重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型(原卷版)

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；

3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；

4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：

（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;

（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：

()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或

()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;

②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：

()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

⋅=-或()()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

⋅-

=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型

1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；

2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；

3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；

4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧

1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；

2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；

3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

【题型1 抽象函数的定义域问题】

【例1】（2022秋·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）已知

(21)y f x =+定义域为(]1,3，则(1)y f x =+的定义域为（ ）

A ．(]2,6

B ．(]0,1

C ．(]1,2

D ．(]1,3

【变式1-1】（2021秋·福建福州·高三校考开学考试）已知函数()2x

y f =的定义域

是[]1,1-，则函数()3log f x 的定义域是（ ）

A ．[]1,1-

B ．1

,33

⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦

C ．[]1,3 D

．⎤⎦

【变式1-2】（2022秋·河南驻马店·高三校联考期中）已知()5f x -的定义域为[]2,6，则()1f x +的定义域为________.

【变式1-3】（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考期中）函数()f x 的定义域是

(1,)+∞，则函数()222f x x --的定义域是______．

【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数()f x 的定义域为

[]3,6，则函数

2f x y =

______

【题型2 抽象函数的求值问题】

【例2】（2022秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知对所有的非负整数(),x y x y ≥均有()()()()1

1222

f x y f x y x y f x f y ++--+-=+⎡⎤⎣⎦，若

()13f =，则()5f =______．

【变式2-1】（2021秋·河南·高三阶段练习）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足

对任意x ，(0,)∈+∞y ，()()x f x f y f y ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

，()21f =，则14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭

___________.

【变式2-2】（2022秋·浙江衢州·高三统考阶段练习）已知定义在[]0,1上的函数

()f x ，对于任意[]12,0,1x x ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，又()f x 满足

()()()()100,11,32x f f x f x f f x ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，则1ln3e 34f f ⎛⎫⎛⎫

+

= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

______.（e 为自然对数的底数）

【变式2-3】（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）若函数()f x 是定义在[]0,1上的增函数，满足①()00f =，②对任意[]0,1x ∈，有11f x f x

，

③对于10,4

x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，有()2f x x ≥恒成立，则

457131313f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

__________________.

【变式2-4】（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）已知函数

()f x 的定义域

R ，()00f ≠，()1f ()()()f x y f x f y +=．若数列{}n a 是首项

为0，公差为2的等差数列，则()()()1210f a f a f a ++⋅⋅⋅+=______．

【题型3 抽象函数的解析式问题】

【例3】（2022秋·河南开封·高三校考阶段练习）已知函数()f x 为定义在R 上的函数满足以下两个条件：

（1）对于任意的实数x ，y 恒有()()()1f x y f x f y +=++； （2）()f x 在R 上单调递减.

请写出满足条件的一个()f x =___________.

【变式3-1】（2022秋·广东·高三统考开学考试）已知函数f （x ）满足：①对m ∀，

0n >，()()()f m f n f mn +=；②112f ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

．请写出一个符合上述条件的函数f （x ）

＝______．

【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）定义在实数集上的函数()f x 的图象是一

条连绵不断的曲线，x ∀∈R ，()()()3

2

66f x x f x x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()f x 的最大值为1，

最小值为0．

（1）求()1f 与()1f -的值； （2）求()f x 的解析式．

【变式3-3】（2022秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）（1）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；

（2）已知()()2

2f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；

（3）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有

()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式.

【题型4 抽象函数的值域问题】

【例4】（2022秋·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数

()f x 对任意的,R x y ∈，总有()()()f x y f x f y +=+，若(),0x ∈-∞时，()0f x >，且

()2

13

f =-，则当[]3,1x ∈-时，()f x 的最大值为（ ）

A ．0

B ．2

3 C ．1 D ．2

【变式4-1】（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（ ）

A ．2()1y f x =+

B ．|(21)|y f x =+

C ．()1y f x =-+

D ．|()|y f x =

【变式4-2】（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=，若函数()()g x f x x =

-在区间[1,2]上的值域为[1,3]-，则

()g x 在区间[3,5]-上的值域是___________.

【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的值域是[]1,3-，则函数

()32(1)g x f x =-+的值域为

__．

【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足

(1)()f x f x +=，若函数()()g x f x x =-在区间[1,2]上的值域为[1,3]-，则()g x 在区间

[]2021,2021-上的值域为__________.

【变式4-5】（2022·全国·高三专题练习）()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，若函数()()f x g x +的值域为[]1,4-，则()()f x g x -的值域为_____________．

【变式4-6】（2022·浙江·高三专题练习）已知定义在()0,∞+上的函数()f x 为减函数，对任意的()0,x ∈+∞，均有()()31

24⎛

⎫⋅+= ⎪⎝⎭

f x f f x x ，则函数()()3

g x f x x =+的最小值是（ ）

A ．2

B ．5

C ．10

3

D ．3

【题型5 抽象函数的单调性问题】

【例5】（2021秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期中）已知函数f (x )的定义域是(0，+∞)，()()()f x y f x f y ⋅=+，113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，当x >1时， f (x )>0，则满足不等式f (x )-f (x -2)≥2的x 的取值范围为__________.

【变式5-1】（2022秋·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知函数()f x 是定义在R 上的函数，对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x f x y f y -=+-，()13f =且当0x <时，()2f x <.

（1）求证：()f x 是R 上的递增函数；

（2）解不等式()()2

log 3log 3a a f x f x ≥--，（0a >且1a ≠）.

【变式5-2】（2022秋·江苏扬州·高三统考期中）（多选）设函数()()f x g x ，的定义域都为R ，且00f x

,g x

,f x 是减函数，()g x 是增函数，则下列说法中

正确的有（ ）

A ．()()g x f x +是增函数

B ．()()f x g x -是减函数

C ．()()f x g x 是增函数

D ．()

()

f x

g x 是减函数

【变式5-3】（2022·浙江台州·统考模拟预测）（多选）已知定义在R 上的函数()f x ，满足：x ∀，R y ∈，()()()f x y f x f y +=，则（ ） A ．函数()f x 一定为非奇非偶函数 B ．函数()f x 可能为奇函数又是偶函数

C ．当0x >时，()1f x >，则()f x 在R 上单调递增

D ．当0x <时，()1f x <，则()f x 在R 上单调递减

【变式5-4】（2022秋·江苏常州·高三校考开学考试）已知定义在R 上的函数()f x 满足：

①当0x >时，()1f x >，②对任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=，③()12f = （1）求()2f 的值.

（2）求证：对任意(),0x f x > （3）证明：()f x 在R 上是增函数.

【题型6 抽象函数的奇偶性问题】

【例6】（2022秋·上海普陀·高三统考期中）记{},max ,,x x y

x y y x y ≥⎧=⎨

<⎩

，已知()()

f x

g x 、均是定义在实数集R 上的函数，设()max{(),()}

h x f x g x =，有下列两个命题： ①若函数()()f x g x 、都是偶函数，则()h x 也是偶函数； ②若函数()()f x g x 、都是奇函数，则()h x 也是奇函数． 则关于两个命题判断正确的是（ ）

A ．①②都正确

B ．①正确②错误

C ．①错误②正确

D ．①②都错误

【变式6-1】（2022秋·河北廊坊·高三统考开学考试）已知定义域为R 的函数()f x 满足：,R x y ∀∈，()()()()f x y f x y f x f y ++-=，且()11f =，则下列结论错误的是（ ）

A ．()02f =

B ．()f x 为偶函数

C ．()f x 为奇函数

D ．()21f =-

【变式6-2】（2022春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知()11y f x =-+是奇函数，则下列等式成立的是（ ）

A ．()()112f x f x -+--=-

B ．()()112f x f x -+--=

C ．()()11f x f x =+-

D ．()()11f x f x +=--

【变式6-3】（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）定义在R 上的连续函数()()f x g x 、满足对任意x y ∈R 、 ，()()()()()f x y f x g y f y g x +=+⋅，

2()()()()(),(2)2[()]1g x y f x f y g x g y g x g x +=+=-.

（1）证明：()()g x f x >；

（2）请判断()()f x g x 、的奇偶性；

（3）若对于任意x R ∈ ，不等式(2)()6g x mg x ≥-恒成立，求出m 的最大值.

【变式6-4】（2021秋·山西太原·高三统考期中）已知函数()f x 对任意x R ∈都有

()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >.

（1）证明：()y f x =为定义在R 上的单调递增奇函数； （2）若(4)4f =，求()2log 1f x >的解集.

【6-5】（2021·全国·高三专题练习）已知函数()f x 对任意x ，R y ∈，

()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，判断函数()f x 的单调性．

【题型7 抽象函数的周期性问题】

【例7】（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知()(),f x g x 是定义在R 上的函数，且均不恒为()0,g x 为偶函数，()23f =.若对任意的x ∈R ，都有

()()()

21f x f x x ++=+，()()()42g x g x g +=+，则下列说法正确的是（ ）

A ．函数()f x 的一个周期为4

B ．函数()g x 的一个周期为6

C ．函数()()f x g x +的一个周期为4

D ．()()66663f g +=

【变式7-1】（2022·四川达州·统考一模）已知定义在 R 上的函数()f x 满足

()()()()11，f x f x f x f x -=-+=-，当[]1,1x ∈-时，()33f x x x =-，则()2023f 等

于（ ）

A ．1

B ．2-

C ．1-

D ．2

【变式7-2】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足

(1)2f =，(4)(2)f x f x -+=-，则(2022)(2023)f f +=（ ）

A ．4

B ．0

C ．2-

D ．4-

【变式7-3】（2022秋·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()1f x -是偶函数，()2f x +是奇函数，则()2022f =（ ） A ．()1f B ．()2f C ．()3f D ．()4f

【变式7-4】（2022秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）（多选）已知定义

在R 上的函数()f x 与()g x 满足()()()()11

1,111f x g x g x f x +=+=--，则（

） A ．()0f x ≠ B ．()()4f x f x += C ．()()6g x g x += D ．()()3g x f x +=

【变式7-5】（2022秋·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）已知奇函数()

f x

对任意x ∈R 都有()()()623f x f x f ++=，则()2022f =______.

【变式7-6】（2022秋·江苏苏州·高三昆山震川高级中学校联考阶段练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则2023

1()i f k =∑ ＝（ ）

A ．－3

B ．－2

C ．0

D ．1

【变式7-7】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则22

1()k f k ==∑______

【题型8 抽象函数的对称性问题】

【例8】（2022秋·四川成都·高三成都七中校考专题练习）已知函数()(),f x g x 的定义域均为()R,f x 为偶函数，且()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=，下列说法正确的有（ ）

A ．函数()g x 的图象关于1x =对称

B ．函数()f x 的图象关于()1,2--对称

C ．函数()f x 是以4为周期的周期函数

D ．函数()g x 是以6为周期的周期函数

【变式8-1】（2022秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知函数()f x 的定义域

为R ，且112f x ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

是偶函数，()1f x -是奇函数，则（ ）

A ．()00f =

B ．1

02f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

C ．()10f =

D ．()30f =

【变式8-2】（2022秋·河南开封·高三校考阶段练习）已知函数()f x ，()g x 都是定义域为R 的函数，函数()1g x -为奇函数，()()10f x g x +-=，

()()320f x g x ----=，则()2f =（ ）

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2

【变式8-3】（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()22,22,52()f f x f x f x f x =+-==．且当

1202x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，则1910008f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（ ） A ．

1716 B ．98

C ．3132

D ．32

【变式8-4】（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()13f x g x +-=，()()35g x f x --=.若()y g x =的图象关于直线1x =对称，()12g =，则（ ）

A ．()31f =-

B ．()31g =-

C ．()()13g g -=

D ．()()241g f =-

【变式8-6】（2022·上海·统考模拟预测）己知函数()f x ()R x ∈满足

()()2f x f x -=-，若函数1x y x

+=与()y f x =图像的交点为()()()112220232023,,,,,x y x y x y ，则()2023

1i i i x y =+=∑________；

（建议用时：60分钟）

1．（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）若函数(1)f x -的定义域为

[2,3]-，则函数(24)f x -的定义域为（ ）

A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．[8,2]-

C ．[1,4]-

D ．[6,4]-

2．（2022秋·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数()

f x

的定义域为

30,,则函数()21f x +的定义域为（ ） A ．122⎡

⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．30, C ．302,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．21, 3．（2022秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数()y f x =的定义域为[]1,5-，则函数()221y f x =-的定义域为（ ）

A

．[]0,3 B ．[]3.3- C ．[ D ．[]3,0-

4．（2023·全国·高三专题练习）已知()(21)1g x f x =-+，且()g x 的定义域为(1，4]，值域为[3，)∞+，设函数()f x 的定义域为A ､值域为B ，则A B =（ ）

A ．∅

B ．[4，7]

C ．[2，7]

D ．[2，5]2 5．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x 对一切实数x 、y 都满足()0f x ≠，且()()()f x y f x f y +=⋅，已知()f x 在()0,∞+上的值域为()0,1，则()f x 在R 上的值域是（ ）

A ．R

B ．()0,1

C ．()0,∞+

D ．()()0,11,+∞ 6．（2019·陕西安康·统考一模）已知偶函数()f x 对任意的x ∈R 都有(2)()(1)f x f x f +-=，且(0)8f =，则(99)(100)f f +=（ ）

A ．0

B ．6

C ．8

D ．16

7．（2022秋·江苏扬州·高三统考开学考试）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)(2)f x f x -+=-+，又(1)f x +为偶函数，若(1)1f =，则(2)(7)+=f f （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．1-

8．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，对任意的x ∈R ，都有()(4)f x f x =--，且()(2)f x f x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是以2为周期的偶函数 B ．()f x 是以2为周期的奇函

数

C ．()f x 是以4为周期的偶函数

D ．()f x 是以4为周期的奇函数

9．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，()()()f xy f x f y =+，则（ ） A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-

B ．()f x 在定义域上为奇函数

C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <

D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞

10．（2022秋·重庆开州·高三临江中学校考开学考试）（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，且()()()f xy f x f y =+，当1x >时，()0f x <，()21f =-，则下列说法正确的是（ ）

A ．()10f =

B ．函数()f x 在()0,∞+上是减函数

C ．()()()()1111232021202220222022202132f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

D ．不等式()132f f x x ⎛⎫

--≥ ⎪⎝⎭

的解集为[)4,+∞ 11．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的x ，R y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，则下列说法正确的有（ ） A ．()01f = B ．()f x '必为奇函数

C ．()()00f x f +≥

D ．若()112f =，则()2023112n f n ==∑ 12．（2021秋·河南信阳·高三河南省信阳市第二高级中学阶段练习）若定义在R 上的函数()f x 满足：①对于任意的,x y ∈R ，都有

()()()f xy f f y x =-；②()f x 为奇函数.则函数()f x 的一个解析式可以是___________.

13．（2017秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）设()f x 是定义域为R 的奇函数，()g x 是定义域为R 的偶函数，若函数()()f x g x +的值域为[)1,3，则函数()()f x g x -的值域为________.

14．（2023·全国·高三专题练习）对任意实数

,?x y ，均满足()()()222f x y f x f y ⎡⎤+=+⎣⎦且()10f ≠， 则()2001f =_______.

15．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式： （1）已知f 1)＝x ＋；

（2）若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1；

（3）已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋

1)．

16．（2022秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知函数f （x ）的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f （a +b ）=f （a ）+f （b ），且当x >0时，f （x ）<0恒成立.

（1）求f （0）；

（2）证明：函数y =f （x ）是奇函数；

（3）证明：函数y =f （x ）是R 上的减函数.

17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且对任意(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，()21f =，求()()4,8f f .

18．（2022秋·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意,x y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >.

（1）判断并证明()f x 的奇偶性；

（2）判断函数()f x 的单调性，并证明；

（3）若()()124820x x x x f k f +⋅+-->对任意[]1,2x ∈-恒成立，求实数k 的取

值范围.

抽象函数常见题型解法

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型： 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。 解：由f x f x ()()220-+-=， 以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x () ()()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0

时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。 解：设x x 12< 且x x R 12，∈， 则x x 210->， 由条件当x >0时，f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+ =-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00= ∴-=-f x f x ()()， 故f x ()为奇函数， ∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42， 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

高考数学重难点第9讲-函数的定义域、解析式与值域8大题型(新高考用)(解析版)(全国通用)(老师专用

重难点第9讲 函数定义域、解析式与值域8大题型 ——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型 【命题趋势】 函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。 第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型 【满分技巧】 一、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,) n k k N *=∈其中 中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.

3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 二、抽象函数及定义域求法 1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围; 2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域. 三、函数解析式的四种求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知()()f g x 的解析式，求函数()f x 的解析式的问题 （1）先令()=g x t ，注意分析t 的取值范围； （2）反解出x ，即用含t 的代数式表示x ； （3）将()()f g x 中的x 度替换为t 的表示，可求得()f t 的解析式，从而求得

抽象函数总结-高考数学专题复习

抽象函数 知识精要：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: f x的问题感到困难，学好这部分知 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号() 识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： f x，这也是证某些 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出()

2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 ∴2 3 ()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2 (1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2 ax bx c ++，则 22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=++ +++-+-+ 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴ lg(1),0 ()lg(1),0 x x f x x x +≥?=? --

专题04 函数及其表示(教学案)-2019年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)

专题04 函数及其表示（教学案） 2019年高考数学（理）一轮复习精品资料 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的概念 (1)函数的定义： 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 高频考点一函数的概念 例1、有以下判断：

①f(x)＝|x| x 与g(x)＝ ? ???? 1 x ≥0－1x<0表示同一函数； ②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数； ④若f(x)＝|x －1|－|x|，则f ? ?? ??f ? ????12＝0. 其中正确判断的序号是________． 【感悟提升】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)． 【变式探究】(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －1 2 B ．y ＝x －1与y ＝ x －1x －1 C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 (2)下列所给图象是函数图象的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 高频考点二 函数的定义域 例2、(1)函数f(x)＝1－2x ＋1 x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1]

2020届高考数学一轮第二篇函数及其性质专题.函数的概念练习

专题2.1 函数的概念 【考试要求】 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用； 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 【知识梳理】 1.函数的概念 设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈ A. 2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 【微点提醒】 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( ) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )

数学解题方法(抽象函数)

数学解题方法（抽象函数）。 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点 .因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序 .其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1. 正比例函数型的抽象函数 例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域. 例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.2. 幂函数型的抽象函数 例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围. 分析：（1）令y＝－1；（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；（3）0≤a≤2.3. 指数函数型的抽象函数 例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令y＝0；（2）令y＝x≠0. 例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明4. 对数函数型的抽象函数 例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1） f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g （b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m ＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….5. 三角函数型的抽象函数 例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；② f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0. 试问：（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝－f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。 抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。 一、抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性； 3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性； 4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为： ()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或 ()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-; ②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为： ()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⋅=-或()()()⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ ⋅- =-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型 1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；

2023年教师资格之中学数学学科知识与教学能力题库附答案(基础题)

2023年教师资格之中学数学学科知识与教学能力题 库附答案（基础题） 单选题（共30题） 1、创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中，下面表述中不适合在教学中培养学生创新意识的是（）。 A.发现和提出问题 B.寻求解决问题的不同策略 C.规范数学书写 D.探索结论的新应用 【答案】 C 2、数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的（）。 A.重要基础 B.重要方式 C.工具 D.基本手段 【答案】 A 3、荧光着色主要在细胞核周围形成荧光环的是 A.均质型 B.斑点型 C.核膜型 D.核仁型 E.以上均不正确

4、下列哪一项是恶性组织细胞病的最重要特征 A.骨髓涂片见到形态异常的组织细胞 B.全血细胞减少 C.血涂片找到不典型的单核细胞 D.起病急，高热，衰竭和进行性贫血 E.以上都不正确 【答案】 A 5、国际标准品属于 A.一级标准品 B.二级标准品 C.三级标准品 D.四级标准品 E.五级标准品 【答案】 A 6、原红与原粒的区别时，不符合原红的特点的是（） A.胞体大，可见突起 B.染色质粗粒状 C.核仁暗蓝色，界限模糊 D.胞浆呈均匀淡蓝色 E.胞核圆形、居中或稍偏于一旁

7、ATP存在于 A.微丝 B.致密颗粒 C.α颗粒 D.溶酶体颗粒 E.微管 【答案】 A 8、内源凝血途径和外源凝血途径的主要区别在于 A.启动方式和参与的凝血因子不同 B.启动方式不同 C.启动部位不同 D.启动时间不同 E.参与的凝血因子不同 【答案】 A 9、下列哪种说法符合多发性骨髓瘤特征 A.常有淋巴结肿大 B.常伴有肾功能异常 C.外周血中骨髓瘤细胞增多 D.小于40岁患者也较易见 E.外周血中淋巴细胞明显增多

(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解

一元二次不等式专题练习 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 例2 解下列分式不等式： （1） 2 2 123+-≤-x x （2） 1 2 731 422<+-+-x x x x 例3 解不等式242+<-x x 例4 解不等式 04125 622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x x x x x <-+-+2 2232 2． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ． 例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ． 例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02 >++c bx ax 的解集是 {})0(><<αβαx x ．求不等式 02>++a bx cx 的解集． 例11 若不等式 1 12 2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31 (∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．

例1解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ⎩⎨ ⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

第8讲 抽象函数7种导函数构造(解析版)

第8讲 抽象函数7种导函数构造 【知识点梳理】 类型一 导数和差，构造和差型函数： ()[()]f x c f x cx ''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''-=-； 和与积联系，构造乘积型函数； 差与商联系，构造分式型函数： ()()()()[()()]f x g x f x g x f x g x '''+=； 2()()()()() []()() f x g x f x g x f x g x g x ''-'=． 类型二 幂函数及其抽象构造 定理1 ()()0[()]0xf x f x xf x ''+>⇔>；() ()()0[]0f x xf x f x x ''->⇔> 证明：因为()()[()]xf x f x xf x ''+=； 2 ()()() []xf x f x f x x x '-'=，所以()()0xf x f x '+>，则函数()y xf x =单调递增；()()0xf x f x '->，则() f x y x = 单调递增． 定理2 当0x >时，()()0[()]0n xf x nf x x f x ''+>⇔>；() ()()0[]0n f x xf x nf x x ''->⇔> 证明 因为1 ()()[()]n n n x f x nx f x x f x -''+=；12()()() []n n n n x f x nx f x f x x x -'-'=，所以 ()()0xf x nf x '+>，则函数()n y x f x =单调递增；()()0xf x nf x '->，则() n f x y x = 单调递减． 类型三 指数函数与抽象构造 定理3 ()()0[()]0x f x f x e f x ''+>⇔>；()()0[()]0x f x f x e f x ''+<⇔< ()()()0[ ]0x f x f x f x e ''->⇔>；() ()()0[]0x f x f x f x e ''-<⇔< 证明： 因为[]()()+()x x f x e e f x f x ''=⎡⎤⎣⎦，()() ()[ ]x x f x f x e f x e '-'=，所以()()0f x f x '+>，则()x y f x e =单调递增；反之()x y f x e =单调递减；()()0f x f x '->，则() x f x y e =单调递增；反之() x f x y e = 单调递减． 定理4 ()()[(())]0x f x f x a e f x a ''+>⇔->；(()) ()()[ ]0x f x a f x f x a e +''->⇔>． 证明： 因为[(())]()()x x e f x a f x f x a e '-'+-=；2(()) ()()[]x x f x a f x f x a e e +''--=，所以()()f x f x a '+>，则(())x y e f x a =-单调递增；()()f x f x a '+<，(())x y e f x a =-单调递减；若()()f x f x a '->，则()x f x a y e += 单调递增，若()()f x f x a '-<，则()x f x a y e +=单调递减．

重难点2-1-函数值域的常见求法8大题型(原卷版)

重难2-1 函数值域的求法8大题型 函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。 一、求函数值域的常见方法 1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解； 2、逐层法：求12 (())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域， 从内向外逐层求函数的值域； 3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域； 4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d = +或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元； （2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元； （3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22 x a ππ θθ=∈- ”换元； 5、分离常数法：形如(0)ax b y ac cx d += ≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ad y d cx d c c x c +-= =+ ++，然后求值域；

6、基本不等式法：形如(0)b y ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域， 利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用 a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b +（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可； 7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值） （1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域； （2）形如b y ax x =+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时， 可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，b y ax x =+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。 8、函数的有界性法：形如sin sin a x y c b x = +（或cos cos a x y c b x =+）（其中,,a b c 不为0） 的函数求值域或最值，可用y 表示出sin x （或cos x ），再根据1sin 1x -≤≤且 sin c x b ≠-（或1cos 1x -≤≤且cos c x b ≠-） ，列出关于y 的取值范围. 类似地，有：①2()x f y =，则()0f y ≥；②()x a h y =，则()0h y >；③sin ()x g y =，则1()1g y -≤≤ 9、判别式法：形如2222122 111(0)a x b x c y a a a x b x c ++=≠++或0)y Ax ABa =+≠的函数求值域，可将函数转化为关于x 的方程(,)0F x y =，利用二次项系数不为0，判别式0∆≥或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。 10、导数法：对可导函数()f x 求导，令()0f x '=，求出极值点，判断函数单调性； 如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处； 如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 二、根据最值条件求解参数范围解题思路 已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域（或最值）的

高一数学抽象函数常见重点题型解析归纳

高一数学抽象函数常见重点题型解析归纳 对于刚上高一的学生而言，掌握好抽象函数常见题型的解法，有助于他们在高考数学的考试中发挥的更加出色。下面是小编为大家整理的高一数学必修1常见题型解法，希望对大家有所帮助! 高一数学抽象函数常见题型高一数学填空题解题方法 一、直接法 从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。 三、数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。 四、等价转化法 将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。 高一数学复习答疑 问题1:我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。 答:数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。 为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。 有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道

类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。 所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性认识，在你的头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。当你遇到新问题、新试题的时候，你应该拿着这个规律去面对它，这样的话，你就可以把老师讲解的东西很自然地、流畅地用在你的解题里，这就是所谓通过理解，通过顿悟来学习数学。那么高中数学百分之六七十的成分是要靠着这种方式进行学习的。 问题2:我有时候看基础知识的时候定义都没有问题，但是一做题的时候，就转不过来了，耗的时间比较多，怎么办? 答:那你就看看定理、定义、公式都是怎么使用，除了背下它们之外，关键是要把握住这些数学的定义、定理、公式、法则，在解题中是如何运用的，建议你好好从课本出发，如何利用刚才讲的这个定理或者定义去解题的，把它先搞清楚，适当的时候自己做做笔记，问问自己，这个定义是怎么使用的，在这个定理里怎么用的，你自己在旁边注上一两句话。若是一句话也写不出来，显然以后你还不会用。 问题3:现在高考数学题讲究的是通性通法，最后是不是应该加强这方面的训练，再突破一些难题? 答:目前的高考是确实通性通法，但是中等题和难题体现的不完全一样，比如说中等题，在体现通性通法方面就比较暴露，比较直接。 在综合性题目里面，这个通性通法的使用就比较灵活，必须剥掉几层皮之后才能看到。 鉴于这种情况，针对不同层次的同学们，你们对通性通法可以做这样不同层次的追求，比如我市高考数学分数期望值在一百到一百一十几分之间的这样一个档次的，你就要特别注重通性通法在同等题里面的应用，要保证在中等题里面运用通性通法做到万无一失。 如果做得再好一点，你这个分数的期望值完全可以做到的。

一次函数常考重难点题型(十大题型)(原卷版)

专题06 一次函数常考重难点题型（十大题型） 【题型1 函数与一次（正比例）函数的识别】 【题型2 函数值与自变量的取值范围】 【题型3 一次函数图像与性质综合】 【题型4 一次函数过象限问题】 【题型5 一次函数的增减性】 【题型6 一次函数的增减性（大小比较问题）】 【题型7一次函数图像判断】 【题型8 一次函数图像的变换（平移与移动）】 【题型9 求一次函数解析式（待定系数法）】 【题型10 一次函数与一次方程（组）】 【题型1 函数与一次（正比例）函数的识别】 【解题技巧】 （1）判断两个变量之间是否是函数关系，应考以下三点: (1)有两个变量: 2)一个变量的变化随另一个变量的变化而变化: (3)自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。（2）判断正比例函数，需关于x的关系式满足:= (0)，只要与这个形式不同，即不是正比例函数。 （3）一次函数必须满足-k+b (0)的形式，其中不为0的任意值 1．（2023春•右玉县期末）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．B． C．D．

2．（2023春•临西县期末）下列函数中，y是x的一次函数的是（）A．y＝1B．C．y＝2x﹣3D．y＝x2 3．（2023春•潮阳区期末）下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝2x2C．y2＝2x D．y＝2x 4．（2023春•武城县期末）已知y＝（m﹣1）x|m|+4是一次函数，则m的值为（）A．1B．2C．﹣1D．±1 5．（2023春•鼓楼区校级期末）正比例函数x的比例系数是（）A．﹣3B．C．D．3 6．（2023春•南岗区校级期中）若函数y＝2x2m+1是正比例函数，则m的值是．7．（2023春•岳阳楼区校级期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1．（1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）当m为何值时，y是x的正比例函数？ 【题型2 函数值与自变量的取值范围】 【解题技巧】:函数的取值范围考虑两个方面: （1）自变量的取值必须要使函数式有意义: （2）自量的取值须符合实际意义。 8．（2023•牡丹江一模）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥﹣2D．x≤﹣2 9．（2023春•定陶区期末）函数中自变量x的取值范围是（）A．且x≠0B．C．x≠0D．且x≠0 10．（2023春•凤台县期末）函数的自变量x的取值范围是（）A．x＞3B．x≠4C．x≠3D．x≤4 11．（2023春•沙坪坝区校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（）

题型一 探索规律题-2021年中考数学二轮复习重点题型专项训练(含解析)

第二轮复习----题型一探索规律题 类型1 数式规律 1.观察下列各式：a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，…，根据其中的规律可得a n=______（用含n的式 子表示）． 2.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为 非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右 表称为“杨辉三角” （a+b）0=1 （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 3.在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3 倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①， 然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②， ②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1， 所以S=． 得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出 1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正确答案是______ ． 4.将自然数按以下规律排列： 表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为______ ． 5.观察下列各式： =1+， =1+， =1+， …… 请利用你所发现的规律， 计算+++…+，其结果为______． 类型2 点的坐标规律 6.如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直 线y=x于点B1．过B1点作B1A2∥y轴，交直线y=2x于点A2，以O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y=x于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y=2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线y=x于点B3；过B3点作B3A4∥y轴，交直线y=2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y=x于点B4，…按照如此规律进行下去，点B2018的坐标为______． 第6题图第7题图 7.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向 右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（） A. （1010，0） B. （1010，1） C. （1009，0） D. （1009，1） 8.如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x+1和双曲线y=-，在直线上取一点，记为A1，过A1作x 轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，

专题 一次函数章末重难点题型(举一反三)(原卷版)

专题一次函数章末重难点题型 【考点1 函数的概念】 【例1】（鼓楼区校级期中）下列的曲线中，表示y是x的函数的共有（）个． A．1B．2C．3D．4 【变式1-1】（新乐市期中）下列变量之间的关系不是函数关系的是（）A．一天的气温和时间B．y2＝x中的y与x的关系 C．在银行中利息与时间D．正方形的周长与面积 【变式1-2】（苍溪县期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（）A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）【变式1-3】（如皋市期中）下列各图中能说明y是x的函数的是（） A．B．C．D． 【考点2 函数自变量的取值范围】 【例2】（资中县期中）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠2【变式2-1】（乳山市期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥2且x≠2C．x＞﹣2D．x＞﹣2且x≠2

【变式2-2】（巴彦淖尔模拟）在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≥﹣2且x≠1D．x≥1 【变式2-3】（沙坪坝区校级月考）函数y＝的自变量x的取值范围是（） A．x≥2B．x≠3且x≠﹣3C．x≥2且x≠3D．x≥2且x≠﹣3 【考点3 一次函数的概念】 【方法点拨】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx， 是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 【例3】（锦江区校级期末）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．±2 【变式3-1】（沧州期末）①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；（④y＝x2+1：⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 【变式3-2】（芙蓉区校级模拟）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（）A．0B．1C．±1D．﹣1 【变式3-3】（定陶区期末）已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．无法确定 【考点4 一次函数图象的判定】 【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；

2022年最新沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程专项测试试卷(含答案详解)

八年级数学第二学期第二十一章代数方程专项测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上 3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 第I 卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m ，那么它的下部应设计为多高?设它的下部设计高度为x m ，根据题意，列方程正确的是（ ） A ．()233x x =- B ．()233x x =- C ．23x = D ．23x x =- 2、如图所示，若一次函数y ＝k 1x ＋b 1的图象l 1与y ＝k 2x ＋b 2的图象l 2相交于点P ，则方程组1122,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩ 的解是( ) A ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ B ．3,2x y =⎧⎨=-⎩ C ．2,3x y =⎧⎨=⎩ D ．2,3 x y =-⎧⎨=-⎩ 3、若数a 既使得关于x 的不等式组12326 x a x a x a -+⎧+≤⎪⎨⎪->⎩无解，又使得关于y 的分式方程122y a a y y +-=+- 的

解不大于4，则满足条件的所有整数a的个数为（） A．3 B．4 C．5 D．6 4、某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（） A．10801080 6 15 x x =+ - B． 10801080 6 15 x x =- - C．10801080 6 15 x x =- + D． 10801080 6 15 x x =+ + 5、宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为x千米，则可列方程为（） A． 3535 7 (120%)x x -= + B． 3535 7 (120%) x x -= + C． 3535 7 20%x x -=D． 11 7 (120%)x x += + 6、“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（） A．6060 30 (125%) x x -= + B． 6060 30 (125%)x x -= + C．60(125%)60 30 x x ⨯+ -=D． 6060(125%) 30 x x ⨯+ -= 7、某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）？为解决此问题，可设派x人挖土，其他人运土，下列 所列方程：①1441 3 x x - =；②144 3 x x -=；③3144 x x +=；④3 144 x x = - ．正确的个数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8、如图，已知直线y＝kx+b和y＝mx+n交于点A(﹣2，3)，与x轴分别交于点B(﹣1，0)、C(3，