数学必修1专题1：抽象函数的单调性
1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析
(1） 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．
证明：令0==y x ，则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f
令x y -=，则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =-
在R 上任取21x x ，
,且使21x x < 0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f <
由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数
（2） 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足)()()(y f x f xy f +=，且当1>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．
证明:令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=,则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f x
f -= 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x <
0)()1()()()(1
21212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数
(3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，且对一切00>>y x ，都有)()()(y f x f y
x f -=，当1>x 时，有0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．
证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f
任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 则0)(
)()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数
2. 简短评价
(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；
（2） 其实我们可以看出解题的思路大致一样:求出)0(f 或)1(f ;令x y -=或x
y 1=
针对练习：
1。 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足1)2(=f ，且对于定义域内任意x 、y 都有)()()(y f x f xy f +=成立，那么=+)4()1(f f _______
2。 定义在R 上的函数)(x f 满足xy y f x f y x f 2)()()(++=+ )(R y x ∈，,2)1(=f ，则=-)3(f _______
3。 已知函数)(x f 在定义域()∞+，0上为增函数，且满足)()()3(y f x f xy f +=，1)3(=f
（1) 求)27()9(f f ，的值;
(2) 解不等式2)8()(<-+x f x f
4. 设函数)(x f 对任意的R b a ∈，，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且当0>x 时，1)(>x f
（1） 求证:)(x f 是R 上的增函数
(2） 若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f
5. 设函数)(x f 是定义域为R,并满足)()()(y f x f y x f +=+，1)3
1(=f ，且当0>x 时，0)(>x f （1） 求)0(f 的值；
（2） 判断函数的奇偶性;
(3） 如果2)2()(<++x f x f ,求x 的取值范围
6。 已知函数)(x f 对一切R y x ∈，，都有)()()(y f x f y x f +=+，若a f =-)3(，则是否可以用a 表示)12(f
7. 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f +=
（1) 求)1(f
(2) 证明:)(x f 在定义域上是增函数
(3) 如果1)3
1(-=f ，求满足不等式2)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围 8。(河南省许昌市四校高一（上)期中联考）已知定义域为（0，+∞）的函数)(x f 满足:①x＞1时，0)( 1(=f ③对任意的正实数x ，y ，都有)()()(y f x f xy f += （1) 求证：0)1(=f ，)()1(x f x f -=； （2） 求证：)(x f 在定义域内为减函数； (3) 求不等式2)5()2(-≥-+x f f 的解集． 9.（湖南永州市祁阳四中高一（上)期中数学试卷)已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()()(y x f y f x f +=+,当x ＜0时2)1(0)(= (1) 求证:)(x f 为奇函数； （2） 求)(x f 在[﹣3，3]的最值； （3） 当t ＞2时，0)2log (log )log (2222<--+t f t k f 恒成立，求实数k 的取值范围． 10。 已知函数)(x f 定义域为[﹣1，1］，若对任意的]11[，，-∈y x ， 都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，有0)(>x f （1) 证明:)(x f 为奇函数； （2） 证明：)(x f 在[﹣1，1]上为单调递增函数； （3） 设1)(=x f ，若12)(2+- -∈a 恒成立，求实数m 的取值范围。 11. 已知)(x f 的定义域为()∞+，0,且满足)()()(1)2(y f x f xy f f +==， ，又当y x >时,)()(y f x f > （1) 求)4()1(f f 、的值; （2） 如果2)3()(≤-+x f x f ，求x 的范围 12. 设)(x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且对任意()∞+∈，、0y x 都有)()()(y f x f y x f -= （1) 求)1(f (2） 若1)4(=f ，解不等式2)1()6(>-+x f x f 数学必修1专题1：抽象函数的单调性 1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析 (1） 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明． 证明：令0==y x ，则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f 令x y -=，则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =- 在R 上任取21x x ， ,且使21x x < 0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f < 由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数 （2） 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足)()()(y f x f xy f +=，且当1>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明． 证明:令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=,则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f x f -= 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 0)()1()()()(1 21212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数 (3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，且对一切00>>y x ，都有)()()(y f x f y x f -=，当1>x 时，有0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明． 证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 则0)( )()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数 2. 简短评价 (1) 注意三类函数的定义域不同的区别； （2） 其实我们可以看出解题的思路大致一样:求出)0(f 或)1(f ;令x y -=或x y 1= 函数的单调性 【学习目标】 1.理解函数的单调性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3．学会运用单调性的定义求函数的最大（小）值。 【要点梳理】 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 2013届高三理科数学研究性学习（9） 专题六：函数单调性和奇偶性若干问题研究 探究一：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题 1. 对于定义在R 上的函数)(x f ，给出三个命题： （1）若)2()2(-f f =，则)(x f 是偶函数；（2）若)2()2(-f f ≠，则)(x f 不是偶函数； （3）若)2()2(-f f =，则)(x f 一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________ 2. 下列命题中，说法正确的是____________ （1）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； （2）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 不是R 上的单调减函数； （3）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间[)+∞,0上也是单 调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； （4）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间()+∞,0上也是单 调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； 3. 已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，若[]1,1,-∈b a ，且0≠+b a 时，恒有 0)()(>++b a b f a f .（1）判断)(x f 在[]1,1-上是增函数还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式)6()15(2 x f x f <- 探究二：抽象函数的单调性和奇偶性问题 抽象函数的具体模型 )()()(y f x f y x f +=+ )()()(y f x f xy f += )()()(y f x f y x f =+ )()()(y f x f xy f = 类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题 ① x R ∈，()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，如何证明()f x 为奇函数？ ② x R ∈，()f x 满足()()()f xy f x f y =+，如何证明()f x 为偶函数？ 类型二：抽象函数证明函数的单调性问题 ① 若,R x ∈且()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+证明其单调性 ② 若,R x ∈()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =证明其单调性 例：设)(x f 是定义在R 上的函数，对R n m ∈,恒有)()()(n f m f n m f =+，且当0>x 时，1)(0< 抽象函数单调性的判断 例１ 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有)()()(y f x f y x f +=+．且当x ＞０时，)(x f ＞０，试判断)(x f 的单调性，并说明理由. 解析：根据题目所给条件，原型函数为y ＝k x ，（k ＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设12,x x ∈R ，且21x x <，则2x －1x ＞０，故 )(12x x f -＞０． ∴ )(2x f －)(1x f ＝[]112)(x x x f +-－)(1x f ＝)(12x x f -＋)(1x f －)(1x f ＝)(12x x f -＞０． ∴)(1x f ＜)(2x f ． 故)(x f 在（－∞，＋∞）上为增函数． 例２ 已知函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0)+∞，上为增函数， 证明()y f x =在(0)-∞，上也是增函数． 解析：此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>，而奇函数这个条件正是转化的媒介． 设12(0)x x ∈-∞，， ，且12x x <， ()f x 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-，22()()f x f x -=-． 由假设可知1200x x ->->， ，即12(0)x x --∈+∞，，，且12x x ->-， 由于()f x 在(0)+∞，上是增函数， 于是有12()()f x f x ->-，即12()()f x f x ->-，从而12()()f x f x <， ()y f x ∴=在(0)-∞，上是增函数． 例３ 已知函数)(x f 对于任意正数x ，y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0, 当x ＞1时, )(x f ＜1．试判断)(x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由． 解析：此函数的原型函数可以为x y 1 =．显然此函数在（０，＋∞）上是减函数． 对于x ∈（０，＋∞）有)(x f ＝[]0) ()(2≥=⋅x f x x f 又)(x f ≠０， ∴)(x f ＞０ 专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案 一、选择题 1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式 ()121f x -≤-≤的解集为 A . []1,1- B ． []0,4 C ． []2,2- D ． []1,3 【答案】D 2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ） A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 【答案】C 【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{ 3212 a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A . 3．已知()f x 是偶函数，它在[ )0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫ ⋃+∞ ⎪⎝⎭ D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：偶函数 () f x 在 [)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知 ，得 ，故选项B 正确． 考点：偶函数的单调性及其运用． 【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等 式 ，解得 ，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区 间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解． 4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[ )0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ） 1、已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求 证：是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x) 都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0 6、 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、 已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项 练习(含答案) 高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练 一、函数单调性相关练题 1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在 区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1. 2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上 是减函数。 证明：对于x1 4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞). 5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且 对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与 f(15). 1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是 减函数，对于x<3，f(x)是增函数。因此，f(6) 1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞). 2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞). 3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞). 4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞). 8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围. 因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有 f(x)>f(1)。因此，a^2-a+1>0，即a^2-a+1/4>1/4，所以(a- 1/2)^2>1/4，即|a-1/2|>1/2.因此，实数a的取值范围为a1. 浅谈“穿”“脱”函数外套在办理抽象函数的单一性 的重要作用 1．“穿”函数外套 依据函数单一性的定义，函数f(x)在区间D上为增（减）函数，x1,x2 D 且x1x2f(x1) f(x2),(f(x1)f(x2)) 。则把x1x2 f(x1)f(x2),(f(x1)f(x2)形象地称为“穿”函数外套。 【经典例题1】已知函数f(x)在xR上是奇函数，且在区间0,1上是减函数，则f(-0.3),f(-1),f(1)的大小关系是__________ 〔技法攻略〕由于函数f(x)在xR上是奇函数，且在区间0,1上是减函数，因此函数f(x)在1,1上是减函数，因此f(-1)>f(-0.3)>f(1). 〈解题秘笈〉“穿”函数外套，其实质就是对单一性定义的正向理解，常用于比较函数值的大小、不等式的证明等。 2.“脱”函数外套 函数f(x) 在区间D上为增（减）函数，x1,x2D 且f(x1)f(x2) x1x2(x1 x2)。则把f(x1) f(x2)x1 x2(x1 x2)形象地称为“脱”函数外套。 【经典例题2】已知函数f(x)是定义在1,1上的减函数，且函数f(x) 是奇函数。若f(x)知足f(1a) f(1 a2) 0，务实数a的取值范围。〔技法攻略〕将不等式变形为f(1 a) f(1 a2) 由于函数f(x)是奇函数，因此f(1 a2) f(a2 1)，故f(1 a) f(a2 1) 1 1a 1 又由于函数f(x)是定义在1,1上的减函数，因此 1 a2 11解的 1a a2 1 0a1 〈解题秘笈〉“脱”函数外套,其实质就是对单一性定义的逆向应用，常用于抽象函数问题中的解不等式，求参数的范围等。 3.“穿脱”交替 【经典例题3】已知函数f(x)是定义在R上的减函数，且 f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1.若f(x)知足不等式f(2x+1)>f(x)+2，务实数x的取值范围 〔技法攻略〕由f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1.得f(2)=f(1)+f(1)=2 故原不等式可化f(2x+1)>f(x)+f(2).由f(x+y)=f(x)+f(y)，得 f(2x+1)>f(x+2)。由f(x)是定义在R上的减函数，得2x+1 函数的单调性 【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】计算机、投影仪． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： (1) 由于某种原因，2008年奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2) 通过查阅历史资料研究奥运会开幕式当天气温变化情况. 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事. 下图是市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数 在整个定义域内 y随x的增大而减小． (2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． (3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小． 抽象函数综合 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题.因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开.抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等.主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题. 题型一抽象函数单调性的证明 例1函数f(x)对一切实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)>0，试判断函数f(x)的单调性，并说明理由. 变式练习 1.已知函数f(x)，对于任意的a,b∈R，都有f(a+b)＝f(a)＋f(b) -1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3. 2.设函数f(x)是实数集R上的单调增函数，令F(x)=f(x)-f(2-x). (1)求证：F(x)在R上是单调增函数； (2)若F(x1)+F(x2)>0，求证：x1+x2 > 2 3.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，满足条件： (1)f(xy)=f(x)+f(y);(2)f(2)=1 (3)在(0,+∞)上是增函数。 如果f(2)+f(x-3)≤2，求x的取值范围。 4.已知定义在区间(0, +∞)上的函数f(x)满足，且当x>1时，f(x)<0. （1）求f(1)的值； （2）判定f(x)的单调性，并证明； （3）若f(3)=-1，求f(x)在[2,9]上的最小值。 题型二抽象函数与奇偶性 例2.已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0. 求证：(1)f(x)是偶函数； (2)f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的 变式练习 1.f(x)为不恒为0，x∈R，若对于任意实数x,y,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，求证：f(x)是偶函数。 函数的单调性与最值 一、函数单调性的判定 〖例1〗(2011·江苏高考) (1)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. (2)判断函数 + = + x2 y x1 在(-1，+∞)上的单调性. 〖例2〗求函数的单调区间 ^ 〖例3〗设， (1) 试判断函数的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2) 若的反函数为，证明:对任意的自然数n(n≥3)，都有; 二、应用函数的单调性 〖例1〗(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m) 〖例2〗已知函数f(x)对于任意a ，b ∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x ＞0时，f(x)＞1． (1)求证：f(x)在R 上是增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m 2-m-2)＜3； (3)若关于x 的不等式f(nx-2)+f(x-x 2)＜2恒成立，求实数n 的取值范围． ！ 三、抽象函数的单调性及最值 〖例1〗已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+) (1 x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论 ( 〖例2〗已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x ＞0时，f(x)＜0,f(1)=23 . (1)求证：f(x)在R 上是减函数； (2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值． 学科教师辅导教案―函数单调性 教学内容 1、概念： 单调增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A. 如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时， 都有f(x 1) < f(x 2)， 那么就说y=f(x)在区间I 上是单调增函数，I 称为y=f(x)的单调增区间. 单调减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆ A. 如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2，当x 1< x 2时， 都有f(x 1) > f(x 2)， 那么就说y=f(x)在区间I 上是单调减函数，I 称为y=f(x)的单调减区间. 2、函数单调性的几何意义： 函数的单调性在图像上的反映是：若f(x)在区间I 上是单调增函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是上升的； 若f(x)在区间I 上是单调减函数，则它的图像在I 上的部分从左到右是下降的； 3、单调区间： 如果函数y=f(x)在区间I 上是单调增函数或者单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性.单调增区间 和单调减区间统称为单调区间. 【注意点】1、在函数的单调性定义中，x 1,x 2有三个特征：一是任意：即区间内任意取两个值x 1,x 2；二是有大小： 一般设x 1< x 2；三是同属于一个单调区间：任意x 1,x 2∈I. 2、理解函数单调区间应注意的问题： ①函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须先求函数的定义域； ②单调区间可以是开区间，也可以是闭区间.但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点，要用开区间； ③一个函数出现两个或两个以上单调区间时，不能用“∪”，而应用“，”或“和”连接； 如x y 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上为减函数，而不能说在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数； ④函数的单调性是一个局部性质，介绍函数单调性时，一定要指出在哪一个区间上，而不能笼统说函数是单调的； ⑤单调性与单调函数的区别：单调性是指在函数定义域的子区间上具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单 调性，如x y 1=在（-∞，0）和（0，+∞）上分别具有单调性，但是它不是单调函数；函数y=3x+1在整个定义域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数. 域上是单调递增的，具有单调性，是单调函数. 知识模块1函数单调性的概念 y 2y 1 x y =x 2 x 2 0 x 2 x 1 x y y =x 2 0 y 1 x y y 2 x 1 教学目标1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法 2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点 重难点 3.会求一些简单函数的定义域、函数值。 【知识回顾与能力提升】 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域与值域： 函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函 数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． 2．区间概念(a，b为实数，且a＜b) 定义名称符号数轴表示 {x|a≤x≤b}闭区间[a，b] {x|a＜x＜b}开区间(a，b) {x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b) {x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b] 3.其他区间的表示 定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a) 4.函数相等 如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们称这两个函数相等． 【新知识梳理与重难点点睛】 1．定义域为I的函数f(x)的增减性 2．函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 要点一函数单调性的判定与证明 例1求证：函数f(x)＝1 x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 跟踪演练1已知函数f(x)＝2－x x＋1 ，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数． §1.3函数的基本性质 1.3.1单调性与最大(小)值 第1课时函数的单调性 学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性. 知识点一增函数与减函数的定义 设函数f(x)的定义域为I： (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 1.如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数.(×) 2.函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).(√) 3.若函数y＝f(x)在定义域上有f(1) 函数的单调性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性； 2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用； 一、函数单调性的定义 1、图形描述： 对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。 2、定量描述 对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。 3、单调性与单调区间 若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒： 1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2 x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(] ,0x ∈-∞时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。 二、用定义证明函数的单调性： 定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设21,x x 是区间上的任意两个实数，且1x <2x ； 2、作差定符号：即()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 3、判断定结论： 即根据定义得出结论。 高中数学专题--抽象函数 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法〔如化归法、数形结合法等〕，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f ) x (f )y x (f = ] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题 七、周期性与对称性问题 八、综合问题 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.假设函数y = f 〔x 〕的定义域是[－2，2]，则函数y = f 〔x+1〕+f 〔x －1〕的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。 高中数学必修一专题讲解 高中数学必修一专题讲解（集锦） 专题一：抽象函数常见题型解法 总章——抽象函数的考察范围及类型 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 一.定义域问题--------多为简单函数及复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 1 1≤ ≤ -x。 解：f(x)的定义域是 []2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析：已知f(x)的定义域是A ，求 ()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是 []2,1- ，求函数()⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数 ()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[]11log ,13 评析： 已知函数 ()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ϕ的值域。 练习：定义在 (]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1 (x)，则y=f -1 (2-3x)的定义域为 ，值域为 。(]8,3,34,0⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡ 二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验; 例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2 )=f(x)+2[f(y)]2 且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： ,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2 , 令x=y=0,得： f(0)=0, ∴f(1)= 2 1,.22001 )2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即 ②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1 (x),由y=f(x+1)及y=f -1 (x+2)互为反函数，则f(2009)= . 解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1 (x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918. 例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1 解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1 即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.(完整)数学必修1专题1：抽象函数的单调性
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