第三章 三角恒等变换
1.三角恒等变换中角的变换的技巧
三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角
例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ???
?5π6－α的值.
分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π
6
－α的关系.
解.∵? ????π6＋α＋? ??
?
?5π6－α＝π，
∴
5π6－α＝π－? ??
??π6
＋α.
∴cos ?
????5π6－α＝cos ????
?
?π－? ????π6＋α
＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ??
??5π
6－α
＝－33.
二、利用目标中的角表示条件中的角 例
2.设
α
为第四象限角，若sin 3α
sin α
＝13
5
，则tan 2α＝
_______________________________.
分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13
5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan
2α.
解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
sin α
＝2cos 2
α＋cos 2α＝135
.
∵2cos 2
α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.
∵α为第四象限角，∴2k π＋3π
2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，
∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
∴2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝4
5，∴2α在第四象限，
∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－3
4.
答案.－3
4
三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3.已知sin ? ????π4－x ＝5
13，0 ? ?π4＋x 的值. 分析.转化为已知角? ????π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式 子化简，使其出现? ????π4－x 这个角的三角函数. 解.原式＝sin ? ????π2＋2x cos ? ????π4＋x ＝2sin ? ????π4＋x cos ? ?? ??π4＋x cos ? ?? ??π4＋x ＝2sin ? ????π4＋x ＝2cos ? ?? ??π4－x ， ∵sin ? ????π4－x ＝513，且0 ????0，π4. ∴cos ? ????π4－x ＝ 1－sin 2? ????π 4－x ＝1213 ， ∴原式＝2×1213＝24 13 . 四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角 例4.求函数f (x )＝1－3 2 sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值. 分析.观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ). 解.f (x )＝1－3 2 sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°] ＝12sin(x －20°)－3 2sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝2 2 sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22 . 2.三角恒等变换的几个技巧 三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 例1 3－sin 70°2－cos 2 10° ＝________. 解析.3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－sin 70°2－ 1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20° 2＝2. 答案.2 点评.常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2 θ＋cos 2 θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 2 2θ，等等. 二、化平方式 例2 化简求值： 12－12 12＋12cos 2α(α∈(3π 2 ，2π)). 解.因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π 4，π)，所以cos α>0， sin α 2 >0，故原式＝ 12－12 1＋cos 2α 2 ＝ 12－1 2 cos α＝ sin 2 α2＝sin α2 . 点评.一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2 α、2sin 2 α、(sin α＋cos α)2 、(sin α－cos α)2 . 三、灵活变角 例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π 3 ＋2α)＝________. 解析.cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π 6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79. 答案.－7 9 点评.正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3 ＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余. 四、构造齐次弦式比，由切求弦 例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ 1＋sin 2θ的值是________. 解析.cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ cos 2θ＋sin 2 θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2 θ 1＋tan 2 θ＋2tan θ＝1－14 1＋14＋2×(－12)＝3 41 4＝3. 答案.3 点评.解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ 1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘 以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －1 ·α的值 例5 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π 11的值. 解.原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π 11 ＝－24 sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11 24 sin π11 ＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π11 24 sin π11 ＝sin π 1125 sin π11 ＝1 32. 点评.这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可. 3.聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解 例1.求函数f (x )＝sin 4 x ＋cos 4 x ＋sin 2 x cos 2 x 2－sin 2x 的最值. 解.原函数变形得f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2 x 2－sin 2x ＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝? ????1＋12sin 2x ? ????1－12sin 2x 2? ??? ?1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝1 4 . 例2.求函数y ＝sin 2 x ＋2sin x cos x ＋3cos 2 x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解.原函数化简得y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ? ????2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋5 8π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2. 此时x 的集合为{x |x ＝k π＋5 8 π，k ∈Z }. 点评.形如y ＝a sin 2 ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2 ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3.求函数y ＝2sin x ＋1 2sin x －1 的值域. 解.原函数整理得sin x ＝y ＋1 2(y －1) . ∵|sin x |≤1，∴?? ?? ??y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3. ∴函数的值域为{y |y ≤1 3或y ≥3}. 例4.求函数y ＝sin x ＋3 cos x －4 的值域. 解.原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2 ＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2 . ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式???? ?? －4y －31＋y 2≤1得 －12－2615≤y ≤－12＋26 15. 点评.对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有 界性去求最值. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5.设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式. 解.y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2 x －2a cos x －(2a ＋1)＝2? ????cos x －a 22－? ?? ??a 2 2＋2a ＋1. 当a 2 <－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a 2. 当a 2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝????? 1(a <－2)，－1 2a 2 －2a －1(－2≤a ≤2)， 1－4a (a >2). 点评.形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2 ＋bt ＋c 在区间[－1，1]上的最值问题解决. 例6.试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值. 解.设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2 －1，原函数变为y ＝t 2 ＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝3 4 ；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2. 点评.一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2 ). 四、利用函数的单调性求解 例7.求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值. 解.y ＝sin 2 x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2 －1sin x ＋2 ＝(sin x ＋2)－ 1 (sin x ＋2) ， 令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，y ＝t －1 t . 利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1 t 在[1，3]上为增函数. 故当t ＝1，即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3，即sin x ＝1时，y max ＝8 3 . 例8.在Rt△ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q 的最小值. 解.AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12 a 2 tan θ.设正方形的边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝ a cos θ .BC 边上的高h ＝a sin θ， ∵AG AB ＝ h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ ， ∴x ＝a sin θ 1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2 ＝a 2sin 2θ (1＋sin θcos θ) 2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2 θ ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋? ?? ??sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0，1]上单调递减， 从而，当sin 2θ＝1时，? ?? ??P Q min ＝94. 点评.一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决. 4.行百里者半九十 ——《三角恒等变换》一章易错问题盘点 一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1.已知sin α＝ 55，sin β＝10 10 ，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解].因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝25 5 ，cos β＝ 310 10 ， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝ 55×31010＋255×1010＝22 . 因为α，β∈? ????0，π2，则α＋β∈(0，π). 所以α＋β＝π4或3π 4. [剖析].由sin α＝ 55，sin β＝10 10 ，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值. [正解].因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝25 5 ，cos β＝ 31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝2 2 . 因为α，β∈? ????0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4. 二、忽视条件中隐含的角的范围而致错 例2.已知tan 2 α＋6tan α＋7＝0，tan 2 β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值. [错解].由题意知tan α、tan β是方程x 2 ＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系，得 ? ?? ?? tan α＋tan β＝－6， ① tan αtan β＝7， ② ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1. ∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5 4 π. [剖析].由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件. [正解].由??? ? ? tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7 易知tan α<0，tan β<0. ∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π 2<β<π，∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54 π. 三、忽略三角形内角间的关系而致错 例3.在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝5 13，求cos C . [错解].由sin A ＝35，得cos A ＝±4 5， 由cos B ＝513，得sin B ＝12 13， 当cos A ＝4 5 时， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝16 65. 当cos A ＝－4 5 时， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝56 65 . [剖析].在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－4 5这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确. [正解].由cos B ＝513>0，得B ∈? ????0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±4 5 ， 当cos A ＝－45时，cos A <－12，∴A >2π 3. ∵sin B ＝1213>32，B ∈? ????0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－4 5时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾. ∴cos A ＝4 5 ， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝16 65 . 四、忽略三角函数的定义域而致错 例4.判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性. [错解].f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x ＝ 1＋2sin x 2cos x 2－? ? ??? 1－2sin 2 x 21＋2sin x 2 cos x 2＋? ?? ? ?2cos 2x 2 －1 ＝2sin x 2? ? ??? cos x 2＋sin x 22cos x 2? ? ???sin x 2＋cos x 2＝tan x 2， 由此得f (－x )＝tan ? ???? －x 2＝－tan x 2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数. [剖析].运用公式后所得函数f (x )＝tan x 2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函 数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错. [正解].事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得 sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ? ????x ＋π4≠－1， 从而sin ? ????x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π 4(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域是 ???? ??x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π 2，k ∈Z ， 显然该定义域不关于原点对称. 因此，函数f (x )为非奇非偶函数. 温馨点评.判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错. 五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)而致错 例5.若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解].∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ? ????θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ? ????θ＋π4＝±2， ∴sin ? ????θ＋π4＝±1， ∴θ＋π4＝k π＋π 2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π 4 ，k ∈Z . [剖析].∵x ＋θ与x －θ是不同的角. ∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解].∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立. 即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立. ∴cos θ＋sin θ＝0. ∵cos θ＋sin θ＝2sin ? ????θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π 4 ，k ∈Z . 5.平面向量与三角函数的交汇题型大全 平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇 例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x ，1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________. 解析.由a ∥b 得2cos 2 x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2 x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π 6 )＋1， 所以f (x )＝2sin(2x ＋π 6 )＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π 2＝π. 答案.π 点评.解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解. 二、平面向量垂直与三角函数交汇 例2 已知向量a ＝(4，5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π 2)，若a ⊥b ，则cos(2α ＋π 4 )＝________. 解析.因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝3 5 . 又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝4 5. cos 2α＝1－2sin 2 α＝725， sin 2α＝2sin αcos α＝24 25 ， 于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π 4 ＝－172 50. 答案.－172 50 点评.解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理. 三、平面向量夹角与三角函数交汇 例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2，0)的夹角为π 3 ，则θ＝________. 解析.由条件得 |m |＝sin 2 θ＋(1－cos θ)2 ＝2－2cos θ， |n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ 22－2cos θ＝ 12，整理得2cos 2 θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去). 因为0<θ<π，所以θ＝2π3. 答案.2π3 点评.解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇 例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 解析.由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝ |2a －b |2 ＝ 4a 2 ＋b 2 －4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝ 8－8cos (θ＋π 6 )≤4， 所以|2a －b |的最大值为4. 答案.4 点评.解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2 ＝a 2 .如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇 例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π 3)(－2 数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA → 等于(..) A.－32 B.－16 C.16 D.32 解析.由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4，0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2 ＝2×42 ＝32， 答案.D 点评.平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角. 6.单位圆与三角恒等变换巧结缘 单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的. 一、借助单位圆解决问题 例1.已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求tan α＋β 2 .(提示：已知A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则AB 中点的坐标为? ?? ??? ????x 1＋x 22，? ????y 1＋y 22 解.设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)均在单位圆上，如图，则以OA 、OB 为终边的角分别为α、β，由已知，sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝1 3 ，用题设所给的中点坐 标公式，得AB 的中点C ? ?? ??16，18， 如图，由平面几何知识知，以OC 为终边的角为β－α2＋α＝α＋β2，且过点C ? ????16，18，由三角函数的坐标定义，知tan α＋β2＝1 816 ＝3 4 . 点评.借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能显出它的价值. 二、单位圆与恒等变换的交汇 例2.已知圆x 2 ＋y 2 ＝R 2 与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________. 解析.如图，过O 作OM ⊥AB 于点M ，不妨设α、β∈[0，2π]， 则∠AOM ＝∠BOM ＝1 2∠AOB ＝1 2 (β－α)， 又因为∠xOM ＝α＋∠AOM ＝ α＋β 2 ， 所以tan α＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－1 2， 故tan(α＋β)＝2tan α＋β 21－tan 2α＋β 2＝－4 3. 答案.－4 3 点评.若是采用先求A 、B 两点的坐标，再求α、β的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同. 例3.如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C . (1)若α＝π6，β＝π 3 ，求点M 的坐标； (2)设α＝θ(θ∈??????0，π3)，β＝π3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最 小值时θ的取值. 解.(1)由三角函数定义可知，A ? ????32，12，B ? ?? ??1 2，32， 由中点坐标公式可得M ? ????3＋14 ，3＋14. (2)由已知得∠xOC ＝12(α＋β)＝12(θ＋π 3)， 即C ? ????cos ? ????12θ＋π6，sin ? ????1 2θ＋π6， 故m ＝cos ? ????12θ＋π6，n ＝sin ? ????1 2 θ＋π6， 所以y ＝cos ? ????12θ＋π6＋sin ? ????12θ＋π6＝2sin ? ????1 2θ＋5π12， 又因为θ∈? ?????0，π3，故5π12≤12θ＋5π12≤7π12， 当θ＝0或π3时，函数取得最小值y min ＝2sin 5π12＝3＋1 2 . 点评.借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化. 7.教你用好辅助角公式 在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2 ＋b 2 ·sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝b a 确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考. 一、求最值 例1.求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值. 解.y ＝2sin x (sin x －cos x )＝2sin 2 x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin 2x ＝1－2? ?? ??sin 2x · 22＋cos 2x ·22 ＝1－2? ????sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4 ＝1－2sin ? ????2x ＋π4， 所以函数y 的最小值为1－ 2. 二、求单调区间 例2.求函数y ＝12cos 2 x ＋32sin x cos x ＋1的单调区间. 解.y ＝12cos 2 x ＋32sin x cos x ＋1 ＝14(1＋cos 2x )＋3 4sin 2x ＋1 ＝ 34sin 2x ＋14cos 2x ＋54 ＝12? ????32sin 2x ＋12cos 2x ＋54 ＝12sin ? ? ???2x ＋π6＋54. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π 2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π 6 (k ∈Z ). 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π 2(k ∈Z )， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π 3(k ∈Z ). 所以函数的单调增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )；函数的单调减区间是[k π＋π 6 ，k π＋ 2π 3 ](k ∈Z ). 三、求周期 例3.函数y ＝cos 2 2x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是(..) A.2π B.π C.π2 D.π 4 答案.C 解析.y ＝cos 2 2x ＋4cos 2x sin 2x ＝12cos 4x ＋2sin 4x ＋12＝172sin(4x ＋φ)＋12(其中sin φ ＝ 1717，cos φ＝41717)，函数的最小正周期为T ＝2π4＝π 2 .故选C. 四、求参数的值 例4.如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π 8对称，则实数a 的值为(..) A. 2 B.－ 2 C.1 D.－1 答案.D 解析.y ＝1＋a 2 sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝a ). 因为x ＝－π8是对称轴，所以直线x ＝－π 8过函数图象的最高点或最低点. 即当x ＝－π8 时，y ＝1＋a 2或y ＝－1＋a 2 . 所以sin ? ????－π4＋a cos ? ?? ??－π4＝±1＋a 2 . 即22 (a －1)＝±1＋a 2 .所以a ＝－1.故选D.
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