，
0上是减函数。
C ．(－∞，－1]
D ．[1，＋∞)
[小结]
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．
题型二、分段函数单调性判断及应用
使用情景：分段函数的单调性问题
解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；
第二步 根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；
第三步 满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）
小于等于右段函数的最小值（或最大值）；
第四步 得出结论.
【例1】 已知函数()[)()
2
32,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2 B ．(][),12,-∞+∞ C ．[]1,2 D ．()(),12,-∞+∞
+∞+∞ D(2,) (1,)
【变式练习3】已知函数223,1()lg(1),1x x f x x
x x ⎧+-≥⎪
=⎨⎪+<⎩
，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是
[小结] 1、最值问题
使用情景：分段函数的最值问题
解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；
第二步 根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；
第三步 满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，
谁最小谁是最小值；
第四步 得出结论.
2、单调性问题
其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）与整体函数相同；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.
题型三、抽象函数的单调性
【例1】已知奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，且在[]2,0-内递减，求满足：2
(1)(1)0f m f m -+-<的
实数m 的取值范围．
【例2】定义在上的偶函数满足：
，在区间
与
上分别递增和递减，
则不等式的解集为 ．
【变式练习1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数
2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A.22t -≤≤
B.2t ≤-或2t ≥
C.0t ≤或2t ≥
D.2t ≤-或2t ≥或0t =
【变式练习2】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足
1
(2
)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______
[小结]不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
题型四、函数单调性判断方法（性质）的应用
函数单调性的性质：
(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；
(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1
f (x )单调性相反；
(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． 【常见判断方法】
方法一 定义法
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：；
第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论. 【例1】 判断并证明：2
1
()1f x x =+在(,0)-∞上的单调性．
12,x x D ∈12x x <12()()f x f x -
x 的取值范围是( )
A ．(8，＋∞)
B ．(8,9]
C ．[8,9]
D ．(0,8)
[方法技巧]
用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略
(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b ) 应用(三) 求参数的取值范围 [例5] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1 4，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－1 4，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－1 4，0 D.⎣⎡⎦ ⎤－1 4，0 (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋4x ，x ≤4，log 2 x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围 是( ) A ．(－∞，1] B ．[1,4] C ．[4，＋∞) D ．(－∞，1]∪[4，＋∞) [易错提醒] (1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的． (2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 【变式练习3】 1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) 2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0. 设a ＝ln 1π ，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (a )>f (c ) C ．f (c )>f (a )>f (b ) D ．f (c )>f (b )>f (a ) 3．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为 ________． 随堂检测 1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 2．讨论函数f (x )＝x ＋a x (a >0)的单调性． 判断函数单调性的常见方法 一、函数单调性的定义： 一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I?A，如对于区间内任意两个值X1、X2， 1）、当X1 =(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1) =(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22] ∵x1、x2?(-∞，+∞)，x1 判断函数单调性的常用方法 判断函数单调性的常用方法 一、定义法 设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数，且 $x_1f(x_2)$，则此函数为减函数。 例如，证明：当$x>0$时，$x>\ln(1+x)$。 f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$，所以$f(x)$为严格递增的。 因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$，所以$x>\ln(1+x)$。 二、性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题。若函数$f(x)。g(x)$在区间$B$上具有单调性，则在区间$B$上有： ⑴$f(x)$与$f(x)+C$（$C$为常数）具有相同的单调性； ⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性，当 $c<0$时具有相反的单调性； ⑷当$f(x)。g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)+g(x)$都是增（减）函数； ⑸当$f(x)。g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)\cdot g(x)$当 两者都恒大于时也是增（减）函数，当两者都恒小于时也是减（增）函数。 三、同增异减法 是处理复合函数的单调性问题的常用方法。对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可 令$t=g(x)$，则三个函数$y=f(t)。t=g(x)。y=f[g(x)]$中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。 注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； 2）互为反函数的两个函数有相同的单调性； 3）如果$f(x)$在区间$D$上是增（减）函数，那么 $f(x)$在$D$的任一子区间上也是增（减）函数。 设单调函数$y=f(x)$为外层函数，$y=g(x)$为内层函数。 1)若$y=f(x)$增，$y=g(x)$增，则$y=f(g(x))$增。 2)若$y=f(x)$增，$y=g(x)$减，则$y=f(g(x))$减。 3)若$y=f(x)$减，$y=g(x)$减，则$y=f(g(x))$增。 判断函数单调性的常用方法 一、定义法 设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】 证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。 证明：令01111)()1ln()(>+=+-='+-=x x x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的 0)01ln(0)0()(=+-=>?f x f ，所以)1ln(x x +>。 二、性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性； ⑵ f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f (x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 三、同增异减法 是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； （2）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数. 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减. 1 江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 判断函数单调性的常用方法 一、定义法 设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】 证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。 证明：令01111)() 1ln()(>+=+- ='+-=x x x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的 0)01ln(0)0()(=+-=>?f x f ，所以)1ln(x x +>。 二、性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性； ⑵ f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 三、同增异减法 是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性； （2）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数. 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. 判定函数单调性的几种方法 函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质。从高中接触函数单调性开始。我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法。:函数,单调性,判定函数单调性是函数知识应用最广泛也是最重要的性质,从高中接触函数单调性开始,我们先后学习并掌握了判定函数单调性的几种方法,本文将判定函 数单调性的多种方法给出,由于通过抽象函数来考察函数单调性的题目常常出现在各级数学试题中,这种题型比拟抽象,综合性较强,对学生的能力要求较高,学生往往难解其意,不能沟通数学符号及数学语言之间的内在联系,本文也将给出几种判定抽象函数单调性的方法。 ⒈判定函数单调性的几种方法 1.1利用函数单调性的定义 一般地,设函数的定义域为:如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有(或),那么就说在这个区间上是增(或减)函数。给出定义后,我们就可利用定义判定函数的单调性。 例1讨论函数的单调性。 解:函数的定义域为,任取两个实数 故在上是增函数。参考。 例2讨论函数的单调性。 解:指数函数的定义域为,任取两个实数,= 当时,,此时函数为增函数。 当时,此时函数为减函数。 1.2利用反函数的单调性 我们知道,一个函数假设为严格增(或减)函数,那么其反函数也为严格增(或减)函数。那么我们就可利用这一性质判定函数的单调性。 例3讨论反余弦函数的单调性 解:因为是余弦函数在的反函数,在上为严格减函数,故在定义域上为严格减函数 1.3利用根本初等函数的性质 幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数是五种根本初等函数,它们各有增减区间。那么我们就借助根本初等函数的性质来判定函数的单调性。 例4判断函数的增减性 解:依据指数函数单调性可知:在上是增函数 例5判断函数在上的单调性 解:依据幂函数单调性知:在上是减函数 1.4利用复合函数的单调性 定理1设有复合函数,当与同时为增(或减)函数时,函数为增函数,否那么为减函数。参考。 例6讨论函数的单调性。参考。 解:先求出函数定义域:解得:或 函数的定义域为,令为减函数,在区间上为减函数,故在上为增函数,而在区间上为增函数,故在上为减函数 1.5利用的单调性 定理2假设函数为增(或减)函数,那么函数,当时为增(或减)函数,当时为减(或增)函数。 函数单调性的判定方法最全 函数的单调性是描述函数在整个定义域上的增减趋势的特性。判定函 数单调性是数学分析中的重要内容之一，对于函数的应用和推导都有着重 要的影响。 本文将介绍函数单调性的判定方法，包括函数的基本概念、单调函数 的定义、单调性的判定方法以及一些特殊函数的单调性判定。 一、函数的基本概念 函数是一种特殊的关系，用于将一个集合中的元素与另一个集合中的 元素进行对应。函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。 二、单调函数的定义 单调函数是指函数在定义域上的取值随自变量的增大而单调增加（或 单调减少）的函数。具体来说，如果对于定义域上的任意两个数a和b， 若a 3.函数值比较法：对于定义域上的两个不同的数a和b，如果 f(a)>f(b)，则函数单调递增；如果f(a) 判断函数单调性的常见方法 函数的单调性是指函数在自变量的取值范围内是否呈现增加或减少的 趋势。判断函数单调性的常见方法包括函数的导数和函数的凹凸性等。 一、函数的导数判断单调性： 当函数在其中一区间内可导时，可以通过判断函数的导数的符号来确 定函数在该区间内的单调性。 1.若函数f'(x)>0，即导数大于0，则函数在该区间内是严格递增的。 2.若函数f'(x)<0，即导数小于0，则函数在该区间内是严格递减的。 3.若函数f'(x)=0，即导数等于0，则函数在该点可能有极值点。 4.若函数f'(x)>=0，即导数大于等于0，则函数在该区间内是递增的。 5.若函数f'(x)<=0，即导数小于等于0，则函数在该区间内是递减的。 需要注意的是，一个函数在一些区间上的单调性还需要满足函数在该 区间上是连续的，即函数存在于该区间上。 二、函数的凹凸性判断单调性： 函数的凹凸性也可以用来判断函数的单调性。凹凸性表示函数的曲线 是向上凸起还是向下凸起。 1.若函数f''(x)>0，即二阶导数大于0，则函数在该区间内是向上凸 起的，且在该区间内是递增的。 2.若函数f''(x)<0，即二阶导数小于0，则函数在该区间内是向下凸 起的，且在该区间内是递减的。 3.若函数f''(x)=0，即二阶导数等于0，则函数在该点可能存在拐点。 需要注意的是，函数的凹凸性需要函数存在二阶导数，因此这种方法 只适用于可导的函数。 综合判断法： 有时候，通过综合判断函数在不同区间上的单调性，可以更准确地判 断函数的单调性。这可以通过以下步骤进行： 1.确定函数定义的区间，即函数存在的区间。 2.判断函数在每个区间上的导数的符号，根据导数和函数的关系来判 断函数的单调性。 3.判断函数在每个区间上的凹凸性，根据凹凸性和函数的关系来判断 函数的单调性。 4.将导数和凹凸性的结果综合起来，判断函数在整个定义区间上的单 调性。 总结起来，判断函数的单调性的常见方法包括函数的导数和函数的凹 凸性。通过判断函数的导数的符号和函数的凹凸性，可以确定函数的单调性。同时，需要注意函数是否存在导数和二阶导数，以及函数是否连续等 条件。通过综合判断的方法，能够更准确地判断函数的单调性。 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=+ +0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 高中数学函数单调性的 判断方法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为0，不妨设20x ≠，那么 222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 v1.0可编写可改正判断函数单一性的常用方法 一、定义法 设 x1， x2 是函数 f(x) 定义域上随意的两个数，且x1＜ x2，若 f(x1) ＜ f(x2) ，则此函数为增函数；反知，若f(x1) ＞f(x2) ，则此函数为减函数 . 【例 1】证明：当 x 0时，x ln(1 x) 。 证明：令 f (x) x ln(1 x) f 1 x 0 (x) 1 x 1 x 1 所以，当 x 0时，f ( x) 0 ，所以 f (x) 为严格递加的 f ( x) f (0) 0 ln(1 0) 0 ，所以 x ln(1 x) 。 二、性质法 除了用基本初等函数的单一性以外，利用单一性的相关性质也能简化解题. 若函数 f(x) 、g(x) 在区间 B 上拥有单一性，则在区间 B 上有： ⑴ f(x) 与 f(x) ＋C（C 为常数）拥有同样的单一性； ⑵ f(x) 与 c? f(x) 当 c＞ 0 拥有同样的单一性，当c＜0 拥有相反的单一性； ⑷当 f(x) 、g(x) 都是增 ( 减 ) 函数，则 f(x) ＋g(x) 都是增 ( 减) 函数； ⑸当 f(x) 、g(x) 都是增 ( 减) 函数，则 f(x) ? g(x) 当二者都恒大于 0 时也是增 ( 减)函数，当二者都恒小于 0 时也是减 ( 增) 函数； 三、同增异减法 是办理复合函数的单一性问题的常用方法 . 关于复合函数 y＝f [g(x)] 知足“同增异减”法 ( 应注意内层函数的值域 ) ，可令 t ＝g(x) ，则三个函数 y ＝f(t) 、t ＝g(x) 、 y＝ f [g(x)] 中，如有两个函数单一性同样，则第三个函数为增函数； 如有两个函数单一性相反，则第三个函数为减函数 . 注：（ 1）奇函数在对称的两个区间上有同样的单一性，偶函数在对称的两个区 间上有相反的单一性； （2）互为反函数的两个函数有同样的单一性； （3）假如 f(x) 在区间 D上是增（减）函数，那么 f(x) 在 D 的任一子区间上也是增（减）函数 . 11 江北观音桥步行街阳光城16 楼 A3/A4 函数单调性的断定方法 详细函数单调性的方法 对于给出详细解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。假设对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，那么称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,那么称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来断定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： 〔1〕设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； 〔2〕作差)()(21x f x f -； 〔3〕变形〔普遍是因式分解和配方〕； 〔4〕断号〔即判断)()(21x f x f -差与0的大小〕； 〔5〕定论〔即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性〕。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，那么 ).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 那么0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在 ()+∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，那么 )()()()(2 21121x k x x k x x f x f +-+=-)()(2121x k x k x x -+-= )()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数〔对号函数〕，用定义法证明时通常需要进展因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法断定函数单调性比拟适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比拟明晰，但通常过程比拟繁琐。 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法
判定函数单调性的几种方法
函数单调性的判定方法最全
判断函数单调性的常见方法
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法
判断函数单调性的常用方法
函数单调性的判定方法
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