忻州一中2015 2016学年度第一学期期中考试
高二数学(理科)试题
一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分)
1．直线013=-+y x 的倾斜角为
A. 0
30 B. 060 C. 0120 D. 0150
2．在ABC ?中，“0>?”是“ABC ?为锐角三角形”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件 3. 在平面直角坐标系中，点），（20与点）
（0,4关于直线l 对称，则直线l 的方程为 A. 042=-+y x B. 02=-y x
C. 032=--y x
D. 032=+-y x
4．已知两个不同的平面βα、和两条不重合的直线n m 、,有下列四个命题:
①若m //n ,α⊥m ,则α⊥n ; ②若α⊥m ,β⊥m ,则α//β;
③若m //n ,α?n ,则α//m ; ④若m //α,α ∩ β = n ,则m //n .
其中正确命题的个数是
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，
则输出的结果是 A. 1 B. 2
1- C. 4
5- D. 813- 6．直线0=+-k y kx 与圆0222=-+x y x 有公共点，
则实数k 的取值范围是
A. ]3
3,33[- B. ,33[]33,(?--∞C. ]3,3[- D. ),3[]3,(+∞?--∞
7. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误．．
的是 A. AC ∥平面11BC A B. 1BC ⊥平面CD B A 11
C. BD AC ⊥1
D. 异面直线1AD 与1DC 所成的角为0
45
8. 已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于A 、B 两不同点,O 是坐标原点,向量OA →、OB →满足
|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,则实数a 的值是
A. ±2
B. 2
C. ± 6
D. -2
9．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中
长度最长的是 A. 6 B. 7 C. 22 D. 3
10. 过点)2,1(M 的直线l 将圆：9)2(22=+-y x 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程为
A. 1=x
B. 1=y
C. 01=+-y x
D. 032=+-y x
11. 已知函数)012cos 2sin 3)(2>-+=
ωωω（x x x f 的最小正周期为π.对于函数)(x f ，下列说法正确的是
A. 在]32,6[ππ上是增函数
B. 图象关于直线125π=
x 对称 C. 图象关于点)0,3(π
-对称
D. 把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移
6
π个单位，所得函数图象关于y 轴对称 12．在三棱锥S ABC -中，⊥SA 平面ABC ,,4=SA 底面ABC ?是边长为3的正三角形，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为
A. π19
B. π28
C. π43
D. π76
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 点),(y x P 是圆1)4()322=+++y x （的任一点，则22y x +的最小值为_______.
14．命题],,0[:π∈?x p 使a x <+)3
sin(π
成立，则实数a 的取值范围为___________.
15. 在梯形ABCD 中，，422,//,===⊥AB AD BC BC AD BC AB 将梯形ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为____________.
16．圆1622=+y x 的切线与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，则|AB |最小值为
_____________.
三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)
17. (本小题满分10分)
已知公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为)*N n S n ∈（，若243+=a S ，且1331,,a a a 成等比数列
(1) 求}{n a 的通项公式；
(2) 设1
1+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和为n T . 18. (本小题满分12分)
P
如图,在四棱锥ABCD P -中,平面⊥PAD 平面ABCD ,
AB ∥,DC PAD ?是正三角形,已知,82==AD BD
542==DC AB
(1) 设M 是PC 上的一点,求证:平面⊥MBD 平面PAD ;
(2) 求四棱锥ABCD P -的体积.
19. (本小题满分12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
(1) 画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生甲成绩的中位数和学生乙成绩的众数；
(2) 求学生乙成绩的平均数和方差；
(3) 从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个，求这两个成绩中至少有一个超过90分的
概率.
20. (本小题满分12分)
在ABC ?中,角C B A 、、的对边分别是c b a 、、,若C a c b cos 2
1=-
(1) 求角A ; (2) 若bc c b 3)4=+（，32=a ，求ABC ?的面积S . 21. (本小题满分12分)
已知函数R m m x x x f ∈-+=,4||)(
(1) 若4)()(+=x f x g 为奇函数，求实数m 的值；
(2) 当3-=m 时，求函数)(x f 在]4,2[∈x 上的值域；
(3) 若0)( 22. (本小题满分12分) 圆C 满足：①圆心C 在射线)02>=x x y （上; ②与x 轴相切; ③被直线 2+=x y 截得的线段长为14 (1) 求圆C 的方程； (2) 过直线03=++y x 上一点P 作圆C 的切线，设切点为E 、F ，求四边形PECF 面积的最小值，并求此时?的值. 附加题（每小题5分，共15分） 23．直线m x y +=与圆422=+y x 交于不同的两点N M 、，且|3||ON +≥, 其中O 为坐标原点，则实数m 的取值范围是___________. 24．已知矩形ABCD 顶点都在半径为R 的球O 的表面上，且33==BC AB ，,棱锥 A B C D O -的体积为23，则=R ___________. 25．函数2)2(1+-=x y 图象上存在不同三点到原点的距离构成等比数列，则以下 不可能．．． 成为公比的数是 A. 23 B.21 C. 33 D. 3 忻州一中2015 2016学年度第一学期期中考试 高二数学(理科)参考答案及评分标准 一．选择题(每小题5分，共60分) 1-5: DBCBC 6-10: ADACD 11-12:DB 二．填空题(每小题5分，共20分) 13. 4 14. 2 3->a 15. 340π 16. 8 三．解答题(本大题共6小题，共70分) 17．（10分）解：(1) 设等差数列}{n a 的公差为d , 由243+=a S 得：233311++=+d a d a ∴11=a ………2分 又∵1331,,a a a 成等比数列 ∴13123a a a = 即)12()2(1121d a a d a +=+ 得：2=d ………4分 ∴122)1(1-=-+=n n a n ………5分 (2) )1 21121(21)12)(12111+--=+-==+n n n n a a b n n n （ ………7分 ∴)]1 21121()5131()311[(21+--+??????+-+-= n n T n =12]1211[21+=+-n n n ………10分 18．解：(12分)(1)在△ABD 中，AD=4，BD=8，AB=54 ∴222AB BD AD =+ 故BD AD ⊥ ………2分 又 平面⊥PAD 平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD,?BD 平面ABCD ∴⊥BD 平面PAD ………4分 又?BD 平面MBD ∴平面⊥MBD 平面PAD ………5分 (2)过P 作AD PO ⊥交AD 于O, 平面⊥PAD 平面ABCD ∴⊥PO 平面ABCD ∴PO 为四棱锥ABCD P -的高,且PO=23 ………8分 又四边形ABCD 是梯形,且Rt △ADB 斜边AB 上的高为5585 484=?即为梯形ABCD 的高 ∴梯形ABCD 的面积为2455825452=?+= S ………10分 故31632243 1=??=-ABCD P V ………12分 19．（12分）解：（1）茎叶图如下： ………2分 学生甲成绩中位数为83，学生乙成绩众数为8 ………4分 （2））（乙9592908583280758 1 +++++?+=x =85 ………6分 222222)8585()8583()8580()8580()8575[(8 1-+-+-+-+-=乙S ])8595()8592()8590(222-+-+-+=41 ………8分 （3）甲同学超过80分的成绩有82 81 95 88 93 84， 任取两次成绩，所有基本事件为：（82,81），（82,95），（82,88），（82,93），（82,84），（81,95），（81,88），（81,93），（81,84），（95,88），（95，93），（95,84），（88,93），（88,84）， （93,84）共15个 ………10分 其中至少有一次超过90分的基本事件为：（82,95）（82,93）（81,95）（81,93）（95,88）， （95，93），（95,84），（88,93）（93,84）共9个。 ………11分 ∴这两次成绩中至少有一次超过90分的概率为5 3159=. ………12分 20．（12分）解：(1)由正弦定理得：C A C B cos sin sin 2 1sin =- ………2分 又∵)sin(sin C A B += ∴C A C C A cos sin sin 2 1)sin(=-+ 即 C C A sin 2 1sin cos = ………4分 又∵0sin ≠C ∴21cos =A 又A 是内角 ∴060=A ………6分 (2)由余弦定理得：bc c b bc c b A bc c b a 3)(cos 2222222-+=-+=-+=………8分 ∴12)(4)2=+-+c b c b （ 得：6=+c b ∴ 8=bc ………10分 ∴=S 322 3821sin 21=??=A bc ………12分 21．（12分）解：(1) ||4)()(m x x x f x g +=+=， 若函数)(x g 为奇函数,则)()(x g x g -=- ∴||||m x x m x x +-=+-- 即0|)||(|=--+m x m x x 对R x ∈恒成立 ∴0||||=--+m x m x 22)()m x m x -=+?（ 即0=mx 对R x ∈恒成立 ∴0=m ………4分 (2) 当3-=m 时,???∈-+-∈--=--==) 3,2[,43]4,3[,434|3|)(22x x x x x x x x x f y 当]4,3[∈x 时，432 --=x x y 在]4,3[上为增函数 ∴]0,4[-∈y ………6分 当)3,2[∈x 时，432-+-=x x y 在)3,2[上为减函数 ∴]2,4--∈ （y ………7分 ∴函数)(x f 在]4,2[∈x 上的值域? -]0,4[]0,4[]2,4-=--（ ………8分 (3) 0)( + 即x m x x 44<+<- 即x x m x x -<<+-4)4(对]1,0(∈x 恒成立 ………10分 令)4()(x x x h +-=，则)(x h 在]1,0(上是增函数，∴5)1()(max -==h x h ∴5->m ………11分 再令令x x x t -=4)(，则)(x t 在]1,0(上是减函数，∴3)1()(min ==t x t ∴3 综上，实数m 的取值范围是35<<-m ………12分 22．（12分）解：(1) 圆心C 的坐标为 )0)(2,>a a a （，半径为r . 则有?? ???+-+==222)222()2142a a r a r （ 解得???==21r a ………4分 ∴圆C 的方程为4)2()122=-+-y x （ ………5分 (2) 由切线的性质知：四边形PECF 的面积S=|PE|?r=r 22||r PC -=4||22-PC ∴四边形PECF 的面积取最小值时，|PC|最小， ………8分 即为圆心C(1,2)到直线x+y+3=0的距离d=3 2. ∴|PC|最小为23 ∴四边形PEMF 的面积S 的最小值为142 ………10分 此时|PE →|=|PF →|=14,设∠CPE=∠C PF=α , 则3 2||sin ==PC r α ………11分 ∴?=|PE →|2cos2 =|PE →|2 (1-2sin 2 )=9 145))32(21(142=- ………12分 附加题：（每小题5分，共15分） 23. ]2,2[- 24. 3 25. B
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