f x ()是偶函数，
∴-=f x f x ()()11
故f x f x ()()->-12
六、综合问题求解
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。
例12.设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有
f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠。
（1）证明f ()01=；
（2）证明：f x ()在R 上是增函数；
（3）设{}
A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，
B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满足的条件。
解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅，
∴=f ()00或f ()01=。
若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，这与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾，
∴=f ()01。
（2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f f x f x ()()()011=⋅- ∴=->=-⋅>∴f x f x f x f x x f x f x f x R ()()
()()()()()112211110在上为增函数。
（3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()
由f ax by c ()++=1得ax by c ++=0 （2）
从（1）、（2）中消去y 得()a b x acx c b 2222220+++-<，因为A B =∅
∴=-+-<∆()()()24022222ac a b c b ，
即a b c 222+<
自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求 证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当06、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数;
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性 一、典例分析 1.求函数值 例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ） （A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5. 例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。 2、比较函数值大小 例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981x x f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小. 3、求函数解析式 例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式. 例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 4、判断函数奇偶性 例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性. 5、确定函数图象与x 轴交点的个数 例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。 2.奇函数()f x 在定义域()1,1-内递减，求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 3.如果()f x =2 ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小
4. 已知函数()x f 对任意实数y x ,，均有())()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ， 求()x f 在区间[]1,2-上的值域。 5. 已知函数()x f 对任意R y x ∈,，满足条件())()(y f x f y x f +=+2-，且当0>x 时，()2>x f ，5)3(=f ，求不等式() 3222<--a a f 的解。 6.设函数()x f 的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在21x x ≠，使得()()21x f x f ≠，对任何y x ,， ())()(y f x f y x f =+成立。求： （1）()0f ； （2）对任意值x ，判断()x f 值的正负。 7.是否存在函数()x f ，使下列三个条件：①0)(>x f ，N x ∈；② N b a b f a f b a f ∈=+,),()()(；③4)2(=f 。同时成立？若存在，求出()x f 的解析式，如不存在，说明理由。 8.设()x f 是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足()()()y f x f xy f +=，()13=f
函数的奇偶性与单调性
函数的奇偶性与单调性
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函数的奇偶性与单调性 一.知识总结 1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称） (1)为奇函数;为偶函数; (2)奇函数在原点有定义 (3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）. 2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义) (1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数. (2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则. 3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|. 二.例题精讲 【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围. 解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得： ， 即：， 整理得 上式对一切均成立，从而判别式 【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求 的单调区间. 解：依题意有而 故解得 从而。 令，得或。 由于在处取得极值，故，即。 （1）若，即，则当时，； （2）当时，；当时，； 从而的单调增区间为； 单调减区间为若，即，同上可得，
专题三 抽象函数的单调性与奇偶性
专题三抽象函数的单调性与奇偶性 抽象函数是一种没有具体函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。这类函数问题能够全面考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力，同时也能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力。因此，抽象函数问题倍受命题者的青睐，体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想。 然而，由于抽象函数问题比较抽象，学生难以理解和接受，教材也没有很好地讲解处理，因此这类问题时常困惑着不少师生。但是，这类问题对于发展学生的思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养学生的创新思想，提高学生的数学素质，有着重要作用。因此，本文将从解题思路及方法方面谈点看法。 首先，我们可以在中学函数部分教材中找到一些抽象型函数的特殊模型，如正比例函数、幂函数、指数函数等。若充分利用这些模型解题，既可使学生掌握解决数学问题的规律，培养了解题能力，又使学生体会到人们对事物的认识，总是在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为理性认识，最终揭示事
物的本质，这样一种认识规律。对于抽象函数解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意；同时，对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题，要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型，从而得到抽象函数问题的求解方法。 其次，对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。比如，抽象函数奇偶性的判断一般通过合理赋值，抽象函数单调性的判断一般用定义，解关于抽象函数的不等式，一般利用用单调性脱去f。 综上所述，虽然抽象函数问题比较抽象，但是通过利用特殊模型和特殊方法，我们可以更好地解决这类问题，培养学生的数学思维能力和创新思维。 3.已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$恒有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$且当$x>0$时，$f(x)<0$。已知$f(1)=-2$。 1) 判断$f(x)$的奇偶性； 2) 求$f(x)$在区间$[-3,3]$上的最大值； 3) 解关于$x$的不等式$f(ax^2)-2f(x)(整理)函数的单调性奇偶性与周期性
函数的单调性、奇偶性与周期性 基础知识 一、函数的单调性 1． 单调性概念 如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、 f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间. 注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数. 2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内，如果/ ()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/ ()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。 二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念 如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。 4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。 5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f = 三、函数的周期性 6．周期性概念 如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。T 是f (x )的一个周期。 若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。 学习重点 一、函数的单调性 1．函数单调性的证明方法 （1）定义法：①任取1212,,x x M x x ∈<且；②论证1212()()()()f x f x f x f x <>（或）③根据定 义，得出结论。 （2）导数法
函数单调性奇偶性周期性
函数单调性、奇偶性、周期性 ◆知识点梳理 一函数的奇偶性： 1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ； 2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称； 3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称； 4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶 ②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶 二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔ 当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f 2、采用单调性的定义判定法应注意： 一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决； ②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增； ②1 ()()()f x f x f x -与、的单调性相反； 三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑 1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =； 2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性； 3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性 1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性 特殊模型： 正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$） 幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数） 指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$） 对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$） 正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$ 正切函数$f(x)=\tan x$ 余切函数$f(x)=\cot x$
抽象函数： f(x+y)=f(x)+f(y)$ f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$ f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$ f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$ 1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。 证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(- y)=2f(0)f(y)$……① 在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$ f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1- m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。 解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。 f(x)$为函数，∴$f(1-m)f(m-1)$，故$m<0$，所以$-10)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。 解：对任意$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，∴$x=2$为抛物线 $y=ax^2+bx+c$的对称轴。 又∵其开口向上，∴$f(2)$最小，$f(1)=f(3)$
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类-【巅峰课堂】
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类 目录 【题型一】保和函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 2 【题型二】类对数积函数：形如f （axb ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ..................................................... 3 【题型三】类指数函数：形如f （a+b ）=f （a ）f （b ）单调性 ........................................................................... 4 【题型四】类对数商函数：形如f （a/b ）=f （a ）-f （b ）单调性 ..................................................................... 5 【题型五】类线性函数：f （a-b ）=f （a ）-f （b ）单调性与奇偶性 .................................................................. 6 【题型六】保积函数：f （a*b ）=f （a ）*f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 6 【题型七】恒“截距”线性函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）-1单调性 ............................................................. 7 【题型八】形如f （a*b ）=f （a ）+f （b ）+t 单调性与奇偶性 ............................................................................ 8 【题型九】形如f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）奇偶性 ............................................................................... 8 【题型十】形如f （a ）+f （a ）=f （ a b 1ab ++）单调性与奇偶性 ........................................................................... 9 【题型十一】形如f （a ）+f （a ）=f (a b)[1f (a)f (b)]+±单调性与奇偶性 ...................................................... 9 【题型十二】形如f （a-b ）= 1f (a)f (b f (a)f (b) +-单调性与奇偶性 (10) 【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 (11) 综述 一、赋值思维： 抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧： （1）.第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等 （2）.第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x 。. （3）.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。 二、抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧 证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f （0），f （1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x 和-x ，如f （x+y ），可令y= -x ，f （xy ），可令y= -1等等
抽象函数的奇偶性和单调性
2013届高三理科数学研究性学习（9） 专题六：函数单调性和奇偶性若干问题研究 探究一：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题 1. 对于定义在R 上的函数)(x f ，给出三个命题： （1）若)2()2(-f f =，则)(x f 是偶函数；（2）若)2()2(-f f ≠，则)(x f 不是偶函数； （3）若)2()2(-f f =，则)(x f 一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________ 2. 下列命题中，说法正确的是____________ （1）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； （2）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 不是R 上的单调减函数； （3）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间[)+∞,0上也是单 调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； （4）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间()+∞,0上也是单 调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数； 3. 已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，若[]1,1,-∈b a ，且0≠+b a 时，恒有 0)()(>++b a b f a f .（1）判断)(x f 在[]1,1-上是增函数还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式)6()15(2 x f x f <-
探究二：抽象函数的单调性和奇偶性问题 抽象函数的具体模型 )()()(y f x f y x f +=+ )()()(y f x f xy f += )()()(y f x f y x f =+ )()()(y f x f xy f = 类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题 ① x R ∈，()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，如何证明()f x 为奇函数？ ② x R ∈，()f x 满足()()()f xy f x f y =+，如何证明()f x 为偶函数？ 类型二：抽象函数证明函数的单调性问题 ① 若,R x ∈且()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+证明其单调性 ② 若,R x ∈()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =证明其单调性 例：设)(x f 是定义在R 上的函数，对R n m ∈,恒有)()()(n f m f n m f =+，且当0>x 时，1)(0<x f ； （3）求证：)(x f 在R 上是减函数；（4）若1)2()(2>-x f x f ，求x 的取值范围 变式：若定义在R 上的函数对任意的R x x ∈21,都有2)()()(2121++=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，.2)(->x f （1）求证：2)(+x f 是奇函数；（2）求证：)(x f 是R 上的增函数；（3）若,2)(log ,1)1(2<-=m f f 求m 的取值范围.
高中数学解题方法：抽象函数奇偶性,掌握数学方法轻松求解
高中数学解题方法：抽象函数奇偶性，掌握数学方法轻松 求解 高中数学解题方法：抽象函数奇偶性，掌握数学方法轻松求解在学习高中数学过程中，抽象函数奇偶性是一种基本的数学解题方法，有着非常重要的应用价值。函数的奇偶性是指把函数的自变量改变其符号时，函数值变化状况，是一种简单有效的解决一定问题的数学思维方法。 首先，需要熟悉和掌握关于函数的基本概念。一般而言，函数可分为有理函数、反函数、指数函数和对数函数等，每一类函数都有自己固有的性质。其中有理函数就不得不提，在高中数学中，对于有理函数的研究最为重要和广泛。要想掌握抽象函数的奇偶性，就要先要深入理解有理函数的性质。 掌握有理函数后，我们就可以进一步研究函数的奇偶性了。一般而言，函数的奇偶性可以分为三种：奇函数、偶函数、奇偶函数。其中奇函数是指当函数的自变量变号时，函数值也变号，而偶函数也正好相反，如果自变量变号，函数值将不变号；而奇偶函数则是受到自变量变号影响，函数值既可变号，又可不变号，这取决于自变量具体的变化，比如一个偶函数的定义域是自变量的平方，这时自变量变号，函数值就变成了奇函数。 在实践中，抽象函数的奇偶性有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些综合性的数学问题，让解题变得更加轻松简单。例如在数轴绘图中，通过函数的奇偶图像可以判断函数的单调性，从而更加
直观地理解函数的变化趋势，增强对函数的认识。在数学竞赛中，函数的奇偶性也可以为我们给出一些有效的答案，帮助我们更好地解决较难的问题，从而更容易获得更好的成绩。 总之，函数的奇偶性是高中数学课程中最基础也是很重要的概念和方法，要学会运用其抽象思想，在实际练习中掌握、运用，有助于我们更好地解决一些复杂的数学问题。正如莎士比亚所说：“数学是智慧的语言！”，我们只有深入理解数学中的奇偶性，才能真正发挥出数学的真正价值。
抽象函数的单调性和奇偶性精编版
抽象函数的单调性和奇偶性 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那 么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是 增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取x x x x 121200<<⇒->-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。 解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，） y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称， ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，
抽象函数奇偶性的判定
专题一抽象函数奇偶性的判定及应用 探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题 抽象函数的具体模型 )()()(y f x f y x f +=+ )()()(y f x f xy f += )()()(y f x f y x f =+ )()()(y f x f xy f = 类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题 ① x R ∈，()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，如何证明()f x 为奇函数？ ② x R ∈，()f x 满足()()()f xy f x f y =+，如何证明()f x 为偶函数？ 类型二：抽象函数证明函数的单调性问题 ① 若,R x ∈且()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+证明其单调性 ② 若,R x ∈()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =证明其单调性 探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间 上是 A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数在 上是减函数，问 在 上是增函数还是减函数，并证 明你的结论。 分析：如图所示，易知在 上是增函数，证明如下： 任取 因为 在 上是减函数，所以。 又 是偶函数，所以 ， 从而 ，故 在 上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。 例3．若函数 与 的图象关于原点对称，判断：函数 是什么函数。 解：设图象上任意一点为P （） 与的图象关于原点对 称， 关于原点的对称点 在 的图象上，
单调性与奇偶性
函数的单调性与奇偶性 题型总结 一、函数单调性 （一） 、单调性定义： 给定的区间．．D ．上的任意．．12,x x ，且12x x <，都有()()()()() 1212f x f x f x f x <>或 成立，称()f x 为区间D 上的增（减）函数。 （二）、判断函数单调性的方法与步骤： 方法：⎧⎨⎩定义法。一般用于抽象函数 复合函数 图像法。一般用于基本函数 一次，二次函数，指数、对数，反函数，三角函数求导法。用于以上两种之外的函数 ⎧⎪ ⎪ ⎨⎪ ⎪⎩ 步骤：第一步，先令1212,x x x x <属于定义域，并且；第二步，比较()()12f x f x 与的大小。 两个式子大小的比较方法⎧⎨⎩作差法，与0比较 作商法，与1比较。注：作商时，只有同号，才能比较大小 （三）、单调函数的性质 1、 增（减）函数图像上任意两点()()()() 1122,x ,,A x f B x f x 连续的斜率()0AB K ><=、 2、若()y f x =在区间D 上位增（减）函数，且1212,,x x D x x ∈<，则()()()()()1212f x f x f x f x <>或 3、复合函数的单调性为‘同增异减’ 4、若()(),f x g x 均为增函数， 则()()f x g x +仍为增：若()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()f x g x -为增函数。 5、若()f x 为增函数，则()f x -为减函数。 6、互为反函数的两个函数有相同的单调性。 二、函数奇偶性 （一）奇偶函数的定义 （二）、函数按奇偶分类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶） （三）、函数奇偶性的做题方法与步骤。 第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步，求出()f x -的表达式；第三步，
函数单调性、奇偶性总结
（一）函数单调性 1.增函数、减函数 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有 12 ()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 注意：求函数的单调区间，必须先求函数的定义域. 2、增、减函数的性质： 增函数： 12x x <⇔12 ()()f x f x < 减函数： 12x x <⇔12()()f x f x < 式子的变形： 设[]2 121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 []1212 ()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2 12 1在⇔>--上是增函数； []1212 ()()()0x xf x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2 12 1在⇔<--上是减函数. 3、判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： 1)、取值： 设任意两个实数12,x x 有， 12,x x ∈D ，且12x x <； 2)、作差：)()(21x f x f -； 3)、变形：通常方法：因式分解；配方；分母有理化； 4)、定号：即判断差)()(21x f x f -的正负； 5)、下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性． 取值→作差→变形→定号→下结论 例：证明函数 在R 上是增函数. x x x f +=3 )(
抽象函数单调性及奇偶性练习及问题详解
1、 的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足，求 证：是偶函数。 2、f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ､y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0(1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； 〔3〕证明：f(x)是R 上的增函数； 〔4〕假设f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值X 围。 7、函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++ ,且1()02f =,当1 2 x >时,()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >.
[抽象函数的定义域]抽象函数
[抽象函数的定义域]抽象函数 抽象函数篇一:论文有关抽象函数的全面探析 抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(某)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。 解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2022年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。 一、抽象函数的定义域 例1已知函数f(某)的定义域为[1,3]，求出函数g(某)=f(某+a)+f(某-a)（a＞0）的定义域。 解析：由由a＞0 知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{某|1+a＜某≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(某)才能是某的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。 点评：1.已知f(某)的定义域为[a,b]，则f[g(某)]的定义域由 a≤g(某)≤b，解出某即可得解；2.已知f[g(某)]的定义域为[a,b]，则f(某)的定义域即是g(某)在某[a,b]上的值域。 二、抽象函数的值域 解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。 例2若函数y=f(某+1)的值域为[-1，1]求y=(3某+2)的值域。 解析：因为函数y=f(3某+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(某+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3某+2)的值域也为[-1，1]。 三、抽象函数的奇偶性
抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求 证：是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x) 都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当06、 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、 已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明.
