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浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题

知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果特)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于a

x 2-

=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2

与坐标轴的交点：

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

【例1】、已知函数y=x 2

-2x-3，

（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；

（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：

（3）根据第（1）题的图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0

知识点二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，

（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1

x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2

可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口·越小。

（3）三顶点顶点式：)0,,()(2

≠+-=a k h a k h x a y 是常数，当题目中告诉我们抛物线的顶点时，

我们最好设顶点式，这样最简洁。

【例1】、抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，且过（-1，16），求抛物线的解析式。

【例2】、如图，抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc

0 （＞或＜或=）（2）a 的取值范围是

【例3】、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )

A ．y = (x ? 2)2

+ 1 B ．y = (x + 2)2

+ 1 C ．y = (x ? 2)2

? 3 D ．y = (x + 2)2

? 3 知识点三、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a

x 2-

=时，a

b a

c y 442-=最值

。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a

是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a

2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如

果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=12

1最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22

2最小。

【例1】、已知二次函数的图像（0≤x ≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是( )

A ．有最小值0，有最大值3

B ．有最小值－1,有最大值0

C ．有最小值－1,有最大值3

D ．有最小值－1,无最大值【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)．

（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元? 知识点四、二次函数的性质函数

二次函数

O -1x

1 3

2 3

2、二次函数)0,,(2

≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：

a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下

b 与对称轴有关：对称轴为x=a

b 2-

c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2

-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当?>0时，图像与x 轴有两个交点；当?=0时，图像与x 轴有一个交点；当?<0时，图像与x 轴没有交点。

【例1】、抛物线y=x 2

-2x -3的顶点坐标是 . 【例2】、二次函数522

-+=x x y 有( )

A ．最大值5-

B ．最小值5-

C ．最大值6-

D ．最小值6-

【例3】、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（）

A ．其图象的开口向下

B ．其图象的对称轴为直线3-=x

C ．其最小值为1

D ．当3

【例4】、已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A.4

B.4≤k

C.4

D.4≤k 且3≠k

【例5】、下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（）． A ．y = x 2

B ．y = x －１

C ． y = 3

D ．y = 1

【例6】、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）

A ．m =l

B ．m >l

C ．m ≥l

D ．m ≤l 知识点五、二次函数图象的平移

① 对于抛物线y=ax 2+bx+c 的平移

通常先将一般式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则

化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。

② c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上（下）平移m （m ＞0）个单位，

c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2

（或m c bx ax y -++=2

）

③ 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式

c bx ax y ++=2：向左（右）平移m （m ＞0）个单位，c bx ax y ++=2变成c

m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2

）

【例1】、将抛物线2

y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A ．2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ C ．2(2)y x =-- D ．2

2y x =--

【例2】、将抛物线y=x 2

－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______. 【例3】、抛物线2

y x =可以由抛物线()2

23y x =+-平移得到,则下列平移过程正确的是( )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

知识点六、抛物线c bx ax y ++=2

中， a 、b 、c 的作用

（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2

ax y =中的a 完全一样.

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线a

x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②

0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.口诀---左同，右异（a 、b

同号，对称轴在y 轴左侧）

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：

①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0

. 【例1】、如图为抛物线2

y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是( )

A ．a ＋b=－1

B ．a －b=－1

C ．b<2a

D ．ac<0

【例2】、已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )

A ．a>0

B ．b ＜0

C ．c ＜0

D ．a ＋b ＋c>0

【例3】、如图所示的二次函数2

y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2

40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．．的有( ) A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．1个

【例4】、如图，二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12??

???

，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2

=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【例5】、如图，是二次函数 y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：

①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2

+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）

【例6】、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）

A ．m ＝n ，k ＞h

B ．m ＝n ，k ＜h

C ．m ＞n ，k ＝h

D ．m ＜n ，k ＝h

-1 1

知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）

1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为

()(

)221221y y x x -+- （这实际上是根据勾股定理得出来的）

2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为11()A x y ，，

22()B x y ，，AB 中点P 的坐标为()p p x y ，．由12p p x x x x -=-，得12

p x x x +=

，同理122p y y y +=，所以AB 的中点坐标为1212

()22

x x y y ++，． 3、两平行直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2，那么k 1=k 2，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值。

4、两垂直直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2，那么k 1×k 2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k 值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解）

以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚” 【例1】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；

（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．

【例2】、如图，已知抛物线y=﹣x 2

+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．

（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

x p x 2x 1

2x x -1

2y y -1y 2y P

y A

O y

A D C E

B O A D

C E B O A D

C E

B O （4）若P 是抛物线上位于直线A

C 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

【例3】、如图，抛物线42

412--=

x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右边）

，与y 轴交于C ，连接BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过P 作x 轴的垂

线l 交抛物线于点Q 。

（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N 。试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使⊿BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由。

练习

1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1m ，学

生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )

A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m

2、已知函数

()()

113

513

x x

?--

≤

＞

，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3

3.二次函数2

y ax bx c

=++的图象如图所示，则反比例函数

=与一次函数y bx c

=+在同一坐标系中的大致图象是（）.

4. 如图，已知二次函数c

=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值

范围是．

5.在平面直角坐标系中，将抛物线23

y x x

=++绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A．2

(1)2

y x

=-++B．2

(1)4

y x

=--+

C．2

(1)2

y x

=--+D．2

(1)4

y x

=-++

6.已知二次函数c

=2的图像如图，其对称轴1

x，给出下列结果①ac

2>②0

abc③0

a④0

a⑤0

-c

a，则正确的结论是（）

A ①②③④

B ②④⑤

C ②③④

D ①④⑤

7．抛物线2

y ax bx c

=++上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x …－2 －1 0 1 2 …

y …0 4 6 6 4 …

从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）

（1,-2）

-1

①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2

y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是1

x =

； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大． 8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连结OA ．

(1)求△OAB 的面积；

(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ． ①求c 的值；

②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内

部（不包括△OA B 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．

9、“已知函数c bx x y ++=

1的图象经过点A （c ，－2）

，，这个二次函数图象的对称轴是x=3。”

题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1，0），B ( -1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N ．

（1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P ．使得P A = PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由。

（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q 在什么位置时有

QE QC

最大？并求出最大值。

11、如图，抛物线y =

1x 2

+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M(m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m 的值．

12、在平面直角坐标系中，如图1，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上。设抛物线y =ax 2+bx +c (a <0)过矩形顶点B 、C . （1）当n ＝1时，如果a =－1，试求b 的值；

（2）当n ＝2时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

A B