抽象函数中的单调性问题
摘要：单调性函数是函数中的一个重要特性，它被广泛应用于数学和经济学中。介绍了函数单调性评判的几种方法和几个结论，先针对具体函数从函数单调性定义入手，先后给出定义法，导数法，函数性质法，图像法和复合函数单调性评判法；其次，对不给具体函数表达的抽象函数给出定义法与复合函数法。
关键词：函数；单调性；特定功能；抽象函数
函数作为研究现实世界数量关系的数学模型，其最基本和最主要的特性就是函数的单调性。函数单调性对高中数学学习具有重要作用，包含数形结合，分类讨论等数学思想。同时函数的单调性也为学生以后学习高等数学提供了依据。[1]所以如何判断函数是否单调变得非常重要。对于具体函数与抽象函数的单调性判断问题，文章引入了如下一些方法。
一、特定函数单调性判断法
（一）定义的方法
通常情况下，设定f是定义于D中的函数。若对任何x1、x2∈D，当x1f
（x2））成立时，称f为D上的严格增（减）函数。[2]
应用定义，证明了函数y=f（x）单调于给定间隔D的一般程序：
（1）设元，任取x1,x2∈D且x1
（2）作差f（x1）-f（x2）；
（3）变形（一般采用因式分解与配方相结合）；
（4）断号（即判断f（x1）-f（x2）和0的尺寸）；
（5）定论（即指出函数f（x）给定区间D单调性）。
例1通过定义证明了（判断）函数/（0,+∞）中单调性。
证明设x1、x2∈（0,+∞），且x1又00，
每小时x1x2-k≈0对于f（x1）-f（x2）≤0来说，这时函数f（x）是一个
减函数；
当/时x1x2-k>0,f（x1）-f（x2）<0，此时函数f（x）为增函数。
总之，函数/是区间/范围内的减函数；区间/内是一个增函数。
本题函数f（x）是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时，通常需要
进行因式分解，由于x1x2-k与0的大小关系（k>0）不明确，所以要分段讨论。
利用定义法确定函数单调性更适合于定义域中任意两个数字x1和x2在x1
解题中，定义法最为直接，是大家最先想到的一种办法，尽管此法思路清晰一些，但是一般流程较为繁琐。
（二）导数法（具体函数万能方法）
函数的单调性与导数的关系：在某个区间（a,b）内，如果f′（x）>0，那
么函数y=f（x）在这个区间内单调递增，如果f′（x）<0，那么函数y=f（x）
在这个区间内单调递减。
（三）函数性质的方法
基本初等函数性质法，就是利用单调函数的特征，对函数单调性进行判定。
函数性质法一般是和我们常用的简单函数单调性综合运用。运用常见的有关函数
单调问题的若干性质，可以归纳出以下几点结论。
（1）f（x）与f（x）+C单调性相同。（C为常数）
（2）当k>0时，f（x）与kf（x）的单调性相同；当k<0时，f（x）与kf （x）的单调性相反。
（3）如果f（x）恒不等于零时，则f（x）与/具有相反的单调性。
（4）当f（x）和g（x）均为D的增（减）函数，f（x）加g（x）为D的减（减）函数。
（5）当f（x），g（x）在D上都是增（减）函数，且都恒大于0时，则f （x）g（x）在D上是增（减）函数；当f（x）和g（x）均为D的增（减）函数并且二者均恒小于0时，f（x）g（x）为D的减（增）函数。
（6）设y=f（x），x∈D是严格增（减）函数，则f必有反函数f-1，且f-1在其定义域D上也是严格增（减）函数。
例2判断f（x）=x+x3+log2x3+2x+1（x2+1）+5的单调性。
解函数f（x）的定义域为（0,+∞），由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3均为增函数，因为2x+1>0,x2+1>0，由性质（5）可得2x+1（x2+1）也是增函数；由单调函数的性质（4）知x+x3+log2x3为增函数，再由性质（1）知函数f（x）=x+x3+log2x3+2x+1（x2+1）+5在（0,+∞）为单调递增函数。
函数性质法仅能借助所熟知的单调函数来判定某些函数是否单调，所以先将函数等效转化为所熟知单调函数四则混合运算形式，再利用函数单调性这一特性来进行判断，但是有一些函数无法转化为简单单调函数四则混合运算的形式是无法用此法进行判断的。
（四）图像法
利用函数图像判断其单调性，称为图像法。[5]根据单调函数图像特征，如果函数f（x）图像在区间I处由左向右逐渐升高，那么函数f（x）就是区间I 处的增函数；如果函数f（x）图像在区间I上从左到右逐渐下降，那么函数f （x）在区间I上就是一个减函数。
例3如图所示，它是闭区间[-5,5]中函数y=f（x）所定义的一个图像，试图确定它的单调性。
函数y=f（x）的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）。其中函数y=f（x）在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数
y=f（x）在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数y=f（x）在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从左往右逐渐上升的，则函数y=f（x）在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。
利用函数图像法评判函数单调性更为直观，函数图像能形象表达函数值随自变量增大而增大的趋势，但是作图一般较为繁琐。对较易做出形象的函数采用形象法较为简单直观，可与物理中的波叠加相似地粗略绘制形象。而且对不便于作图的功能也不甚适用。但是若借助有关数学软件去对函数进行成像，则利用成像法来判断函数单调性就很简单和方便。
（五）复合函数单调性的判断方法
定理若函数y=f（u）在U内单调，u=g（x）在X内单调，且集合{u|u=g （x），x∈X}⊂U.
（1）若y=f（u）是增函数，u=g（x）是增（减）函数，则y=f[g（x）]是增（减）函数。
（2）若y=f（u）是减函数，u=g（x）是增（减）函数，则y=f[g（x）]是减（增）函数。
概括这个定理可以得到口诀：同是增加，异是减少（同增异减）。[6]
确定复合函数y=f[g（x）]单调性的一般步骤：
（1）将其合理分解为2个基本的初等函数：y≠f（u）和u≠g（x）；
（2）分别求解了两种基本初等函数在定义域内；
（3）分别定义了单调区间；
（4）如果相应区间内两个基本初等函数单调性同时单调递增或单调递减，那么y=f[g（x）]就是增函数，如果是一增一减，那么y=f[g（x）]就是减函数（同增异减）；
（5）求相应区间的交集，既是复变函数y=f[g（x）]的单调区间。
例4求f（x）=loga（3x2+5x-2）（a>0且a≠1）的单调区间。
解由题可以得到函数f（x）=loga（3x2+5x-2）由外函数y=logau与内函数u=3x2+5x-2组合而成。由问题可知，函数f（x）定义域为/内函数u=3x2+5x-2为/内增函数、（-∞,-2）减函数。
1如果a>1，则外函数y=logau是增函数，由同增异减法则得到，因此函数f （x）是/上增函数；函数f（x）为（-∞,-2）中的减函数。
2若0函数f（x）为（-∞,-2）中的增函数。
二、对抽象函数单调性进行判定的方法
若函数不给具体解析式则称此类函数为抽象函数。抽象函数无具体解析式，需要充分抽取题目条件所给信息。
通过作差（或者作商），根据题目提出的信息进行变形，再与0（或者1）进行大小关系的比较，判断其函数的单调性。
按照单调函数的定义试图从题中凑出“f（x1）-f（x2）”式，再将f（x1）-f（x2）和0之间的尺寸关系进行比较。
例5已知函数f（x）对于任意实数m、n都有f（m+n）=f（m）+f（n），并且当m>0时，f（m）>0，试讨论函数f（x）的单调性。
解由题得f(m+n)-f(m)=f(n),令x1 + n,x2=m,且x1, 且 x1 Last Night Students Last Night Students
又由题意当m>0时，
f（m）>0⟹f（x1）-f（x2）=f（n）>0，所以函数f（x）为增函数。
对抽象函数而言，因抽象函数并无具体解析式，所以需要充分抽取题中条件所给信息并观察其结构特点。利用定义法确定抽象函数的单调性更适合于对定义域中任意两个数字x1和x2而言，在x1定义法最为直接，思路清晰，解题时灵活地选用方法。
结语
文章在对单调性进行界定的基础上，归纳出常用的单调性判定方法。文中将函数分成具体函数与抽象函数两类加以论述，并对各类函数给出几种单调性判断方法。对特定函数，我们可采用各种方法来判断函数的单调性，尤其是导数法具有普遍的适用性，如果借助计算机，图像法又是最为简便直观的。对抽象函数单调性的定义方法。这类试题既抽象又综合性强，要求学生思维能力强，常常难以找到数学符号和数学语言的内在联系。所以在评判函数单调性问题时，要灵活地选用合适的方式，这样才能让解题过程变得最为简便。
参考文献
[1]赵闻敏.高一学生函数单调性学习的研究[D].上海：华东师范大学，2015.
[2]张萍，戴志祥.函数单调性定义的理解及应用[J].河北理科教学研究，2012(6)：24-26.
[3]王成霞.导数法与函数的单调性[J].高中数学教与学，2003(4)：8-9.
[4]焦景会.判断函数单调性的通法[J].高中数理化：高一，2007(10)：4-5.
1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求 证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式 【高考地位】 函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。 【方法点评】 确定抽象函数单调性解函数不等式 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 （定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性； 第二步 （转化）将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式； 第三步 （去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集； 第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范. 例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式 ()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________． 【答案】11, 2? ?- ??? . 例2.已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有： ()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >． （1）求()0f ； （2）求证：()f x 在R 上增函数； （3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()() 223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）(]5,3--． 即()2 130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立， 令()()2 13g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可． ①当 1 12 a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-， ②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2 min 111130222a a a g x g a +++????==-++> ? ????? 解得11a -<<，而13-<-，所以31a -≤<， 综上，实数a 的取值范围是(]5,3-- 【变式演练1】 设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2 ()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） 抽象函数解单调性的求法 1.定义在R 上的函数()y f x =，()00f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=，求证： （1）()01f =； （2）对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）()f x 在R 上是增函数. 2.定义在()0,+∞上的函数()f x ，满足()()()(),0f mn f m f n m n =+>，且当1x >时，()0.f x > （1）求()1f 的值； （2）证明()f x 在()0,+∞上是增函数； （3）若()21f =，解不等式()()22 2.f x f x +-> 3.已知函数()f x 对任意的x ，y 有()()()f x f y f x y +=+且0x >时，()0f x <，()213 f =-。 （1）求证()f x 是R 上的减函数； （2）求()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值 4.定义在R 上的函数()y f x =，()00f ≠，当0x >时，()1f x <，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=，求证： （1）()01f =； （2）对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）()f x 在R 上是减函数. 5.定义在()0,+∞上的函数()f x ，满足()()()(),0f mn f m f n m n =+>，且当1x >时，() 1.f x < （1）求()1f 的值； （2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数； （3）若()21f =，解不等式()()22 2.f x f x +->？ 6.已知函数()f x 对任意的x ，y 有()()()f x f y f x y +=+且0x >时，()0f x >， 抽象函数的单调性专题突破 或例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，求()f x 在 []3,3x ∈-上的值域。 例2、()f x 对任意实数x 与y 都有 ()()()2f x f y f x y -=--,当0x >时,()2f x > （1）求证:()f x 在R 上是增函数； （2）若5 (1)2 f = ,解不等式(23)3f a -< 【专练】：1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=， 求不等式f a a ()2 223--<的解集。 2、定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ，y ∈R 都有 ()()()f x y f x f y -=-，且当0,()0x f x <<时 (1)求证()f x 为奇函数； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 或例1、()f x 是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1) (1)f 和1()9 f 的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。 例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b =-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性, 【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f y x f -=且当01x <<时， ()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f ； 1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。 2.奇函数()f x 在定义域()1,1-内递减，求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 3.如果()f x =2 ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 4. 已知函数()x f 对任意实数y x ,，均有())()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ， 求()x f 在区间[]1,2-上的值域。 5. 已知函数()x f 对任意R y x ∈,，满足条件())()(y f x f y x f +=+2-，且当0>x 时，()2>x f ，5)3(=f ，求不等式() 3222<--a a f 的解。 6.设函数()x f 的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在21x x ≠，使得()()21x f x f ≠，对任何y x ,， ())()(y f x f y x f =+成立。求： （1）()0f ； （2）对任意值x ，判断()x f 值的正负。 7.是否存在函数()x f ，使下列三个条件：①0)(>x f ，N x ∈；② N b a b f a f b a f ∈=+,),()()(；③4)2(=f 。同时成立？若存在，求出()x f 的解析式，如不存在，说明理由。 8.设()x f 是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足()()()y f x f xy f +=，()13=f 专题三抽象函数的单调性与奇偶性 抽象函数是一种没有具体函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。这类函数问题能够全面考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力，同时也能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力。因此，抽象函数问题倍受命题者的青睐，体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想。 然而，由于抽象函数问题比较抽象，学生难以理解和接受，教材也没有很好地讲解处理，因此这类问题时常困惑着不少师生。但是，这类问题对于发展学生的思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养学生的创新思想，提高学生的数学素质，有着重要作用。因此，本文将从解题思路及方法方面谈点看法。 首先，我们可以在中学函数部分教材中找到一些抽象型函数的特殊模型，如正比例函数、幂函数、指数函数等。若充分利用这些模型解题，既可使学生掌握解决数学问题的规律，培养了解题能力，又使学生体会到人们对事物的认识，总是在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为理性认识，最终揭示事 物的本质，这样一种认识规律。对于抽象函数解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意；同时，对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题，要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型，从而得到抽象函数问题的求解方法。 其次，对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。比如，抽象函数奇偶性的判断一般通过合理赋值，抽象函数单调性的判断一般用定义，解关于抽象函数的不等式，一般利用用单调性脱去f。 综上所述，虽然抽象函数问题比较抽象，但是通过利用特殊模型和特殊方法，我们可以更好地解决这类问题，培养学生的数学思维能力和创新思维。 3.已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$恒有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$且当$x>0$时，$f(x)<0$。已知$f(1)=-2$。 1) 判断$f(x)$的奇偶性； 2) 求$f(x)$在区间$[-3,3]$上的最大值； 3) 解关于$x$的不等式$f(ax^2)-2f(x) 函数性质—抽象函数奇偶性、单调性综合解答题 参考答案与试题解析 一．解答题（共 12 小题） 1. 函数 f (x ) 对于任意的实数 x ， y 都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) 成立，且当 x > 0 时 f (x ) < 0 恒成立． （1） 求 f (0) 的值，并证明函数 f (x ) 为奇函数； （2） 求证 f (x ) 在 R 上为减函数； （3） 若 f （1） = -2 且关于 x 的不等式 f (x 2 - x + k ) < 4 恒成立，求k 的取值范围． 【解答】解：（1）令 x = y = 0 得 f (0) = 0 ． 令 y = -x 代入原式得 f (x - x ) = f (x ) + f (-x ) = f (0) = 0 ， 所以 f (-x ) = - f (x ) ，故该函数是奇函数． （2）由已知得 f (x + y ) - f (x ) = f ( y ) = f [(x + y ) - x ] ． 所以任取 x 2 > x 1 ，则 f (x 2 - x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 ) - f (x 1 ) ， 因为 x 2 - x 1 > 0 且当 x > 0 时 f (x ) < 0 ， 所以 f (x 2 - x 1 ) < 0 ，即 f (x 2 ) - f (x 1 ) < 0 ，所以 f (x 2 ) < f (x 1 ) ， 故该函数在 R 上是减函数． （3）因为 f （1） = -2 ，所以 f (-1) = - f （1） = 2 ，所以 f (-2) = 2 f (-1) = 4 ． 所以原不等式可化为： f (x 2 - x + k ) < f (-2) ． 结合（2）知，函数 f (x ) 在 R 上是增函数． 所以 x 2 - x + k > -2 恒成立． 即 k > -x 2 + x - 2 = -(x - 1 )2 + 9 恒成立． 2 4 所以只需k > 9 即可． 4 2. 已知函数 f (x ) 对一切 x ， y ∈ R ，都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ，当 x > 0 ，有 f (x ) < 0 ． （1）求： f (0) = 0 ；（2）证明：函数 f (x ) 为奇函数； （3）若 f （1） = -2 ，求 f (x ) 在[-3 ， 3] 上的最值； （4） 若对任意t ∈ R ，不等式 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 恒成立，求k 的取值范围． 【解答】解：（1）令 x = y = 0 ，可得 f (0) = f (0) + f (0) ， ∴ f (0) = 0 ． （2）证明：令 y = -x 可得： f (0) = f (x ) + f (-x ) ， 抽象函数单调性的证明和应用实例 抽象函数的单调性指的是在函数的定义域内，随着自变量的增大或减小，函数值会以其中一种特定的方式而增大或减小。直观上来说，如果函 数是单调递增的，那么随着自变量的增大，函数值也会增大；如果函数是 单调递减的，那么随着自变量的增大，函数值反而会减小。 那么如何证明一个抽象函数的单调性呢？下面我们将以数学方法为例，说明如何证明抽象函数的单调性，并举例说明其应用。 首先，我们需要定义一个数学函数： 函数f(x)在定义域D上单调递增的定义为：对于D上任意的x1，x2 （x1 因此，我们证明了 gmean 函数在所有正实数中是单调递增的。 例子2：应用抽象函数单调性 现实生活中的例子之一是股票价格与股票销量之间的关系。我们假设股价和销量都是正数。如果我们需要证明股票价格与销量之间是单调递增的关系，我们可以通过以下步骤进行： 1.定义函数：我们可以定义一个抽象函数f(x)来表示股票价格与销量之间的关系，其中x是销量（自变量），f(x)是股票价格（函数值）。 2.证明单调递增性：我们需要证明对于任意的x1，x2（x1 1、已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求 证：是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0 6、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。 7、已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0. (1)求; (2) 判断函数的单调性,并证明. 8、函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③. (1)求的值; (2)求证: 在R上是单调减函数; 9、已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:; (2)证明: 在R上单调递减; 10、函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。 （1）证明：； 抽象函数中的单调性问题 摘要：单调性函数是函数中的一个重要特性，它被广泛应用于数学和经济学中。介绍了函数单调性评判的几种方法和几个结论，先针对具体函数从函数单调性定义入手，先后给出定义法，导数法，函数性质法，图像法和复合函数单调性评判法；其次，对不给具体函数表达的抽象函数给出定义法与复合函数法。 关键词：函数；单调性；特定功能；抽象函数 函数作为研究现实世界数量关系的数学模型，其最基本和最主要的特性就是函数的单调性。函数单调性对高中数学学习具有重要作用，包含数形结合，分类讨论等数学思想。同时函数的单调性也为学生以后学习高等数学提供了依据。[1]所以如何判断函数是否单调变得非常重要。对于具体函数与抽象函数的单调性判断问题，文章引入了如下一些方法。 一、特定函数单调性判断法 （一）定义的方法 通常情况下，设定f是定义于D中的函数。若对任何x1、x2∈D，当x1f （x2））成立时，称f为D上的严格增（减）函数。[2] 应用定义，证明了函数y=f（x）单调于给定间隔D的一般程序： （1）设元，任取x1,x2∈D且x1 （2）作差f（x1）-f（x2）； （3）变形（一般采用因式分解与配方相结合）； （4）断号（即判断f（x1）-f（x2）和0的尺寸）； （5）定论（即指出函数f（x）给定区间D单调性）。 例1通过定义证明了（判断）函数/（0,+∞）中单调性。 证明设x1、x2∈（0,+∞），且x1又00， 每小时x1x2-k≈0对于f（x1）-f（x2）≤0来说，这时函数f（x）是一个 减函数； 当/时x1x2-k>0,f（x1）-f（x2）<0，此时函数f（x）为增函数。 总之，函数/是区间/范围内的减函数；区间/内是一个增函数。 本题函数f（x）是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时，通常需要 进行因式分解，由于x1x2-k与0的大小关系（k>0）不明确，所以要分段讨论。 利用定义法确定函数单调性更适合于定义域中任意两个数字x1和x2在x1 解题中，定义法最为直接，是大家最先想到的一种办法，尽管此法思路清晰一些，但是一般流程较为繁琐。 （二）导数法（具体函数万能方法） 函数的单调性与导数的关系：在某个区间（a,b）内，如果f′（x）>0，那 么函数y=f（x）在这个区间内单调递增，如果f′（x）<0，那么函数y=f（x） 在这个区间内单调递减。 （三）函数性质的方法 基本初等函数性质法，就是利用单调函数的特征，对函数单调性进行判定。 函数性质法一般是和我们常用的简单函数单调性综合运用。运用常见的有关函数 单调问题的若干性质，可以归纳出以下几点结论。 （1）f（x）与f（x）+C单调性相同。（C为常数） （2）当k>0时，f（x）与kf（x）的单调性相同；当k<0时，f（x）与kf （x）的单调性相反。 （3）如果f（x）恒不等于零时，则f（x）与/具有相反的单调性。 专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类 目录 【题型一】保和函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 2 【题型二】类对数积函数：形如f （axb ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ..................................................... 3 【题型三】类指数函数：形如f （a+b ）=f （a ）f （b ）单调性 ........................................................................... 4 【题型四】类对数商函数：形如f （a/b ）=f （a ）-f （b ）单调性 ..................................................................... 5 【题型五】类线性函数：f （a-b ）=f （a ）-f （b ）单调性与奇偶性 .................................................................. 6 【题型六】保积函数：f （a*b ）=f （a ）*f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 6 【题型七】恒“截距”线性函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）-1单调性 ............................................................. 7 【题型八】形如f （a*b ）=f （a ）+f （b ）+t 单调性与奇偶性 ............................................................................ 8 【题型九】形如f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）奇偶性 ............................................................................... 8 【题型十】形如f （a ）+f （a ）=f （ a b 1ab ++）单调性与奇偶性 ........................................................................... 9 【题型十一】形如f （a ）+f （a ）=f (a b)[1f (a)f (b)]+±单调性与奇偶性 ...................................................... 9 【题型十二】形如f （a-b ）= 1f (a)f (b f (a)f (b) +-单调性与奇偶性 (10) 【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 (11) 综述 一、赋值思维： 抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧： （1）.第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等 （2）.第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x 。. （3）.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。 二、抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧 证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f （0），f （1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x 和-x ，如f （x+y ），可令y= -x ，f （xy ），可令y= -1等等 2013届高三理科数学研究性学习（9） 专题六：函数单调性和奇偶性若干问题研究 探究一：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题 1. 对于定义在R 上的函数)(x f ，给出三个命题： （1）若)2()2(-f f =，则)(x f 是偶函数；（2）若)2()2(-f f ≠，则)(x f 不是偶函数； （3）若)2()2(-f f =，则)(x f 一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________ 2. 下列命题中，说法正确的是____________ （1）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； （2）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 不是R 上的单调减函数； （3）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间[)+∞,0上也是单 调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； （4）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间()+∞,0上也是单 调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； 3. 已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，若[]1,1,-∈b a ，且0≠+b a 时，恒有 0)()(>++b a b f a f .（1）判断)(x f 在[]1,1-上是增函数还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式)6()15(2 x f x f <- 探究二：抽象函数的单调性和奇偶性问题 抽象函数的具体模型 )()()(y f x f y x f +=+ )()()(y f x f xy f += )()()(y f x f y x f =+ )()()(y f x f xy f = 类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题 ① x R ∈，()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，如何证明()f x 为奇函数？ ② x R ∈，()f x 满足()()()f xy f x f y =+，如何证明()f x 为偶函数？ 类型二：抽象函数证明函数的单调性问题 ① 若,R x ∈且()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+证明其单调性 ② 若,R x ∈()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =证明其单调性 例：设)(x f 是定义在R 上的函数，对R n m ∈,恒有)()()(n f m f n m f =+，且当0>x 时，1)(0< 抽象函数单调性的判断 例１ 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有)()()(y f x f y x f +=+．且当x ＞０时，)(x f ＞０，试判断)(x f 的单调性，并说明理由. 解析：根据题目所给条件，原型函数为y ＝k x ，（k ＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设12,x x ∈R ，且21x x <，则2x －1x ＞０，故 )(12x x f -＞０． ∴ )(2x f －)(1x f ＝[]112)(x x x f +-－)(1x f ＝)(12x x f -＋)(1x f －)(1x f ＝)(12x x f -＞０． ∴)(1x f ＜)(2x f ． 故)(x f 在（－∞，＋∞）上为增函数． 例２ 已知函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0)+∞，上为增函数， 证明()y f x =在(0)-∞，上也是增函数． 解析：此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>，而奇函数这个条件正是转化的媒介． 设12(0)x x ∈-∞，， ，且12x x <， ()f x 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-，22()()f x f x -=-． 由假设可知1200x x ->->， ，即12(0)x x --∈+∞，，，且12x x ->-， 由于()f x 在(0)+∞，上是增函数， 于是有12()()f x f x ->-，即12()()f x f x ->-，从而12()()f x f x <， ()y f x ∴=在(0)-∞，上是增函数． 例３ 已知函数)(x f 对于任意正数x ，y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0, 当x ＞1时, )(x f ＜1．试判断)(x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由． 解析：此函数的原型函数可以为x y 1 =．显然此函数在（０，＋∞）上是减函数． 对于x ∈（０，＋∞）有)(x f ＝[]0) ()(2≥=⋅x f x x f 又)(x f ≠０， ∴)(x f ＞０ 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f = ] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。 证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。 2.奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解：由2 (1)(1)0f m f m -+-<得2 (1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2 (1)(1)f m f m -<- 又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴2 21111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩ 3.如果()f x =2 ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2 ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3) 判断抽象函数单调性的四种策略抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。这类问题对发展学生思维能力，进行数学思想方法的渗透有较好的作用。本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判断 策略做一小结，供大家解题时参考。 1凑差策略 紧扣单调函数的定义，利用赋值，设法从题设中“凑出”“f(X l)-f(X2)”，然后判断符号。 例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y尸f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)>0，试判断函数f(x)的单调性。 解：由f(x+y)=f(x)+f(y)得，f(x+y)-f(x)=f(y) 令x+y=x 2, x=x i, 且x i 1、 的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足，求 证：是偶函数。 2、f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ､y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0 (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； 〔3〕证明：f(x)是R 上的增函数； 〔4〕假设f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值X 围。 7、函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++ ,且1()02f =,当1 2 x >时,()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. 函数的单调性 题型一 判断、讨论、证明函数的单调性 1判断函数y=x- x 1在其定义域上的单调性。 2讨论并证明y=x+ x 1在定义域上的单调性。 3定义在R 上的函数f （x ）对任意不相等实数a ，b 总有 ()()b a b f a f -->0成立，则必有 A 、函数f （x ）是先增加后减小 B 、函数f （x ）是先减小后增加 C 、f （x ）在R 上是增函数 D 、f （x ）在R 上是减函数 4已知b x k x f ++=)12()(在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ） 5已知函数),0(,)(2 +∞∈++=x c bx x x f 是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） .0.≥b A 0.≤b B 0.>b C 0,f （8（x —2））的解集是 A 、（2，716） B 、（—∞，716） C 、（2，+∞） D 、（2，7 16） 题型四 用图形讨论函数单调性 1函数y=|x —3|—|x+1|的单调递减区间是 。 2画出函数223.y x x =-++的图像，并指出函数的单调区间 3画出函数y=|x|的图像，并判断其单调性。 4画出函数y=|x 2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。 题型五 基本初等函数的单调性问题 1.设函数243,[1,4]y x x x =-+∈，则()f x 的最小值和最大值为（ ） A.-1 ，3 B.0 ，3 C.-1，4 D.-2，0 2．函数f （x ）=—x 2+2（a —1）x+2在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是 A 、a ≥5 B 、a ≥3 C 、a ≤3 D 、a ≤—5 3.已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数，则a 的范围是（ ） A.25a ≤ B.25a ≥ C.25 a ≥或0a = D.0a ≤ 3.若函数242--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为[]2,6--，则m 的取值范围是（ ） A 、(]4,0 B 、[]4,2 C 、(]2,0 D 、()4,2 4.函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则（ ） A 、00<>a b 且 B 、02<=a b C 、02>=a b D 、的符号不确定b a ,高考数学 专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式黄金
抽象函数解单调性的求法
抽象函数的单调性专题
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题三 抽象函数的单调性与奇偶性
函数性质—抽象函数奇偶性、单调性综合解答题-解析版
抽象函数单调性的证明和应用实例
抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
抽象函数中的单调性问题
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类
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专题抽象函数的单调性与奇偶性的证明
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