号下积分法 要对含参变量反常积分()(),y a g f x y dx +∞=? 实现积分号下求积分，须验证以下条件： (1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞? 在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c f x y dx +∞ ? 在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛； (3) (,)c a dy f x y dx +∞ +∞?? 及(),a c dx f x y dy +∞+∞ ?? 至少有一个收敛， 则 ()(),,a c c a dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞ +∞ +∞ =?? ?? 例1 利用2 u e du +∞ -?u=x α令2 ()0 (0)x e dx ααα+∞ -?>?，求2 e d αα+∞ -?的值。 分析：2 x e dx +∞ -?这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。 解：由已知，得()g α=2 ()0 x e dx αα+∞ -?是取常值的函数，记I=2 e d αα+∞ -?, 则 I 2=I 2 e d αα+∞ -?=2 Ie d αα+∞ -? =22 ()0 ()x e dx e d αααα+∞+∞ --??=2 2(1) x d e dx α αα+∞+∞ -+?? =2 2(1) x dx e d α αα+∞+∞ -+??= 201121dx x +∞+?=4π 故 二 积分号下微分法

含参变量的积分

含参变量的积分 1 含参变量的正常积分 1． 求下列极限： (1) 1 0lim a -→? ； (2) 2 20 0lim cos a x ax dx →? ； (3) 122 0lim 1a a a dx x a +→++? . 2．求'()F x ，其中： (1) 2 2 ()x xy x F x e dy -=?； (2) cos sin ()x x F x e =? ； (3) sin() ()b x a x xy F x dy y ++= ? ； (4) 2 2 (,)x x t f t s ds dt ?????? ? ?. 3．设()f x 为连续函数， 2 01 ()()x x F x f x d d h ξηηξ??=++???? ? ?， 求'' ()F x . 4．研究函数 1 22 () ()yf x F y dx x y =+? 的连续性，其中()f x 是[0，1]上连续且为正的函数. 5．应用积分号下求导法求下列积分： (1) 2220 ln(sin ) (1)a x dx a π ->? ; (2) 20 ln(12cos ) (||1)a x a dx a π -+

(4) 20 arctan(tan ) (||1)tan a x dx a x π >? ； (2) 1 01sin ln (0,0)ln b a x x dx a b x x -??>> ??? ?. 7．设f 为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) 0()()()x F x x y f y dy =+?； (2) ()()|| ()b a F x f y x y dy a b = -

含参变量的积分

§12.3 .含参变量的积分 教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求 (1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式． (2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明． 一、含参变量的有限积分 设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ?∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分 (,)b a f x u dx ? 存在.[,]u αβ?∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)b a f x u dx ?.于是，积分(,)b a f x u dx ?是定义在区间[,]αβ的函数，表为 ()(,), [,]b a u f x u dx u ?αβ=∈? 称为含参变量的有限积分，u 称为参变量. 定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在区间 [,]αβ也连续. ★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与f u ??在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ?=?在 区间[,]αβ可导，且[,]u αβ?∈，有 (,)()b a d f x u u dx du u ??=??， 或 (,)(,)b b a a d f x u f x u dx dx du u ?=???. 简称积分号下可微分.

第16章 含参量积分

第十六章 含参量积分 关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：dt t k ? -2/0 22sin 1π，从形式可以看出， 积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的参量。显然，若将k 视为一个变元，记t k k t f 22sin 1),(-=为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。 §1含参变量的常义积分 只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。设),(y x f 在],[],[d c b a D ?=，此时),(0y x f 是为关于x 的一元连续函数，因而可积。考虑其积分dx y x f b a ?),(0，显然其与0y 有关， 记为dx y x f y I b a ?=),()(00，更一般，引入 dx y x f y I b a ?=),()(， 称其为含参变量y 的积分。 注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。为此，先研究含参量积分的分析性质。

第十讲含参变量的积分

第十讲含参变量的积分 10 . 1 含参变量积分的基本概念 含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义 设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,?=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈． ()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数 ()()[]b a x dy y x f x I d c ,,,∈=? 为含参量二的正常积分． 一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称 ()()() () []b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=? 为含参量x 的正常积分． 同样可定义含参量 y 的积分为 ()()[]d c y dx y x f y J b a ,,,∈=?或()()() () []d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=? 2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述） ( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈?，()()( ) () ?= →000 ,lim 0x d x c x x dy y x f x I ( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有 ()()()? ????==b a b a d c b a d c dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， · ( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()() ()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x c x ' ' ' ,,,-+= ?· 以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略， 例10. l 求积分?>>-? ?? ??1 0,ln 1ln sin a b dx x x x x a b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()?>>-? ? ? ??=1 00,ln 1ln sin a b dx x x x x b I a b ，

含参量积分的分析性质及其应用

含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012年11月5日

含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数 ()x ?=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 例1 设 )sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积 分?=10 ),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续. 解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,xy 则??-=+-=y y y dx dx y F 0 1 .21)1()( 1, y<0 当y>1时, f(x,y)=-1,则?-=-=1 01)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0 -1 y>1 又因).1(1)(lim ),0(1lim 1 F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y) 在),(+∞-∞上连续. 例2 求下列极限：（1）dx a x ? -→+1 1 2 20lim α; (2)?→2 20cos lim xdx x αα. 解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由

连续性定理得dx a x ? -+1 1 22在[-1,1]上连续.则 ???--→-→==+=+1 1 22110 1 1 2201lim lim dx x dx a x dx a x αα. （2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2 ,2[]2,0[π π- ?=R 上连续,由连续性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3 8cos lim 202022 0==??→dx x axdx x α 例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ? +1 2 2) (的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是 正的连续函数. 解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数 2 2) (y x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在 区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因 dx y x x yf dx y x x yf y F ?? +-=+-=-10221 22)() ()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0. y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221 22=+-≥+=?? ,从而04 )(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?) () (),(x d x c dy y x f 在[a,b] 上连续. 例4 求? +→++α α αα 12201lim x dx . 解 记? +++α ααα1221)(x dx I .由于2211 ,1,α αα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以4 1)0()(lim 1020π αα=+==?→x dx I I . 例5 证明函数dx e y F y x ?-∞ --=0)(2 )(在),(+∞-∞上连续. 证明 对),(+∞-∞∈?y ,令x-y=t,可推得

含参变量有限积分的计算

课程论文 题目 学生毛文龙 所在院系理学院 指导教师职称 完成日期2011年6月20日

含参变量有限积分的计算 一、引言 含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。 二、定义及性质 1.积分限固定的情形 定义 设二元函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,有定义， []βα,∈?u ，一元函数()u x f ,在[]b a ,可积，即积分()?b a dx u x f ,存在。[]βα,∈?u 都 对应唯一一个确定的积分（值）()?b a dx u x f ,。于是，积分()?b a dx u x f ,是定义在区 间[]βα,的函数，表为()()?=b a dx u x f u ,?，称为含参变量的有限积分，u 称为参变 量。 性质1(连续性) 设函数()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,也连续。 这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的。即对任意[]βα,0∈u ，()()? ?→→=b a u u b a u u dx u x f dx u x f ,lim ,lim 0。 同理可证，若()u x f ,在矩形域()βα≤≤≤≤x b x a R ,上连续，则含参变量的积分()()?=d c dy y u f u ,ψ也在区间[]βα,上连续。 性质2(可微性) 若函数()u x f ,及其偏导数 u f ??在矩形区域()βα≤≤≤≤u a R ，b x 上连续，则函数()()?=b a dx u x f u ,?在区间[]βα,可导，且 []βα,∈?u ，有()()()dx u u x f u du d u b a ???== ',??。

含参变量有限积分的性质及应用

重庆三峡学院数学分析课程论文含参变量有限积分的性质及应用 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名张杨府 年级 2009级 学号 200906034142 指导教师刘学飞 2011年6月

含参变量有限积分的性质及应用 张杨府 (重庆三峡学院 数学与统计学院 2009级数本一班) 摘 要: 本文主要通过含参变量有穷积分的连续性定理、积分号下可微分定理、积分号下可积.分定理、积分次序可换定理来说明含参变量有限积分的性质，并且阐述了它在数学中的应用。 关键词: 参变量 有限积分 连续性 可微性 可积性 1 含参变量的有限积分的定义 设二元函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)有定义, 一元函数(,)f x μ在 ?μ∈[α,β]可积,即积分 (,)b a f x u dx ?存在. ?μ∈[α,β]都对应唯一一个确定的积分 (,)b a f x u dx ?.于是,积分 (,)b a f x u d x ? 是在定义区间的[α,β]函数,表为?(μ) = (,)b a f x u dx ? 称为含参变量的有限积分, μ称为参变量. 2 含参变量有限积分的性质定理 定理1 如果函数(,)f x μ在矩形域R (α≤?≤β , α≤μ≤β)连续 ,则(,)f x μ函数?(μ)= (,)b a f x u dx ? 在区间[α,β]也连续. 该定理表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算的顺序是可以交换的. 证明 ],[βα∈?u ，取u ?，使u +u ?∈],[βα,有 )()(u u u ??-?+=?-?+b a dx u x f u u x f )],(),([ |)()(u u u ??-?+|≤?-?+b a dx u x f u u x f |),(),(| 函数 ) ,(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即 0,0>?>?δε,11221212(,),(,):||,||x y x y D x x y y δδ?∈-<-<

反常积分及含参变量的积分

第十二章 反常积分与含参变量的积分 §12.1 .无穷积分 一、无穷积分收敛和发散概念 实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的 火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力2 2mgR F r =所作的 功 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号 ()a f x dx +∞ ? （或(),()b f x dx f x dx +∞ -∞ -∞ ? ? ） 称为函数()f x 的无穷积分. 设,,p R p a ?∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()a f x dx +∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()a f x dx +∞ ? （的值）， 即 ()lim ()p a a p f x dx f x dx +∞→+∞=? ? . 设,,q R q b ?∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()b f x dx -∞ ?收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞ ? （的值）， 即 ()lim ()b b q q f x dx f x dx -∞ →-∞=??. 若c R ?∈，两个无穷积分 ()c f x dx -∞ ? 与 ()c f x dx +∞ ? 都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞ ? 收敛（发散），且 ()()()c c f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =+? ? ? . 显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数2 2()mgR F r r =的无穷积分，即 例1 . 求下列无穷积分 2 , x x e dx xe dx +∞ +∞ --? ? .